大学物理下第12章-3分解
(完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动
第四篇 振动与颠簸第十二章机械振动§ 12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 均衡地点。
现将 m 略向右移到 A ，而后松开，此时，由于弹簧伸长而出现指向均衡地点的弹性力。
在弹性 力作用下，物体向左运动，当经过地点O 时，作用在 m 上弹性力等于 0，可是因为惯性作用， m 将持续向 O 左侧运动，使弹簧压缩。
此时，因为弹簧被压缩， 而出现了指向均衡地点的弹性力并将阻挡物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于B （刹时静止），以后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。
这样在弹性力作用下物体左右来去运动，即作机械振动。
图 12-12、简谐振动运动方程由上剖析知， m 位移为 x （相对均衡点 O ）时，它遇到弹性力为（胡克定律） ：Fkx(12-1)式中： 当x即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即F0 当 x即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即F 0k为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。
定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。
由定义知，弹簧振子做谐振动。
由牛顿第二定律知，m加快度为aF kxmm（ m为物体质量）ad 2 xd 2 x k x∵dt 2∴ dt2mk2∵ k、 m均大于 0，∴可令m可有：d 2 x2 x 0(12-2)dt 2式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为x Asin t'(12-3)或x Acos t(12-4)'2式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。
所以，我们也能够说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。
本书顶用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加快度物体位移：xAcos tdxAsin tV(12-5)速度：dtd 2 xa2 Acos t 2 x加快度：dt 2(12-6)可知：Vmax A amax 2 Ax t、V t 、 at 曲线以下图 12-2图 12-3第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权（教授）说明：（1）Fkx 是谐振动的动力学特点；（2） a2 x是谐振动的运动学特点；（3）做谐振动的物体往常称为谐振子。
《大学物理》第十二章 光学
h
结束 返回
解：
=a
acos2
+
2
=
2asin2
=
2
asin =h
sin =4h
a 2
h
结束 返回
12-5 一平面单色光波垂直照射在厚度 均匀的薄油膜上，油 膜 覆盖在玻璃板上， 所用 单色光的波长可以连续变化，观察到 500nm与700nm这两个波长的光在反射 中消失，油的折射率为 1.30，玻璃的折射 率为1.50。试求油膜的厚度 。
第二级明纹的宽度为
Δx
´=
Δx 2
=2.73 (mm)
结束 返回
12-15 一单色平行光束垂直照射在宽 为 1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为 20m的会其透镜，已知位于透镜焦面处的 屏幕上的中央明条纹宽度为2.5mm。求入 射光波长。
结束 返回
解：
=
aΔx 2D
=
1.0×2.5 2×2.0×103
sinj
=
k (a+b)
sin =0.1786k-0.5000
在 -900 < j < 900 间，
对应的光强极大的角位置列表如下：
k
sinj j
k
sinj j
0
-0.500 -300
1
2
-0.3232 -0.1464
-18051’ -8025’
3
4
0.0304 0.2072
1045’ 11057’
结束 返回
12-22 一光栅，宽为2.0cm，共有
6000条缝。如用钠光(589.3nm)垂直入射，
中央明纹的位置? 共有几级？如钠光与光
大学物理第十二章 习题答案
第十二章 电磁感应及电磁场基本方程12–1 如图12-1所示，矩形线圈abcd 左半边放在匀强磁场中，右半边在磁场外，当线圈以ab 边为轴向纸外转过60º过程中，线圈中 产生感应电流（填会与不会），原因是 。
解：线圈以ab 边为轴向纸外转过60º过程中，尽管穿过磁感应线的线圈面积发生了变化，但线圈在垂直于磁场方向的投影的面积并未发生变化，因而穿过整个线圈的磁通量并没有发生变化，所以线圈中不会产生感应电流。
因而应填“不会”；“通过线圈的磁通量没有发生变化”。
12–2 产生动生电动势的非静电力是 力，产生感生电动势的非静电力是 力。
解：洛仑兹力；涡旋电场力（变化磁场激发的电场的电场力）。
12–3 用绝缘导线绕一圆环，环内有一用同样材料导线折成的内接正方形线框，如图12-2所示，把它们放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，当匀强磁场均匀减弱时，圆环中与正方形线框中感应电流大小之比为___________。
解：设圆环的半径为a，圆环中的感应电动势1E 大小为2111d d d πd d d ΦB BS a t t t===E 同理，正方形线框中的感应电动势2E 大小为2212d d d 2d d d ΦB BS a t t t===E而同材料的圆环与正方形导线的电阻之比为12R R ==。
所以圆环与正方形线框中的感应电流之比为122I I a ==12–4 如图12-3所示，半径为R 的3/4圆周的弧形刚性导线在垂直于均匀磁感强度B 的平面内以速度v 平动，则导线上的动生电动势E = ，方向为 。
图12–5图12–4abdc图12–1Ba图12–2图12–3解：方法一：用动生电动势公式()d l =⨯⋅⎰B l v E 求解。
选积分路径l 的绕行方向为顺时针方向，建立如图12-4所示的坐标系，在导体上任意处取导体元d l ，d l 上的动生电动势为d ()d cos d B R θθ=⨯⋅B l =v v E所以导线上的动生电动势为3π3πd cos d 0BRBR θθ-===>⎰⎰v E E由于ε>0，所以动生电动势的方向为顺时方向，即bca 方向。
2024版大学物理下册课件第十二章振动和波动
圆环。
25
驻波与波的干涉
2024/1/30
驻波
两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成 的特殊波形，表现为波节和波腹的交替出现。
波的干涉
驻波是波的干涉现象的一种特殊表现，其形成与波的叠加原理和相 干条件密切相关。
特点与应用
驻波具有稳定的波形和能量分布，广泛应用于乐器制造、声学测量 等领域。
01
02
03
天文学
通过观测遥远星体发出的 光谱线的多普勒频移，可 以推断出星体的运动速度 和距离。测量风场的速度和方 向，为天气预报提供重要 数据。
军事领域
军事上利用多普勒雷达可 以探测目标的距离、速度 和方位角等信息，实现目 标跟踪和识别。
31
2024/1/30
平面简谐波的波函数
针对平面简谐波，其波函数具有 特定的形式和性质，如周期性、 传播方向等。
波函数的物理意义
波函数反映了波在传播过程中的 各种物理量的变化规律，如振幅、 相位、传播速度等。
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平面简谐波的能量
1 2
波的能量概念
波在传播过程中携带的能量，包括动能和势能两 部分。
平面简谐波的能量密度 表示单位体积内波的能量，与波的振幅平方成正 比。
驻波的特点
驻波具有固定的波形和节点位置，波形不随时间推移而向前传 播。在驻波中，相邻两个节点之间的距离等于半个波长，且节 点处质点的振幅为零。
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04
平面简谐波
2024/1/30
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平面简谐波的波动方程
01 波动方程的一般形式
描述波动现象的基本方程，表达了波动参量（如 位移、压强、电场强度等）与时间、空间坐标之 间的关系。
第12章3不确定关系薛定谔方程
2 p2 2 2 x
i E t
（1）
（2）
物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符
将(4), (5)代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 2 2Ψ Ψ 对一维情况有： 2m x 2 U ( x, t )Ψ i t
21 这个方程称为含时薛定谔方程
26 v x 5.5 10 m / s 2 m x
超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。
6
该图出自伽莫夫的
《物理世界奇遇记》 这在微观世界里是可 能发生的图象。该图包 含着两个物理内容：
1. 由不确定关系，汽车
在车库中永远不会静止。 2. 物体在有限势阱内 （车库的壁）有一定透 出的概率。
Et 2
能级自然宽度和寿命
5
讨论
xp x 2
yp y 2
zp z 2
1. 不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和 动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小， 另一个不确定量越大，若 x 为零， p则无穷大。 2. 不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体， x不超过10-6m（这是可以做到的），
2 1 2 2 E m ω x 2 8m x 2
dE 2 2 Δx m ω 3 d Δx 4m Δx
令 可得
dE 0 d Δx
Δx
2
2m ω
可得最小可能能量为
Emin
1 1 ω 2 2
思考: Emin 0 ?
线性谐振子沿直线在平衡位置附近振动，坐标和 动量都有一定限制，即
2 p 1 2 2 E mω x
2m
2
大学物理第 12 章 第 3 次课 -- 能均分定理 内能 麦克斯韦分布
能量均分定理 理想气体内能
一、分子的平均总动能
1. 分子的运动的形式 物体的运动形式有平动、转动和振动. 气体分子的运动也可以有平动、转动和振动. 视具体情况而定. 2. 单原子分子的平均动能 单原子分子的理想气体, 分子可以看成质点, 分子只有平动. 因此单原子分子只有平动动能.
kt m 2 kT
2kT 2 RT m M
(8)
10 /14
上海师范大学
§12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律 2. 平均速率 根据平均值的数学定义, 平均速率为
dN 1 dN1 2 dN 2 n dN n 0 N N m 2 f ( ) Nd m 3 / 2 2 2 kT 0 ) e d f ( )d 4 ( 0 0 N 2kT m 2 m 3/ 2 4 ( ) 3e 2 kT d 0 2kT
(iii) 刚性双原子分子的总平均动能为
kt kr
1 1 1 1 1 2 2 2 2 mCx mCy mCz Jy J z2 2 2 2 2 2 上海师范大学
(6)
2 /14
§12.5
能量均分定理 理想气体内能
非刚性双原子分子
4. 非刚性双原子分子的平均动能 对于非刚性双原子分子, 两原子间的距离随时间变化. 因此, 非刚性双原子分子除了平动和转动外, 还有振动. 如右图所示, 双原子分子好像被一根弹簧相连.
(2) 太阳的内能
3 41 E N N kT 1.1916 10 57 1.5 1.38 10 23 1.159 10 7 2.8610 ( J ) 2
上海师范大学
7 /14
§12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律 理想气体分子的方均根速率
大学物理第十二章变化的电磁场
是匀强磁场吗？ 是！
m = BScos ( t+o)
= Bosin t Scos t
i
dm
dt
= -BoS cos2 t
13
例12.1.4 长直电流I与ABC共面, AB=a, BC=b。
(1) I =Iocos t (Io 和为常量) , ABC 不 动, 求: ABC=？
解:
m
Bdscos
方向成右手螺旋关系。3
感应电流总是“企图”阻碍原磁通的改变，但又 阻止不了。
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
fm
fm
楞次定律能量守恒
“阻碍”改为“助长”则，不需外力作功，导线便会 自动运动下去，从而不断获得电能。这显然违背 能量守恒定律。
4
感应电动势和感应电流的关系
对闭合导体回路, 感应电动势的方向和感应电 流的方向是相同的。
B)
dl
a
b ++ B
dl
(1)若i 若i
>0, <0,
则i 则i
沿 dl方向，即ab的方向； 与dl的方向相反，即ba的方向。
-a-
(2)动生电动势只存在于运动导体内，无论导体是否构
成闭合回路，只要导体 B在 磁0场中运动切割磁场线，即
(3)若整个导体回路在磁场中运动，则在回路中产生的
动生电动势：
用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i)首先求出回路面积上的磁通量(取正值)：
m
B dS
S
对匀强磁场中的平面线圈：
m B S BS cos
(ii)求导：
i
dm
dt
(ⅲ)判断i 的方向。
8
例12.1.1 圆线圈，m=8×10-5sin100t(wb), N=100匝，
大学物理下课后题答案12章中国石油大学(华东)
12章习题参考答案12-1答案：1-5 DBADC 6-10 CDDAD 11-15 DDDAB 12-2 1、E R 221π 2、Sq 022ε3、略4、3028Rqdεπ，方向为从O 点指向缺口中心点5、aq 08πε-12-3真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d 的点P 的电场强度。
[解] 建立如图所示的坐标系Ox ，在距O 点为x 处取电荷元x Lqx q d d d ==λ，它在P 点产生的电场强度为()()x x d L Lq x d L qrq E d 41d 414d d 202020-+=-+==πεπεπε则整个带电直导线在P 点产生的电场强度为()d L d q x x d L Lq E L+=-+=⎰2041d 41πεπε故 ()i d L d qE+=04πε12-4用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R ，其上均匀地带有正电荷Q ，试求圆心处点O 的电场强度。
[解] 建立坐标系如图，在半圆环上取微元d l ，θd d R l =，则 l RQq d d π=， q d 在O 点的场强 20204d 4d d R lR Q R q E πεππε== 从对称性分析，y 方向的场强相互抵消，只存在x 方向的场强Ed Oxxq d d λ=θεπθθεπθd 4sin d sin 4sin d d 202302x RQ l RQ E E =⋅=⋅= 2020202x x 2d 4sin d R QR Q E E επθεπθπ===⎰⎰i R Q E o 222επ=12-5一半径为R 的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E 。
[解] 建立坐标系如图，在无限长半圆柱面形薄筒上取l d 的窄条，l d 对应的无限长直线单位长度所带的电量为θπλθπλd d d ==R R q 它在轴线O 产生的场强的大小为RR qE 0202d 2d d επθλπε==因对称性y d E 成对抵消。
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没有意义。
10
各式的物理意义：
f ( v)ຫໍສະໝຸດ f (v)dv Nf (v)dv
V0将速率分布 曲线下的面积 分为相等的两 部分
v 两个底边相等， 面积不等的小矩形 面积各代表什么？
v2
0
v1
Nf (v)dv Nf (v)dv
v0
f ( v)
0
vp
Nf (v)dv
0 v 1
v2
v
11
推算速率的三个统计值 1. 算术平均速率 1 1 v (v1N 1 v 2 N 2 v i N i ) ( N N 1 1 vdN v vNf (v )dv vf (v )dv N N
分子的方均根速率 vrms ：
压强的微观理解:
vrms
v
2
3kT m
3 RT M mol
2
能量均分定理：
1 每个自由度可被均匀分配的能量是 kT 2
每个气体分子的平均动能:
i Ek kT ( i= 3, 5, 6. ) 2
3 kT 2
每个气体分子的平均平动动能:
理想气体的内能：动能和势能？
N
由于dNv / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与总分子 数之比，所以它应与v 的大小有关，可以写成：
d Nv f (v ) d v ， N
f (v) 称速率分布函数
d Nv f (v ) N dv
7
f (v)dv 的物理意义是什么？
由定义式
d Nv f (v ) 可看出 f (v) 的意义： N dv
n t
4
n k
12-3
平衡态的经典统计分布
1. 概率分布函数及归一化条件
统计规律是大量偶然、无规则事件在整体上表现出 的一种规律，对单个事件而言，无任何意义。
dN f ( x) Ndx
dN N f ( x) d x 1 N N
5
2. 麦克斯韦速率分布律 要深入研究气体的性质，不能只研究一些平均值， 如平均速度，平均平动动能等；还要进一步弄清楚分子 按速率的分布情况。 从微观上讲，描述一定质量的气体所有分子的速率 状态时，因为分子数极多，而且各分子的速率通过碰撞 不断的改变，所以不能逐个加以说明。
v N )
i i i
同理: v 2 v 2 f (v )dv
m 3/ 2 v vf (v )dv 4 ( ) e 2kT 0 0
mv 2 2 kT
v dv
3
8kT m
即
v
8kT m
8 RT RT 1.60 M mol M mol
12
2. 方均根速率
m 2 f (v ) 4 ( ) v e 2kT
得 vp
2kT m
3 2
mv 2 2 kT
令
df ( v ) 0 dv
2 RT RT 1.41 M mol M mol
最概然速率用于讨论分子速率分布
vp v v
2
14
15
不同温度下的速率分布曲线:
m 3/ 2 m v 2 / 2 kT f (v ) 4 π ( ) e v 2 2 π kT
在一定的条件下，速率分布函数将有特定的表达式。 8
1859 年麦克斯韦（ Maxwell ）根据概率论的规律和 对气体分子运动的假设，导出了理气在无外场时，温度 为T的平衡态下，分子速率分布函数为：
m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f (v ) 4 π ( ) e v 2 π kT
v v f (v)dv
2 2
v ( v f (v )dv )
2 2 0
1 2
3kT m
v rms
3 RT RT 1.73 M mol M mol
方均根速率可用来计算分子平均动能.
1 E mv 2 2
13
3. 最概然速率
最概然速率意义：在vp附近的单位速率区间内的分子 数占总分子数的百分比最高。
从宏观上看，气体分子的速率分布是有统计规律性的。 我们可以给出具有各种速率的分子各有多少或各占总分子 数的百分比多大，这种方法就给出了分子按速率的分布。
6
按照经典力学的概念，分子的速率可以连续地取从 0到无限大的任何值，因此必须按区间去研究。
理想气体分子运动的速率应用连续型分布函数来描述： 设：dNv 为速率v v +dv 区间内的分子数， N 为 d Nv dv 总分子数，则：d N v N d v ，
0 v v +d v v f (v) 是分子出现在 v 附近的单位速率区间的概率，而 非某个分子具有速率 v 的概率。 N v f (v ) 1 对于前者，取 v 1 ，可表示为 N 对于后者，取 v 0 ，可表示为
N v f (v ) 0 0 N
f (v) 是一种统计规律，谈论速率恰好等于某一确定值
f (v)是在速率v 附近、单位速率区间内的分子数 与总分子数的比例。 对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速率v 附 近单位速率区间的概率。
d Nv N 1 因为 d N v N ， 即 v 0 v 0
所以
0
f (v ) d v 1
速率分布函数的归一化条件。
f ( v) T，m 一定
f (v ) d v d Nv N
m — 气体分子的质量
归一化条件 f v d v 1
0
在左图上曲线的几何意义为： 0 v v +d v v
曲线下面的总面积等于1。
9
f(v) 麦克斯韦分子速率 分布函数的物理意义：
T，m 一定
f (v ) d v d Nv N
系统的内能不包括系统作为一个整体运动的机械能！
3
总结一下几个容易混淆的概念 1. 分子的平均平动动能
2. 分子的平均动能 3. 理想气体内能
3 t KT 2 i k KT 2
E M i i RT RT 2 2
4. 单位体积内气体分子的平动动能
5. 单位体积内气体分子的动能
张福俊
2013-2014 第一学期
Flash tracking the key points of last lecture
1 2 1 2 2 2 P nmv n mv n t 3 3 2 3 1 3 2 温度的微观理解： t mv kT 2 2
热力学第三定理：