近几年全国物理竞赛复赛力学

近几年全国物理竞赛复赛

力学

Prepared on 22 November 2020

近几年全国物理竞赛复赛力学

1.（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . （30届复赛）

2.如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。在杆的A 、B 和C 三点各固连一质量均为m 的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB 延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为0v 、方向沿AB 的速度向挡板平动。在某时刻，小球C 与挡板碰撞，碰撞结束时球C 在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C 与挡板不粘连。若使球C 碰撞后，球B 先于球A 与挡板相碰，求夹角α应满足的条件。

（29届复赛）

3.（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为年。1986年它过近日点P 0时，与太阳S 的距离r 0=，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =°.已知：1AU=×1011m ，引力常量G =×10-11m 3kg -1s -2，太阳质量m S =×1030kg.试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。（28届复赛）

4、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆A B和CD接触处的静摩擦因数为

μC，两杆的质量均为m，长度均为l.

（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

（2）若μA=，μC=，θ=°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。（28届复赛）

5.（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D和一质量为m

α（α为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处.

1. 若碰前滑块A的速度为0v，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度0v应满足的条件. （30届复赛）

6.（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m ，半径为 R ，螺距H =

πR ，可绕竖直的对称轴OO ′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 O O ′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)

3.解法一

取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为

22

22

1x y a b += （1）

a 、

b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．

以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有

32

32a T a T =e e （2）

设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得

c a r =-0 （3）

22c a b -= （4）

由图1可知，P 点的坐标

cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得

()2

2222

22222sin cos 2cos 0P P P P P a

b r b cr b

c a b θθθ+++-=

（7）

根据求根公式可得

()

222

22

cos sin cos P P P P

b a

c r a b θθθ-=+ （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得

0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s

2Gmm E =a

-

(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有

2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫

+-=- ⎪⎝⎭

v （11） 得

图1

P

=

v（12）

代入有关数据得

41

4.3910m s

P

-

⨯⋅

v= (13)

设P点速度方向与

SP的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律

[]

sin2

P P P

rϕθσ

-=

v（14）其中σ为面积速度，并有

πab

T

σ=（15）

由（9）、（13）、（14）、

（15）式并代入有关数据可得

127

ϕ=（16）

4.二、参考解答：

1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的

受力情况如图：

1

f为地面作用于杆AB的摩擦力，

1

N

为地面对杆AB的支持力，

2

f、

2

N为杆

AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，

3

N、

4

N分别为墙对杆AB和CD的作用