三元线性方程组的几何解法

三元线性方程组的几何解法
任春丽，王金金
（西安电子科技大学理学院数学系，陕西 西安 710071 ）
线性方程组是线性代数中重要的内容，其解的结构在线性代数课程中已通过向量及矩阵
理论讨论的非常清楚，但在教材中很少提及几何意义．由于三元线性方程表示空间中的平面，因
此，通过平面图形之间的位置关系求解线性方程组，不仅形象、直观，而且为从三维空间抽象的
代数问题推广到n 维空间奠定了基础。

文献[2]
用矩阵的秩判别了空间中平面、直线之间的位置关系；相反的，本文利用空间中平面、直线之间
的位置关系讨论了三元线性方程组解的情况，并举例说明。

1．两个方程的三元线性方程组
设方程组(Ⅰ)： 1111A x B y C z D ++=12222A x B y C z D π++=2
()π⎧⎨
⎩两个平面 讨论：令,,,)(1,2),i i i i i A B C D i α=＝(
12i i i i n A B C i =,,(,)＝()
(1)若1111
122222
//,A B C D A B C D αα===即
，
则12ππ与重合，方程组(Ⅰ)有无穷多解；
(2)若111112122222
////,A B C D n n A B C D αα==≠,即,
则12ππ与平行但不重合，方程组(Ⅰ)无解；
(3)若12//n n ,则12ππ与相交，方程组(Ⅰ)有无穷多解，其解为相交直线上的所有点。

例1 求解下列线性方程组
(1)363823x y z x y z +-=⎧⎨--+=⎩；(2)27
.24x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩
解（1）因为
3638
,1213
-==≠--所以两个平 面平行但不重合，故方程组无解；
(2) 因为12(1,2,1)(2,1,1)(3,1,5)0n n ⨯=-⨯-=≠,所以两个平面相交于直线L, 故方程组有无穷多解。

又点(1,4,2)在L 上，故直线L 的参数方程
为：13,4,25.
x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩即是方程组的通解。

2．三个方程的三元线性方程组 设方程组(Ⅱ)： 1111A x B y C z D ++=1
2222A x B y C z D π++=23
333A x B y C z D π++=3()π⎧⎪
⎨⎪⎩三个平面 讨论：令,,,)(1,23),i i i i i A B C D i α=＝(，
123i i i i n A B C i =,,(,)＝() ，。

(1)若(1,2,3)i i α=中至少有两个平行，则至
少有两个平面重合，其解的讨论同第1目；
(2)若(1,2,3)i n i =中至少有两个平行，但相
应的//()i j i j αα≠，则至少有两个平面平行但不重合，方程组(Ⅱ)无解；
(3)若//()i j n n i j ≠,则三个平面两两相交，方程组(Ⅱ)可能有解，也可能无解。

进一步：求
出12ππ与的交线L 的参数式方程： 00
0,
,.
x x mt y y nt z z pt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩
如果3//L π，但点000(,,)x y z 不在3π上，则方程组(Ⅱ)无解；如果3//L π，且点000(,,)x y z 在3π上，则方程组(Ⅱ)有无穷多解，其解为直线
上的所有点；如果3//L π，则L 与3π相交，方程组(Ⅱ)有唯一解，即L 与3π的交点。

例2 求解线性方程组 1,20,2 6.x y x z x y z -=-⎧⎪
-=⎨⎪++=⎩
解 显然//i j n n ,又12ππ与的交线L 的方向
向量 12(1,1,0)(2,0,1)(1,1,2)s n n =⨯=-⨯-=，
点(2,3,4)在L 上，所以L 的方程： 2,
3,
42.x t y t z t =+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
代入平面3π得： 1t =-，故方程组的解为
(1,2,2)。

例3 设线性方程组3,2,2.x y z x y z x y z λλλλ++=-⎧⎪
++=-⎨⎪++=-⎩
讨
论：λ取何值时方程组无解，有无穷多解，有唯一解？
解 显然1λ=时，三个平面(1,2,3)i i π=重合，方程组有无穷多解；
当1λ≠时，(1,2,3)i i π=互不平行，故两两相交。

设23L ππ与的交线为，则方向向量
(1,,1)(1,1,)(1)(1,1,1)0s λλλλ=⨯=-+--≠。

若1//L π，则1s n ⋅＝0，即2
20λλ＋－＝，
解得2λ=-，1(λ=舍去），这时方程组无解； 若1//L π，则2
20λλ≠＋－，得2λ≠-，
1λ≠，这时方程组有唯一解。

综上讨论:2λ=-时,方程组无解；2λ≠-，1λ≠时，方程组有唯一解；1λ=时，方程组有无穷多解。

3．四个方程的三元线性方程组 设方程组(Ⅲ)：
1111A x B y C z D ++=12222
A x
B y
C z
D π++=23333A x B y C z D π++=34444A x B y C z D π++=4
()π⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩四个平面 讨论：令,,,)(1,23,4),i i i i i A B C D i α=＝(， 1234i i i i n A B C i =,,(,,)＝() ，.
(1)若(1,2,3,4)i i α=中至少有两个平行，则至少有两个平面重合，其解的讨论同第1目或第2目；
(2)若(1,2,3,4)i n i =中至少有两个平行，但相应的//()i j i j αα≠，则至少有两个平面平行，方程组(Ⅲ) 无解；
(3)若//()i j n n i j ≠,则四个平面两两相交。

求出12ππ与的交线1L ，34ππ与的交线2L 。

进一步讨论：
如果12//L L ，但不重合，则方程组(Ⅲ)无解；如果12//L L ，并且重合，则方程组(Ⅲ)有无穷多解，其解为直线上的所有点；如果12//L L ，且两直线共面（即相交），方程组(Ⅲ)有唯一解，否则，两直线异面（即不相交），方程组(Ⅲ)无解。

例4 确定方程组 27,27,3638,20x y z x y z x y z x y z +-=⎧⎪-++=⎪
⎨+-=⎪
⎪--=⎩解的
个数。

解 显然12//ππ,故相交于直线1L ，方向向量 112(3,1,5)s n n =⨯=，并过点(1,5,4)M ；
34//ππ,故相交于直线2L ，方向向量
2343(3,1,5)s n n =⨯=-。

所以12//L L ,又点M
不在2L 上，故方程组无解。

通过文中的讨论及举例看到，三元线性方程组的解实际上是平面的交点或交线。

因此，方程组的解具有直观的几何意义。

考文献
[1]. 俞正光等编. 线性代数与解析几何[M].北京:清华大学出版社.
[2]. 安芹力. 用矩阵的秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系.高等数学研究[J]. 2005(3): 54-55.。