勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第18章 勾股定理复习

一．知识归纳 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下： 证．

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422

S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211

2S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾

股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

c

b

a

H

G F E

D C B

A

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b a b

c c

b

a

E D C

B

A

在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

5、利用勾股定理作长为

的线段

作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为

和1的直

角三角形斜边长就是，类似地可作

。

作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为

； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形

，这样斜边

、

、

、的长度就是

、

、

、

。

举一反三 【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把

看作是直角三角形的斜边，

，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径， 以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为

。

注：逆命题与勾股定理逆定理

可以判断真假的陈述句叫做命题， 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）

4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）

总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

6.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书74页

如果三角形三边长a，b，c满足222

+=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

a b c

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

a b c

+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足222

+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）

a c b

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

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