江苏省天一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题

江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc24．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥65．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣111．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）【参考答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【分析】利用不等式的解法化简集合A，求出∁R B，可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，∁R B＝{x|x≥1}则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A＝{x|1≤x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数的定义即可判断．【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数，在②中由，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，，故选：C．【点评】本题主要考查函数的定义及其构成要素，准确理解函数的概念，是解题的关键．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc2【分析】直接利用不等式的性质判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，所以，故A正确；对于B：根据基本不等式，，故B正确；对于C：若a＞b＞0且c＞0，则，故C正确；对于D：当c＝0时，不等式不成立．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6【分析】首先求得实数a的取值范围，然后结合选项确定满足题意的条件即可．【解答】解：由于函数在区间[1，2]上单调递减，故函数在区间上的最大值为，从而，据此可得命题为真的一个充分不必要有条件为a≥6．故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性及其应用，恒成立问题的处理方法，充分不必要条件的判定等知识，属于基础题．5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数解析式易知x＜0时，f（x）＞0，且f（2）＜0，由此利用排除法得解．【解答】解：当x＜0时，，故排除选项BD；又，故排除选项A．故选：C．【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）【分析】分x≥0和x＜0两种情况，利用复合函数单调性的判断法则求解即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝，由﹣x2+1≥0，解得﹣1≤x≤1，又t＝﹣x2+1的单调递减区间为（0，+∞），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）；当x＜0时，f（x）＝，因为t＝（x+1）2的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，1）和（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数单调性的判断，含有绝对值函数的应用，二次函数以及幂函数单调性的应用，属于中档题．7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】依题意，可求得集合A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），B＝（，），要使A∩B中恰好有两个整数解，分析可知，只能是3和4，再列式求解即可．【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，Δ＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得a＞，B＝（，），又0＜＝＜2，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是3和4，令f（x）＝x2﹣3ax+4，则，解得＜a≤，∴a的取值范围是（，]．故选：C．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）【分析】由已知结合函数的奇偶性可求g（x），由函数的单调性定义分析可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，而h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x+2，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2+4，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2+4，即g（x）＝ax2+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，变形可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，所以h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，若a＝0，则h（x）＝4x+2在（1，2）上单调递增，满足题意；若a≠0，则h（x）＝ax2+4x+2是对称轴为x＝﹣的二次函数，若h（x）在（1，2）上单调递增，只需或，解得a＞0或﹣1≤a＜0，综上，a≥﹣1．即a的取值范围为[﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出g（x）的解析式．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件【分析】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．【解答】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔ac＞b2≥0，故A正确；对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，故选：AD．【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，考查一元二次不等式及其应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题．10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣1【分析】根据新定义对a的值分类讨论，当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，然后讨论集合A，B的公共元素，进而可以求解．【解答】解：当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，所以当A，B集合有公共元素﹣＝﹣1时，解得a＝2，当A，B集合的公共元素为时，解得a＝，故选：ACD．【点评】本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，涉及到集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．11．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．【分析】利用基本不等式可判断A、B的正误；将a＝1﹣b2＞0，代入a+2b，利用配方法可判断C的正误；利用乘“1”法可判断D的正误．【解答】解：对于A，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴+b≤＝（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），故A错误；对于B，1＝a+b2≥2b⇒b≤（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），即的最大值为，故B正确；对于C，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴a＝1﹣b2＞0，∴0＜b＜1，∴a+2b＝1﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+2＜2，故C错误；对于D，＝（）（a+b2）＝1+4++≥5+2＝9（当且仅当＝，即2a＝b2，即a＝，b＝时取等号），故D正确；故选：BD．【点评】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54【分析】通过对函数f（x）的分析，可以得到函数f（x）的图象，进而求出函数f（x）的值域，以及BCD三个选项的正确与否．【解答】解：当1≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，所以0≤|x﹣|，0≤2|x﹣|≤1，当2＜x≤4时，1＜≤2，故f（）∈[0，1]，2f（）＝[0，2]，以此类推，我们作出函数f（x）的图象，如图，可以总结出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上单调递增，在（3x2m﹣1，2m﹣1]上单调递减，且在[2m，2m+1]上，当x＝3×2m﹣1处取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，函数f（x）的值域为[0，+∞），A正确；当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4，B正确；函数f（x）在x∈[10，12]上单调递增，在x∈（12，16]单调递减，故C错误；因为2021∈（3×29，211]，所以l经过点（2048，0）与（1536，1024），设直线：y＝kx+b，从而得到，解得：y＝﹣2x+4096，所以当x＝2021时，y＝﹣2×2021+4096＝54，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝x ﹣．【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，转化可得所求解析式．【解答】解：函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x＞0时，，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x﹣．故答案为：x﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为∀x∈[，2]，2x2﹣λx+1≥0；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．【分析】命题的否定，存在改为任意．【解答】解：命题P的否定为∀x∈[]，2x2﹣λx+1≥0．因为命题P为真，分离参量得λ＞2x0+，其中，故答案为：．【点评】本题考查了存在量词和全称量词的转换，也考查了存在性问题含参不等式的求解，考查基本功，难度不大．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【分析】根据函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，可得函数值正负的分布情况，等价于或，从而可得出答案．【解答】解：因为函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，则函数y＝f（x+1）关于y轴对称，又函数y＝f（x）是由函数y＝f（x+1）向右平移1个单位得到的，所以函数y＝f（x）关于x＝1对称，因为函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，且f（﹣3）＝0，所以当1≤x＜5时，f（x）＞0，当x＞5时，f（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，由，得或，所以或，解得x＞5或﹣3＜x＜﹣2，即不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为6．【分析】根据，利用基本不等式即可得出答案，注意同时取等号．【解答】解：因为a+b＝2，所以＝＝．当且仅当，即a＝0，b＝2时取等号，所以的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）【分析】（1）a＝1时，求出集合B，由此能求出（∁R A）∩∁R B）；（2）选①可得，由此能求出实数a的取值范围；选②可得，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤0或x≥5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴（∁R A）∩∁R B）＝{x|x＜﹣1或x≥5}；（2）若选①充分，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴，解得a≥2，故a的取值范围为{a|a≥2}；若选②必要，∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴，解得0≤a＜，故a的取值范围为{a|0≤a＜}．【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．【分析】（1）设f（x）的解析式，得到关于a，b的方程，解出即可求出f（x）的解析式；（2）通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝2，则c＝2，又f（x+2）﹣f（x）＝2x+4，则a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x+4，则4ax+4a+2b＝2x+4，则，解得：，故f（x）＝x2+x+2；（2）由f（x）＝x2+x+2，对称轴是x＝﹣1，①m+1≤﹣1即m≤﹣2时，f（x）在[m，m+1]递减，f（x）min＝f（m+1）＝m2+2m+，②m＜﹣1＜m+1即﹣2＜m＜﹣1时，f（x）在[m，﹣1）递减，在（﹣1，m+1]递增，故f（x）min＝f（﹣1）＝；③m≥﹣1时，f（x）在[m，m+1]递增，f（x）min＝f（m）＝m2+m+2；综上：f（x）min＝．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，是中档题．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义可求a的值；（2）根据函数单调性的定义可证明函数f（x）在R上是增函数；（3）根据函数的奇偶性和单调性可得关于x的不等式，根据判断式的符号可求实数的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x）+f（﹣x）＝0，所以x3+x+a+（﹣x）3+（﹣x）+a＝0，可得a＝0．（2）证明：任意x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x13+x1+a﹣（x23+x2+a）＝x13﹣x23+x1﹣x2＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+1）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]，因为x1＜x2，故x1﹣x2＜0，而[（x1+x2）2+x22+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．（3）不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0等价于f（kt2+kt）＜﹣f（kt﹣1），因为f（x）为奇函数，故f（kt2+kt）＜f（﹣kt+1）对任意的t∈R恒成立，因为f（x）在R上是增函数，所以kt2+kt＜﹣kt+1对任意的t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，若k＝0，则不等式﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，故符合；若k≠0，则，解得﹣1＜k＜0，综上，﹣1＜k≤0，即实数k的取值范围（﹣1，0]．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？【分析】（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，代入S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2，化简即可得到结果．（2）利用基本不等式即可求出S的最小值．【解答】解：（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，∴S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2＝38 000+4 000x2+，即S＝38 000+4 000x2+（0＜x＜10）．（2）S＝38 000+4 000x2+≥38 000+2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，S min＝118 000（元）．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域；（2）对a分类讨论，根据x∈（1，2]段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围；（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，则x∈（0，1）时，f（x）∈[1，3]；当x∈（1，2]时，f（x）∈[，1），则f（x）的值域为[，3]，（2）若函数y＝f（x）在定义域上单调，当a＞0时，因在x∈（1，2]上函数单减，则y＝f（x）单调递减，则满足，解得a≥1，当a＝0时，函数无单调性，不符合题意，当a＜0时，因在x∈（1，2]上函数单增，则y＝f（x）单调递增，则满足，解得a≤﹣2，综上所述，若使函数y＝f（x）为定义域上的单调函数，实数a的范围为（﹣∞，2]∪[1，+∞），（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，即f（x）＝，化简得恒成立，当x∈[0，1]时，由＝＝3﹣x+﹣6，令t＝3﹣x∈[2，3]，h（t）＝t+﹣6，由对勾函数单调性知，函数h（t）在t＝2时，取最大值h（2）＝﹣，则a，当x∈（1，2]时，满足，即a≥﹣2，综上所述，f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，实数a的取值范围为[﹣．+∞）．【点评】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．【分析】（1）当a＝1，b＝−2时，结合已知可得f（x）＝x2−x−3＝x，解方程可求；（2）当a＝1，b＝﹣2时，转化为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，进行分离，结合二次函数的性质可求．（3）方程f（x）＝mx恒有两个不等实根，即Δ＞0，即对于任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，转化为，令，再分类讨论即可求解．【解答】解：（1）当a＝1，b＝−2时，f（x）＝x2−x−3，令f（x）＝x，可得x2−x−3＝x，即x2−2x−3＝0，解得x＝3 或x＝−1，当a＝1，b＝−2 时，关于参数1的不动点为﹣1和3；（2）由已知得为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，即x2+（3−m）x+1＝0在x∈（0，2]上有两个不同解，令g（x）＝x2+（3−m）x+1，所以，解得，所以m的范围是（5，]．（3）由题意知，函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，所以方程f（x）＝mx，即ax2+（b+1−m）x+b−1＝0（a≠0）恒有两个不等实根，则Δ＝（b+1−m）2−4a（b−1）＞0，即，对任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，即，即，令，根据二次函数性质，令，则b−1＝|m−2|，解得：b＝|m−2|+1，①当|m−2|+1≤2，即1≤m≤3 时，函数h（b）在[2，5]单调递增，则，解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6，②当2＜|m−2|+1＜5，即m≤−2 或m≥6时，函数h（b）在[2，5]单调递减，则解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6③2＜|m−2|+1＜5，即m∈（−2，1）∪（3，6）时，函数h（b）在[2，5]先减后增，h（b）max＝max{h（5），h（2）}，令h（5）＞h（2），解得：m∈（−4，0），1°故m∈（−2，0）时，h（b）max＝h（5）＞4，结合①得：m∈[0，1）∪（5，6），2°故m∈[0，1）∪（3，6）时，h（b）max＝h（2）＞4，结合②得：m∈[0，1）∪（5，6），综上：m∈（−∞，2）∪（5，+∞）．【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于难题．21。