必修一函数的单调性题型归纳
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函数的单调性与最值
一、知识点归纳
1、函数单调性的性质：
（1）增函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，
都有，. （2）减函数：如果对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，
. （3）函数的单调性还有以下性质.
1、函数与函数的单调性相反.
2、当恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反.
3、在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等.
4、如果，函数与函数具有相同的单调性.（如果，单调性相反.）
若，则函数与具有相反的单调性. 若，函数与函数具有相同的单调性. （若，单调性相反.） 函数在上具有单调性，则在上具有相反的单调性.
2、复合函数的单调性。
定义：如果函数，则称为的复合函数。
复合函数的单调性的判断：同增异减。
I 12,x x 12x x <()()12f x f x <()()1212
0f x f x x x ->-I 12,x x 12x x <()()12f x f x >()()12120f x f x x x -<-()f x ()f x -()f x ()
1f x ()f x 0k >()kf x ()f x 0k <()0f x ≠()
1f x ()f x ()0f x >()f x ()f x ()0f x <()f x R ()f x -R ()(),,,u g x x A u A y f u =∈∈=()y f g x =⎡⎤⎣⎦x
二、例题精讲
题型一、单调性讨论或证明
定义法证明单调性的等价形式：设，那么
在上是增函数； 在上是减函数. 例1、（不含参）证明：21)(x x f =
在()0,∞-上是增函数.
变式1、判断在上的单调性.
例2、（含参）求函数在区间内的单调性.
例3、（抽象函数）设()y f x =的单增区间是(2,6)，求函数(2)y f x =-的单调区间．
题型二、比较函数值的大小
例4、已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数，试比较)4
3
(f 与)1(2+-a a f 的大小. []1212,,,x x a b x x ∈≠()()()()()()12121212
00f x f x x x f x f x f x x x --->⇔>⇔⎡⎤⎣⎦-[],a b ()()()()()()12121212
00f x f x x x f x f x f x x x ---<⇔<⇔⎡⎤⎣⎦-[],a b ()11x f x x -=
+()1,-+∞()()201ax f x a x
=
>-()1,1-
变式1、已知函数)(x f y =在[)+∞,1上是增函数，比较与的大小.
题型三、已知单调性，求参数范围
例5、已知函数2
()2(1)2f x x a x =+-+.
（1）若)(x f 的减区间是(]4,∞-，求实数a 的值；
（2）若)(x f 在(]4,∞-上单调递减，求实数a 的取值范围.
补充：已知函数在单调递增，则a 的取值范围是_____
例6、若函数⎩
⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在上为增函数，求实数b 的取值范围.
例7、函数2