一类变系数偏微分方程的解法

第３１卷第５期　
２０１３年０９月　
佳木斯大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　
Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．５　

Ｓｅｐ．　２０１３　

文章编号：１００８—１４０２（２０１３）０５—０７８６—０２　

一
类变系数偏微分方程的解法①　
宋杨　
（吉林师范大学数学学院。吉林四平１３６０００）　

摘要：运用ＡＣ＝ＢＤ的思想，将一类变系数偏微分方程线性化，并利用行波法将方程约化成　
常微分方程求出方程的行波解．　
关键词：偏微分方程“ＡＣ＝ＢＤ”法行波法　
中图分类号：０１７５．２　文献标识码：Ａ　

１　问题的提出　
张鸿庆教授在１９７８年提出了关于微分方程求　
解的“ＡＣ＝ＢＤ”模式及其应用，这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均　
为微分算子．“ＡＣ＝ＢＤ”的基本思想方法为：已知　
Ａｖ＝０和Ｄｕ＝０，寻找适当的变换口＝Ｃｕ，使得Ｄｕ　

＝
０（其中Ｃ　ｋｅｒ　Ｄ］ｋｅｒＡ，ｋｅｒ表示算子的核），对　
一
般微分方程的求解，转化成对下面问题的解决：　
给定算子Ａ构造算子Ｄ和使Ｃ　ｋｅｒ　Ｄ＝ｋｅｒ　Ａ如何　
构造变换ｔ，＝Ｃｕ，把求解方程Ａｖ＝０的问题约化成　
求解方程Ｄｕ＝０的问题…．　
本文研究变系数偏微分方程　
Ｏ　－Ｖ　＋ｍ
ｌ
。）（ａ　３

－－－
Ｖ　Ⅲ　㈤（２　＝ｏ　

的求解，其中　（ｉ＝１，２）为ｔ的任意函数．　
２　定义和引理　
为了证明方程（１）给出定义２．１和引理２．１．　
定义２．１　设　是线性空间，Ａ，　，Ｃ，Ｄ是从　
到　的算子，对任意　∈Ｘ，　
ＡＣ（　）＝Ａ（Ｃｖ），ＢＤ（　）＝Ｂ（Ｄｖ）　
如果对Ｖｖ∈Ｘ，ＡＣ（　）＝Ｂ（Ｄｖ），则称ＡＣ＝ＢＤ．　
引理２．１　设Ⅱ（　，　）Ｅ　Ｘ，是常系数ＫＤＶ方　
程　
＋６ｕｕｆ＋　搿　０　

的解，Ｂ＿￣　ａｕ
，　
ａｕ

，　∈　，则有　

当ａ＜ｂ＜ｃ时，　
Ｍ（．ｒ，　）＝ｂ＋（ｃ—ｂ）ｏｎ　

【　（ｃ－０）｝（　－２（。＋６＋ｃ）．ｒ＋　，　）】　
其中ｌ＂ｔ为实数．　
当０＜ｂ≠ｃ时，　
（　，　）＝口＋（ｃ—ａ）ｓｅｅ　ｈ　

｛【　（ｃ一。）　一２（２口一ｃ）丁＋　］）　
其中７ｌ是关于　，．ｒ的函数．　
当ａ＝ｂ＝ｃ时，Ⅱ（　，　）＝ａ一２（　一　）－２．　
其中ａ，ｂ，ｃ是实数且满足文献［２］和［３］中的　
条件．　
证明类似文献［２］和［３］中的证明，略．　

３　证明过程　

（２）　
＝Ｃ　＝ｅｘ￣（ｆ２ｍ　（￡）ｄ￡）　（丁，　）　

＝　ｅｘｐ（ｆｍ　（￡）　）　（３）　
丁＝　（ｚ）ｅｘｐ（ｆ３ｍ￣（￡）ｄ￡）ｄｆ　
将（３）代入方程（２）得　
ｅｘｐ（Ｉ２ｍ：（ｔ）ｄｔ）　（　，　）］　
ＡＣｕ＝———————　—————————————————一　

ｇ［ｅｘｐ（Ｉ２ｍ￣（ｔ）ｄｔ）　（丁，　）］　
＋ｍ１（　）———　．—＿　———一＋６ｍ１（￡）　

①　收稿日期：２０１３—０８—２６　
作者简介：宋杨（１９８８一），女，吉林公主岭人，吉林师范大学数学学院在读硕士研究生　

缸　
＋　
２　
ｍ　
一　
６　
＋　
ｍ　
＋　
＝　
令　
第５期　棠　杨：一类变系数偏微分方程的解法　７８７　
￣ｅｘｐ（Ｊ　（￡）　）ｕ（丁，　）］——Ｌ　＿一　
一
２ｍ　（ｆ）［ｅｘｐ（ｆ２ｍ：（ｔ）ｄ￡）　（　，　）］　
０［ｅｘｐ（ｆ２ｍ　（ｔ）ｄｔ）　（．ｒ，　）］　
一　
ｍｚ（ｔ）———Ｌ—　——一＝０　

合并同类项得　
ＡＣＭ＝ｍ。（　）［ｅｘｐ（ｆＳｍｚ（ｔ）ｄ￡）］　０ｕ　

［ｅｘｐ（ｆＳｍ：（￡）ｄ￡）］　（丁，　）　

令　
ｍｌ（ｔ）ｅｘｐ（ｆ５ｍ　（　）　）　
Ｏ　
０　

Ｂ＝　

㈤［ｅｘｐ（　引旁＋６　ｔ）　
［ｅｘｐ（ｆＳｍ　㈤　丁，　）詈＝０　
即　
ＡＣ　＝ｍ。（ｆ）［ｅｘｐ（ｆＳｍ：（￡）ｄ￡）］打ａｕ　

㈤［ｅｘｐ（　州　旁＋６　）　

Ｏ　
ｍ，（　）ｅｘｐ（ｆＳｍ２（　）　）　

Ｏ　

ｍｌ（ｆ）ｅｘｐ（ｆＳｍ　（￡）　）　
０　
０　

ＤＵ　
则由（４）得，ＡＣ（Ｕ）＝Ｂ（Ｄｕ）　
由定义２．１和引理２．１有　
＝ｅｘｐ（ｆ２ｍ　㈤　｛６＋（ｃ　

。　。　ｐ（
三
ｆＳｍ：　ｄ　
］［Ｏ　ｍ。（　）ｅｘｐ　：（￡）出）ｊ　（４）　

当ａ＜ｂ＜ｃ时，有　
（　，　）＝ｂ＋（ｃ—ｂ）ｃｎ　
【去（ｃ　｝（　－２（ａ＋ｂ＋ｃ　，　）】　

－６）　【　６）÷　２（ａ＋ｂ＋ｃ　，　）】）　
当ａ＜ｂ≠ｃ时，有　
Ｈ（ｒ，　）＝　＋（ｃ一口ｓｅｔｈ　｛【　１（ｃ一口）】　［　一２（２。一ｃ）丁＋　］）　

Ｖ＝ｅｘｐ（『２ｍ　（ｃ）ｄｅ）｛口＋（ｃ一口ｓｅｅｈ　｛【丢（ｃ　】　［　一２（２ｎ＿ｃ）下　］））　
当口＝ｂ＝ｃ时，　（．『，　）＝口一２（　一　）一　［１］李彪・孤立子理论中若干精确求解方法的研究及应用，大连，　
Ｖ＝ｅｘｐ（』２ｍ２（￡）ｄｔ）［口一２（　一　）－２］　Ｅ２］刘式适，刘式达．物理学中的非线性方程，北京：北京大学出　
版社，２０００．　
参考文献：　Ｅ３　２　李栩神・孤子与可积系统，上海：上海科技教育出版社，　９９・　

Ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉ　ｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　
ＳＯＮＧ　Ｙａｎｇ　
（ｊｆｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｌｎｇ　１３６０００，Ｃｈｉｎａ）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｉｄｅａ　ｏｆＡＣ＝ＢＤ，ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ａｎｄ　ｕｓｉｎｇ　ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；”ＡＣ＝ＢＤ”；ｆｉａｎｃｅ　ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｗａｖｅ　

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