函数的单调性与最值考点和题型归纳

函数的单调性与最值考点和题型归纳

一、基础知识

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征

一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

有关单调区间的两个防范

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

二、常用结论

在公共定义域内：

(1)函数f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )＋g (x )是增函数； (2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；

(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1

f (x )

的单调性相反；

(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．

考点一 确定函数的单调性(区间))

[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1

(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．

[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋2x ＋1，x ≥0，

－x 2

－2x ＋1，x <0

＝⎩⎪⎨⎪⎧

－(x －1)2＋2，x ≥0，

－(x ＋1)2

＋2，x <0.

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)法一：定义法 设－1

f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝

⎛

⎭⎪⎫1＋1x －1，

则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋1x 2－1

＝

a (x 2－x 1)

(x 1－1)(x 2－1).

由于－1

所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；

当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′

(x －1)2 ＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a (x －1)2

.

当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．

[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法

(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．

(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．

(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．

[题组训练]

1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x

－x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1

x 与y ＝－

x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．

2．函数f (x )＝log 1

2(x 2－4)的单调递增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)