优化设计复习资料有答案

现代设计方法参考书目:1、陈继平. 现代设计方法，华中科技大学出版社。

2、高健. 机械设计优化基础，科学出版社，2007，93、刘惟信. 机械最优化设计，第二版，清华大学出版社。

第一章习题例2 某工厂生产甲乙两种产品。

生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表。

试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。

设每天生产甲产品x1件，乙x2件，利润为f(x1,x2)f(x1,x2)=60x1+120x2每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示：g1(x1,x2)=9x1+4x2g2(x1,x2)=3x1+10x2g3(x1,x2)=4x1+5x2于是上述问题可归结为：求变量x1,x2使函数f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化满足条件g1(x1,x2)=9x1+4x2≤360g2(x1,x2)=3x1+10x2≤300g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200g4(x1,x2)=x1≥0g5(x1,x2)=x2≥0例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最省。

例： 求下列非线性规划优化问题优化设计的迭代算法1、下降迭代算法的基本格式 迭代公式基本原理：从某一初始设计开始，沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代，直到满足设计要求，迭代终止。

k k k SX X k 1α+=+S(k)——第k步的搜索方向，是一个向量； αk ——第k 步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上所取的步长大小。

简单的说：是一个搜索、迭代、逼近的过程。

最关键的是搜索的方向和步长。

迭代算法的基本步骤：1，选定初始点X(0)，令k=0;2、在X(k)处选定下降方向S(k);,3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索，找到X(k+1)=X(k)+αkS(k), 使得f(X(k+1))<f(X(k)); 令k=k+1，转（2）。

例：f (X)=x12+4x22，已知初始点X(0)=[1,1]T ，搜索方向S(o)=[-2,-4]T ，求X(1)=?迭代终止条件：迭代法收敛性1）线性收敛性（2）二次收敛性（3）超线性收敛性终止迭代收敛准则。

第二章2.1 函数的方向导数与梯度一、 函数的方向导数偏导数: 只描述函数沿特殊方向（x, y 轴）的变化情况在许多实际问题中，常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率——引入方向导数的概念。

方向导数定义：设函数f(x1,x2)是点X(0)的某个邻域上的函数，它与x 轴夹角为θ1，与y 轴夹角θ2，设X(1)为S 上另一点，则||X(0)X(1)||=ρ=如果极限存在，则称这个极限为函数f(x1,x2)在点X(0)沿S 的方向导数。

已知F(X)=X21+X22，取 , 则在点处沿S 方向的方向导数数值为（ ）)41(4)21()(4121421122)1()0()0()1(αααααα-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=X f S X X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==171178)1( 369X ααβ**1X X X X k k -=-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2/22/2cos cos 21ααS例题已知函数f(X)=则其在点X=(2，1)T处梯度的模为【】例2-1 求二元函数f(x1, x2)＝x12+x22-4x1-2x2+5 在X0＝[2,2]处函数下降最快的方向。

解：梯度方向是函数变化率最大的方向。

负梯度方向则是函数下降最快的方向。

例2-2 求二元函数f(x1, x2)＝(x1-2)2+(x2-1)2 在点X(1)=[3,2]T和X(2)=[2,2]T的梯度，并作图表示作业：1、求函数f (X)=x12+x22-6x1在点X(1)=[1,1]T, X(2)=[1,2]T, X(3)=[-2,1]T的梯度及其模，并作图表示。

2、求例2-2 求二元函数f(x1, x2)＝x12+x22-4x1-2x2+5 在X0＝[2,2]T 处的海赛二阶泰勒展开式。

二次函数 B 为常数向量；H 为nxn 阶常数矩阵。

XTHX 称为二次型，H 称二次型矩阵。

1）若有XTHX>0，则称矩阵H 是正定的；（2）若有XTHX ≥0，则称矩阵H 是半正定的；（3）若有XTHX<0，则称矩阵H 是负定的；（4）若有XTHX ≤0，则称矩阵H 是半负定的；（5）若有XTHX ＝0，则称矩阵H 是不定的；正定二次函数的性质：1）正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。

椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。

2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。

例：求解等式约束问题的最优解。

解：[][]()52x 4x x x 2x 2x 20022x 2x 212x 2x 201H 212002H 2022x 42x 15222422212222T 220T 00T 0022022022022020210002201111+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--+-∇+≈∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇=+--+=()()()()()()()()()()()()()()(**)(11121X X X X X X X X f X f X f x X f x x X f x x X f x X f X x X f x X f X f X f C X B HX X X f T T ++=21)(1、多元函数F(X)在X*处存在极大值的必要条件是：在X*处的Hessian矩阵（）A．等于零B．大于零C．负定D．正定2、在约束优化问题中，库恩—塔克条件是目标函数存在极值点的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.不必要条件3、多元函数F(X)在点X*附近偏导数连续且H(X*)正定，则该点为F(X)的（）A. 极小值点B. 极大值点 C 鞍点 D 不连续点4、F(X)为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D上的（）A 凸函数B 凹函数C 严格凸函数D 严格凹函数5. 约束极值点的库恩—塔克条件为当约束条件gi(X)≤0(i=1,2,…,m)和λi≥0时，则q应为( )。

A. 等式约束数目B. 不等式约束数目C. 起作用的等式约束数目D. 起作用的不等式约束数目6．对于求minF(X)受约束于gi (x)≤0 (i=1,2,…,m) 的约束优化设计问题，当取λi≥0时，则约束极值点的库恩—塔克（K-T）条件为( )。

第三章例：已知目标函数f(X)=(X1-4)2+(X2-4)2。

由X(0)=[1 1]T为起点，沿S(0)=[2 1]T作一维搜索，求下一个迭代点X(1)。

例题：确定函数f(x)=3x3-4x+2的初始区间。

给定x0=0,h=1.解：x1=x0=0, f1=f(x1)=2 x2=x0+h=1, f2=f(x2)=1f1>f2, 则h=2h=2 x3=x0+h=2f3=f(x3)=18 f2<f3, 则[a b]=[0,2]1、函数F（X）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F（13）<F（16），则缩小后的区间为（）A．[10，16] B．[10，13] C．[13，16] D．[16，20]2、在用0.618法求函数极小值的迭代运算中，a1,b1为搜索区间[a,b]中的两点，函数值分别记为F1,F2。

已知F2>F1。

在下次搜索区间中，应作如下符号置换（）①a1→a b1→a1 F2→F1 ②a→a1 a1→b1 F1→F2③b→b1 b1→a1 F2→F1 ④b1→b a1→b1 F1→F23、例：用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，给定x0=0, h=1, ε=0.2。

解：1）确定初始区间x1=x0=0, f1=f(x1)=2x2=x0+h=0+1=1, f2=f(x2)=1 由于f1>f2, 应在原方向继续向前探测x3= x2+h=1+1=2, f3=f(x3)=18由于f2<f3,可知初始区间已经找到，即[a,b]=[x1,x2]=[0,2]2）用黄金分割法缩小区间第一次缩小区间：x1=0+0.382X(2-0)=0.764, f1=0.282x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72f1<f2, 新区间[a,b]=[a,x2]=[0, 1.236], b-a>0.2第二次缩小区间：令x2=x1=0.764, f2=f1=0.282x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472, f1=0.317由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472, 1.236]因为b-a=1.236-0.472=0.764>0.2, 应继续缩小区间。

第三次缩小区间：令x1=x2=0.764, f1=f2=0.282x2=0.472+0.618X(1.236-0.472)=0.944, f2=0.747由于f1<f2, 故新区间[a,b]=[a, x2]=[0.472, 0.944]因为b-a=0.944-0.472=0.472>0.2, 应继续缩小区间第四次缩小区间：令x2=x1=0.764, f2=f1=0.282x1=0.472+0.382X(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223由于f1<f2, 故新区间[a,b]=[a, x2]=[0.472, 0.764]因为b-a=0.764-0.472=0.292>0.2, 应继续缩小区间。

第五次缩小区间：令x2=x1=0.652, f2=f1=0.223x1=0.472+0.382X(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262由于f1>f2, 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584, 0.764]因为b-a=0.764-0.584=0.18<0.2, 停止迭代。

极小点与极小值：x*=0.5X(0.584+0.764)=0.674, f(x*)=0.2224、F(X)在区间[X1,X3]上为单峰函数，X2为区间中一点，X4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。

如X4-X2>0，且F(X4)>F(X2)，那么为求F(X)的极小值，X4点在下一次搜索区间内将作为（）。