时变电磁场边界条件

在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。
n) n)

vv
(
Hv 1

H v
2
(E1 E2 )
)0 0
H1t H2t 0 E1t E2t
(BvD1vg1n)DvBv22)ggnn))

0 0
B2n B1n D1n D2n
0
结论：在在理理想想介介质质分分界界面面上上，，EBvv,,
vv
ÑvS BgvdS
0 v
v

BBv11ggdn)S1
Bv2Bg2n)gdS02

0
S n) h 0
v B1
n)
1
v B2
n)
2
B2n B1n
v 结论：在边界面上，B 法向连续。
4、Dv 的边界条件
Ñ v v
DgdS

q

v (D1

v D2
)gn)

s
S
D1n D2n s
hv 0 H2
v l
n)
s) 1 2


v) v
H2 gl
n) (

v
H1
H1
) gl
v H2)
v JS

gs)
v JS
0
式中：nv)为由媒质2－>1的法向。
H1t H2t J s
ห้องสมุดไป่ตู้
J S 为表面传导电流密度。
特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则
结论：当分n)界 (面Hv上1 存Hv在2 )传导0 面电H流1t时 ，HH2vt切向0 不连续，

S S
由上面两式，得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为
n (D1 D2 ) S
或者如下的标量形式： D1n D2n S
若分界面上没有自由面电荷， 则有
然而D=εE，所以
D1n D2n
1E1n 2E2n
综上可见，如果分界面上有自由面电荷，那么电位移矢量D的
法向分量Dn越过分界面时不连续，有一等于面电荷密度ρS的突 变。如ρS=0，则法向分量Dn连续；但是，分界面两侧的电场强 度矢量的法向分量En不连续。
磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为
n (B1 B2 ) 0
或者如下的标量形式的边界条件：
B1n B2n
由于B=μH，所以
式中：n) 为导体外法向。
6.4 时变电磁场的边界条件
法向分量边界条件
设n是分界面上任意点处的法向单位矢量；F表示该点的某 一场矢量(例如D、B、…)，它可以分解为沿n方向和垂直于 n方向的两个分量。 因为矢量恒等式
n (n F) n(n F) F(n n)
所以
F n(n F) n (n F)

J
S

bl
综合以上三式得 b n (H1 H2 ) J S b
b是任意单位矢量，且n×H与JS共面(均切于分界面)，所以
n (H1 H2) JS
[n (H1 H2 )] n J S n
H1t H2t J S 如果分界面处没有自由面电流，那么
b n (H1 H2 )l b n (H1 H2 )l
因为 D / t 有限而h→0，所以
D dS lim D bhl 0
S t
h0 t
如果分界面的薄层内有自由电流，则在回路所围的面积上，
S
J

dS

lim
h0
J

bhl
H1t H2t
由上式可以获得
B1t B2t
1 2
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
D1t D2t
1 2
t
JS


S
t
6.4.2 两种特殊情况
矢量形式的边界条件为
n (H1 H2) 0 n (E1 E2 ) 0 n (B1 B2 ) 0 n (D1 D2 ) 0
它们相应的标量形式为
H1t H2t 0 E1t E2t 0 B1n B2n 0 D1n D2n 0
其不连续量等于分界面上面电流密度。
当且仅当分界面上不存在传导面电流时，Hv 切向
Ñ 连续。
2、EEvvg的dlv边界－条件BvgdSv
1

l
n)
(
v E1

v E2
)
S

t 0

v
结论：E 切向连续。
E1t

E2t
h 0
Ev22
v E1
v l
n)
s) 1 2
v
3、B
的边界条件
1H1n 2H2n
切向分量边界条件将麦克斯韦方程
设n(由媒质2指向媒质1)、l分别是Δl中点处分界面的法向单位矢 量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系 的单位矢量，三者的关系为
l bn
将麦克斯韦方程
l
H

dl

S

J

D t


dS
l H dl H1 ll H2 (ll) l (H1 H2 )l
上式第一项沿n方向，称为法向分量；第二项垂直于n方向，
切于分界面，称为切向分量。
6.4.1 一般情况
S D dS D1 Sn D2 (Sn) n (D1 D2 )S
如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为
Q
dV
V

lim
h0
hS
S
n) v
D1
h 0
n)
1
Dv2n)
2
说明： s为分界面上自由电荷面密度。
特殊地：若媒质为理想媒质，则s 0,此时有
结论：当分界面D上1n存在D自2n 由 电0 荷时，Dv 切向不连续，其
不连续量等于分界面上面电荷密度。
当且仅当分界面上不存在自由电荷时，Dv 切向连
续。
二、理想媒质分界面上的边界条件( 0)
v Hv D
矢量切向连续 矢量法向连续
三、理想导体分界面上的边界条件( )
在理想导体内部
v E

0,
v H

0，在导体分界面上，
一般存在自由电荷和传导电流。
n)n) HEvv

v Js 0
Bvgn) 0
Dvgn) s
Ht Js Et 0 Bn 0
Dn s
时变电磁场的边界条件
一、一般媒质分界面上的边界条件( 0, )
Ñ 1、Hv 的边界条件
vv v
v D
v
H gdl
C

s(JS
)gdS t

v H2
v gl

v H1
v gl

v JS
gsv)

l
) l

n) s)
lim D gs) l h h0 t
v H1