奥数知识点 巧解12个经典的行程问题
奥数四年级行程问题
第三部分行程问题第一讲行程基础【专题知识点概述】行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。
行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。
行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度⨯时间，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间。
在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。
掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。
在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v（3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度⨯总时间。
【重点难点解析】1.行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1.注意观察运动过程中的不变量【习题精讲】【例1】（难度等级※）邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。
他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。
①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
奥数：行程问题(6题)_非常有用、经典!
奥数：行程问题（6题）例1：某校和某工厂间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来较作报告，往返需用1小时，这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，上车去学校，在下午2点40分到，汽车速度是劳模的几倍解：汽车行驶全程时间是1个小时，现在情况汽车2点出发，2点40分回来，说明汽车行驶40分钟，也就是说走了全程的三分之二。
在不管单位的情况下可列式：车速*20min=三分之二路程（因为往返用了40min，所以单程是20min），人步行的时间是1点走到2点的60min，再加上汽车行驶三分之二路程用的20min，即80min，可列式：人速*80min=三分之一路程。
两式相除车速=8倍人速8倍例2、自行车队出发24分钟后，通信员骑摩托车去追他们。
在距出发点9千米处追上了自行车队。
通信员立即回出发点，然后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。
求自行车队和摩托车的速度。
答案：与例1类似，摩托车24分钟行9千米×2，所以速度为9×2×(60÷24)=45(千米/小时) 摩托车行9千米用12(=24÷2)分钟，比自行车快24分钟，所以自行车36(=12+24)分钟行9千米，速度为9×60÷36=15(千米/小时)例3、刘江骑自行车在一条公共汽车线路上行驶。
线路的起点站和终点站间隔相同的时间发一次车，并且车速都相同。
他发现从背后每隔12分钟开过来一辆汽车，而迎面每隔4分钟有一辆汽车驶来。
问汽车是每隔多少时间发一辆车？答案：由于每隔12分钟，背后开过来一辆车，而每隔4分钟有一辆车迎面驶来，所以每经过12分钟，恰好有两辆车从不同的方向驶过身边，不妨假设一开始就如此。
设相邻两辆车的间隔为1个单位，到开始时，刘江背后的一辆车与刘江相距1个单位，刘江前面的在第三辆车与刘江相距3个单位，经过12分钟，这两辆车从不同方向驶过刘江身边，由于这两辆车之间相距4个单位，车速相等，所以各驶过2个单位，而刘江则走过1个单位，这表明车速是刘江的2倍，于是汽车6(=12÷2)分钟驶过1个单位，即每6分钟发一辆车。
(完整版)小升初奥数行程问题--流水行船
知识点梳理
（一）基本概念 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情 况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 古语：“逆水行舟不进则退”
船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程 。 水速：是指水在单位时间里流过的路程 。 顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
水上追及问题
车辆同向：路程差=速度差×时间
如果两船逆向追赶时，也有：
两船同向：路程差=船速差×时间
甲船逆水速度-乙船逆水速度
推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度
=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）
=甲船速-乙船速。
=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）
=甲船速-乙船速。
结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。
例6.一只小船从A地到B地往返一 次共用2小时，回来时顺水，比 去时的速度每小时多行驶8千米， 因此第二小时比第一小时多行 驶6千米，求AB两地间的距离。
看图解析
水速=（顺-逆）÷2=8÷2=4千米
逆
A
B
每小时多行8千米
顺
第二小时比第一小时多行6千米
解析
顺水比逆水每小时多行驶8千米，可知水流速度每小时4千米，
T逆=9÷（1+5）×5=7.5小时， 8/3× 7.5=20千米 答：甲乙两港相距20km。
例8. 有甲、乙两船，甲船和漂流物 同时从河西向东而行，乙船也同 时从河东向西而行。甲船行4小 时后与漂流物相距100千米，乙 船行12小时后与漂流物相遇， 两船的划速相同，河长多少千米？
船速：（26+16）÷2=21（千米/小时） 水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）
小学奥数知识点趣味学习——行程问题
小学奥数知识点趣味学习——行程问题例1 ：骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前进，骑车人离开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站，这辆电车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停车1分钟．那么需要()分钟，电车追上骑车人。
解析：解答：解：根据题意可得：①追上2100米要用：（2100÷200）=10.5（分钟）．②但电车行10.5分钟要停两站，1×2=2（分钟），③电车停2分钟，骑车人又要前行（300×2）=600米，电车追上这600米要用：（600÷200）=3分钟．所以电车追上骑车人共需10.5+2+3=15.5（分钟）；故答案为：15.5．例2：A、B两地相距10千米，一个班学生45人，由A地去B 地．现有一辆马车，车速是人步行速度的3倍，马车每次可乘坐9人，在A地先将第一批9名学生送往B地，其余学生同时步行向B地前进；车到B地后，立即返回，在途中与步行学生相遇后，再接9名学生送往B地，余下学生继续向B地前进；…；这样多次往返，当全体学生都到达B地时，马车共行了（）千米．解析：我们将学生分成五拨，接第一拨学生到B，马车行10km，这时剩余的36名学生走了；如图：接到第二拨学生的时候马车从B地往A地反向走了，即5km，然后再行5km到达B．接到第三拨学生的时候马车再次从B地往A地走了，即2.5km，然后再行2.5km到达B．同理，接第四拨学生时马车反向走1.25km，到B1.25km．接第五拨学生时马车反向走0.625km，到B0.625km．所以马车总行程为10+5×2+2.5×2+1.25×2+0.625×2=28.75（km）解：菁优网接第一拨学生到B，马车行10km，这时剩余的36名学生走了km；接到第二拨学生的时候马车从B地往A地反向走了，即5km，然后再行5km到达B．接到第三拨学生的时候马车再次从B地往A地走了，即2.5km，然后再行2.5km到达B．同理，接第四拨学生时马车反向走1.25km，到B1.25km．接第五拨学生时马车反向走0.625km，到B0.625km．所以马车总行程为10+5×2+2.5×2+1.25×2+0.625×2=28.75（km）．故答案为：28.75。
小学奥数各年级经典题解题技巧大全——解行程问题的方法
小学奥数各年级经典题解题技巧大全——解行程问题的方法追及问题追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。
由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间速度差=快速-慢速解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
*例1：甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。
他们同时向同一个方向前进。
甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。
几小时后乙能追上甲？（适于高年级程度）解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：10-5=5（千米）再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。
9÷5=1.8（小时）综合算式：9÷（10-5）=9÷5=1.8（小时）答略。
*例2：甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。
乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。
甲几小时才能追上乙？（适于高年级程度）解：甲每小时行：5×1.2=6（千米）甲每小时能追上乙：6-5=1（千米）相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。
6÷1=6（小时）答：甲6小时才能追上乙。
*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。
甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。
二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？（适于高年级程度）解：此题的运动路线是环形的。
求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。
因此，甲追上乙的时间是：400÷（350-250）=400÷100=4（分钟）答略。
奥数行程问题及公式
在郑州小升初考试中，数学试题基本为奥数题目。
其中，行程问题类的奥数题占了很大的分值，尤其是应用题，经常会考到行程问题。
为了帮助同学们掌握行程问题应用题，小编整理了行程问题的学习资料和35道经典练习题和详解如下：1、行程问题：行程问题可以大概分为简单问题、相遇问题、时钟问题等。
2、常用公式：1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度；2）速度和×时间=路程和；3）速度差×时间=路程差。
3、常用比例关系：1）速度相同，时间比等于路程比；2）时间相同，速度比等于路程比；3）路程相同，速度比等于时间的反比。
4、行程问题中的公式：1）顺水速度=静水速度+水流速度；2）逆水速度=静水速度－水流速度。
例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。
设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则回来时的时间为：即回来时用了3.5小时。
评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。
例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。
解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。
答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。
例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。
小学奥数 钟面行程问题 完整版 带解析答案
8、一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：
(1)多少分钟后，时针与分针第一次重合？
(2)再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？
解答：
（1）3点整时，分针落后时针90°，第一次重合时，分针追上了时针，夹角是0°，所以在整个过程中，追及路程是90-0=90°，速度差为：6-0.5=5.5°，所以追及时间：
钟面行程问题
钟表问题是一类特殊的行程问题，掌握钟表问题的相关知识，学会将角度问题转化为环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系．
钟面上，分针每分钟转（ 6 ）度，时针每分钟转（ 0.5 ）度。
例题讲解：
1、有一座时钟现在显示上午10点整，问：
(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？
（90-0）÷（6-0.5）= （分）
（2）重合时，分针和时针夹角时0°，当时针与分针第一次张开成一条直线时，分针领先180°，所以在整个过程中，追及路程是180-0=180°，速度差为：6-0.5=5.5°，所以追及时间：（180-0）÷（6-0.5）= （分）
9、在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？
360÷（6-0.5）= （分）
2、小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？
解答：
6点半时，分针落后时针：15°当时针和分针第一次张开成一条直线时，分针超过时针180°，所以整个过程的追及路程为：180+15=195°，所以追及时间为：
4、下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？
奥数四年级行程问题
第三部份行程问题之马矢奏春创作第一讲行程基础【专题知识点概述】行程问题是一类罕见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常呈现.行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等.行程问题思维灵活性年夜,辐射面广,但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系,即：距离=速度⨯时间,时间=距离÷速度,速度=距离÷时间.在这三个量中,已知两个量,即可求出第三个量.掌握这三个数量关系式,是解决行程问题的关键.在解答行程问题时,经常采用画图分析的方法,根据题意画出线段图,来帮手我们分析、理解题意,从而解决问题.一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量,它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v（3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然,知道其中的两个量就可以求出第三个量.二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度=总路程÷总时间；总时间=总路程÷平均速度；总路程=平均速度⨯总时间.【重点难点解析】1.行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】【习题精讲】【例1】（难度品级※）邮递员早晨7时动身送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路.他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,达到目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【分析与解】法一：先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻.①邮递员达到对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+1012=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的.法二：从整体上考虑,邮递员走了（12+8）千米的上坡路,走了（12+8）千米的下坡路,所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时),邮递员是下午7+1012=5(时) 回到邮局的.．【例2】（难度品级※）甲、乙两地相距100千米.下午3点,一辆马车从甲地动身前往乙地,每小时走10千米；晚上9点,一辆汽车从甲地动身驶向乙地,为了使汽车不比马车晚达到乙地,汽车每小时最少要行驶几多千米？.【分析与解】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时,在汽车动身时,马车已经走了93=6(小时).依题意,汽车必需在106=4小时内达到乙地,其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．【例3】（难度品级※※）小明每天早晨6：50从家动身,7：20到校,老师要求他明天提早6分钟到校.如果小明明天早晨还是6：50从家动身,那么,每分钟必需比往常多走25米才华按老师的要求准时到校.问：小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛预赛题第1题）【分析与解】原来花时间是30分钟,后来提前6分钟,就是路上要花时间为24分钟.这时每分钟必需多走25米,所以总共多走了24×25=600米,而这和30分钟时间里,后6分钟走的路程是一样的,所以原来每分钟走600÷6=100米.总路程就是=100×30=3000米.【例4】（难度品级※）韩雪的家距离学校480米,原计划7点40从家动身8点可到校,现在还是按原时间离开家,不外每分钟比原来多走16米,那么韩雪几点就可到校？【分析与解】原来韩雪到校所用的时间为20分钟,速度为：480÷20=24（米/分）,现在每分钟比原来多走16米,即现在的速度为24+16=40（米/分）,那么现在上学所用的时间为：480÷40=12（分钟）,7点40分从家动身,12分钟后,即7点52分可到学校．【例5】（难度品级※※）王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当达到乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多年夜的速度往回开?【分析与解】假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是106=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开．【例6】（难度品级※※）刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以10千米/时的速度行进,下午1点到；以15千米/时的速度行进,上午11点到.如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进？【分析与解】这道题没有动身时间,没有学校到韩丁家的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.假设有A,B两人同时从学校动身到韩丁家,A每小时行10千米,下午1点到；B每小时行15千米,上午11点到.B到韩丁家时,A距韩丁家还有10×2=20（千米）,这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行1510=5（千米）,所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（1510）=4（时）.由此知,A,B是上午7点动身的,学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到,即想（127=）5时行60千米,刘老师骑车的速度应为60÷（127）=12（千米/时）．【例7】（难度品级※※※）小红上山时每走30分钟休息10分钟,下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍,如果上山用了3时50分,那么下山用了几多时间？【分析与解】上山用了3时50分,即60×3+50=230（分）,由230÷（30+10）=5……30,获得上山休息了5次,走了23010×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分.【例8】（难度品级※※※）老王开汽车从A到B为平地（见右图）,车速是30千米／时；从B到C为上山路,车速是22.5千米／时；从C到D为下山路,车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要几多时间？【分析与解】设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时）,正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）．【例9】（难度品级※※※）汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,达到后立即以48千米/时的速度返回甲地.求该车的平均速度.【分析与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ,在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程,进而就能求出总时间,那么问题就迎刃而解了.在此我们无妨采纳“特殊值”法,这是奥数里面非常重要的一种思想,在很多题目中都有应用.①把甲、乙两地的距离视为1千米,总时间为：1÷72+1÷48,平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/时. ②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便,我们可不成以找到一个比力好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72,48]=144千米,这样计算时间时就好计算一些,平均速度=144×2÷（144÷72+144÷48）=57.6千米/时.【例10】（难度品级※※）如图,从A到B是12千米下坡路,从B到C是8千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是几多?【分析与解】从A到B的时间为：12÷6=2（小时）,从B到C的时间为：8÷4=2（小时）,从C到D的时间为：4÷2=2（小时）,从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时）,总路程为：12+8+4=24（千米）,那么从A到D 的平均速度为：24÷6=4（千米/时）．【例11】（难度品级※※）有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,而且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下DCBA724313513⨯÷=坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒,求他过桥的平均速度.【分析与解】假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米,那么总时间为：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒）,过桥的平均速度为（米/秒）．【例12】（难度品级 ※※※）汽车往返于A,B 两地,去时速度为40千米／时,要想来回的平均速度为48千米／时,回来时的速度应为几多？【分析与解】假设AB 两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时间=480÷48=10（小时）,回来时的速度=240÷（10240÷40）=60（千米/时）．【例13】（难度品级 ※※※）有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,而且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒,求他过桥的平均速度..【分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米,那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒）,过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）【例14】（难度品级 ※※※）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行几多厘米？【分析与解】假设每条边长为200厘米,则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟）,爬行一周的平均（厘米/分钟）.速度=200×3÷19=113119【例15】（难度品级※※※）甲、乙两地相距6千米,某人从甲境地行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了几多分钟？【分析与解】全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是8037.5=42.5分钟．第二讲相遇与追及【专题知识点概述】在今天这节课中,我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解,使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题,其中最罕见的是相遇问题和追及问题.一、相遇甲从A 地到B 地,乙从B 地到A 地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程,如果两人同时动身,那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间.一般地,相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和,即二、追及有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就发生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程乙走的路程=甲的速度×追及时间乙的速度×追及时间=（甲的速度乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即t v S 差差【重点难点解析】1．直线上的相遇与追及2．环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1. 多人屡次相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度品级※）一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是几多千米？【分析与解】（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．【例2】（难度品级※）两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时,各行了几多千米？【分析与解】255÷（45+40）=255÷85=3（小时）.45×3=135（千米）.40×3=120（千米）.．【例3】（难度品级※※）两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行几多分钟两人可以相遇？【分析与解】[3300（82+83）×15]÷（82+83）=[3300165×15]÷165=[33002475]÷165=825÷165=5（分钟）【例4】（难度品级※）甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始动身,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问：乙经过多长时间能追上甲？【分析与解】动身时甲、乙二人相距10千米,以后两人的距离每小时都缩短1510＝5（千米）,即两人的速度的差（简称速度差）,所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（1510）＝10÷5＝2（小时）．【例5】（难度品级※※）]南辕与北辙两位先生对自己的目的地s城的方向各执一词,于是两人都依照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为50千米/时,60千米/时,那么北辙先生动身5小时他们相距几多千米?．【分析与解】两人虽然不是相对而行,可是仍合力完成了路程,（50+60）×5=550（千米）．【例6】（难度品级※※）军事演习中,“我”海军英雄舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰从A岛动身经过几多分钟可射击敌舰?【分析与解】“我”舰追到A岛时,“敌”舰已逃离10分钟了,因此,在A岛时,“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击,即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米600米）即可开炮射击.所以,在这个问题中,无妨把9400看成路程差,根据公式求得追及时间.即（1000×10600）÷（14701000）=（10000600）÷470=9400÷470=20（分钟）,所以,经过20分钟可开炮射击“敌”舰．【例7】（难度品级※※※）小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是几多？【分析与解】小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红、小蓝二人的路程差,小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追及时间,据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,在这个过程中,追及时间为6秒,根据上一个条件,由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差,这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程,路程差就即是4×6=24（米）,也即小蓝在4秒内跑了24米,所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒）,小红的速度为：6+4=10（米/秒）【例8】（难度品级※※※）小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸动身几分钟后追上小明？【分析与解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：28070=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）．【例9】（难度品级※※※）上午8点8分,小明骑自行车从家里动身,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的处所追上了他.然后爸爸立即回家,抵家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分？【分析与解】画一张简单的示意图：图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了84＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.依照这个倍数计算,小明骑8千米,爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上,爸爸少用了8分钟,骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行2416＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分）,爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分.【例10】（难度品级※※）甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米.两车分别从A,B两地同时动身,相向而行,相遇后3时,甲车达到B地.求A,B两地的距离.【分析与解】相遇后甲行驶了40×3=120千米,即相遇前乙行驶了120千米,说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时,则两地相距（40+60）×2=200千米．【例11】（难度品级※※）小红和小强同时从家里动身相向而行.小红每分钟走52米,小强每分钟走70米,二人在途中的A处相遇.若小红提前4分钟动身,但速度不变,小强每分钟走90米,则两人仍在A处相遇.小红和小强的家相距多远?【分析与解】因为小红的速度不变,相遇地址不变,所以小红两次走的时间相同,推知小强第二次比第一次少走4分.由（70×4）÷（9070）=14（分）,推知小强第二次走了14分,第一次走了18分,两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．【例12】（难度品级※※※）甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自继续行驶3小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米．问：甲车达到B地时,乙车还要经过几多时间才华达到A地?【分析与解】由4时两车相遇知,4时两车共行A,B间的一个单程．相遇后又行3时,剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A,B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）.因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米）,所以甲车每时比乙车多行70÷7＝10（千米）,又因为两车每时共行90千米,所以每时甲车行 50千米,乙车行40千米．行一个单程,乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．【例13】（难度品级※※※）甲、乙二人分别从A、B两地同时动身,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离.【分析与解】若设甲、乙二人相遇地址为C,甲追及乙的地址为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D 之间的路程时,所用时间应为：（266）=20（分）.同时,由上图可知,C、D间的路程即是BC加BD.即即是乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50×（26＋6）=1600（米）.所以,甲的速度为1600÷20＝80（米/分）,由此可求出A、B间的距离.50×（26+6）÷（266）=50×32÷20＝80（米/分）（80+50）×6＝130×6=780（米）【例14】（难度品级※※※）小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行4千米.两人同时动身,然后在离甲、乙两地的中点1千米的处所相遇,求甲、乙两地间的距离？【分析与解】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧,为什么？）离中点1千米的处所是A点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多1千米,小王走了两地距离的一半少1千米.从动身到相遇,小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（54）千米,从动身到相遇所用的时间是2÷（54）＝2（小时）.因此,甲、乙两地的距离是（5＋ 4）×2＝18（千米）.【例15】（难度品级※※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进达到目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？【分析与解】画线段示意图(实线暗示甲车行进的路线,虚线暗示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A、B两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即95×3=285（千米）,而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米,可得：95×325=28525=260(千米)．第三讲行程之流水行船【专题知识点概述】通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题,例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时,这里的参考系即是公路,而公路自己是没有速度的,所以我们只需要考虑人自己的速度即可.可是在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0的参考系,因为水自己也是在流动的,所以这里我们必需考虑水流速度对船只速度的影响.一、基本概念顺水速度=船速+水速, 水船顺V V V +=逆水速度=船速水速. 水船逆V V V -=( 其中船V 为船在静水中的速度,水V 为水流的速度)由上可得：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；水速=（顺水速度逆水速度）÷2.二、流水行船中的相遇与追及（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出,它们单元时间靠拢的路程即是甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.（2）同样事理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只与路程差和船速有关,与水速无关.这是因为：甲船顺水速度乙船顺水速度=（甲船速+水速）（乙船速+水速）=甲船速乙船速.也有：甲船逆水速度乙船逆水速度=（甲船速水速）（乙船速水速）=甲船速乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答【重点难点解析】1掌握流水行船的基本概念2掌握流水行船中的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1流水行船中的相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度品级※）一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离?【分析与解】（船速+6）×4=（船速6）×7,可得船速=22,两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米．【例2】（难度品级※）两个码头相距352千米,一船顺流而下,行完全程需要11小时.逆流而上,行完全程需要16小时,求这条河水流速度.【分析与解】（352÷11352÷16）÷2=5（千米/小时）．【例3】（难度品级※）甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时达到,从乙港返回甲港,逆水13小时达到,求船在静水中的速度和水流速度.【分析与解】顺水速度：208÷8=26（千米/小时）,逆水速度：208÷13=16（千米/小时）,船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）,水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）【例4】（难度品级※※）船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时.由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时?【分析与解】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.可是由于暴雨的影响,水速发生变动,要求船逆水而行要几小时,必需要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（180÷10180÷15）÷2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：180÷915=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（155）=18（小时）．【例5】（难度品级※※）甲、乙两艘小游艇, 静水中甲艇每小时行 2.2 千米, 乙艇每小时行 1.4 千米. 现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向动身,甲艇从下游上行, 乙艇从相距18 千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过 4 小时, 甲艇达到乙艇的动身地.问航道上水流速度为每小时几多千米?．【分析与解】18÷(2.2+1.4)=5(小时),所以经过 5 小时后两艇相遇.2.218÷(5+4)=0.2(千米/小时),所以航道上水流速度为每小时0.2 千米．【例6】（难度品级※※）乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路,用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【分析与解】乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）.水流速度：（6030）÷2＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米/小时）.甲船逆水速度：402×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）.甲船返回原地比去时多用时间：123=9（小时）．【例7】（难度品级※※※）甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河相距336千米的两港同时动身相向而行,几小时相遇？如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船？【分析与解】相遇时用的时间：336÷（24+32）=6（小时）,追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336÷（32—24）＝42（小时）【例8】（难度品级※※※）小刚和小强租一条小船,向上游划去,失慎把水壶失落进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要几多时间？【分析与解】此题是水中追及问题,已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只即是水速,所以速度差=船顺水速度水壶飘流的速度=（船速+水速）水速=船速.路程差÷船速=追及时间,2÷4=0.5（小时）．【例9】（难度品级※※※）。
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奥数知识点巧解12个经典的行程问题
奥数（奥林匹克数学）是一种培养学生数学思维、解题能力和创造力
的教育活动。
它旨在通过培养学生的逻辑思维、数学推理和问题解决
能力，提高他们在数学竞赛中的表现。
在奥数中，行程问题是经典的
测试学生逻辑思维和解决问题能力的题型之一。
本文将介绍和巧解12个经典的行程问题，帮助读者更好地理解和应用奥数知识点。
1. 题目一：行程问题的基本概念
在行程问题中，我们需要考虑一个人或物体在不同的时间或空间中的
移动情况。
这种问题常常涉及到距离、速度和时间的关系，要求我们
通过几何、代数或逻辑方法解决问题。
2. 题目二：一维行程问题
一维行程问题是指在一条直线上的行程问题。
一个人以一定的速度从
A点出发，经过一段时间后到达B点，我们需要求出他的速度或时间。
这类问题可以通过建立方程组或使用速度等式来解决。
3. 题目三：二维行程问题
二维行程问题是指在平面上的行程问题。
一个船沿着一条弯曲的河流
行驶，我们需要求出它的行驶距离或时间。
这类问题可以通过建立直
角坐标系或运用三角函数来解决。
4. 题目四：三维行程问题
三维行程问题是指在空间中的行程问题。
一个飞机从一个城市起飞，
经过一段时间后到达另一个城市，我们需要求出它的速度或时间。
这
类问题可以通过建立三维坐标系或使用向量运算来解决。
5. 题目五：往返行程问题
往返行程问题是指一个人或物体在同一条路径上来回行驶的问题。
一
个人从A点出发，以一定的速度到达B点后立即返回，我们需要求出
他的平均速度或往返时间。
这类问题可以通过平均速度公式或总时长
与总距离的关系来解决。
6. 题目六：奇偶性问题
奇偶性问题是指与行程问题中的主题相关的数学性质。
一个人在某段
行程中每隔两分钟花费一块钱，我们需要求出他在若干分钟后所花费
的总金额。
这类问题可以通过观察规律或使用奇偶性性质来解决。
7. 题目七：追及问题
追及问题是指一个追赶另一个的行程问题。
一个人以一定的速度出发，另一个人比他晚一段时间出发，我们需要求出第一个人追上第二个人
的时间。
这类问题可以通过建立方程或使用相对速度来解决。
8. 题目八：集合问题
集合问题是指与行程问题相关的集合运算问题。
一个人在某段时间内访问了几个地方，我们需要求出他访问的地方的数量或交集。
这类问题可以通过建立集合模型或使用容斥原理来解决。
9. 题目九：时间问题
时间问题是指与行程问题中的主题时间相关的问题。
一个人每天在家里走路3分钟到学校，我们需要求出他一年的行走时间。
这类问题可以通过时间单位转换或使用比例关系来解决。
10. 题目十：速度问题
速度问题是指与行程问题中的主题速度相关的问题。
一个人以30公里/小时的速度骑自行车，我们需要求出他在2小时后行驶了多远。
这类问题可以通过速度等式或使用单位换算来解决。
11. 题目十一：加速度问题
加速度问题是指与行程问题中的主题加速度相关的问题。
一个物体开始以1米/秒²的加速度运动，我们需要求出它在5秒后的速度。
这类问题可以通过运用加速度公式或使用运动学方程来解决。
12. 题目十二：组合问题
组合问题是指与行程问题中的主题组合相关的问题。
一个人喜欢用笔记本、手机和书包一起出门，我们需要求出他所有可能的行程组合。
这类问题可以通过使用组合数学或应用排列组合原理来解决。
以上是我给出的12个经典的行程问题，每个题目都包含了不同的奥数知识点。
通过解决这些问题，我们可以培养我们的逻辑思维、数学推理和问题解决能力。
希望这些例子能够帮助你更好地理解并应用奥数知识点。
加油，相信你一定可以掌握它们！
参考文献：
[1] 杨冠宇. 奥林匹克数学导论[M]. 高等教育出版社, 2019.
[2] 刘保新, 祁进. 数学奥赛解题指南[M]. 新华出版社, 2017.。