大学物理第十二章讲解

ω

M M 点在 x 轴上投影P点的运动规律：
A
O (ωt +0 ) x
百度文库
x Acos(t 0)
P
旋转矢量 A与谐振动的对应关系
旋转矢量
A
简谐振动 符号或表达式
模 角速度 t=0时，A与Ox夹角 旋转周期 t时刻，A 与Ox夹角
振幅 角频率 初相
振动周期
A
ω

M
0O
0 )

0

二、简谐振动的特征量
x Acos(t 0)
1. 角频率 : k m
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
由谐振动周期性特征看 的物理意义:
x(t T ) x(t)
固有角频率
Acos[(t T ) 0] Acos( t 0) (t T ) 0 t 0 2
总评平均分77.17，最高分96 最低分49
上期总结
12班
卷面平 总人 不及格 均分 数 人数
电1 71.06 27 8 1
电2 73.23 22 4 0 电3 64.91 23 10 5 电4 74.55 24 7 0 全班 69.5 136 12 最高分100 最低分31
22班
卷面平 总人 不及格 均分 数 人数
作x = -12cm处的旋转矢量 A


A
A
tm in

2
6
-12 o 12 24 x(cm)
2
T
tm in

1T 6

0.5 s
四、孤立谐振动系统的能量
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
水平放置的弹簧振子
{ 以平衡位置为坐标原点
上期总结
5班
17班
卷面平 总人 总评不及 均分 数 格人数
卷面平 总人 总评不及
均分
数
格人数
计1 62.62 29 4
车1 73.91 28 0
计2 65.25 28 2 计3 66.48 29 2 计4 71 28 3 全班 66.67 136 11
总评平均分72.18，最高分96 最低分35
车2 77.97 28 1 车3 68.4 25 2 车4 74.18 27 1 全班 75.2 139 5
反映出谐振动的周期性特征。
(3) 可用以方便地比较同频率谐振动的步调。
设 t 0
则相位差 20 10
2k
(2k 1)
同相 反相
k 0,1,2
初相： 0 取值范围：0,2 或者，
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
E-t 曲线
x T/2
o
E - x 曲线
E E
Ep Ek
-A
Ax
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep彼此变化步调相反
Tt
谐振系统动能和势能对时间的平均值
EP

1 T
0T
EPdt

1 T
0T
1 2
k A2c os2 t
dt

1 4
kA2
EK

1 T
0T
EK dt
A,0
判据3
为积分常数
任何一个物理量如果是时间的余弦 (或正弦)函数，该物理量就是按简 谐振动规律变化。
3.
x,
dx, dt
d2 x dt2
均随时间周期性变化
由 x Acos( t 0 ) 得


dx dt

A sin(t
0 )
a

d2 x dt2

A 2
cos(t
当 t
0


3
时：
x A, 2
3 A
2
质点在x A 2处以速率向 x方向运动
当
t
0

5
3
时：
x A, 2
3 A
2
质点在x A 2处以速率向 x方向运动
(2) t 0 每变化 2 整数倍， x, 重复
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地
E 1 kA2 2
振动系统总能量
• 能量法求谐振动的振幅和周期
自学 教材 P.12 [例5]
新 学 期
加 油
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通知
购买作业（5元/本） 时间：9月6号下午(第一周周五)
13：00-----16:00 地点：6220(最好以自然班去买) 答疑 时间：2—17周 周二14：30-16：30 地点：6220
期末成绩评定
采取平时+期中+期末的分阶段考试
1、平时 20%（作业、小测验） 2、期中考试 30% 3、期末考试 50%（前半期内容20分， 后半期内容80分）
2
0
0
0
k
EP=0 x0
k
m
mg-kx0=0
k
O
x
x
1 kx2 1 kx2
2
20
E

EP

EK

1 ( 2
kx 2

1 2
m 2 )
1 2
kx02

1 kA2 2

1 2
k
x02

恒量
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
Ep

1 2
k(x

x0 )2

0
t
t'
sin0 0
0

arccos x0 A
为四象限角

(2) 与标准余弦函数比较
0 : t' 2 :T
0

t T
2

t
x
x
0
练习 7T 8
t
0
教材 P.13 12.1.3
5T
t
8
(1)
(2)
x
x
A
A
A/2
0
A/2
t
0
t
(3)
(4)
练习
教材 P.13 12.1.3
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性 回复力和物体惯性交互作用形成简谐振动 F = -kx (平衡位置为坐标原点） 简谐振动：无阻尼弹簧振子的振动
扩展: F kx 不仅适用于弹簧系统
F、k、x 的物理意义?
平衡： mg kx0 0
拉下x： F mg kx
1 2
k x02

mgx

1 2
k(x

x0 )2

1 2
k x02

k x0 x
1 kx2 2
kk
EP=0 x0
m
mg-kx0=0
k
O
x
x
E

Ek

Ep

1 2
m 2

1 2
kx 2

1 2
kA2
注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点
Ep

1 kx2 2
准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能）
第四篇 振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性 •振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化 •波动: 振动在空间的传播
第12章 振 动
结构框图
摆动
*混沌
阻尼振动 受迫振动
共振
简谐 振动
振动的 合成
*电磁振荡
*频谱 分析
学时：6
§12.1
一. 运动方程
1. 理想模型：
弹簧振子
简谐振动
x Acos(t 0 )
EP

1 2
k x2

1 kA2 2
cos2 (t
A sin(t 0 )
0 )
Ek

1 2
m 2

1 2
mA2 2
sin 2 ( t
0 )

1 2
kA2
sin 2 ( t
0 )
E

Ep

Ek

1 kA2 2

恒量
孤立谐振动系统机械能守恒
旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
便于分析振动合成
由x、v
的符号确定
A 所在的象限：
练习 已知一质点做简谐振动，振幅A = 24cm, 周
期T = 3s。t = 0时 x0 12cm, v0 0。
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
解： 作t = 0时刻的旋转矢量 A

1 T
0T
1 kA2 sin2t dt
2

1 kA2 4
EP

EK

1 2
E
谐振系统动能和势能的平均值相 等而且都等于总机械能的一半.
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、
弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
Ep

1 2
k(x

x0 )2

mg(x

x0)
)
1 k(x x )2 kx (x x )
T 2 周期
1 频率 T 2
---- 描述谐振运动的快慢
2. 振幅A ： A | xmax |
x Acos(t 0)
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
由
x Acos( t 0 )
A sin( t 0 )
在 t = 0 时刻
A (ωt +0 )
x
T=2/ P
相位
t+ 0
A 在Ox 上的投影
位移
A
端点切向速度在Ox上的投影
速度
A端点向心加速度在Ox上的投影 加速度
x =Acos(t+ 0) v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
直观地表达谐振动的各特征量
例1： 已知一质点沿y轴作谐振动，其振动方程为
y Acos(t 3 / 4) 与其对应的振动曲线是:
y A
o
y A
o
t
A (A)
y A
A (B)
y A
[B]
t
o
t
A (C)
o
t
A (D)
[例2] 由振动曲线确定初相
x
(1)
cos0

x0 A

0
A v0
x0
0 A sin 0 0
由 t = 0时 x Acos(t 0 ); A sin(t 0 )
x0 Acos0 0 A sin 0
0

arctg( 0 x0
)
或
x0 Acos0 0 A sin 0

cos0

x0 A
sin 0

0 A
由cos0大小决定 0的大小、由 sin 0的符号决定 0的象限
F m dt2
d2 x k dt2 m x 0
令 k 2 得
m
* d2
dt
x
2


2
x

0
线性微分方程
判据2
任何物理量对时间的二阶导数与其本 身成正比且反向时,该物理量按简谐振 动规律变化.
d2x dt 2


2
x

0
求解得运动方程: (可为正弦或余弦形式)
x Acos(t 0 )
答案：
( 1)
（2） （3）
5
4
7
4

3
（4）

3
或
3
4
或

4
三、旋转矢量法
思考： 写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周匀速
运动的参数方程
y
x Acos(t 0 ) y Asin(t 0 )
m
A
0
x
o
x、y 方向分运动均为简谐振动
建立旋转矢量 A 与谐振动的对应关系
x0
x'
o
mg k( x0 x)
kx
自学 P.4 [例1]
离系统平衡位置的位移 x
F=-kx
准弹性力 系统本身决定的常数
判据1 F kx
当物体所受回复力与位移成正比且反向时,物 体的运动是简谐振动.
• 核心内容：
k
简谐振动
运动方程 特征量 能量 振动的合成
2. 运动方程
F k x d2 x
交1 69.97 29 9 0
交2 69.82 28 9 2
交3 66.08 26 10 3
交4 65.31 26 10 1
全班 68.35 132
8
最高分105 最低分18
本学期教学内容及特点
基 实物运动规律 本 粒 子 相互作用和场
振动 与 波动
量子现象 与
量子规律
多粒子 体系的 热运 动
实物与场的共同运动形式和性质 单粒子 —— 多粒子体系 物理概念、物理思想深化 更加贴近物理前沿和高新科技 对自学能力的要求提高
x0 Acos0 0 A sin 0
解得
A
x02

02 2

x2

2 2
3. 相位t + 0, 初相0
x Acos(t 0)
相位是描述振动状态的物理量
(1) ( t 0)与状态参量 x, 有一一对应的关系
例： x Acos(t 0 ); A sin(t 0 )