⎧
1＋x 2，x ≤0，e －x ，x >0，
则⎠⎛13f (x －2)d x ＝( )
A ．3＋ 1
e
B ．2－e C.73－ 1 e
D ．2－
1 e
解析：选C ⎠⎛1
3f (x －2)d x ＝⎠⎛1
2f (x －2)d x ＋⎠⎛2
3f (x －2)d x ＝⎠⎛1
2(x 2－4x ＋5)d x ＋⎠
⎛2
3e
－x ＋2
d x
＝⎣⎡⎦⎤13x 3
－2x 2＋5x |
2
1＋(－e
－x ＋2)|
3
2＝
⎣⎡⎦
⎤⎣⎡⎦⎤13×23－2×22＋5×2－⎣⎡⎦⎤13×13－2×12＋5×1＋[(－e
－3＋2
)－(－e
－2＋2
)]＝73
－1
e ，故选C.
4．(2018·吉林长春调研)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C.13
D ．1
解析：选B 设⎠⎛0
1f (x )d x ＝c ，则f (x )＝x 2＋2c ，所以⎠
⎛0
1f (x )d x ＝1
3x 3
|
1
0＋2cx
|
1
0＝13
＋2c ＝c ，解得c ＝－1
3
，故选B.
5．(2018·山东陵县一中月考)定积分⎠
⎛0
1x －1
3d x 的值为________．
解析：⎠
⎛0
1x －13d x ＝32x
2
3| 10
＝32－0＝3
2
. 答案：3
2
6．(2018·安徽蚌埠摸底)⎠
⎛1－1(|x |＋s in x )d x ＝________.
解析：⎠⎛1－1(|x |＋s in x )d x ＝⎠⎛1－1|x |d x ＋⎠
⎛1－1s in x d x .根据定积分的几何意义可知，函
数y ＝|x |在[－1,1]上的图象与x 轴，直线x ＝－1，x ＝1围成的平面区域的面积为1.y ＝s in x 为奇函数，则⎠⎛1－1s in x d x ＝0，所以⎠
⎛1－1(|x |＋s in x )d x ＝1.
答案：1
对点练(二) 定积分的应用
1．(2018·福建南平期中)两曲线y ＝s in x ，y ＝cos x 与两直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面
区域的面积为( )
解析：选D 作出曲线y ＝s in x ，y ＝cos x 与两直线x ＝0，x ＝π
2 所围成的平面区域，
如图．
根据对称性可知，曲线y ＝s in x ，y ＝cos x 与两直线x ＝0，x ＝π
2 所围成的平面区域的
面积为曲线y ＝s in x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
4所围成的平面区域的面积的两倍，所以S
＝
(cos x －s in x )d x .故选D.
2．(2018·武汉模拟)设变力F(x )(单位：N )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正方向从x ＝
1 m 处运动到x ＝10 m 处，已知F(x )＝x 2＋1且方向和x 轴正方向相同，则变力F(x )对质点M 所做的功为( )
A ．1 J
B ．10 J
C ．342 J
D ．432 J
解析：选C 变力F(x )＝x 2＋1.使质点M 沿x 轴正方向从x ＝1运动到x ＝10所做的功W ＝∫101F(x )d x ＝∫101
(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭
⎫13x 3＋x |
10
1＝342(J)．
3．(2018·广东七校联考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( ) A.329 B ．2－l n 3 C ．4＋l n 3
D ．4－l n 3
解析：选D S ＝⎠⎛113⎣⎡⎦⎤3－1x d x ＋1
2×2×2＝(3x －l n x )| 11
3＋2＝4－
l n 3，故选D.
4．(2018·河南安阳调研)由曲线y ＝2x ，直线y ＝x －3及x 轴所围成的图形的面积为( )
A ．12
B ．24
C ．16
D ．18
解析：选D 曲线y ＝2x ，直线y ＝x －3的交点为(9,6)，由定积分的几何意义可知，曲线y ＝2x 与直线y ＝x －3及x 轴围成的面积为⎠
⎛0
9[2x －(x －3)]d x －1
2×3×3＝
⎝⎛⎭
⎫
43x 32－12x 2＋3x |
9
－92
＝18，故选D.
5.(2018·福建省师大附中等校期中)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1
12
，则a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．－2
解析：选C f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .由题意得f ′(0)＝0，得b ＝0，∴f (x )＝－x 2(x －a )．由
⎠
⎛a
0(x 3
－ax 2
)d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－13a x 3|
a ＝0－a 44
＋a 43
＝
a 412
＝1
12
，得a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0，另一个为a .根据图形可知a <0，即a ＝－1.
6．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )
A.12
g B ．g
