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平面向量的数量积授课教案张辉

授课内容：平面向量的数量积

授课类型：复习课

授课教师：张辉

教学目标：

①通过物理中 "功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理

意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐

标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示

两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面

向量的垂直关系。

教学重点：平面向量数量积的运算

教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处

理命题走向：

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，

此类题难度不大，分值5~9 分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥

曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测 09 年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定

或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考

察向量的运算和性质；

教学过程： 一．知识点梳理

（1）数量积的概念

r

r

r

r

，它们的夹角为

r r ︱·︱ ︱cos 叫

已知两个非零向量 a 与

，则 a · ︱

b

b

b =

a

r r r r 0 ；

做 a 与 b 的数量积（或内积） 。规定 0 a

r

r r r

r

= a b

向量的投影：︱ b ︱ cos

r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影

| a |

的绝对值称为射影；

（2）数量积的几何意义： r r r r r

a ·

b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。 （3）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系： r r r

2

r 2 。

a a a | a |

②乘法公式成立

r r r r r 2 r 2 r a

b

a b a b a r r 2 r 2

r r r 2 r a b

a

2a b b

a

2 r 2

b ；

2r

r r 2

2a b b ；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立： r

r

r r ；

a b b a

对实数的结合律成立：

r r r r

r r R ；

a b

a b a b

分配律成立： r r r r r r r r r r

a b c a c b c c a b 。

r r

r r

x 1 x 2 y 1 y 2

④向量的夹角： cos = cos

a ? b

=

。

a ,b

r

r

x 1 2 y 12

x 2 2

a ? b

y 2

2

当且仅当两个非零向量 r

r

r

r a 与 b 同方向时， θ=00

，当且仅当 a 与 b 反方向时

θ

r

=1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（4）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量 r r r r

a ( x 1, y 1 ),

b (x 2 , y 2 ) ，则 a ·

y 1 y 2 。 b = x 1x 2

r r

r r r r

（5）垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900

则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b 。

两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ b a · b ＝ O

x 1 x 2 y 1 y 2 0 ，平

面向量数量积的性质。

（6）平面内两点间的距离公式

设 a ( x, y) ，则 | a |2x2y 2或 | a |x 2y2。

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，那么 | a | (x1x2 )2( y1y2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)。

二：典例解析

例 1：已知向量a=(cosa,sina),b=(cos,sin )且 a b .那么a+b 与 a-b 的夹角的大小是？

(a b) ?(a b)

分析： cos a b, a b

b ，易得

a b a

(a b) ?(a b) 0

2

例 2：已知a 3, b 2 。

（1）若 a 与 b 的夹角为1500，求2a b

（2）若 a-b 与 a 垂直，求 a 与 b 夹角的大小

分析：通常用一个向量与自身做内积来求它的模，当两个向量互相垂直时它们的内积为0 , 本题主要考察了内积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。

解： 2 a b (2 a b ) 2 4 a 2 4 a ? b b 2

4 a 2

b cos120

0 2

4 a b

因为 a 3, b 2

上式12 4 3 2（- 3

）+4 2 2

r r r r r r r r

例 3．已知a 4,3 ，b1,2 ， m a b , n 2a b ，按下列条件