江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷2

体重
50 55 60 65 70 75 频率组距
0．0375
0．0125
S← 1
For I from 1 to 9 step 2 S←S + I End for
Print S
2013年江苏高考数学模拟试卷（二）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 集合},30{R x x x A ∈≤<=，},21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A ．
2. 已知z C ∈，且(z+2)(1+i)=2i,则=z .
3. 在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a .
4. 已知2,
3==b a
. 若3-=⋅b a
，则a 与b 夹角的大小为 .
5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．
6. 右面伪代码的输出结果为 .
7.
cos 103sin 10
1cos 80
+
=-
.
8. 已知函数2
()f x x x =-，若 2
(1)(2)
f m f --<，则实数m 的取值范围是 .
9. 在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径
R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =
cm .
10．若方程ln +2-10=0x x 的解为0x ，则不小于0x 的最小整数是 . 11. 若动直线1=+by ax 过点),(a b A ，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小
圆的面积为 .
12．已知函数4)(x ax x f -=，]1,2
1
[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率
k 总满足
42
1≤≤k ，则实数a 的值是 .
13. 在平行四边形ABCD 中，3
π
=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2, 1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足
|
||||
|||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .
14．椭圆
22
2
1(5
x y
a a
+
=为定值，且5)a >的左焦点为F ，
直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，F A B ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15. （本小题满分14分）已知函数()sin(
)cos sin cos()2
f x x x x x π
π=+--，
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在A B C ∆中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3
BC B π
==,求A C 边的长.
16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥面ABC ，A C B C =，
,,,M N P Q 分别是1111,,,AA BB AB B C 的中点．
（1）求证:平面1PC C ⊥平面M NQ ； （2）求证:1//PC 平 面M NQ .
A 1
A
B
C
P
M
N
Q
B 1
C 1
323
a
a
b
G
F
E
D
C
B
A 教学楼人 行 道草 坪
18
17.（本题满分14分）如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD ，其长为32米，
宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a 米与b 米均不小于2米，且要求“转角处”（图中矩形AEFG ）的面积为8平方米 (1)试用a 表示草坪的面积()a S ，并指出a 的取值范围;
(2)如何设计人行道的宽度a 、b ，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.
32
18． (本小题满分16分) 已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左顶点为A ，左、右焦点分
别为12,F F ，且圆C ：223360x y x y ++--=过2,A F 两点．学科网
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线2PF 的倾斜角为α，直线1PF 的倾斜角为β，当β－α＝2π
3
时，证明：点P 在
一
定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q ，在满足条件（2）的情形下证明：PQ 1PF =+2PF ．
19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：
1a λ=,124,(1)(321),3
n
n n n n a a n b a n +=
+-=--+ 其中λ为实数，n 为正整数．
（1）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）对于给定的实数λ，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（3）设0a b <<，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<成立? 若
存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）已知函数函数()()2
ln 0,1x
f x a x x a a a =+->≠.
（1）当1a >时，求证：()f x 在()0,+∞上单调递增； （2）若函数()1y f x t =--有三个零点，求t 的值；
（3）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，C A 切圆O 于A 点，
ACB ∠的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .
（1）求ADF ∠的度数； （2）若A B A C =，求A C B C
的值.
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值3
λ
=及对应的一个特征向量11e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
并且矩阵M 对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15）求矩阵M .
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在曲线1C ：1cos (sin x y θθθ
=+⎧⎨
=⎩
为参数）
,在曲线1C 求一点，使它到直线2C ：1222(112
x t t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点
D ．（选修４－５：不等式选讲）若+
∈R c b a ,,，求证 ：c
a b
b
c a
a
b c
c
a
b
c
a
b
++≥+
+
2
2
2
O
A B C
D
E
F
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，,E F 分别是棱
,AB BC 上的点，且1EB FB ==．
（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；
（2）试在面A B C D 上确定一点G ，使G 到平面EF D 1距离为1111
．
23. 某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；
（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．。