第3章 误差分析和数据处理
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第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
第三章分析化学中的误差与数据处理
d
1 5
（|0.03|%+|0.01|%+|-0.15|%+|0.17|%+|-0.08|%）
= 0.09%
d
r
0 . 09 % 38 . 01 %
×100% = 0.24%
河北农大化学系 臧晓欢
S
( 0 . 03 %)
2
( 0 . 01 %)
2
( 0 . 15 %) 5 1
河北农大化学系 臧晓欢
三、系统误差与随机误差
系统误差 （Systematic error)—某种固定的因素 造成的误差。 随机误差 （Random error)—不定的因素造成的 误差
过失（Gross error, mistake)
河北农大化学系 臧晓欢
1.系统误差
某些固定的原因造成的误差 特点：a.对分析结果的影响比较恒定；单向性 b.同一条件下，重复测定，重复出现；重现性 c.大小正负可以测定； 可测性 d.用适当方法进行校正或加以消除。 （1）方法误差（Method error）——分析方法本身 不够完善 （反应不完全、终点不一致） 例： 重量分析中沉淀的溶解损失； 滴定分析中指示剂选择不当。
河北农大化学系 臧晓欢
例3-2 测定某亚铁盐中铁的质量分数（%）分别为38.04, 38.02, 37.86, 38.18, 37.93。计算平均值、平均偏差、相 对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差和极差。 解：
x 1 5
（38.04+38.02+37.86+38.18+37.93）%=38.01% d1=38.04%-38.01% = 0.03%; ……. d5=37.93%-38.01% =－0.08%;
误差与数据处理
1、将各数据从小到大排列x1, x2, x3……xn，计
相对偏差 有效数字位数
c.
0.5180 ±0.0001 ±0.02%
4
（3、4）计有算效舍数弃字商的Q运计算=规则0d.（5先/ 1R修8约，后计算±）0.001
±0.2%
3
2、计算可疑值与其相邻值差值的；
第一位数字大于8时，多取一位，如：8.
（一）有效数字 若Q 计 Q表 可疑值应舍去
（三）准确度和精密度的关系
因此，增加测定次数，可以提高平均值精密
（1）概念: 就是在实验中实际测到的数字。 ②相对误差Er = Ea / XT（%）
两者的差别主要是由于系统误差的存在。
如1、E数a＞字0前（，0则不X2计偏,）数高字；后有的0效计入有数效位字数；的记录规则：数值中只有最后一位是
（二）可疑值的取舍
（1）Q-检验法
（3～10次测定适用，且只有一个可疑数据）
1、将各数据从小到大排列x1, x2, x3……xn，计
算极差R； 2、计算可疑值与其相邻值差值的；
3、计算舍弃商 Q计 = d/ R 4、根据n 和P 查Q 值表得 Q表 5、比较 Q表 与 Q 计 ：
若Q 计 Q表 可疑值应舍去 Q 计 < Q表 可疑值应保留
2、乘除法:由有效数字位数最少者为准，即取于
数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反 5、改变单位，不改变有效数字的位数；
记录数据的位数与测定准确度有关。
映测量的精确程度。如： 误差（E）的定义：E = X – XT
X 为测定值
两者的差别主要是由于系统误差的存在。
2、计算可疑值与其相邻值差值的；
结果 绝对偏差 若Q 计 Q表 可疑值应舍去
相对偏差 有效数字位数
c.
0.5180 ±0.0001 ±0.02%
4
（3、4）计有算效舍数弃字商的Q运计算=规则0d.（5先/ 1R修8约，后计算±）0.001
±0.2%
3
2、计算可疑值与其相邻值差值的；
第一位数字大于8时，多取一位，如：8.
（一）有效数字 若Q 计 Q表 可疑值应舍去
（三）准确度和精密度的关系
因此，增加测定次数，可以提高平均值精密
（1）概念: 就是在实验中实际测到的数字。 ②相对误差Er = Ea / XT（%）
两者的差别主要是由于系统误差的存在。
如1、E数a＞字0前（，0则不X2计偏,）数高字；后有的0效计入有数效位字数；的记录规则：数值中只有最后一位是
（二）可疑值的取舍
（1）Q-检验法
（3～10次测定适用，且只有一个可疑数据）
1、将各数据从小到大排列x1, x2, x3……xn，计
算极差R； 2、计算可疑值与其相邻值差值的；
3、计算舍弃商 Q计 = d/ R 4、根据n 和P 查Q 值表得 Q表 5、比较 Q表 与 Q 计 ：
若Q 计 Q表 可疑值应舍去 Q 计 < Q表 可疑值应保留
2、乘除法:由有效数字位数最少者为准，即取于
数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反 5、改变单位，不改变有效数字的位数；
记录数据的位数与测定准确度有关。
映测量的精确程度。如： 误差（E）的定义：E = X – XT
X 为测定值
两者的差别主要是由于系统误差的存在。
2、计算可疑值与其相邻值差值的；
结果 绝对偏差 若Q 计 Q表 可疑值应舍去
分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理
（二）已知样本标准偏差（s） 对于有限次测定，须根据t分布进行统计处理 1. 使用单次测定值
μ = x t p,f s
2. 使用样本平均值
μ = x t p,f s x = x t p,f
t值可通过p90表4-3查得
s n
t分布的意义 真值虽然不知，但可以通过由有限次
测定值计算出一个范围，它将以一定的置
x-μ u= σ
y = Φ(u) = 1 e 2π
u2 2
标准正态分布曲线
【特点】曲线的形状与µ 和σ的大小无关。
三、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所包围的总面积，
表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上
述区间出现的概率总和为100%。
+
-
1 + Φ(u)du = e du = 1 2π -
正态分布曲线
（二）正态分布曲线的讨论
1.测定值的正态分布（x分布）
（1）x = μ时，其概率密度最大，曲线以x=μ
这一点的垂线为对称轴分布。 （2）精密度不同的两组测定值的正态分布曲 线，σ 值较小的相应的曲线陡峭，σ 值较大的曲 线较平坦。(☆)
（3）µ 和σ是正态分布的基本参数，一旦µ和
σ确定后，正态分布曲线的位置和形状就确了，这
二、正态分布
（一）正态分布曲线的数学表达式 测定次数无限增加，其测定值服从正态分布 的规律，其数学表达式为：
1 y = f(x) = e σ 2π (x-μ)2 2σ 2
σ-总体标准偏差，µ -总体平均值，在无系统 误差存在时，µ 就是真值T。y为测定次数无限时，
测定值xi出现的概率密度。 以x横坐标，y纵坐标 作图，得测定值的正态分布曲线。
第3章 分析化学中的误差及数据处理
b：如何确定滴定体积消耗？(滴定的相对误差
小于0.1% )
0～10ml； 20～30ml； 40～50ml
万分之一的分析天平可称准至±0.1mg
常量滴定管可估计到±0.01mL
一般常量分析中，分析结果的精密度以平均相 对偏差来衡量，要求小于0.3%；准确度以相对误差 来表示，要求小于0.3%。
误差传递，每一个测定步骤应控制相对误差更小 如，称量相对误差小于0.1%
使用计算器作连续运算时，过程中可不必对每一步 的计算结果进行修约，但要注意根据准确度要求，正确 保留最后结果的有效数字位数。
四、有效数字在分析化学中的应用
1. 正确地记录数据 2. 正确地选取用量和适当的仪器 3. 正确表示分析结果
问题: 分析煤中含硫量时，称样量为3.5g，甲、乙 两人各测2次，甲报结果为0.042％和0.041％，乙报结 果为0.04201％和0.04199％，谁报的结果合理？
5. 大多数情况下，表示误差或偏差时，结果取一位 有效数字，最多取两位有效数字。
6. 对于组分含量＞10%的，一般要求分析结果保留4 位有效数字；对于组分含量1%～10%的，一般要求分析 结果保留3位有效数字；对于组分含量＜1%的，一般要 求分析结果保留2位有效数字。
7. 为提高计算的准确性，在计算过程中每个数据可 暂时多保留一位有效数字，计算完后再修约。
3）pH，lgK等对数值 有效数字的位数仅取决于小数部分数字（尾数）的位数。
4）不是测量得到的倍数、比率、原子量、化合价、 π、e等可看作无限多位有效数字。
5）不能因为变换单位而改变有效数字的位数。
二、有效数字的修约规则
应保留的有效数字位数确定之后，舍弃多余数字的 过程称为数字修约
修约规则：“四舍六入五成双”
第三章 误差和分析数据的处理汇总
本章目录§3-1 误差及其产生的原因§3-2 测定值的准确度与精密度§3-3 随机误差的正态分布§3-4 有限测量数据的统计处理§3-5 有效数字及其运算规则§3-6 提高分析结果可靠性的方法§3-1 误差及其产生的原因分析结果与真实值之间的差值称为误差。
分析结果大于真实值，误差为正；分析结果小于真实值，误差为负。
根据误差的性质与产生的原因，可将误差分为系统误差和偶然误差两类。
一、系统误差系统误差也叫可测误差，它是定量分析误差的主要来源，对测定结果的准确度有较大影响。
产生原因: 由于分析过程中某些确定的、经常的因素造成的，对分析结果的影响比较固定。
特点: 是具有¡°重现性¡±、¡°单一性¡±和¡°可测性¡±。
即在同一条件下，重复测定时，它会重复出现；使测定结果系统偏高或系统偏低，其数值大小也有一定的规律；如果能找出产生误差的原因，并设法测出其大小，那么系统误差可以通过校正的方法予以减小或消除。
系统误差产生的主要原因(一)方法误差这种误差是由于分析方法本身所造成的。
例如：在重量分析中，沉淀的溶解损失或吸附某些杂质而产生的误差；在滴定分析中，反应进行不完全，干扰离子的影响，滴定终点和等当点的不符合，以及其他副反应的发生等，都会系统地影响测定结果。
(二)仪器误差主要是仪器本身不够准确或未经校准所引起的。
如天平、法码和量器刻度不够准确等，在使用过程中就会使测定结果产生误差。
(三)试剂误差由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质所引起。
(四)操作误差主要是指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与正确控制条件稍有出入而引起的。
例如，使用了缺乏代表性的试样；试样分解不完全或反应的某些条件控制不当等。
与上述情况不同的是，有些误差是由于分析者的主观因素造成的，称之为¡°个人误差¡±例如，在读取滴定剂的体积时，有的人读数偏高，有的人读数偏低；在判断滴定终点颜色时，有的人对某种颜色的变化辨别不够敏锐，偏深或偏浅等所造成的误差。
分析化学第三章 误差与分析数据的处理
2019/5/12
analytical chemistry
13
3、标准偏差(standard deviation, SD):突出较大偏差值的影响
当测定为无限多次时，标准偏差 的数学表达式为
总体标准偏差
n
(xi )2
i 1
n
为无限多次测定的总体平均 值，当测定次数趋向无穷大， 其可看做真值
2
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analytical chemistry
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（三）极值误差法
在分析过程中，当不需要严格定量计算，只需要粗略 估计整个过程可能出现的最大误差时，可用极值误差表示。 极值误差法的计算：
①和、差的极值误差等于各测量植极值误差绝对值的和。 ②积、商的相对极值误差等于各测量值相对极值误差的和。
由某些不确定的偶然因素引起的误差（不可避免！！）
特点： a) 大小、正负不定
决定测量结果的精密度
b) 服从统计学规律
大误差出现的概率小
小误差出现的概率大
绝对值相同的正、负误差出现的概率大致相等
c) 通过增加平行测定次数，可以减小偶然误差，但不能
通过校正的方法消除偶然误差。
产生原因：a）晃动、震动等随机因素；b）估读数
2
xi x
s i1
n 1
相对偏差:
相对平均偏差:
d ％＝ d 100％ x
相对标准偏差: RSD(%) s 100％
x
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（三） 准确度与精密度的关系**
谁才是未来的神枪手？？？
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analytical chemistry
第三章分析化学中的误差与数据处理
2.计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、 物质的量单位等）由标准参考物质证书上给出的数值或有 经验的人用可靠方法多次测定的平均值，确认消除系统误 差；
3.相对真值，认定精度高一个数量级的测量值作为低一级 精度的测量值的真值，这种真值是相对比较而言的（如科 学实验中使用的标准试样及管理试样中组分的含量等）。
随机误差的传递
1.加减法
Y k k a A kb B k c C s k s k s k s
2 Y 2 2 a A 2 2 b B 2 2 c C
2.乘除法
3.指数关系
Y m An
2 2 sY s 2 A n Y2 A2
4.对数关系
Y m lg A
AB Y m C 2 2 2 2 sY s A sB sC 2 2 2 2 Y A B C
滴定剂体积应为20～30mL
Er 0.1% 1%
0.02 mL 0.02 mL
称样质量应大于0.2g
E 0.2 mg 0.2 mg
Er 0.1% 1%
例3：测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。
A. 铁矿中，
xT 62.38%, x 62.32% Ea x xT 0.06%
示 : 1000 (1.0×103 ，1.00×103，1.000 ×103 )。
零的具体作用： *在1.0008中，“0” 是有效数字； *在0.0382中，“0”定位作用，不是有效数字； *在0.0040中，前面3个“0”不是有效数字， 后面一个“0”是有效数字。 *在3600中，一般看成是4位有效数字，但它可能是 2位或3位有效数字，分别写3.6×103，3.60×103或 3.600×103较好。
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
分析化学教案 第3章 分析天平 误差及分析数据处理
第三章分析天平、误差与数据处理天平是定量分析中用来称取物质质量的一种精密仪器。
一般分为普通天平（即托盘天平）和分析天平。
第一节分析天平一天平的工作原理1 机械天平的工作原理杠杆原理:A__________C___________BQ PQ×AC=P×BC若力臂相等，即AC=BC，则Q=P所以m物g = m砝码gm= m砝码物2 电子天平的原理通电导线在磁场中会产生电磁力。
被称物重力向下，电磁力方向向上，二者平衡时，则电流大小与被称物的质量成正比。
mg=F=k×I二分析天平的种类和构造目前无比较完善的、准确的分类方法。
通常按构造特点，分为等臂双盘天平和不等臂单盘天平。
双盘天平又分为阻尼天平和无阻尼天平（摇摆天平）。
按天平的精度，分为“万分之一天平”、“十万分之一天平”、“百万分之一天平”。
1双盘自动分析天平分为部分机械加码（半自动）分析天平和全部机械加码（全自动）分析天平。
主要部件及其作用(参见课本P61、63的图 )(1)横梁上有三个互相平行、并位于同一水平的玛瑙刀口。
中间的一个刀口向下，作为杠杆的支点；两端的刀口向上，承载两个天平盘上的重量。
(2) 立柱支承横梁，上部有一玛瑙平板（刀垫）。
柱上有支架，下部有升降枢钮。
开动枢钮时，支架上升并托住横梁，天平处于休止状态；支架下降时，横梁上玛瑙刀刃落在支承平板上，天平处于工作状态。
(3) 装码装置吊耳盘托：天平休止时，托住天平盘盒式砝码（半自动天平有）(4)空气阻尼盒(5)光学读数装置2 单盘电光天平(略)三天平的灵敏度天平的灵敏度：天平一个盘增加1mg质量所引起的指针偏移的程度。
单位：格/ mg实际中，用“感量”来表示其灵敏度。
是灵敏度的倒数，mg / 格。
天平的灵敏度和三个玛瑙刀口的棱边锋利程度、三个玛瑙平板的光滑程度有关。
刀口越锋利，刀垫越光滑，就越灵敏。
四分析天平的使用基本步骤：检查调零等——进行称量（左物右码，半自动分析天平）——读数——再测天平零点——还原归位。
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射击误差示意图
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
x A | | | |
测量值
x4
是粗大误差
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3.3 系统误差
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3.3.1 削弱系统误差的方法举例 一、概述 系统误差定义：在相同条件下多次测量同一 量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件 改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误 差。 系统误差特点： ① 是一个非随机变量。即系统误差出现不 服从统计规律，而服从确定的函数规律。 ② 重复测量时误差具有重现性。 ③ 可修正性。由于系统误差的重现性，确 定了具有可以修正的特点。
结论：
1、γ
时，γ
实 、 γ 示 定义不同。但当误差值较小
实≈γ 示。 实与γ 示
2 、当误差值较大时， γ 要求进行。
相差较大。
因此在计算时两者不能混用。要严格按规定的
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3.2 误差的来源和分类
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3.2.1 测量误差的来源
一般的测量过程都是条件受限的测量，必
A x 100% AX
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3.1.2 仪表的误差表示法 满度相对误差，也即引用误差。定义为绝
A m 100% Am
（3-1-4）
式中γ m 为满度相对误差， Δ A 为绝对误差，
Am为仪器的满度值。 如果已知仪器的满度相对误差 γ γ m×A m ≤ Δ A m
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3. 粗大误差是指明显超出规定条件下能预期 的误差。产生粗大误差的原因主要有： (1) 测量方法不当或错误。
(2) 测量操作疏忽和失误。
(3) 测量条件的变更。
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
3.2.3 评定测量结果
测量结果常用“准确度”（有些书表述成“正确 度”）、 “精密度”和精确度（有些书表述成“准确 度”）来评定。 准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则 准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。
(1)测量仪器产生噪声，零部件配合不良等。
(2) 温度及电源电压的无规则运动，电磁干扰 等。 (3) 测量人员感觉器官的无规律变化产生的读 数偏差。
现代测试技术第3章误差分析和数据处理 随机误差的这些特性表明其服从统计规律，用数理统 计的方法来表征，若服从正态分布，如下图所示。
(x)
( )
3.1.2 误差基本表示法
1. 绝对误差
设测量值为AX，被测量真值为A0，则绝对误
差Δ X Δ A= AX - A0 （3-1-1）
A0通常用高一等级标准器具的示值A来替 代（也可以是多次测量的最佳估值），这时误 Δ A= AX - A （3-1-2）
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
误差伴随着测量过程的始终，人们只能根
m
，则可以
方便地推算出该仪器最大的绝对误差，
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
练习:
试证明实际相对误差γ 二者差值等于γ 实γ 示 即 γ 并比较
实 实
与示值相对误差γ
。
示
-γ
示
= γ
实γ 示
①A = 99, A0 = 100
②A = 80, A0 = 100 两种情况下γ
实与γ 示的差值。
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
由于测量者的分辨能力、视觉疲劳、固有 习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身 误差。
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（4）环境误差
由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使 用条件不一致所造成的误差称为影响误差。
（5）方法误差和理论误差 由于测量方法不合理造成的误差称为方法 误差。理论误差是用近似的公式或近似值计算 测量结果而引起的误差。 要减小该误差必须选择合适的测量方法。
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替代法 在测量条件不变的情况下，用一个标准已知
量去代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不
变。在这种情况下，被测量就等于标准量的数值。
由于在替代过程中，仪器的状态和示值都不变，
所以仪器的误差和其他造成系统误差的因素对测 量结果基本不产生什么影响。
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产生系统误差的原因主要有以下几种：
(1) 测量仪器的局限性。
(2) 测量时环境条件 ( 如温度、湿度及电源电
压)与仪器使用要求不一致。
(3) 采用近似的测量方法或近似的计算公式。 (4) 测量人员读取仪器示值的偏差。
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2.随机误差
在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的 绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为 随机误差。 产生随机误差的主要原因有：
在测量过程中误差的符号和数值作周期性变 化。例如作圆周扫描的图示仪，由于读数中心和 扫描中心不重合所产生的误差。
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从系统误差产生的原因和特点可以确认：系
统误差是一个非随机量。其出现有一定规律。其
产生的原因一般是可知的，能掌握的。
操作人员应尽力做到：
⑴ 尽可能预见到各种系统误差的具体来源，
替代法测电阻举例
替代法被广泛应用在测量元件参数上，如用谐振法或电桥法测 量电容器的电容和线圈的电感的电感量时，都可辅之以替代法。采 用替代法的优点：可消除对地电容，导线的电容、电感，和电感线 圈的固有电容的影响。
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现代测试技术
Modern testing and measurement technology 苏州科技学院 电子与信息工程学院 电子科学技术系 潘敬熙
Jingxi-pan@ 53832713@
现代测试技术第3章误差分析和数据处理
第3 章
精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示 随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定， 但总是分布在平均值附近。
精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。 精确度越高，表示准确度和精密度都高，意味着系统 误差和随机误差都小。
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(a)
(b)
(c)
测量结果评价： (a) 准确度高、精密度低； (b) 准确度低、精密度高； (c)
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示值——
示值的定义是测量器具指示的被测量的量
值，也称作测量器具的测量值，它包括数值和
单位。
测量就是通过实验手段求出被测量与计算 单位的比值的过程，所以测量结果就包括数字 和计量单位两部分。测量误差就是测量值与真 值之间存在的差异。
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然存在不同程度的误差。测量误差的主要来源
有以下几个方面： （1） 仪器误差 （2 ） （3） 人身误差 （4） 环境误差 （5） 方法误差
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（1）仪器、仪表误差 仪器仪表本身及其附件设计、制造、装配、
鉴定等的不完善以及仪器使用过程元器件的老
化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器
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实际值 ——
实际值是在实际测量中，用高一级标准的 仪器示值来代替真值，通常称为实际值，也叫 相对真值。
标称值 —— 标称值的是指测量器具上标定的数值。由 于制造和测量精度不够以及环境因素的影响， 标称值并不一定等于它的真值或实际值。为此， 在标出测量器具的标称之时，通常还要标出它 的误差范围或准确度等级。
σ
n n 1 1 2 lim ( xi Ex )2 lim i2 n n n n i 1 i 1
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在工程中实际上当n足够大时，定义：
1 n X xi n i 1 1 n 2 ( x X ) i n 1 i 1
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系统误差按其出现的规律分类分为：固定系 统误差和变化系统误差 1、固定系统误差：在重复测量中，误差的符 号和数值都不变的误差。如仪表的刻度不准、分 压器没有调准等原因产生的误差。 2、变化系统误差：按其不同变化规律又分为 三种： ①单方向线性变化的系统误差
②周期性变化的系统误差
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3.2.2 测量误差的分类 虽然多种测量误差产生的原因不尽相同，但按 误差的性质和特点，大致可以划分为三类： 1. 在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对 值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规 律而变化的误差称为系统误差。
系统误差可表示为：
x A0
③变化规律复杂的系统误差
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（1 ）单方向线性变化的系统误差在测量过程 中是以单一方向不断增长或不断减少的误差。
例如用电池做电源的测量仪器，他们的误差 随着电池放电逐渐增大；相反，作为频率标准的 有恒温槽的石英晶体振荡器，它的频率误差随着 恒温时间增长而不断减少。
（2）周期性变化的系统误差
据需要和可能，将其限制在一定范围内而不能
完全加以消除。 在实际测量中，应分析误差产生的原因， 合理选用仪器和测量方法，正确处理数据，使 测量结果尽可能逼近真值。
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如果测量误差是统计独立且不随时间变化的， 则可以用高一等级标准检定出来，在实际测量时 对测量结果加以修正。修正值一般用C表示：
3.1 误差的表示法 3.2 误差的来源和分类 3.3 系统误差 3.4 随机误差 3.5 误差的合成与分配 3.6 测量数据的处理
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3.1 误差的表示法
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