人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷附答案
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人教版九年级数学上册圆几何综合单元测试卷附答案
一、初三数学圆易错题压轴题(难)
1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)OA,OB分别交⊙O于点D,E,AO的延长线交⊙O于点F,若AB=4AD,求sin∠CFE 的值.
【答案】(1)见解析;(2)
5
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形性质得出OC⊥AB,根据切线的判定得出即可;
(2)连接OC、DC,证△ADC∽△ACF,求出AF=4x,CF=2DC,根据勾股定理求出
DC=35
x,DF=3x,解直角三角形求出sin∠AFC,即可求出答案.
【详解】
(1)证明:连接OC,如图1,
∵OA=OB,AC=BC,
∴OC⊥AB,
∵OC过O,
∴直线AB是⊙O的切线;
(2)解:连接OC、DC,如图2,
∵AB=4AD,
∴设AD=x,则AB=4x,AC=BC=2x,∵DF为直径,
∴∠DCF=90°,
∵OC⊥AB,
∴∠ACO=∠DCF=90°,
∴∠OCF=∠ACD=90°﹣∠DCO,
∵OF=OC,
∴∠AFC=∠OCF,
∴∠ACD=∠AFC,
∵∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACF,
∴
1
22 AC AD DC x
AF AC CF x
====,
∴AF=2AC=4x,FC=2DC,
∵AD=x,
∴DF=4x﹣x=3x,
在Rt△DCF中,(3x)2=DC2+(2DC)2,
解得:DC
=
5
x,
∵OA=OB,AC=BC,∴∠AOC=∠BOC,∴DC EC
=,
∴∠CFE=∠AFC,
∴sin∠CFE=sin∠AFC=DC
DF
=5
35
x
x
=
.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,切线的判定,解直角三角形,圆心角、弧、弦之间的关系,相似三角形的性质和判定的应用,能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键,难度偏大.
2.已知:在△ABC中,AB=6,BC=8,AC=10,O为AB边上的一点,以O为圆心,OA长为半径作圆交AC于D点,过D作⊙O的切线交BC于E.
(1)若O为AB的中点(如图1),则ED与EC的大小关系为:ED EC(填“”“”或“”)(2)若OA<3时(如图2),(1)中的关系是否还成立?为什么?
(3)当⊙O过BC中点时(如图3),求CE长.
【答案】(1)ED=EC;(2)成立;(3)3
【解析】
试题分析:(1)连接OD,根据切线的性质可得∠ODE=90°,则∠CDE+∠ADO=90°,由AB=6,BC=8,AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°,则∠A+∠C=90°,根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO,即可得到∠CDE=∠C,从而证得结论;
(2)证法同(1);
(3)根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.
(1)连接OD
∵DE为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC;
(2)连接OD
∵DE为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC;
(3)CE=3.
考点:圆的综合题
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
3.在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,).(1)求圆心C的坐标.
(2)抛物线y=ax2+bx+c过O,A两点,且顶点在正比例函数y=-的图象上,求抛物线的解析式.
(3)过圆心C作平行于x轴的直线DE,交⊙C于D,E两点,试判断D,E两点是否在(2)中的抛物线上.
(4)若(2)中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足∠APB为钝角,求x0的取值范围.
【答案】(1)圆心C的坐标为(1,);
(2)抛物线的解析式为y=x2﹣x;
(3)点D、E均在抛物线上;
(4)﹣1<x0<0,或2<x0<3.
【解析】
试题分析:(1)如图线段AB是圆C的直径,因为点A、B的坐标已知,根据平行线的性质即可求得点C的坐标;
(2)因为抛物线过点A、O,所以可求得对称轴,即可求得与直线y=﹣x的交点,即是二次函数的顶点坐标,利用顶点式或者一般式,采用待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(3)因为DE∥x轴,且过点C,所以可得D、E的纵坐标为,求得直径AB的长,可得D、E的横坐标,代入解析式即可判断;
(4)因为AB为直径,所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角,所以﹣1<x0<0,或2<x0<3.
试题分析:(1)∵⊙C经过原点O
∴AB为⊙C的直径
∴C为AB的中点
过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH=OB=,OH=OA=1
∴圆心C的坐标为(1,).
(2)∵抛物线过O、A两点,
∴抛物线的对称轴为x=1,
∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上,
∴顶点坐标为(1,﹣).
把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得,