中考里的有理数运算

中考里的有理数运算
有理数是初中数学的基础内容，也是整个数学体系的基础组成部分。

随着课程改革的进一步深入，在各地的中考试题中出现了许多构思新、考能力的新题型。

现例举部分典型试题，并加以归类分析，希望对同学们学习有所帮助。

1. 定义新运算
例1. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3
×2×1，…，则10098！
！
的值为（ ）
（A ）
50
49。

（B ）99！。

（C ）9900。

（D ）2！。

（05年资阳市实验区）
分析 从题目中可以理解“！”的意义，即n n n n !()()=⨯-⨯-⨯⨯⨯1221…。

那么
10010099989721!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯…， 98!=989721⨯⨯⨯⨯…，
所以 1009810099989721989721100999900!！…，…，。

=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 故选（C ）。

例2. 用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和a b=b ，例如32=3，
32=2。

则（20062005）（20042003）=__________。

（05年北京海淀区）
解 本题定义的新运算是：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和a b=b ，则 20062005=2006，20042003=2003，
所以（20062005）（20042003）=20062003=2006。

点评 此类题型运算难度不大，但它突破了传统的固有模式，设计别出心裁、标新立异，充分体现了创新的特色；有利于帮助学生实现从模仿到创造性的解决数学问题的思维过程。

2. 程序化运算
例3. 在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x 与
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是_______________。

（05年台州）解按照所给的操作程序，可以得到这样一个等式3x□□=y。

结合表格中数据，
当x=－2时，3×（－2）□□=－5，则□□=+1；
当x=－1时，3×（－1）□□=－2，则□□=+1；
当x=－0时，3×0□□=+1，则□□=+1；
于可以猜想□□分别为“+”和“1”键。

再把x=1，2，3依次代入，结果与相应的y值一致；因而确定以上猜想是正确的。

点评根据新课程标准的要求，学生要能够熟练地掌握和使用计算器。

此种题型以计算器程序的形式呈现在学生面前，有利于考查学生对计算器程序的认识和理解；从而培养学生良好的思维品质，符合时代潮流。

3. 生活化运算
图1
例4. 如图1，时钟的钟面上标有1，2，3……12共12个数，一条直线把钟面分成了两个部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是_________和__________。

（05年宜昌）解钟面上标着1到12这12个连续整数，它们的和为78。

由钟面分成三个不同的部分且各部分所包含的数的和都相等，得
每部分的和必须是78
3
26。

而其中已有部分的数的和为
11+12+1+2=26，
所以只要另外一条直线分成两部分的和分别为26，于是可再作直线l分成的各部分分别为1，2，11，12；3，4，9，10和5，6，7，8。

点评把简单的数学内容放在丰富的生活情境中，体现了数学与生活的联系，反映了数学
的价值，增强了学生用数学的意识，有利于塑造学生的思维能力和思维品质。

4. 探究性运算
例5. 观察下面几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，
……
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_________。

（05年锦州）解观察上面的各算式，可以发现规律：
1+2+3+…+（n－1）+n+（n－1）+…+3+2+1=n2。

当n=100时，1+2+3+…99+100+99+…+3+2+1=1002=10000。

例6. 在同一平面上，1条直线把一个平面分成112
2
2
2++
=个部分，2条直线把一个平面
最多分成222
2
4
2++
=个部分，3条直线把一个平面最多分成
332
2
7
2++
=个部分，那么8条
直线把一个平面最多分成_________部分。

（05年武汉）解根据题中各式可以总结规律：
n条直线把一个平面最多分成n n
22
2
++
个部分，那么，8条直线把一个平面最多分成
882
237
2++
=（个）部分。

点评探究是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维。

这种题型的出现，对考查学生的数学理解能力、数学探究能力以及基础知识的运用能力提供了一种重要的思维方法。

练习
1. 现规定一种新的运算“*”；a*b=a b，如3*2=32=9，则1
2
*3=_________。

2. 在如图2所示的运算程序中，若输出的数y=3，则输入的数x=_________。

图2
3. 小明设计了一个关于有理数运算的程序：输出的数比该数的相反数小1，小明按此程序输入12后，输出的结果应为___________。

4. 如图3所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数学0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合。

这样，正半轴上的整数就与圆周上的数学建立了一种对应关系。

（1）圆周上数学a与数轴上的数5对应，则a=_______________；
图3
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n的代数式表示）。

答案：
1. 1
8。

2. 5或6。

3. －13。

4. 2; 3n+1。