2019年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将

试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A

B x x =< B ．A B =R

C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．

14

B ．

π8

C ．12

D ．

π4

3．设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1

z

∈R ，则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；

4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为 A ．13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24,p p

4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

6．6

2

1(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为 A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n

?2n

>1000的最小偶数n ，那么在

和

两个空白框中，可以分别填入

A ．A >1 000和n =n +1

B ．A >1 000和n =n +2

C ．A ≤1 000和n =n +1

D ．A ≤1 000和n =n +2

9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度，得到曲线C 2

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

11．设xyz为正数，且235

x y z

==，则

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是

A．440 B．330 C．220 D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

14．设x，y满足约束条件

21

21

x y

x y

x y

+≤

?

?

+≥-

?

?-≤

?

，则32

z x y

=-的最小值为 .

15．已知双曲线C：

22

22

1

x y

a b

-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC

2

3sin A （1）求sin B sin C;

（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90

BAP CDP

∠=∠=.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90

APD

∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)

Nμσ．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)

μσμσ

-+之外的零件数，求(1)

P X≥及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)

μσμσ

-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得

16

1

1

9.97

16i

i

x x

=

==

∑，1616

2222

11

11

()(16)0.212

1616

i i

i i

s x x x x

==

=-=-≈

∑∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16

i=???．

用样本平均数x作为μ的估计值?μ，用样本标准差s作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????

(3,3)

μσμσ

-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2

(,)

Nμσ，则(33)0.997 4

P Z

μσμσ

-<<+=，

16

0.997 40.959 2

=0.0080.09

≈．

20.（12分）

已知椭圆C：

22

22

=1

x y

a b

+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1

3

，P4（1

3

）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

已知函数)f x =

（a e 2x +(a ﹣2) e x

﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l a . 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2

+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C

5．D

6．C

7．B

8．D

9．D

10．A 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13

．

14．-5

15

16

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 解：（1）

由题意可得2

1sin 23sin ABC

a S bc A A

?==

， 化简可得2223sin a bc A =，

根据正弦定理化简可得：222

2sin 3sin sinCsin sin sinC 3

A B A B =?=。 （2）

由()2sin sinC 123cos cos sin sinC cos cos 1

23cos cos 6B A A B B B C A B C π?

=???=-+=-=?=

??=??

， 因此可得3

B C π

=

-，

将之代入2sin sinC 3B =

中可得：21sin sin cos sin 0322C C C C C π??

-=-= ???

，

化简可得tan ,366

C C B ππ=

?==，

利用正弦定理可得

1

sin3

sin2

3

2

a

b B

A

==?=，

同理可得3

c=，

故而三角形的周长为323

+。

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90

BAP CDP

∠=∠=.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90

APD

∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.

（1）证明：

//,

AB CD CD PD AB PD

⊥∴⊥,

又,

AB PA PA PD P

∴⊥?=,PA、PD都在平面PAD内，

故而可得AB PAD

⊥。

又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。

（2）解：

不妨设2

PA PD AB CD a

====，

以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。

故而可得各点坐标：()))()

2,2,0,0,2,2,0,2,2,0

P a A a B a a C a a

-，因此可得()()()

2,0,2,2,2,2,2,2,2 PA a a PB a a a PC a a a =-=-=--，

假设平面PAB的法向量()

1

,,1

n x y

=，平面PBC的法向量()

2

,,1

n m n

=，

故而可得1

1

2201

22200

n PA ax a x

n PB ax ay a y

??=-=?=

?

?

?=--=?=

??

，即()

1

1,0,1

n=，同理可得

2

2

22200

2

2220

2

n PC am an a m

n PB am an a n

??=-+-=?=

?

?

?=+-=?=

?

?

，即

2

2

2

n

??

= ?

?

??

。

因此法向量的夹角余弦值：

12

cos,n n

<>==。

很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为

3

-。

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)

Nμσ．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)

μσμσ

-+之外的零件数，求(1)

P X≥及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)

μσμσ

-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得x=

，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16

i=???．

用样本平均数x作为μ的估计值?μ，用样本标准差s作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????

(3,3)

μσμσ

-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2

(,)

Nμσ，则(33)0.997 4

P Z

μσμσ

-<<+=，

16

0.997 40.959 2

=0.09

≈．

解：（1）()()16

11010.997410.95920.0408

P X P X

≥=-==-=-=

由题意可得，X满足二项分布()

~16,0.0016

X B，

因此可得()

16,0.0016160.00160.0256

EX==?=

（2）

○1由（1）可得()10.04085%

P X≥=<，属于小概率事件，

故而如果出现

(3,3)

μσμσ

-+的零件，需要进行检查。

○2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606

μσμσμσ

==?-=+=，

故而在()9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。 此时：9.97169.22

10.0215

x μ?-==

=，

0.09σ=≈。 20.（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–

1，P 4（

1）中恰有

三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1）

根据椭圆对称性可得，P 1（1,1）P 4（

1）不可能同时在椭圆上， P 3（–

1），P 4（

1 因此可得椭圆经过P 2（0,1），P 3（–

1，2），P 4（

1，2

）， 代入椭圆方程可得：213

1,

124

b a a =+=?=， 故而可得椭圆的标准方程为：2

214

x y +=。

（2）由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在，

不妨设直线P 2A 为：1y kx =+,P 2B 为：()11y k x =-+.

联立()22

22

1418014

y kx k x kx x y =+???++=?+=??， 假设()11,A x y ，()22,B x y 此时可得：

()()()()2

222

2281141814,,,4141411411k k k k A B k k k k ??+-+??-- ? ? ?++++++????

，

此时可求得直线的斜率为：()

()()()2

22

2

21

21

2

2141144141181841

411

AB k k k k y y k k x x k k k -+--+++-=

=+---

+++，

化简可得()

2

1

12AB k k =-

+，此时满足12

k ≠-

。 ○

1当1

2

k =-时，AB 两点重合，不合题意。 ○2当12k ≠-时，直线方程为：()22221814414112k k y x k k k -??=-++ ?++??+， 即()

()

2

2

44112k k x y k +-+=-

+，当2x =时，1y =-，因此直线恒过定点()2,1-。

21.（12分）

已知函数)f x =

（a e 2x +(a ﹣2) e x

﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 解：

（1）对函数进行求导可得()()()()

2'22111x x x x f x ae a e ae e =+--=-+。

○

1当0a ≤时，()()()

'110x x

f x ae e =-+≤恒成立，故而函数恒递减 ○

2当0a >时，()()()

1'110ln x x

f x ae e x a =-+>?>，故而可得函数在1,ln a ?

?-∞ ??

?上单调递

减，在1ln

,a ?

?

+∞ ???

上单调递增。 （2）函数有两个零点，故而可得0a >，此时函数有极小值11ln

ln 1f a a a

?

?=-+ ??

?， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，

故而可得()1ln 100a a a -

+<>，令()1

g ln 1a a a

=-+， 对函数进行求导即可得到()21

g'0a a a +=>，故而函数恒递增，

又()g 10=，()1

g ln 101a a a a

∴=-+?<<，

因此可得函数有两个零点的范围为()0,1a ∈。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a . 解：

将曲线C 的参数方程化为直角方程为2

219x y +=，直线化为直角方程为11144y x a =-+-

（1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499

y x x y ?

=-+?

??+=?

，

解得212524

25x y ?=-????=??

或30x y =??=?，故而交点为2124,2525??- ???或()3,0

（2）点3cos ,

sin ,x y θθ=??=?

到直线11144y x a =-+-

的距离为d =≤

即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，

化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--， 根据辅助角公式可得()135sin 21a a θ?--≤+≤-， 又()55sin 5θ?-≤+≤，解得8a =-或者16a =。 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f （x ）=–x 2

+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 解：

将函数()11g x x x =++-化简可得()2121121x

x g x x x x >??

=-≤≤??-<-?

（1） 当1a =时，作出函数图像可得()()f x g x ≥的范围在F 和G 点中间，

联立2

24

y x

y x x =??

=-++?可得点171,171G ??--

? ???，因此可得解集为1711,??

--???

?。

（2） 即()()f x g x ≥在[]1,1-内恒成立，故而可得22422x ax x ax -++≥?-≤恒成立，

根据图像可得：函数y ax =必须在12,l l 之间，故而可得11a -≤≤。

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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设复数z 满足

1+z

1z

-=i ，则|z|=

（A ）1 （B （C （D ）2

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A ）2-

（B ）2 （C ）12- （D ）12

（3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n

，则?P 为

（A ）?n ∈N, 2n >2n

（B ）? n ∈N, 2n ≤2n

（C ）?n ∈N, 2n ≤2n

（D ）? n ∈N, 2n =2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，

且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432

（C ）0.36

（D ）0.312

（5）已知00(,)M x y 是双曲线2

2:12

x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是

（A ）（-

33，3

3

） （B ）（-

36，3

6

） （C ）（223-

，223

） （D ）（233-，23

3）

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则

（A ）1433AD AB AC =-

+ (B) 14

33AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 41

33

AD AB AC =-

(8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为

(A)13(,),44k k k Z ππ-

+∈ (B) 13

(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13

(2,2),44

k k k Z -+∈

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

（10）25()x x y ++的展开式中，52

x y 的系数为

（A ）10

（B ）20

（C ）30

（D ）60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =

（A ）1

（B ）2 （C ）4 （D ）8

12.设函数()(21)x

f x e x ax a =--+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范

围是（ ）

A.3[,1)2e -

B. 33[,)24

e - C. 33[,

)24e D. 3

[,1)2e

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a =

（14）一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。 （15）若,x y 满足约束条件10,

0,40,x x y x y -≥??

-≤??+-≤?

则y x 的最大值为 .

（16）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

Sn 为数列{an}的前n 项和.已知an>0，

（Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设

,求数列

}的前n 项和

（18）如图，，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。 （1）证明：平面AEC ⊥平面AFC

（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x y w1

1

x+

∑（x1-x）21

1

x+

∑（w1-w）21

1

x+

∑（x1-x）

(y-y)

1

1

x+

∑（w1-w）

(y-y)

46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

表中w1 =x1, ，w=

1

8

1

1

1

x

w

+

∑

（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （u n v n）,其回归线v=αβ

+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2

4

x 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N 两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当K 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。

（21）（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++

=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{

()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零

点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉C 的Q 切线，BC 交☉O 于E

（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是

O 的切线；

（II ） 若OA=CE ，求∠ACB 的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系O χγ中。直线1C :χ=-2，圆2C ：()()22

121χγ-+-=,以坐标原点为极点， χ轴的

正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求

2C MN 的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围