大学物理第十二章
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大学物理-第十二章变化的电磁场B
dt
则 dD与 D反向，
与 j 同向
dt
结论
j
dD
dt
I
D
充电
I
D
放电
27
麦克斯韦在研究了安培环路定律应用于非稳恒电路中 出现的矛盾以后，又提出了一重要假设——位移电流。
28
2.位移电流的概念
把变化的电场看作是一种电
流，这就是麦克斯韦位移电流的
概念。 位移电流密度：
jd
dD dt
l I
3.位移电流的磁场
麦克斯韦指出：位移电流(变化的电场)与传导电 流一样，也要在周围的空间激发磁场。
若空间磁场仅由位移电流产生，则根据全电流安培
dl
环S路( j定0 理jlldH)dddSdllSS(Sj0j0DdtSjddS)SdSDt
dSSj0
dS
DD
dS
S tt
感应电场的环流
+q -q
I dq d (σS) S dσ
dt dt
dt
j I dσ S dt
l
E
I k
两极板间： D εE σ dD dσ dt dt
即：
j dD 二者方向如何？ dt
26
充电时： σ , D dD 0
dt
则
dD与
D
同向，
与 j 同向
dt
放电时： σ , D dD 0
L1 I12
•再给线圈2通电：0I2
K1
1
K2
2
R1
I1
R2
I2
线圈2的电源克服自感电动势作功：W2
1 2
L2
I
2 2
线圈1的电源克服互感电动势作功：
大学物理第12章
2. 周期
波前进一个波长的距离所需要的时间称为波 的周期，用Т表示.周期的倒数称为波的频率，用ν 表示，即ν=1/T.当波源做一次完全振动时,波动就 传播一个波长的距离，所以波的周期(或频率)等于 波源的振动周期(或频率).一般来说，波的周期(或 频率)由波源决定，而与媒质性质无关.它反映了波 动的时间周期性.
(12- 13)
如果考虑x1和x2
Δx=λ，代入上式，则Δφ=0.说明
这两点的振动状态完全相同，这反映简谐波的空间周期性.
第二节 平面简谐波的波函数
图12- 7 t=t0时的波形
第二节 平面简谐波的波函数
3. 观察任意时刻任意位置质点的振动情况
当x、t都变化时，波函数式为
上式给出了波线上各个不同质点在不同时刻的位移，或 者说它包括了各个不同时刻的波形，即反映了波形不断向前 推进的波动传播的全过程.图12-8所示为对应t时刻和t+Δt时 刻的波形图，它反映了波动过程中波形的传播.
第一节 机械波的产生和传播
1. 波长
在同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距 离，称为波长，用λ表示，如图12-4所示.因为相位差为2π的两质 点，其振动步调完全一致，所以波长就是一个完整波形的长度， 波长反映了波动这一运动形式在空间上具备周期性特征.
图12- 4 波长的表示
第一节 机械波的产生和传播
对于理想气体，若把波的传播过程视为绝热过程，则由 分子运动理论及热力学方程可导出理想气体中的声速公式为
(12- 6） 式中，γ为气体的摩尔热容比；p为气体的压强；ρ为气体 的密度；T为气体的热力学温度；R为普适气体恒量；Mmol为 摩尔质量. 必须指出，波速是振动状态的传播速度，是振动状态在 时间、空间上传播的快慢，而不是介质中质点的振动速度(振 动位移对时间的导数)，两者是截然不同的两个概念.这是波动 与振动的区别之一.
波前进一个波长的距离所需要的时间称为波 的周期，用Т表示.周期的倒数称为波的频率，用ν 表示，即ν=1/T.当波源做一次完全振动时,波动就 传播一个波长的距离，所以波的周期(或频率)等于 波源的振动周期(或频率).一般来说，波的周期(或 频率)由波源决定，而与媒质性质无关.它反映了波 动的时间周期性.
(12- 13)
如果考虑x1和x2
Δx=λ，代入上式，则Δφ=0.说明
这两点的振动状态完全相同，这反映简谐波的空间周期性.
第二节 平面简谐波的波函数
图12- 7 t=t0时的波形
第二节 平面简谐波的波函数
3. 观察任意时刻任意位置质点的振动情况
当x、t都变化时，波函数式为
上式给出了波线上各个不同质点在不同时刻的位移，或 者说它包括了各个不同时刻的波形，即反映了波形不断向前 推进的波动传播的全过程.图12-8所示为对应t时刻和t+Δt时 刻的波形图，它反映了波动过程中波形的传播.
第一节 机械波的产生和传播
1. 波长
在同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距 离，称为波长，用λ表示，如图12-4所示.因为相位差为2π的两质 点，其振动步调完全一致，所以波长就是一个完整波形的长度， 波长反映了波动这一运动形式在空间上具备周期性特征.
图12- 4 波长的表示
第一节 机械波的产生和传播
对于理想气体，若把波的传播过程视为绝热过程，则由 分子运动理论及热力学方程可导出理想气体中的声速公式为
(12- 6） 式中，γ为气体的摩尔热容比；p为气体的压强；ρ为气体 的密度；T为气体的热力学温度；R为普适气体恒量；Mmol为 摩尔质量. 必须指出，波速是振动状态的传播速度，是振动状态在 时间、空间上传播的快慢，而不是介质中质点的振动速度(振 动位移对时间的导数)，两者是截然不同的两个概念.这是波动 与振动的区别之一.
大学物理-第12章小结与习题分解
2 2 2
B 1 2 w H 2 2
2
真空中距该导线垂直距离为a的某点的磁感应强度大小为：
0 I B 2a
H
I 2a
4.一个中空的螺绕环上每厘米绕有20匝导线,当通以
电流I=3A时,环中的磁场能量密度
wm=
22.6 J/m3.
1 1 2 wm 0 H 0 n 2 I 2 2 2
A不动； B转动； C向左移动； D向右移动。
[ D ]
1.一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀地由 10A增加到12A，此过程中线圈内自感电动势为 400V，则线圈的自感系数为L= 0.400H .
dI L dt I 12 10 L 400 L t 0.002
（ A ） L 1 ＝ L2 ＝ 0
（B）L1 ＝L2≠0
（C）L1＝0 L2≠0 （D）L1≠0 L2＝0
L = 2L－2M
a
a'
b
b'
图（ 1 ）
a
b
a'
b'
图（2）
M12 M21 M k LL
[ D ]
由于11 = LI，12 = －MI，22 = LI， 21 = －MI，21为线圈aa′在线圈bb′中 a 产生的磁链数，因为它与bb′由于自感 产生的磁链数相反，所以取负值，注 意两线圈的自感和相互的互感系数应 a 相等，则
B
]
2. 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B 的方向垂 直盘面向上，当铜盘绕通过中心垂直于盘面的 轴沿图示方向转动时 (A) 铜盘上有感应电流产生，沿 着铜盘转动的方向流动。
(B) 铜盘上产生涡流。
B
O
(C) 铜盘上有感应电流产生，铜盘边缘处 电势最高。
B 1 2 w H 2 2
2
真空中距该导线垂直距离为a的某点的磁感应强度大小为：
0 I B 2a
H
I 2a
4.一个中空的螺绕环上每厘米绕有20匝导线,当通以
电流I=3A时,环中的磁场能量密度
wm=
22.6 J/m3.
1 1 2 wm 0 H 0 n 2 I 2 2 2
A不动； B转动； C向左移动； D向右移动。
[ D ]
1.一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀地由 10A增加到12A，此过程中线圈内自感电动势为 400V，则线圈的自感系数为L= 0.400H .
dI L dt I 12 10 L 400 L t 0.002
（ A ） L 1 ＝ L2 ＝ 0
（B）L1 ＝L2≠0
（C）L1＝0 L2≠0 （D）L1≠0 L2＝0
L = 2L－2M
a
a'
b
b'
图（ 1 ）
a
b
a'
b'
图（2）
M12 M21 M k LL
[ D ]
由于11 = LI，12 = －MI，22 = LI， 21 = －MI，21为线圈aa′在线圈bb′中 a 产生的磁链数，因为它与bb′由于自感 产生的磁链数相反，所以取负值，注 意两线圈的自感和相互的互感系数应 a 相等，则
B
]
2. 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B 的方向垂 直盘面向上，当铜盘绕通过中心垂直于盘面的 轴沿图示方向转动时 (A) 铜盘上有感应电流产生，沿 着铜盘转动的方向流动。
(B) 铜盘上产生涡流。
B
O
(C) 铜盘上有感应电流产生，铜盘边缘处 电势最高。
《大学物理》第十二章 光学
位置 (提示:作为洛埃镜干涉分析)
h
结束 返回
解：
=a
acos2
+
2
=
2asin2
=
2
asin =h
sin =4h
a 2
h
结束 返回
12-5 一平面单色光波垂直照射在厚度 均匀的薄油膜上，油 膜 覆盖在玻璃板上， 所用 单色光的波长可以连续变化，观察到 500nm与700nm这两个波长的光在反射 中消失，油的折射率为 1.30，玻璃的折射 率为1.50。试求油膜的厚度 。
第二级明纹的宽度为
Δx
´=
Δx 2
=2.73 (mm)
结束 返回
12-15 一单色平行光束垂直照射在宽 为 1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为 20m的会其透镜，已知位于透镜焦面处的 屏幕上的中央明条纹宽度为2.5mm。求入 射光波长。
结束 返回
解：
=
aΔx 2D
=
1.0×2.5 2×2.0×103
sinj
=
k (a+b)
sin =0.1786k-0.5000
在 -900 < j < 900 间，
对应的光强极大的角位置列表如下：
k
sinj j
k
sinj j
0
-0.500 -300
1
2
-0.3232 -0.1464
-18051’ -8025’
3
4
0.0304 0.2072
1045’ 11057’
结束 返回
12-22 一光栅，宽为2.0cm，共有
6000条缝。如用钠光(589.3nm)垂直入射，
中央明纹的位置? 共有几级？如钠光与光
h
结束 返回
解：
=a
acos2
+
2
=
2asin2
=
2
asin =h
sin =4h
a 2
h
结束 返回
12-5 一平面单色光波垂直照射在厚度 均匀的薄油膜上，油 膜 覆盖在玻璃板上， 所用 单色光的波长可以连续变化，观察到 500nm与700nm这两个波长的光在反射 中消失，油的折射率为 1.30，玻璃的折射 率为1.50。试求油膜的厚度 。
第二级明纹的宽度为
Δx
´=
Δx 2
=2.73 (mm)
结束 返回
12-15 一单色平行光束垂直照射在宽 为 1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为 20m的会其透镜，已知位于透镜焦面处的 屏幕上的中央明条纹宽度为2.5mm。求入 射光波长。
结束 返回
解：
=
aΔx 2D
=
1.0×2.5 2×2.0×103
sinj
=
k (a+b)
sin =0.1786k-0.5000
在 -900 < j < 900 间，
对应的光强极大的角位置列表如下：
k
sinj j
k
sinj j
0
-0.500 -300
1
2
-0.3232 -0.1464
-18051’ -8025’
3
4
0.0304 0.2072
1045’ 11057’
结束 返回
12-22 一光栅，宽为2.0cm，共有
6000条缝。如用钠光(589.3nm)垂直入射，
中央明纹的位置? 共有几级？如钠光与光
大学物理-第12章--电磁感应
∴取以 r 为半径的圆周为绕行回路L ，绕行方向为逆时针,面元法线如图。
× × × ×
× ×××
r n ×L × × × ×
× × ××× × R
×××××
×
B
×× ×× ×× ××
当r < R
时： L E感 dl
S
B
dS
t
等式左边 L E感 dl L E感dl cos 00
× × × ×
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为：
fm e(v B)
非静电力
?++ + ++
B
v
fm
在导线内部产生的静电场方向
ab
E
a
++ + ++
电子 受的静电力
fe
fe eE
平衡时： fe fm
此时电荷积累停止，
fm
ab 两端形成稳定的电势差。 b
★ 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.
B
v
2、动生电动势的表达式
S 1 hL 2
磁通
m
1 hLB 2
B
t
0
o B h
C D
i
dm dt
1 hL dB 1 hL B 2 dt 2 t
L
讨论 只有CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路，
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向……..
1 B hL
1 2 t
B SOCD t
？
铁芯
磁场 B
线圈
电 子束
环形 真空室
五、感生电场计算举例
例 12-5. 半径为R的长直螺线管内的磁场，以dB/dt 速
× × × ×
× ×××
r n ×L × × × ×
× × ××× × R
×××××
×
B
×× ×× ×× ××
当r < R
时： L E感 dl
S
B
dS
t
等式左边 L E感 dl L E感dl cos 00
× × × ×
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为：
fm e(v B)
非静电力
?++ + ++
B
v
fm
在导线内部产生的静电场方向
ab
E
a
++ + ++
电子 受的静电力
fe
fe eE
平衡时： fe fm
此时电荷积累停止，
fm
ab 两端形成稳定的电势差。 b
★ 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.
B
v
2、动生电动势的表达式
S 1 hL 2
磁通
m
1 hLB 2
B
t
0
o B h
C D
i
dm dt
1 hL dB 1 hL B 2 dt 2 t
L
讨论 只有CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路，
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向……..
1 B hL
1 2 t
B SOCD t
？
铁芯
磁场 B
线圈
电 子束
环形 真空室
五、感生电场计算举例
例 12-5. 半径为R的长直螺线管内的磁场，以dB/dt 速
大学物理第12章重点总结
（A） pV m （B） pV (kT )
（C） pV (RT ) （D） pV (mT )
解 p nkT
N nV pV kT
第十二章 气体动理论
13
物理学
第五版
例 一容器内某双原子分子理想气体的温度为273K，
密度为ρ= 1.25 g/m3，压强为 p = 1.0×10-3 atm
求 (1) 气体的摩尔质量？ (2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平动动能？ (4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？
18
物理学
第五版
三种速率的比较
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
2RT M
vp v v2
第十二章 气体动理论
19
物理学
第五版
① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动
② T 一定, m 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
物理学
第五版
第 十二 章
气体动理论
第十二章 气体动理论
物理学
第五版
教学基本要求
一 了解气体分子热运动的图像 . 理解平 衡态、平衡过程、理想气体等概念.
二 理解理想气体的压强公式和温度公式， 能从宏观和微观两方面理解压强和温度的统 计意义 .
第十二章 气体动理论
2
物理学
第五版
教学基本要求
三 了解自由度概念，理解能量均分 定理，会计算理想气体的内能.
t 平动
3 3 3
r 转动
0 2 3
（C） pV (RT ) （D） pV (mT )
解 p nkT
N nV pV kT
第十二章 气体动理论
13
物理学
第五版
例 一容器内某双原子分子理想气体的温度为273K，
密度为ρ= 1.25 g/m3，压强为 p = 1.0×10-3 atm
求 (1) 气体的摩尔质量？ (2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平动动能？ (4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？
18
物理学
第五版
三种速率的比较
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
2RT M
vp v v2
第十二章 气体动理论
19
物理学
第五版
① m 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动
② T 一定, m 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
物理学
第五版
第 十二 章
气体动理论
第十二章 气体动理论
物理学
第五版
教学基本要求
一 了解气体分子热运动的图像 . 理解平 衡态、平衡过程、理想气体等概念.
二 理解理想气体的压强公式和温度公式， 能从宏观和微观两方面理解压强和温度的统 计意义 .
第十二章 气体动理论
2
物理学
第五版
教学基本要求
三 了解自由度概念，理解能量均分 定理，会计算理想气体的内能.
t 平动
3 3 3
r 转动
0 2 3
大学物理第十二章变化的电磁场
是匀强磁场吗？ 是！
m = BScos ( t+o)
= Bosin t Scos t
i
dm
dt
= -BoS cos2 t
13
例12.1.4 长直电流I与ABC共面, AB=a, BC=b。
(1) I =Iocos t (Io 和为常量) , ABC 不 动, 求: ABC=？
解:
m
Bdscos
方向成右手螺旋关系。3
感应电流总是“企图”阻碍原磁通的改变，但又 阻止不了。
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
fm
fm
楞次定律能量守恒
“阻碍”改为“助长”则，不需外力作功，导线便会 自动运动下去，从而不断获得电能。这显然违背 能量守恒定律。
4
感应电动势和感应电流的关系
对闭合导体回路, 感应电动势的方向和感应电 流的方向是相同的。
B)
dl
a
b ++ B
dl
(1)若i 若i
>0, <0,
则i 则i
沿 dl方向，即ab的方向； 与dl的方向相反，即ba的方向。
-a-
(2)动生电动势只存在于运动导体内，无论导体是否构
成闭合回路，只要导体 B在 磁0场中运动切割磁场线，即
(3)若整个导体回路在磁场中运动，则在回路中产生的
动生电动势：
用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i)首先求出回路面积上的磁通量(取正值)：
m
B dS
S
对匀强磁场中的平面线圈：
m B S BS cos
(ii)求导：
i
dm
dt
(ⅲ)判断i 的方向。
8
例12.1.1 圆线圈，m=8×10-5sin100t(wb), N=100匝，
第十二章气体动理论_大学物理
2π kT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均
为 1 kT 。这样的能量分配原则称为能量按自由度均分定理 2
说明
(1) 能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，是分子 间的频繁碰撞而致。
(2) 若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度， s 个振动自由度， 则每个气体分子的平均总动能为
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布Байду номын сангаас整个速
§12.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
·分布的概念 例如学生人数按年龄的分布
年龄
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
15 ~16 2000 20%
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均
为 1 kT 。这样的能量分配原则称为能量按自由度均分定理 2
说明
(1) 能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，是分子 间的频繁碰撞而致。
(2) 若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度， s 个振动自由度， 则每个气体分子的平均总动能为
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布Байду номын сангаас整个速
§12.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
·分布的概念 例如学生人数按年龄的分布
年龄
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
15 ~16 2000 20%
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L
0 B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 ) （I1 I 2）
L
是否回路 L 内无电流穿过？
例1 求长直密绕螺线管内磁场。 解
M N +++ + + + ++++++ L O P
NO
B
B d l B d l B d l B d l B d l
I
I dl
I
Q Idt qnvSdt
电流元Idl内有带电粒子数 dN nSdl 设dB为这些运动粒子所激发的磁场，则 每个粒子所激发的磁场为
dB ˆ ˆ 0 Idl r 0 qv r B ( ) dN 2 2 dN 4π r 4π r
当运动电荷速度 v接近光速时上式不能成立。
d
结果表明，P点的磁感 应强度B的大小为一常量，方 向垂直于OO之间的连线d， 即在Y轴方向上，所以空腔中 的磁场为匀强磁场
第 十二 章
稳恒磁场
12-1 电流的磁效应
1819年奥斯特在上 课时做一试验，在一通 电的细铂丝下平行放置 一小磁针，结果发现电
流的磁效应。
I
S
N
Hans Christian Oersted
1777～1851年丹麦物理学家
奥斯特发现的电流磁效应，是科学史上的重
大发现。它立即引起了那些懂得它的重要性和价
4π r2
M
2
0 M Idl sin B dB 2 N 4π r l r0 cot , r r0 / sin
dl r0d / sin
2
dl l
r
r0 dB P
B
0 I
4π r0
2
1
sin d
I N
1
B
0 I
4π r0
2
1
0 I （cos1 cos 2） sin d 4π r0
l MN OP PM
B MN 0 n MN I
B 0 nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 解 1） 对称性分析：环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。 2）选回路 ：
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R 当 2 R d 时，螺绕
2
dr
解法二 运动电荷的磁场
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R o r
dB0
0 dqv
4π r
2
dr
dq 2π rdr
dB
0
2
2
dr
B
0
2
R
0
dr
0 R
12-4 磁场的高斯定理 安培环路定理
1、磁通量 磁场的高斯定理
B
S
dS1 1 B1
dS2
2
B2
θ α
B
B2
B1
0 jπ r
2π r1
2 1
0 r1
2
j
B 2π r1 2 B1 I 上式中 j θ α B2 2 2 所以 π (R r ) r1 P θ r2 0 Ir1 α B1 θ 2 2 2π ( R r ) O d O X 同理可得 图（b） 0 r2 0 Ir2 B2 j 2 2 2 2π ( R r )
O1
Q1
P
Q2
O2
2、运动点电荷的磁场
实验指出，在(v<<c)条件下，运动电荷在空间任 意点A产生的磁场为
0 q( v r ) ˆ B 4π r2 μ 0 qv sinθ B 4π r2
A
可从毕奥—萨伐尔定律导出运动电荷的磁 场表达式。 设电荷密度n，每个电荷的带电量q，运动 速度v，电流元Idl，导体的截面S，则
d
R
环内可视为“均匀场” 。
B 0 nI
例3 无限长载流圆柱体的磁场。 解 rR B d l 0 I
l
I
R R
B 的方向与 I 成右螺旋。
2π r π r2 0 r R, B d l 0 I 2 l πR 2 0 r 0 Ir 2π rB 2 I B R 2π R 2
单位：T（特斯拉） 1T=1N/(A· ，1T=104Gs m)
几种磁场的强度
种类 脉冲星 超导磁铁 大型电磁铁 磁疗器 核磁共振仪 B/T 种类 B/T 10–4 3×10–5 6×10–5 10–10 10–12
108 太阳磁场 102 地球赤道磁场 2 地球两极磁场 0.1~0.2 动物心脏 4 ×10–4 动物大脑 ~8×10–4
4π r
2
x
B Bx dB sin
Id l
R
r
x
dB
*p
dB
R cos r r 2 R2 x2
o
x
B
0 I cosdl
4π
l
r
2
0 Idl
4π r
2
0 IR 2π R B dl 3 4π r 0
B
dBx
0 I cosdl
L L i i L i 1
(3)多电流情况
n 安培环路定理 B dl 0 I i L
一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和。
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
i 1
0 乘以该闭合路径
I1 I1
L
I2 I 3
I1
问 1） B是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？
12-3 毕奥–萨伐尔定律
1、电流的磁场
电流元在空间产生的磁场
0 Idl r ˆ dB 2 4π r
真空磁导率 0 4π 10 N A
7
2
ˆ 0 I dl r B dB 4 π r2
例1 载流长直导线的磁场。
解 dB
0 Idl sin
d
0 I 0 I rd d 2 r 2 B dl 0 I
L
I
B
dl
r L
L与I成右螺旋
若回路绕向为顺时针时，则 B d l 0 I
L
(2)电流在回路之外 0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I B1 dl1 d 2π 0 I B2 dl2 d 2π
dΦ B1 dS1 0 1 dΦ2 B2 dS2 0
磁场的高斯定理
B d S 0
S
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等 于零，故磁场是无源场。
例 一长直导线通有电流I，其近旁平行放置一 矩形线框，求穿过矩形线框的磁通量。 解 载流直导线周围的 dr 磁感应强度为
B1
0 jπ r12
0 r1
j
Y
B1x B1 sin
0
r1 P θ B2 x B2 cos jr2 sin r2 2 α θ 0 O d O X B2 y B2 sin jr2 cos 图（b） 2 P点的磁感应强度B的两个正交分量为
采用补偿法求解，即将空 腔部分等效成同时存在着电流 密度为j和(-j)的电流，
I
r1 P(r,θ) o r2 d o X
图（a）
空腔中任意一点的磁场为
B B1 B2
取空腔中任意一点P，OP r1 , OP r2 由于半径为R和半径为r 的长圆柱体产生的磁场具有 轴对称性，故根据安培环路 定理，有 Y B1 r1 P θ r2 α θ O d O X 图（b）
r
2
0 IR 2
（x R ）2 2
2 2 3
4π
I
R o
x
*
B
B
0 IR 2
（x R ）2 2
2 2
2 3
x
3
讨论 1）若线圈有 N 匝 B
N 0 IR
2 2
（x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I x B 3） 0 2R 0 IR 2 0 IS 4）x R B ， B 3 3 2x 2π x
2π rB 0 I
B
0 I
L
r
B
dB
I
.
dI
B
I
0 r R, B 0 Ir2 2π R r R, B 0 I 2π r
0 I
2π R
B
R
o R
r
例4 一半径为R的长圆柱形导体，在其中距其轴线为 d处挖去一半径为r(r<R），轴线与大圆柱形导体平 行的小圆柱，形成圆柱形空腔，导体中沿轴均匀通 有电流I，如图（a）。试求空腔内的磁感应强度B。 解 由于空腔的存在，不能直 Y 接用安培环路定理求解。
例 半径为 R的带电薄圆盘的电荷面密度 为 ，并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的 轴转动。 求：圆盘中心的磁感强度。 解法一 圆电流的磁场
R o r
dr
dI 2π rdr rdr 2π 0dI 0
dB
0 B 2
2r
R
0
0 R dr 2
B0
0 NI
0 NIR 2
3
I I O1 Q1 Q2 O2 P R R
0 B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 ) （I1 I 2）
L
是否回路 L 内无电流穿过？
例1 求长直密绕螺线管内磁场。 解
M N +++ + + + ++++++ L O P
NO
B
B d l B d l B d l B d l B d l
I
I dl
I
Q Idt qnvSdt
电流元Idl内有带电粒子数 dN nSdl 设dB为这些运动粒子所激发的磁场，则 每个粒子所激发的磁场为
dB ˆ ˆ 0 Idl r 0 qv r B ( ) dN 2 2 dN 4π r 4π r
当运动电荷速度 v接近光速时上式不能成立。
d
结果表明，P点的磁感 应强度B的大小为一常量，方 向垂直于OO之间的连线d， 即在Y轴方向上，所以空腔中 的磁场为匀强磁场
第 十二 章
稳恒磁场
12-1 电流的磁效应
1819年奥斯特在上 课时做一试验，在一通 电的细铂丝下平行放置 一小磁针，结果发现电
流的磁效应。
I
S
N
Hans Christian Oersted
1777～1851年丹麦物理学家
奥斯特发现的电流磁效应，是科学史上的重
大发现。它立即引起了那些懂得它的重要性和价
4π r2
M
2
0 M Idl sin B dB 2 N 4π r l r0 cot , r r0 / sin
dl r0d / sin
2
dl l
r
r0 dB P
B
0 I
4π r0
2
1
sin d
I N
1
B
0 I
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2
1
0 I （cos1 cos 2） sin d 4π r0
l MN OP PM
B MN 0 n MN I
B 0 nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 解 1） 对称性分析：环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。 2）选回路 ：
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R 当 2 R d 时，螺绕
2
dr
解法二 运动电荷的磁场
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R o r
dB0
0 dqv
4π r
2
dr
dq 2π rdr
dB
0
2
2
dr
B
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2
R
0
dr
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12-4 磁场的高斯定理 安培环路定理
1、磁通量 磁场的高斯定理
B
S
dS1 1 B1
dS2
2
B2
θ α
B
B2
B1
0 jπ r
2π r1
2 1
0 r1
2
j
B 2π r1 2 B1 I 上式中 j θ α B2 2 2 所以 π (R r ) r1 P θ r2 0 Ir1 α B1 θ 2 2 2π ( R r ) O d O X 同理可得 图（b） 0 r2 0 Ir2 B2 j 2 2 2 2π ( R r )
O1
Q1
P
Q2
O2
2、运动点电荷的磁场
实验指出，在(v<<c)条件下，运动电荷在空间任 意点A产生的磁场为
0 q( v r ) ˆ B 4π r2 μ 0 qv sinθ B 4π r2
A
可从毕奥—萨伐尔定律导出运动电荷的磁 场表达式。 设电荷密度n，每个电荷的带电量q，运动 速度v，电流元Idl，导体的截面S，则
d
R
环内可视为“均匀场” 。
B 0 nI
例3 无限长载流圆柱体的磁场。 解 rR B d l 0 I
l
I
R R
B 的方向与 I 成右螺旋。
2π r π r2 0 r R, B d l 0 I 2 l πR 2 0 r 0 Ir 2π rB 2 I B R 2π R 2
单位：T（特斯拉） 1T=1N/(A· ，1T=104Gs m)
几种磁场的强度
种类 脉冲星 超导磁铁 大型电磁铁 磁疗器 核磁共振仪 B/T 种类 B/T 10–4 3×10–5 6×10–5 10–10 10–12
108 太阳磁场 102 地球赤道磁场 2 地球两极磁场 0.1~0.2 动物心脏 4 ×10–4 动物大脑 ~8×10–4
4π r
2
x
B Bx dB sin
Id l
R
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x
dB
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R cos r r 2 R2 x2
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B
0 I cosdl
4π
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r
2
0 Idl
4π r
2
0 IR 2π R B dl 3 4π r 0
B
dBx
0 I cosdl
L L i i L i 1
(3)多电流情况
n 安培环路定理 B dl 0 I i L
一闭合路径的积分的值，等于 所包围的各电流的代数和。
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
i 1
0 乘以该闭合路径
I1 I1
L
I2 I 3
I1
问 1） B是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？
12-3 毕奥–萨伐尔定律
1、电流的磁场
电流元在空间产生的磁场
0 Idl r ˆ dB 2 4π r
真空磁导率 0 4π 10 N A
7
2
ˆ 0 I dl r B dB 4 π r2
例1 载流长直导线的磁场。
解 dB
0 Idl sin
d
0 I 0 I rd d 2 r 2 B dl 0 I
L
I
B
dl
r L
L与I成右螺旋
若回路绕向为顺时针时，则 B d l 0 I
L
(2)电流在回路之外 0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2 0 I B1 dl1 d 2π 0 I B2 dl2 d 2π
dΦ B1 dS1 0 1 dΦ2 B2 dS2 0
磁场的高斯定理
B d S 0
S
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等 于零，故磁场是无源场。
例 一长直导线通有电流I，其近旁平行放置一 矩形线框，求穿过矩形线框的磁通量。 解 载流直导线周围的 dr 磁感应强度为
B1
0 jπ r12
0 r1
j
Y
B1x B1 sin
0
r1 P θ B2 x B2 cos jr2 sin r2 2 α θ 0 O d O X B2 y B2 sin jr2 cos 图（b） 2 P点的磁感应强度B的两个正交分量为
采用补偿法求解，即将空 腔部分等效成同时存在着电流 密度为j和(-j)的电流，
I
r1 P(r,θ) o r2 d o X
图（a）
空腔中任意一点的磁场为
B B1 B2
取空腔中任意一点P，OP r1 , OP r2 由于半径为R和半径为r 的长圆柱体产生的磁场具有 轴对称性，故根据安培环路 定理，有 Y B1 r1 P θ r2 α θ O d O X 图（b）
r
2
0 IR 2
（x R ）2 2
2 2 3
4π
I
R o
x
*
B
B
0 IR 2
（x R ）2 2
2 2
2 3
x
3
讨论 1）若线圈有 N 匝 B
N 0 IR
2 2
（x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I x B 3） 0 2R 0 IR 2 0 IS 4）x R B ， B 3 3 2x 2π x
2π rB 0 I
B
0 I
L
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.
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I
0 r R, B 0 Ir2 2π R r R, B 0 I 2π r
0 I
2π R
B
R
o R
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例4 一半径为R的长圆柱形导体，在其中距其轴线为 d处挖去一半径为r(r<R），轴线与大圆柱形导体平 行的小圆柱，形成圆柱形空腔，导体中沿轴均匀通 有电流I，如图（a）。试求空腔内的磁感应强度B。 解 由于空腔的存在，不能直 Y 接用安培环路定理求解。
例 半径为 R的带电薄圆盘的电荷面密度 为 ，并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的 轴转动。 求：圆盘中心的磁感强度。 解法一 圆电流的磁场
R o r
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dB
0 B 2
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R
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0 R dr 2
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3
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