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2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用．【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。

（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为若d=0,则数列{a n }为若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。

2013届高考数学第一轮基础知识点复习教案13

第十三编算法初步、推理与证明、复数§13.1 算法与流程图1.以下对算法的描述正确的有个.①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果. 答案 42.任何一个算法都必须有的基本结构是 . 答案顺序结构3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是（填序号）. ①求点P （-1，3）到直线l :3x -2y +1=0的距离 ②由直角三角形的两条直角边求斜边 ③解不等式ax +b ＞0 (a ≠0) ④计算100个数的平均数答案 ③4.下列4种框图结构中，是直到型循环结构的为（填序号）.答案 ②5.（2008·广东理，9）阅读下面的流程图，若输入m =4，n =3，则输出a = ，i = .（注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“：=”）基础自测答案 12 3例1 已知点P （x 0，y 0）和直线l :Ax +By +C =0，求点P （x 0，y 0）到直线l 的距离d ，写出其算法并画出流程图. 解算法如下：第一步，输入x 0,y 0及直线方程的系数A ，B ，C . 流程图：第二步，计算Z 1←Ax 0+By 0+C . 第三步，计算Z 2←A 2+B 2. 第四步，计算d ←21Z Z .第五步，输出d .例2 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f =⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤)100(85.0)100(6.0100)100(6.0ωωωω其中f (单位：元)为托运费,ω为托运物品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f 的算法，并画出流程图.解算法如下： S1 输入ω;S2 如果ω≤100,那么f ←0.6ω;否则f ←100×0.6+(ω-100)×0.85; S3 输出f . 流程图为：例3 （14分）画出计算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程图.解流程图如下图.14分1.写出求解一个任意二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的最值的算法. 解算法设计如下：第一步，计算m ←ab ac 442-; 第二步，若a ＞0,输出最小值m ; 第三步，若a ＜0，输出最大值m .2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇款额为x 元时，银行收取手续费y 元的过程，画出流程图. 解这是一个实际问题，故应先建立数学模型，y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤<00000010005.500005100,01.01000,1x x x x 由此看出，求手续费时，需先判断x 的范围，故应用选择结构描述.流程图如图所示：3.利用两种循环写出1+2+3+…+100的算法，并画出各自的流程图. 解直到型循环算法：第一步：S ←0；第二步：I←1；第三步：S←S+I；第四步：I←I+1；第五步：如果I不大于100，转第三步；否则，输出S.相应的流程图如图甲所示.当型循环算法如下：S1 令i←1,S←0S2 若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法S3 S←S+iS4 i←i+1，返回S2相应的流程图如图乙所示.一、填空题1.算法：S1 输入n；S2 判断n是否是2,若n=2,则n满足条件，若n＞2,则执行S3；S3 依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是 .答案质数2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构 . 答案选择结构和循环结构3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是 .答案75，21，324.如果执行下面的流程图，那么输出的S = .答案 2 5505.（2009·兴化市板桥高级中学12月月考）如下图的流程图输出的结果为 .答案 1326.如图所示，流程图所进行的求和运算是 .答案 21+41+61+…+2017.（2008·山东理，13）执行下边的流程图，若p =0.8，则输出的n = .（注：框中的赋值符号“←”，也可以写成“=”或“:=”）答案 48.若框图所给的程序运行的结果为S =90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 .答案 k ≤8二、解答题9.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<-)0(52)0(13x x x x ,写出该函数的函数值的算法并画出流程图. 解算法如下：第一步，输入x .第二步，如果x ＜0,那么使f (x )←3x -1;否则f (x )←2-5x .第三步，输出函数值f (x ). 流程图如下：10.写出求过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线的斜率的算法，并画出流程图.解由于当x 1=x 2时，过两点P 1、P 2的直线的斜率不存在，只有当x 1≠x 2时，根据斜率公式 k =1212x x y y --求出，故可设计如下的算法和流程图.算法如下：第一步：输入x 1,y 1,x 2,y 2;第二步：如果x 1=x 2,输出“斜率不存在”，否则，k ←1212x x y y --;第三步：输出k . 相应的流程图如图所示:11.画出求211⨯+321⨯+431⨯+…+100991⨯的值的流程图.解流程图如图所示：12.某企业2007年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图. 解算法设计如下：第一步，n ←0,a ←200,r ←0.05. 第二步，T ←ar (计算年增量). 第三步，a ←a +T （计算年产量）.第四步，如果a ≤300，那么n ←n +1，重复执行第二步. 如果a ＞300,则执行第五步. 第五步，N ←2 007+n . 第六步，输出N . 流程图如下：方法一方法二§13.2 基本算法语句、算法案例1.下面是一个算法的操作说明： ①初始值为n ←0,x ←1,y ←1,z ←0; ②n ←n +1; ③x ←x +2; ④y ←2y ; ⑤z ←z +xy ;⑥如果z ＞7 000,则执行语句⑦；否则回到语句②继续执行； ⑦打印n ,z ; ⑧程序终止.由语句⑦打印出的数值为、 . 答案 8 7 6822.按照下面的算法进行操作： S1 x ←2.35 S2 y ←Int （x ） S3 Print y最后输出的结果是 . 答案 23.读下面的伪代码： Read x If x ＞0 ThenPrint x ElsePrint -x End If这个伪代码表示的算法的功能是 . 答案输入一个数，输出其绝对值4.下面是一个算法的伪代码.如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是 .答案150基础自测5.与下列伪代码对应的数学表达式是 . Read n e ←0 S ←1For I From 1 To n Step 1 S ←S ×I e ←e +1/S End for Print e 答案 S =1+!21+!31+…+!1n例1 设计算法，求用长度为l 的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入l 的值，输出正方形和圆的面积. 解伪代码如下： Read l S 1←(l ×l )/16 S 2←(l ×l )/(4×3.14) Print S 1 Print S 2 End例2 （14分）已知分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+-0,10,00,1x x x x x ，编写伪代码，输入自变量x 的值，输出其相应的函数值，并画出流程图. 解伪代码如下：流程图如图所示：Read x If x ＜0 Then y ←-x +1 ElseIf x =0 Theny ←0 Elsey ←x +1 End If End If Print y End7分例3 编写一组伪代码计算1+21+31+…+00011，并画出相应的流程图. 解伪代码如下： i ←1 S ←0While i ≤1 000 S ←S +1/i i ←i +1 End While Print S End流程图如图所示：1.下面的表述： ①6←p ; ②t ←3×5+2; ③b +3←5;④p ←((3x +2)-4)x +3; ⑤a ←a 3; ⑥x ,y ,z ←5; ⑦ab ←3; ⑧x ←y +2+x .其中正确表述的赋值语句有 . （注：要求把正确的表述的序号全填上）答案 ②④⑤⑧2.某百货公司为了促销，采用打折的优惠办法：每位顾客一次购物①在100元以上者（含100元，下同），按九五折优惠； ②在200元以上者，按九折优惠； ③在300元以上者，按八五折优惠； ④在500元以上者，按八折优惠.试写出算法、画出流程图、伪代码，以求优惠价. 解设购物款为x 元，优惠价为y 元，则优惠付款公式为y =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<500,8.0500300,85.0300200,9.0200100,95.0100,x x x x x x x x x x 算法分析： S1 输入x 的值；S2 如果x ＜100，输出y ←x ,否则转入S3; S3 如果x ＜200,输出y ←0.95x ,否则转入S4; S4 如果x ＜300，输出y ←0.9x ,否则转入S5; S5 如果x ＜500,输出y ←0.85x ,否则转入S6； S6 输出y ←0.8x .3.某玩具厂1996年的生产总值为200万元，如果年生产增长率5%，计算最早在哪一年生产总值超过300万元.试写出伪代码. 解伪代码如下： n ←1 996 p ←1.05 a ←200 While a ≤300a←a×pn←n+1End WhilePrint nEnd一、填空题1.伪代码a←3b←5Print a+b的运行结果是 .答案82.为了在运行下面的伪代码后输出y=16，应输入的整数x的值是 . Read xIf x＜0 Theny←(x+1)2Elsey←1-x2End IfPrint y答案-53.写出下列伪代码的运行结果.图1 图2（1）图1的运行结果为；（2）图2的运行结果为 .答案（1）7 （2）64.以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是 .答案求下列函数当自变量输入值为x 时的函数值f (x ),其中f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<3,13,23,22x x x x x 5.下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为 .答案 2 5006.如图所示，该伪代码表示的作用是 .答案求三个数中最大的数7.如图（1）是某循环流程图的一部分，若改为图（2），则运行过程中I 的值是.答案 18.图中算法执行的循环次数为 .答案 333 二、解答题9.用条件语句描述下面的算法流程图.解 Read x If x ＜0 Theny ←2×x +3 ElseIf x ＞0 Theny ←2×x -5 Elsey ←0 End If End If Print yEnd10.请设计一个问题，使得该问题的算法如已知的伪代码所示.解已知圆O 内有一个边长为a 的圆的内接正方形，求圆的面积比正方形的面积大多少？ 11.有一个算法如下： S1 输入x ; S2 判断x ＞0是：z ←1；否：z ←-1; S3 z ←1+z ; S4 输出z .试写出上述算法的流程图及相应的伪代码. 解12.一个小朋友在一次玩皮球时，偶然发现一个现象：球从某高度落下后，每次都反弹回原高度的31，再落下，再反弹回上次高度的31，如此反复.假设球从100 cm 处落下，那么第10次下落的高度是多少？在第10次落地时共经过多少路程？试用伪代码表示其算法. 解伪代码如图所示：13.3 合情推理与演绎推理1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 . 答案白色2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 . 答案 a n =2n -13.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 33为 . 答案 34.下面使用类比推理恰当的是 .①“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0，则a =b ” ②“(a +b )c =ac +bc ”类推出“c b a +=c a +c b” ③“(a +b ）c =ac +bc ”类推出“c b a +=c a +cb(c ≠0)” ④“（ab ）n=a n b n”类推出“(a +b )n=a n+b n” 答案 ③5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .答案一切奇数都不能被2整除，大前提 2100+1是奇数，小前提所以2100+1不能被2整除.结论基础自测例1 在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=nn a a +22,n ∈N *,猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由.解在{a n }中,a 1=1,a 2=1122a a +=32, a 3=2222a a +=21=42,a 4=3322a a +=52,…, 所以猜想{a n }的通项公式a n =12+n . 这个猜想是正确的. 证明如下:因为a 1=1,a n +1=nna a +22, 所以11+n a =n n a a 22+=n a 1+21,即11+n a -n a 1=21, 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以11a =1为首项,21为公差的等差数列,所以na 1=1+21(n -1)= 21n +21,所以通项公式a n =12+n . 例2 已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则''AA OA +''BB OB +''CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. ''AA OA +''BB OB +''CC OC =ABC OBC S S ∆∆+ABC OCA S S ∆∆+ABC OAB S S ∆∆=ABCABCS S ∆∆=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体V —BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明在四面体V —BCD 中，任取一点O ，连结VO 、DO 、BO 、CO 并延长分别交四个面于E 、F 、G 、H 点. 则VE OE +DF OF +BG OG +CHOH=1. 在四面体O —BCD 与V —BCD 中： VE OE =h h 1=h S hS BCD BCD ∙∙∆∆31311同理有：=VBCD VBC O V V --；BG OG =VCD B VCD O V V --；CH OH =VBD C VBDO V V --， ∴VE OE +DF OF +BG OG +CHOH=BCD V VBD O VCD O VBC O BCD O V V V V V -----+++=BCDV BCDV V V --=1.例3 （14分）已知函数f （x ）=-aa a x +（a ＞0且a ≠1），（1）证明：函数y =f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称；（2）求f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）的值.（1）证明函数f （x ）的定义域为R ，任取一点（x ，y ），它关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称的点的坐标为（1-x ，-1-y ）. 2分由已知得y =-a a a x +,则-1-y =-1+aa a x +=-aa a xx +，3分 f （1-x ）=-aaa x+-1=-aa a a +=-xx a a a a a ∙+∙=-aa a xx +，5分∴-1-y =f （1-x ）.即函数y =f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称.7分（2）解由（1）有-1-f （x ）=f （1-x ），即f （x ）+f （1-x ）=-1.∴f （-2）+f （3）=-1，f （-1）+f （2）=-1， f （0）+f （1）=-1，则f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=-3.14分1.已知f (x )=2)1(1++ax bx (x ≠-a1,a ＞0),且f (1)=log 162,f (-2)=1. （1）求函数f (x )的表达式；（2）已知数列{x n }的项满足x n =［1-f (1)］［1-f (2)］…［1-f (n )］，试求x 1,x 2,x 3,x 4; (3)猜想{x n }的通项. 解（1）把f (1)=log 162=41,f (-2)=1, 代入函数表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++1)21(1241)1(122a b a b ,整理得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-++=+14412124422a a b a a b ，解得⎩⎨⎧==01b a ,于是f (x )=2)1(1+x (x ≠-1).（2）x 1=1-f (1)=1-41=43, x 2=43×⎪⎭⎫ ⎝⎛-911=32,x 3=32×⎪⎭⎫ ⎝⎛-1611=85, x 4=85×⎪⎭⎫ ⎝⎛-2511=53. （3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为43，64，85，106，…，便可猜想x n =)1(22++n n .2.如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则2211N OM N OM S S ∆∆=21OM OM ·21ON ON ；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR 上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.解类似的结论为：222111R Q P O R Q P O V V --=21OP OP ·21OQ OQ ·21OR OR . 这个结论是正确的，证明如下：如图，过R 2作R 2M 2⊥平面P 2OQ 2于M 2，连OM 2. 过R 1在平面OR 2M 2作R 1M 1∥R 2M 2交OM 2于M 1，则R 1M 1⊥平面P 2OQ 2. 由111R Q P O V -=3111OQ P S ∆·R 1M 1 =31·21OP 1·OQ 1·sin ∠P 1OQ 1·R 1M 1 =61OP 1·OQ 1·R 1M 1·sin ∠P 1OQ 1，同理，222R Q P O V -=61OP 2·OQ 2·R 2M 2·sin ∠P 2OQ 2. 所以222111R Q P O R Q P O V V --=22221111M R OQ OP M R OQ OP ∙∙∙∙.由平面几何知识可得2211M R M R =21OR OR .所以222111R Q P O R Q P O V V --=222111OR OQ OP OR OQ OP ∙∙∙∙.所以结论正确. 3.已知函数f （x ）=1212+-xx （x ∈R ），（1）判定函数f （x ）的奇偶性；（2）判定函数f （x ）在R 上的单调性，并证明. 解（1）对∀x ∈R 有-x ∈R ，并且f （-x ）=1212+---x x =x x 2121+-=-1212+-x x =-f （x ），所以f （x ）是奇函数.（2）f (x )在R 上单调递增，证明如下：任取x 1,x 2∈R ，并且x 1＞x 2, f (x 1)-f (x 2)= 121211+-x x -121222+-x x =)12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-x x x x x x=)12)(12()22(22121++-x x .∵x 1＞x 2,∴12x ＞22x ＞0,∴12x -22x ＞0, 12x +1＞0, 22x +1＞0. ∴)12)(12()22(22121++-x x x x ＞0.∴f (x 1)＞f (x 2).∴f (x )在R 上为单调递增函数.一、填空题 1.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .答案m a m b ++＞ab2.已知a 1=1,a n +1＞a n ，且(a n +1-a n )2-2(a n +1+a n )+1=0，猜想a n 的表达式为 . 答案 a n =n 23.已知f (x )=x 2 008+ax2 007-0092xb -8,f (-1)=10,则f (1)= .答案 -244.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”；②“（m +n ）t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”；③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）”；④“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”;⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”；⑥“bc ac =b a ”类比得到“c b c a ∙∙=ba”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 . 答案 25.下列推理是归纳推理的是（填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 ② 6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 . 答案 (5,7)7.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比EB AE =BCAC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图所示），而DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 .答案EB AE =BCDACDS S ∆∆ 8.（2008·金陵中学模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .答案 83a二、解答题9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质.解如图所示，由平行四边形的性质可知AB =DC ，AD =BC ，于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，S ABCD =S1111D C B A ,S 11A ADD =S11B BCC ,S11A ABB =11C CDD ,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.10.已知梯形ABCD 中，AB =DC =AD ，AC 和BD 是它的对角线.用三段论证明：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA . 证明（1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提） ∠BCA 与∠CAD 是平行线AD ，BC 被AC 所截内错角（小前提）所以，∠BCA =∠CAD （结论）（2）等腰三角形两底角相等（大前提）△CAD 是等腰三角形，DA =DC （小前提）所以，∠DCA =∠CAD （结论）（3）等于同一个量的两个量相等（大前提） ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD （小前提）所以，∠BCA =∠DCA （结论）（4）同理，BD 平分∠CBA .11.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF ·EF ·cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. 证明（1）∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .（2）在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有S 211AABB =S 211B BCC +S 211A ACC -2S 11B BCC S 11A ACC cos α. 其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2=PN 2+MN 2-2PN ·MN cos ∠MNP∴PM 2·CC 21=PN 2·CC 21+MN 2·CC 21-2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP ，由于S 11B BCC =PN ·CC 1，S 11A ACC =MN ·CC 1， S 11A ABB =PM ·BB 1=PM ·CC 1，∴S 211AABB =S 211B BCC +S 211A ACC -2S 11B BCC ·S 11A ACC ·cos α. 12.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2222b y a x -=1写出具有类似特性的性质，并加以证明. 解类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222b y a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.设点M 、P 的坐标分别为（m ，n ），（x ，y ），则N （-m ，-n ）. 因为点M （m ,n ）在已知双曲线上，所以n 2=22ab m 2-b 2.同理y 2=22ab x 2-b 2.则k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --=22a b ·2222m x m x --=22a b (定值).§13.4 直接证明与间接证明1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件. 答案充分2.若a ＞b ＞0,则a +b1 b +a 1.(用“＞”,“＜”,“=”填空)答案＞3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）. ①反证法 ②分析法 ③综合法答案 ②4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 . ①假设a 、b 、c 都是偶数 ②假设a 、b 、c 都不是偶数 ③假设a 、b 、c 至多有一个偶数 ④假设a 、b 、c 至多有两个偶数答案 ②5.设a 、b 、c ∈（0，+∞），P =a +b -c ，Q =b +c -a ，R =c +a -b ，则“PQR ＞0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的条基础自测件.答案充要例1 设a ,b ,c ＞0,证明：a c c b b a 222++≥a +b +c . 证明 ∵a ,b ,c ＞0，根据基本不等式，有b a 2+b ≥2a ,cb 2+c ≥2b ,a c 2+a ≥2c .三式相加：b a 2+c b 2+a c 2+a +b +c ≥2(a +b +c ).即b a 2+cb 2+ac 2≥a +b +c .例2 （14分）已知a ＞0,求证： 221a a +-2≥a +a1-2. 证明要证221aa +-2≥a +a1-2, 只要证221a a ++2≥a +a1+2. 2分∵a ＞0,故只要证22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a ≥（a +a 1+2）2,6分即a 2+21a +4221a a ++4≥a 2+2+21a +22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1+2,8分从而只要证2221a a +≥2⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1,10分只要证4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221a a ≥2（a 2+2+21a ）,即a 2+21a ≥2,而该不等式显然成立，故原不等式成立.14分例3 若x ,y 都是正实数，且x +y ＞2, 求证：yx+1＜2与x y +1＜2中至少有一个成立.证明假设yx+1＜2和x y +1＜2都不成立，则有yx+1≥2和x y +1≥2同时成立，因为x ＞0且y ＞0,所以1+x ≥2y ，且1+y ≥2x ，两式相加，得2+x +y ≥2x +2y ，所以x +y ≤2，这与已知条件x +y ＞2相矛盾，因此yx+1＜2与x y +1＜2中至少有一个成立.1.已知a ,b ,c 为互不相等的非负数.求证：a 2+b 2+c 2＞abc (a +b +c ).证明 ∵a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,a 2+c 2≥2ac . 又∵a ,b ,c 为互不相等的非负数， ∴上面三个式子中都不能取“=”， ∴a 2+b 2+c 2＞ab +bc +ac ,∵ab +bc ≥2c ab 2,bc +ac ≥22abc , ab +ac ≥2bc a 2,又a ,b ,c 为互不相等的非负数， ∴ab +bc +ac ＞abc (a +b +c ),∴a 2+b 2+c 2＞abc (a +b +c ).2.已知a ＞0,b ＞0,且a +b =1,试用分析法证明不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425.证明要证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425,只需证ab +abb a 122++≥425，只需证4(ab )2+4(a 2+b 2)-25ab +4≥0, 只需证4(ab )2+8ab -25ab +4≥0, 只需证4(ab )2-17ab +4≥0, 即证ab ≥4或ab ≤41,只需证ab ≤41，而由1=a +b ≥2ab ,∴ab ≤41显然成立，所以原不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425成立.3.已知a 、b 、c ∈（0，1），求证：(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能同时大于41. 证明方法一假设三式同时大于41，即(1-a )b ＞41,(1-b )c ＞41,(1-c )a ＞41, ∵a 、b 、c ∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a )b (1-b )c (1-c )a ＞641. 又(1-a )a ≤221⎪⎭⎫⎝⎛+-a a =41,同理（1-b ）b ≤41,(1-c )c ≤41, ∴(1-a )a (1-b )b (1-c )c ≤641, 这与假设矛盾，故原命题正确. 方法二假设三式同时大于41， ∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0,2)1(b a +-≥b a )1(-＞41=21, 同理2)1(c b +-＞21,2)1(a c +-＞21, 三式相加得23＞23,这是矛盾的，故假设错误， ∴原命题正确.一、填空题1.（2008·南通模拟）用反证法证明“如果a ＞b ,那么3a ＞3b ”假设内容应是 . 答案 3a =3b 或3a ＜3b2.已知a ＞b ＞0，且ab =1,若0＜c ＜1,p =log c 222b a +,q =log c 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ，则p ,q 的大小关系是 .答案 p ＜q3.设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a ,b ∈S ，对于有序元素对(a ,b ),在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应）.若对任意的a ,b ∈S ,有a *(b *a )=b ,则对任意的a ,b ∈S ，下列恒成立的等式的序号是 . ①（a *b ）*a =a ②［a *(b *a )］*(a *b )=a ③b *(b *b )=b④(a *b )*［b *(a *b )］=b答案 ②③④4.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1是三角形，△A 2B 2C 2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）答案锐角钝角5.已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中正确命题的序号是 .答案 ①6.对于任意实数a ,b 定义运算a *b =（a +1）(b +1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a ,b ,c ，有a *(b +c )=(a *b )+(a *c ); ②对于任意实数a ,b ,c ，有a *(b *c )=(a *b )*c ;③对于任意实数a ,有a *0=a ,则以上结论正确的是 .（写出你认为正确的结论的所有序号）答案 ②③ 二、解答题7.已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1=4a n +2（n =1，2，…），a 1=1. （1）设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…)，求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c n =nn a 2(n =1,2,…),求证：数列{c n }是等差数列；（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式. （1）证明 ∵S n +1=4a n +2， ∴S n +2=4a n +1+2，两式相减，得 S n +2-S n +1=4a n +1-4a n (n =1,2,…), 即a n +2=4a n +1-4a n ,变形得a n +2-2a n +1=2(a n +1-2a n ) ∵b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),∴b n +1=2b n . 由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列. （2）证明由S 2=a 1+a 2=4a 1+2，a 1=1. 得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3.故b n =3·2n -1. ∵c n =nn a 2(n =1,2,…),∴c n +1-c n =12+n a -n a 2=122+-nn a a =2n b .将b n =3·2n -1代入得 c n +1-c n =43(n =1,2,…), 由此可知，数列{c n }是公差为43的等差数列，它的首项c 1=21a =21，故c n =43n -41(n =1,2,…).（3）解 ∵c n =43n -41=41(3n -1). ∴a n =2n·c n =(3n -1)·2n -2(n =1,2,…) 当n ≥2时，S n =4a n -1+2=(3n -4)·2n -1+2. 由于S 1=a 1=1也适合于此公式，所以{a n }的前n 项和公式为S n =（3n -4）·2n -1+2.8.设a ,b ,c 为任意三角形三边长，I =a +b +c ,S =ab +bc +ca ,试证：I 2＜4S . 证明由I 2=（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca ) =a 2+b 2+c 2+2S ,∵a ,b ,c 为任意三角形三边长， ∴a ＜b +c ,b ＜c +a ,c ＜a +b ,∴a 2＜a (b +c ),b 2＜b (c +a ),c 2＜c (a +b ) 即(a 2-ab -ac )+(b 2-bc -ba )+(c 2-ca -cb )＜0 ∴a 2+b 2+c 2-2(ab +bc +ca )＜0 ∴a 2+b 2+c 2＜2S ∴a 2+b 2+c 2+2S ＜4S . ∴I 2＜4S .9.已知a ,b ,c 为正实数,a +b +c =1. 求证：（1）a 2+b 2+c 2≥31; (2)23+a + 23+b +23+c ≤6. 证明（1）方法一 a 2+b 2+c 2-31 =31 (3a 2+3b 2+3c 2-1) =31［3a 2+3b 2+3c 2-(a +b +c )2］ =31(3a 2+3b 2+3c 2-a 2-b 2-c 2-2ab -2ac -2bc ) =31［(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31. 方法二 ∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31. 方法三设a =31+α,b =31+β,c =31+γ.∵a +b +c =1,∴α+β+γ=0 ∴a 2+b 2+c 2=（31+α）2+（31+β）2+（31+γ）2=31+32(α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31. (2)∵23+a =1)23(⨯+a ≤2123++a =233+a , 同理23+b ≤233+b ,23+c ≤233+c ∴23+a +23+b +23+c ≤29)(3+++c b a =6∴原不等式成立. 10.已知函数y =a x+12+-x x (a ＞1). （1）证明：函数f (x )在（-1,+∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根. 证明（1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,由于a ＞1, ∴a 12x x -＞1且a 1x ＞0, ∴a 2x -a 1x =a 1x (a 12x x --1)＞0. 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴1222+-x x -1211+-x x =)1)(1()1)(2()1)(2(212112+++--+-x x x x x x=)1)(1()(32112++-x x x x ＞0,于是f (x 2)-f (x 1)=a 2x -a 1x +1222+-x x -1211+-x x ＞0,故函数f (x )在(-1,+∞）上为增函数.（2）方法一假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f (x 0)=0, 则a 0x =-1200+-x x . ∵a ＞1,∴0＜a 0x ＜1, ∴0＜-1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 方法二假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f (x 0)=0, ①若-1＜x 0＜0，则1200+-x x ＜-2,a 0x ＜1, ∴f (x 0)＜-1,与f (x 0)=0矛盾.②若x 0＜-1,则1200+-x x ＞0,a 0x ＞0, ∴f (x 0)＞0,与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.§13.5 数学归纳法1.用数学归纳法证明：“1+a +a 2+…+a n +1=aa n --+112(a ≠1)”在验证n =1时，左端计算所得的项为 . 答案1+a +a 22.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是（填序号）.①P （n ）对n ∈N *成立 ②P (n )对n ＞4且n ∈N *成立 ③P （n ）对n ＜4且n ∈N *成立 ④P （n ）对n ≤4且n ∈N *不成立答案 ④3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=224n n +，则当n =k +1时左端应在n =k 的基础上加上 .答案（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k +1）24.已知f (n )=n 1+ 11+n +21+n + (21)，则下列说法有误的是 .①f (n )中共有n 项，当n =2时，f (2)=21+31②f (n )中共有n +1项，当n =2时，f (2)= 21+31+41 ③f (n )中共有n 2-n 项，当n =2时，f (2)=21+31 ④f (n )中共有n 2-n +1项，当n =2时，f (2)= 21+31+41 答案 ①②③5.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n+y n能被x +y 整除”，在第二步时， .答案假设n =k (k 是正奇数)，证明n =k +2命题成立例2 用数学归纳法证明:基础自测n ∈N *时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-n n =12+n n . 证明（1）当n =1时,左边=311⨯=31, 右边=1121+⨯=31,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当n =k (k ∈N *)时等式成立,即有 311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k =12+k k , 则当n =k +1时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k +)32)(12(1++k k =12+k k +)32)(12(1++k k =)32)(12(13)2(++++k k k k =)32)(12(1322++++k k k k =321++k k =1）1(21+++k k ,所以当n =k +1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n ∈N *等式都成立. 例2 试证：当n 为正整数时，f (n )=32n +2-8n -9能被64整除.证明方法一（1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时， f (k )=32k +2-8k -9能被64整除.由于32(k +1)+2-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+9·8k +9·9-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+64(k +1)即f (k +1)=9f (k )+64(k +1) ∴n =k +1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *，命题都成立. 方法二（1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64，命题显然成立. （2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时，f (k )=32k +2-8k -9能被64整除.由归纳假设，设32k +2-8k -9=64m (m 为大于1的自然数)，将32k +2=64m +8k +9代入到f (k +1)中得f (k +1)=9(64m +8k +9)-8(k +1)-9=64(9m +k +1), ∴n =k +1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *,命题都成立.例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+31）（1+51）…（1+121-n ）＞212+n 均成立.证明（1）当n =2时，左边=1+31=34；右边=25. ∵左边＞右边，∴不等式成立.（2）假设n =k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立，即（1+31）（1+51）…（1+121-k ）＞212+k .则当n =k +1时，（1+31）（1+51）…（1+121-k ）＞]1)1(211[-++k＞212+k ·1222++k k =12222++k k =1224842+++k k k ＞1223842+++k k k =1221232+++k k k =21)1(2++k .∴当n =k +1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n ,不等式都成立.例4 （16分）已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2,a 5是方程x 2-12x +27=0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n =1-n b 21. （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较nb 1与S n +1的大小，并说明理由. 解（1）由已知得⎩⎨⎧==+27125252a a a a ,又∵{a n }的公差大于0，∴a 5＞a 2,∴a 2=3,a 5=9. ∴d =325a a - =339-=2，a 1=1.∴a n =2n -1.2分∵T n =1-21b n ，∴b 1=32，当n ≥2时，T n -1=1-21b n -1, ∴b n =T n -T n -1=1-21b n -(1-21b n-1), 化简，得b n =31b n -1, ∴{b n }是首项为32,公比为31的等比数列，即b n =32·131-⎪⎭⎫⎝⎛n =n32, 4分 ∴a n =2n -1，b n =n32.5分(2)∵S n =2)]12(1[-+n n =n 2,∴S n +1=（n +1）2，n b 1=23n.6分以下比较nb 1与S n +1的大小：当n =1时，11b =23，S 2=4，∴11b ＜S 2,当n =2时，21b =29,S 3=9,∴21b ＜S 3,当n =3时，31b =227,S 4=16,∴31b ＜S 4, 当n =4时，41b =281,S 5=25,∴41b ＞S 5. 猜想：n ≥4时，nb 1＞S n +1.8分下面用数学归纳法证明： ①当n =4时，已证.②假设当n =k (k ∈N *,k ≥4)时，k b 1＞S k +1,即23k ＞(k +1)2.那么n =k +1时，11+k b =231+k =3·23k ＞3(k +1)2=3k 2+6k +3=(k 2+4k +4)+2k 2+2k -1＞［(k +1)+1］2=S (k +1)+1, ∴n =k +1时，nb 1＞S n +1也成立. 11分由①②可知n ∈N *,n ≥4时，nb 1＞S n +1都成立.14分综上所述，当n =1,2,3时，n b 1＜S n +1, 当n ≥4时，nb 1＞S n +1.16分1.用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *,1-21+31-41+…+121-n -n 21=11+n +21+n +…+n 21.证明（1）当n =1时，左边=1-21=21=111+=右边， ∴等式成立.（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时，等式成立，即 1-21+31-41+…+121-k -k 21=11+k +21+k +…+k 21.则当n =k +1时, 1-21+31-41+…+121-k -k 21+121+k -221+k=11+k +21+k +…+k 21+121+k -221+k =111++k +211++k +…+k 21+121+k +(11+k -221+k )=111++k +211++k +…+k 21+121+k +)12(1+k ,即当n =k +1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的n ∈N *等式成立. 2.求证：二项式x 2n-y 2n(n ∈N *)能被x +y 整除. 证明（1）当n =1时，x 2-y 2=(x +y )(x -y ), 能被x +y 整除，命题成立.（2）假设当n =k （k ≥1,k ∈N *）时，x 2k-y 2k能被x +y 整除，那么当n =k +1时， x2k +2-y 2k +2=x 2·x 2k -y 2·y 2k=x 2x 2k-x 2y 2k +x 2y 2k-y 2y 2k =x 2(x 2k-y 2k)+y 2k(x 2-y 2), 显然x2k +2-y2k +2能被x +y 整除，即当n =k +1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n 命题均成立. 3.已知m ,n 为正整数.用数学归纳法证明：当x ＞-1时，(1+x )m≥1+mx . 证明（1）当m =1时，原不等式成立；当m =2时，左边=1+2x +x 2,右边=1+2x , 因为x 2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；（2）假设当m =k (k ≥1,k ∈N *)时，不等式成立，即（1+x ）k≥1+kx ,则当m =k +1时， ∵x ＞-1,∴1+x ＞0.于是在不等式(1+x )k≥1+kx 两边同时乘以1+x 得 (1+x )k·（1+x ）≥(1+kx )(1+x )=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x .所以(1+x )k +1≥1+(k +1)x , 即当m =k +1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m ,不等式都成立. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）. （1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；（2）证明你的猜想，并求出a n 的表达式. （1）解 ∵a n =S n -S n -1（n ≥2） ∴S n =n 2（S n -S n -1），∴S n =122-n n S n -1（n ≥2）∵a 1=1，∴S 1=a 1=1. ∴S 2=34，S 3=23=46，S 4=58，猜想S n =12+n n （n ∈N *）. （2）证明 ①当n =1时，S 1=1成立.②假设n =k （k ≥1,k ∈N *）时，等式成立，即S k =12+k k，当n =k +1时，S k +1=（k +1）2·a k +1=a k +1+S k =a k +1+12+k k， ∴a k +1=()()122++k k ，∴S k +1=（k +1）2·a k +1=()212++k k =()()1112+++k k ， ∴n =k +1时等式也成立，得证.∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立. 又∵a k +1=)1)(2(2++k k ，∴a n =)1(2+n n .一、填空题1.用数学归纳法证明：“11+n +21+n +…+131+n ≥1(n ∈N *)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“ ”. 答案21+31+412.如果命题P （n ）对于n =k (k ∈N *)时成立，则它对n =k +2也成立，又若P （n ）对于n =2时成立，P （n ）对所有 n 成立. ①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④所有大于1的正整数答案 ②3.利用数学归纳法证明不等式1+21+31+…+121-n ＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n =k 变到n =k +1时，左边增加了项. 答案 2k4.用数学归纳法证明“2n＞n 2+1对于n ＞n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取 . 答案 55.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n +1边形的对角线条数f （n +1）= . 答案 f (n )+n -16.证明22+n ＜1+21+31+41+…+n 21＜n +1(n ＞1)，当n =2时，中间式子等于 .答案 1+21+31+417.用数学归纳法证明不等式11+n +21+n +…+n n +1＜2413的过程，由n =k 推导n =k +1时，不等式的左边增加的式子是 . 答案121+k +221+k -11+k 8.用数学归纳法证明1+21+31+…+121-n ＜2 (n ∈N ,且n ＞1)，第一步要证的不等式是 . 答案 1+21+31＜2二、解答题9.用数学归纳法证明： 1+221+231+…+21n ≥123+n n (n ∈N *). 证明（1）当n =1时，左边=1，右边=1， ∴左边≥右边，即命题成立.（2）假设当n =k (k ∈N *,k ≥1)时，命题成立，即1+221+231+…+21k ≥123+k k. 那么当n =k +1时，要证 1+221+231+…+21k +21)(1+k ≥1)1(2)1(3+++k k ,只要证123+k k +21)(1+k ≥32)1(3++k k . ∵32)1(3++k k -123+k k -21)(1+k =]11)(4[1)(1)(-1 222-+++k k k=3)84()1()2(22++++k k k k -k ＜0,∴123+k k +21)(1+k ≥32)1(3++k k 成立，即1+221+231+…+21k +21)(1+k ≥1)1(2)1(3+++k k 成立.∴当n =k +1时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立.10.用数学归纳法证明（3n +1）·7n-1 (n ∈N *)能被9整除. 证明（1）当n =1时，4×7-1=27能被9整除，命题成立. （2）假设n =k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即(3k +1)·7k-1能被9整除. 当n =k +1时，［(3k +3)+1］·7k +1-1=(3k +1+3)·7·7k-1 =7·(3k +1)·7k-1+21·7k=［(3k +1)·7k-1］+18k·7k+6·7k+21·7k=［(3k +1)·7k-1］+18k ·7k+27·7k，由归纳假设(3k +1)·7k-1能被9整除，又因为18k ·7k+27·7k 能被9整除，所以［3(k +1)+1］·7k +1-1能被9整除，即n =k +1时命题成立.由（1）（2）知，对所有的正整数n ，命题成立. 11.数列{a n }满足S n =2n -a n (n ∈N *).(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n ; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. （1）解当n =1时，a 1=S 1=2-a 1,∴a 1=1. 当n =2时，a 1+a 2=S 2=2×2-a 2,∴a 2=23.。

2013届高考数学第一轮复习教案9.

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及其应用一．课标要求：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三．要点精讲1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

2013届高考数学第一轮复习教学案6

盐城市文峰中学美术生高中数学一轮复习教案案§6函数的值域与最值【考点及要求】：会求简单初等函数的值域与最值.【基础知识】：1.函数c y =的值域为：,函数()0≠+=k b kx y 的值域为：.2.函数()0≠=k xk y 的值域为：. 3.二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的值域为：___________；二次函数)0(2<++=a c bx ax y 的值域为：___________.4.函数)1,0(≠>=a a a y x 且的值域为：___________.5.函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的值域为：___________.6.函数x y sin =的值域为：, 函数x y cos =的值域为：,函数x y tan =的值域为：.【基本训练】： 1.{}5,3,1,22∈+=x x y 的值域为. 2.函数x x y 212--=的值域为.3.函数xx y 4+=的值域为. 4.函数()322+-=x x x f ,()3,0∈x 的值域为.5.函数()()1log 221+=x x f 的值域为. 6.函数132sin 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y 的最小值为. 7.函数[)+∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=,0,21x y x 的值域为. 【典型例题讲练】例1.已知二次函数122-=x y 在区间[]b a ,上有最小值-1，则实数a 的取值范围为 ___________，b 的取值范围____________.练习.已知函数x x x f 8)(2+-=，求)(x f 在区间[]1,+t t 上的最大值)(t g .例2.若函数()lg(42)xf x k =-⋅在(],2-∞上有意义，求实数k 的取值范围.练习.设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)若2=a ，求()f x 的最小值.【课堂小结】【课堂检测】【课后作业】。

高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （3）反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二函数概念与基本初等函数
一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

2013届高考数学第一轮复习教案21

2013年普通高考数学科一轮复习精品教案第8讲空间几何体一．课标要求：1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；二．命题走向近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。

因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。

培养好空间想能力。

预测2013年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。

三．要点精讲1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

2013届高考数学第一轮复习教案8

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。

二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。

1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

预测2013年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。

三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。

这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。

即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。

如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。

2013届高考数学第一轮专项复习教案20

9.6空间向量及其运算（B）●知识梳理空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.a·b=|a||b|cos〈a，b〉.a2=|a|2.a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=x a+y b.a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=x a+y b+z c.●点击双基1.在以下四个式子中正确的有a+b·c，a·（b·c），a（b·c），|a·b|=|a||b|A.1个B.2个C.3个D.0个解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a（b·c）正确.答案：A2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量BA'、DA'、BD是A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量'=BD，解析：∵DB'A'－BA'=D∴BA'、BD共面.A'、D答案：C4.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.答案：45°5.已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________.解析：∵EF=EA+AB+BF，又EF=EC+CD+DF，两式相加，得2EF=（EA+EC）+（AB+CD）+（BF+DF）.∵E是AC的中点，故EA+EC=0.同理，BF+DF=0.∴2EF=AB+CD=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴EF=3a+3b－5c.答案：3a+3b－5c●典例剖析【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=x OB+y OC+z OD.剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理.解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得OA=OB+x1BC+y1BD=OB+x1（OC－OB）+y1（OD－OB）=（1－x1－y1）OB+x1OC+y1OD，取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1，则有OA=x OB+y OC+z OD，且x+y+z=1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.【例2】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.解：如下图，因为∠ACD=90°，所以AC·CD=0.同理，BA·AC=0.因为AB与CD成60°角，所以〈BA，CD〉=60°或120°.因为BD=BA＋AC＋CD，所以BD2=BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD=BA2＋AC2＋4（〈BA，CD〉=60°），CD2＋2BA·CD=3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉=2（〈BA，CD〉=120°）.所以｜BD｜=2或2，即B、D间的距离为2或2.【例3】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD 1⊥平面ACB 1；（2）BE =21ED 1.证明：（1）我们先证明BD 1⊥AC . ∵1BD =BC +CD +1DD ，AC =AB +BC ，∴1BD ·AC =（BC +CD +1DD ）·（AB +BC ）=BC ·BC +CD ·AB =BC ·BC －AB ·AB =|BC |2－|AB |2=1－1=0.∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1. （2）设底面正方形的对角线AC 、BD 交于点M ，则BM =21BD =2111D B ，即2BM =11D B .对于空间任意一点O ，设OB =b ，OM =m ，1OB =b 1，1OD =d 1，则上述等式可改写成2（m －b ）=d 1－b 1或b 1+2m =d 1+2b .记2121++m b =2121++bd =e .此即表明，由e 向量所对应的点E 分线段B 1M 及D 1B 各成λ（λ=2）之比，所以点E 既在线段B 1M （B 1M ⊂面ACB 1）上又在线段D 1B 上，所以点E 是D 1B 与平面ACB 1之交点，此交点E 将D 1B 分成2与1之比，即D 1E ∶EB =2∶1.∴BE =21ED 1.思考讨论利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.●闯关训练夯实基础1.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，A A 1= c ，则下列式子中与M B 1相等的是A.－21a +21b +c B.21a +21b +cC.21a －21b +cD.－21a －21b +c 解析：M B 1=B B 1+BM =B B 1+21（BA +BC ）=A A 1－2111B A +2111D A =c －21a +21b ，故选A. 答案：A2.O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA 、OB 、OC 为空间的一个基底，则 A.O 、A 、B 、C 四点不共线 B.O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C.O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线D.O 、A 、B 、C 四点不共面解析：由基底意义，OA 、OB 、OC 三个向量不共面，但A 、B 、C 三种情形都有可能使OA 、OB 、OC 共面.只有D 才能使这三个向量不共面，故应选D.答案：D3.已知a +3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉=_____________. 解析：由条件知（a +3b ）·（7a －5b ）=7|a |2－15|b |2+16a ·b =0，及（a －4b ）·（7a －2b ）=7|a |2+8|b |2－30a ·b =0.两式相减得46a ·b =23|b |2，∴a ·b =21|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |=|b |.∴cos 〈a ，b 〉=||||b a b a ⋅=22||21||b b =21. ∴〈a ，b 〉=60°.答案：60°4.试用向量证明三垂线定理及其逆定理.已知：如下图，PO 、PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在α内的射影，a α，求证：a ⊥PA ⇔a ⊥OA.证明：设直线a 上非零向量a ，要证a ⊥PA ⇔a ⊥OA ，即证a ·AP =0⇔a ·AO =0. ∵aα，a ·OP =0，∴a ·AP =a ·（AO +OP ）=a ·AO +a ·OP =a ·AO .∴a ·AP =0⇔a ·AO =0，即a ⊥PA ⇔a ⊥OA .评述：向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具.在应用过程中，常需要通过加、减法对向量进行转换，当然，转换的方向是有利于计算向量的数量积.5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证：AB 1=A 1C .证明：∵C A 1=)()(,,11111111111CC BC C C C A BC C A CC BC C C C A +⋅+=⋅++=11C A ·,021=-C C BC∴AB =AC .又A 1A =B 1B ，∴A 1C =AB 1.评述：本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.培养能力6.沿着正四面体OABC 的三条棱OA 、OB 、OC 的方向有大小等于1、2、3的三个力f 1、f 2、f 3.试求此三个力的合力f .解：用a 、b 、c 分别代表棱OA 、OB 、OC 上的三个单位向量，则f 1=a ，f 2=2b ，f 3=3c ，则f =f 1+f 2+f 3=a +2b +3c ，∴|f |2=（a +2b +3c ）·（a +2b +3c ）=|a |2+4|b |2+9|c |2+4a ·b +6a ·c +12b ·c =1+4+9+4|a ||b |cos 〈a ，b 〉+6|a ||c |cos 〈a ，c 〉+12|b ||c |cos 〈b ，c 〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25. ∴|f |=5，即所求合力的大小为5，且cos 〈f ，a 〉=|a ||f |a f ⋅=532|2c a b a a ⋅+⋅+|=52311++=107. 同理，可得cos 〈f ，b 〉=54，cos 〈f ，c 〉=109. 7.在空间四边形ABCD 中，求证：AB ·CD +AC ·DB +AD ·BC =0.证法一：把AB 拆成AC +CB 后重组，AB ·CD +AC ·DB +AD ·BC =（AC +CB ）·CD +AC ·DB +AD ·BC =AC ·CD +CB ·CD +AC ·DB +AD ·BC =AC ·（CD +DB ）+CB ·（CD +DA ）=AC ·CB +CB ·CA =CB ·（AC +CA ）=CB ·0=0. 证法二：如下图，设a =DA ，b =DB ，c =DC ，则AB ·CD +AC ·DB +AD ·BC =（b －a ）·（－c ）+（c －a ）·b +（－a ）·（c －b ）=－b ·c +a ·c +c ·b －a ·b －a ·c +a ·b =0.评述：把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变.证法一中体现了向量的拆分重组技巧，要求较高；证法二设定三个向量为基底，而原式中所有向量化归为关于a 、b 、c 的式子，化简时的思路方向较清楚.探究创新8.（2004年全国Ⅰ，理20）如下图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.（1）解：如下图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE .∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB .∵PA =PD ，∴OA =OD .于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD .由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，∴∠PEB =120°，∠PEO =60°.由已知可求得PE =3，∴PO =PE ·sin60°=3×23=23，即点P 到平面ABCD 的距离为23.（2）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA .P （0，0，23），B （0，233，0），PB 中点G 的坐标为（0，433，43），连结AG .又知A （1，23，0），C （－2，233，0）. 由此得到GA =（1，－43，－43），PB =（0，233，－23），BC =（－2，0，0）. 于是有GA ·PB =0，BC ·PB =0，∴GA ⊥PB ，BC ⊥PB .GA ，BC 的夹角θ等于所求二面角的平面角. 于是cos θ=－772， ∴所求二面角的大小为π－arccos772. 解法二：如下图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG∥BC ，FG =21BC .∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB .∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE =BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG =60°. 在Rt △PEG 中，EG =PE ·cos60°=23，在Rt △GAE 中，AE =21AD =1，于是tan ∠GAE =AE EG =23. 又∠AGF =π－∠GAE ， ∴所求二面角的大小为π－arctan23. ●思悟小结1.若表示向量a 1，a 2，…，a n 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =0.2.应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算.●教师下载中心教学点睛1.要使学生正确理解空间向量的加法法则、减法法则以及空间向量的数量积，掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件.2.空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的.拓展题例【例1】下列命题中不正确的命题个数是①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC +CD +DA =0②|a |－|b |=|a +b |是a 、b 共线的充要条件③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面A.1B.2C.3D.4解析：易知只有①是正确的，对于④，若O 平面ABC ，则OA 、OB 、OC 不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面.答案：C 【例2】A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD =4，试求MN 的长.解：连结AM 并延长与BC 相交于E ，连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别是BC 及CD 的中点.现在MN =AN －AM =32AF －32AE =32（AF －AE ）=32EF =32（CF －CE ）=32（21CD －21CB ）=31（CD －CB ）=31BD . ∴MN =|MN |=31|BD |=31BD =34.说明：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化.【例3】设A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别是异面直线l 1、l 2上的三点，而M 、N 、P 、Q 分别是线段AA 1、BA 1、BB 1、CC 1的中点.求证：M 、N 、P 、Q 四点共面.证明：NM =21BA ，NP =2111B A ，∴BA =2NM ，11B A =2NP .又∵PQ =21（BC +11C B ），（*）A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别共线， ∴BC =λBA =2NM ，11C B =ω11B A =2ωNP .代入（*）式得PQ =21（2λNM +2ωNP ）=λNM +ωNP ，∴PQ 、NM 、NP 共面.∴M 、N 、P 、Q 四点共面.。

2013届高考数学第一轮例题专项复习教案12

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α等于( )A.35B.45C.34D.43答案：B2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522 m解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案：A3． E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( ) A.1627 B.23 C.33D.34解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECFcos ∠ECF＝1－45245＝34.答案：D4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10，或h ＝－5(舍)．答案：C6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时)．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________ m.解析：轴截面如图，则光源高度h ＝15tan60°＝53(m)．答案：5 38．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin30°＝233h sin45°，故h ＝30.答案：309．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点B ，则B 与D 之间的距离为________米．解析：如图，设BD ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x cos60°， ∴x 2－10x －96＝0， ∴(x －16)(x ＋6)＝0， ∴x ＝16或x ＝－6(舍)．答案：16三、解答题(共3小题，满分35分)10．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理得，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114. 11．以40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1 000米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．解：如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处．由题知，BD ＝1 000米，AC ＝2千米，∵∠BCD ＝30°， ∴BC ＝3千米，设AB ＝x 千米，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x 2－2×2x cos60°＝(3)2， ∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为1120＝20 km/h.12．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∴∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OPsin ∠PCO＝CPsin θ，∴2sin120°＝CPsin θ，所以CP ＝43sin θ.又OC－θ＝2sin120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ·OC sin120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ(32cos θ－12sin θ)＝23[cos(2θ－60°)－12]，θ∈(0°，60°)．所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33.。

高考数学第一轮复习教案导数精选

高考数学第一轮复习教案导数复习目标1. 了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的根底上抽象出变化率的概念.2熟记根本导数公式,掌握两个函数四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大〔小〕值的问题,掌握导数的根本应用.3. 了解函数的和、差、积的求导法那么的推导,掌握两个函数的商的求导法那么.能正确运用函数的和、差、积的求导法那么及已有的导数公式求某些简单函数的导数^4. 了解复合函数的概念.会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法那么,并会用法那么解决一些简单问题 .三、根底知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具.在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面：1 .导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法精确细微〕；〔2〕同几何中切线联系〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便〕等关于n次多项式的导数问题属于较难类型.2 .关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便^3 .导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合水平的一个方向,应引起注意.4 .瞬时速度物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻〔或某一位置〕的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.5 .导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法那么与某些导数公式时,都是以此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点：(1) Ax是自变量x在X o处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果△ x-O 时,—y有极限,那么函数y=f(x)在点x0处x可导或可微,才能得到f(x)在点x0处的导数.(3)如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续,但不可导.由导数定义求导数,是求导数的根本方法,必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量y f(x0x) f(x0);(2)求平均变化率一y ——x)—f-(x^)；(3)取极限,得导数f'(x0) lim —y .x x x 0 x6 .导数的几何意义函数y=f(x)在点x o处的导数,就是曲线y=(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率.由此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：⑴求出函数y=f(x)在点x o处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率；(2)在切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y y o f'(x o)(x x o)特别地,如果曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线平行于y轴,这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为x x o7 .导数与函数的单调性的关系㈠f (x) o与f(x)为增函数的关系.3f (x) 0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x) x在(,)上单调递增,但f (x) 0, f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件.㈡f (x) 0 时, f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.假设将f (x) 0的根作为分界点,由于规定 f (x) 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增函数,就一定有f (x) 0.,当f (x) 0时,f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件.㈢f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.f(x) 为增函数,一定可以推出 f (x) 0,但反之不一定,由于 f (x) 0,即为f (x) 0或f (x) 0 .当函数在某个区间内恒有 f (x) 0,那么f(x)为常数,函数不具有单调性..•. f (x) 0是f (x)为增函数的必要不充分条件.㈣单调区间的求解过程y f (x)( 1)分析y f (x) 的定义域；( 2)求导数y f (x)( 3)解不等式 f (x) 0,解集在定义域内的局部为增区间( 4)解不等式 f (x) 0 ,解集在定义域内的局部为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性. 以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数y f (x) 在某个区间内可导.㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增,在(b,c)单调递增,又知函数在f(x) b处连续,因此f(x)在(a,c)单调递增.同理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同, 且在公共点处函数连续,那么二区间就可以合并为以个区间.8 . y f (x) x [a , b](1)f (x) 0恒成立.. y 〞*)为(2,3上•••对任意x (a,b)不等式f(a) f(x) f(b) 恒成立(2) f (x) 0恒成立y f (x)在(a,b)上四、经典例题解析:2 - c(i)求a 和b 的值；(n)讨论 f(x)的单倜性；(出)设 g(x) - x 3 x 2,试比拟 3小.解：(I)由于 f (x) e x 1(2x x 2) 3ax 2 2bx xe x 1 (x 2) x(3ax 2b), 又x 2和x 1为f (x)的极值点,所以f ( 2) f(1) 0,因此6a 2b 0'解方程组得a Lb 1.3 3a 2b 0,3一. 1E)由于 a 3 b 1,所以 f(x)x(x 2)(e1),令 f (x) 0,解得 x 12 , x 2 0 , x 31 .由于当 x (, 2) U(01)时,f (x)当x ( 2,0)U(1,)时,f (x) 0.所以f(x)在(2,0)和(1,)上是单调递增的；在(,2)和(0,1)上是单调递减的.2 x 113 2 2 x 1 3 2 . x 1(出)由(I)可知 f (x) x e - x x ,故 f (x) g(x) x e x x (e 3 ....................................... - ...........人 x 1 x 1金_h(x) ex,…那么 h (x) e 1 .令 h (x) 0 ,得 x 1 ,由于x ,1时,h (x) 0 0,所以h(x)在x ,1上单调递减.故 x,1 时,h(x)> h(1) 0；由于 x 1,时,h(x)>0,所以h(x)在x 1,上单调递增.故x 1, 时,h(x) > h(1) 0.所以对任意x (,),恒有h(x) > 0 ,又x 2 2 0 ,对任意x (a ,b)不等式f(a)f (x) f(b)恒成立例1设函数f(x)2 x 1 3.2x e ax bx , x2和x 1为f(x)的极值点.f (x)与g(x)的大0；x)说明：此题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题,另外利用导数证实不等式也是高考不科无视的考查方向.所以,当b 2时,函数f(x)在(,b 1)上单调递减,在(b 1,1)上单调递增, 在(1,)上单调递减.当b 2时,函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1, b 1)上单调递增,在(b 1,)上单调递减., r , 2 ~ 一., .................. ...............................当b 1 1,即b 2时,f(x)所以函数f (x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递减.x 1a例3.函数f x x — b x 0 ,其中a,b R .x(i)假设曲线 y f x 在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1,求函数f x 的解析式； (n)讨论函数 f x 的单调性；因此f(x) g(x) > 0 ,故对任意x (),恒有 f (x) > g(x).例2.函数f(x )2( x 1)2 解：f (x)- ---- -令 f (x) 0,得 x b 当b 1 1,即b 2时,当b 1 1 ,即b 2时------ ,求导函数 f (x),并确£ (x1)2(2x b) 2(x 1) 2x 2b (x 1)4(x 1)31 .,f (x)的变化情况如下表：x (, b 1) b 1f (x),f (x)的变化情况如下表：x (,1) (1, b 1)f (x)三f(x)的单调区间.22[x (b 1)] 3(b 11)(1,)b 1 (b 1,)从而得b 7,所以满足条件的b 的取值范围是(,7］. 44说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等根底知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的水平.t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库1(出)右对于任息的 a — ,2 ,不等式f x2.110在一1上恒成乂, 4求b 的取值范围a解：(I) f (x) 1 一,由导数的几何意义得 f (2) 3,于是a 8. x 由切点P(2, f(2))在直线y 3x 1上可得 2 b 7,解得b 9.所以函数f(x)的解析式为f(x) x - 9. xa(n) f (x) 1 —. x当a 0时,显然f (x) 0(x 0) .这时f(x)在(,0), (0,)内是增函数. 当a 0时,令f (x) 0,解得x B当x 变化时,f (x), f (x)的变化情况如下表:x (, a) 、,a (、.a,0) (0, ■ a)、.a (、. a,)f (x) + 0f (x)/ 极大值 \\ 极小值所以f (x)在(Va) , (ja,)内是增函数,在(ja,0) , (0, Va)内是减函数.(m)由(n)知,,1 ,,…,,… f (x)在［一 1］上的最大值为1 -f(一)与f (1)中的较大者,对于任意的 41 … a [-,2],不等2 1 一 , ,一」式f (x) 10在［1,1］上恒成立,当且仅当,1f(1) 10 即 b 4 5即 f(1) 10 b39 , 4a 一一,, 4 ,对任息的a 9 a1~ [-,2]成立. 2例4.水库的蓄水量随时间而变化,现用的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)= ( t2 14t 40)e450,0 t 10,4(t 10)(3t 41) 50,10 t 12(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i—1vtvi表示第i月份(i=1,2, (12),问一年内哪几个月份是枯水期？(n )求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).…,、…,?…,2 ,1t解：(I)①当0V t 10 时,V(t)=( — t+14t —40) e450 50,化简得t2—14t+40>0,解得t V 4,或t > 10,又0V t 10,故0V tv 4.②当10V t 12 时,V (t) =4 (t—10) (3t —41) +50V 50,41化简彳#(t—10) (3t —41) v 0,解得10vt v —,又10V t 12,故10V t 12.3综合得0v t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月,2月,3月,4月,11月,12月共6个月.(n )由(I )知：V(t)的最大值只能在(4, 10)内到达.1t一 3 11t8),由V (t) =e4( -t23t 4) -e4 (t2)(t4 2 4令V (t)=0,解得t=8(t= -2 舍去).当t变化时,V' (t)与V( t)的变化情况如下表:(4,8) (8,10)V' (t)Mt) 极大值由上表,V(t)在t = 8时取得最大值V8) =8e2+50- 108.32(亿立方米).故知一年内该水库白最大蓄水量是108.32亿立方米说明：本小题主要考查函数、导数和不等式等根本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题水平........ kx 1例5.函数f(x) f (c 0且c 1, k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x c x c.(I)求函数f(x)的另一个极值点；(n)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ,并求M m>1时k 的取值范围.-22k(x c) 2x(kx 1) kx 2x ck解：(I) f (x) — ----------------- 2 ----- 2 ------ -------- 2 -----2一,由题意知 f ( c) 0 ,(x c) (x c)2.即得 c k 2c ck 0, (*)Qc 0, k 0., … 2 rr2 (n)由(*)式得 k ---------------- ,即 c 1 -.c 1k当 c 1时,k 0；当 0 c 1时,k 2.M m- k2 1 -"恒成立.综上可知,所求 k 的取值范围为(,2)U[J2,).由 f (x) 0得 kx 22x ck 0,由韦达定理知另一个极值点为(i)当 k 0时,f(x)在(,c)和(1,)内是减函数,在(c,1)内是增函数. k 1 k f ⑴.2 °, m f( c)kc 1 k 22~~cc 2(k 2)k 22(k 2)0,解得(ii )当 k 2 时,f(x)在(,c)和(1,)内是增函数,在(c,1)内是减函数.f( c)k 2 2(k 2)kf (1) — 02求证以下不等式(1)2xx ——ln( 1 x) x2 2(1 x)x (0,(2)2x ,一、sin x ——x (0 ,—) 2(3) x sin x tanx x (0, 一)2证实: f (x) ln(1 x) (x2-)2f(0) 0x2 1------- 0x 1f(x)为(0, )上x (0, f(x) 0 恒成立••• ln(12 x x) x —2g(x) --------- ln( 12(1 x)x) g(0)g (x)4x24x 2x21 -------------- 2-4(1 x)22x24(1g(x)在(0 , )上x (0,2(1 x)ln(1 x) 0恒成立(2)原式sin x令f (x) sin x/xx (0,2) cosx x tanx•• f (x)cosx(x tanx)(0；f(x) 0 (0,-)• sin x2x(3)令f(x) tanx 2x sin x f(0)f (x) sec2 x 八(1 cosx)(cos x2 cosx ----------------- --- 2-cos xsin2 x)x (0,-) f (x) 0 (0,-)2 2tanx x x sin x说明：利用导数证实不等式这一局部内容不可无视,它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值问题.五、强化跟踪：x 0x1 .设函数f(x)在*0处可导,那么lim f(x0 x)f(x0)等于A f'(x.)B . f'( x0)C , f'( x0)D . f( x0)f(x0 2 x) f(x.)2.右lim ------------------------------ 1 ,那么f (x0)等于( )x 0 3 xA. 2 B .3 C . 3 D . 23 23 .曲线y x3 3x上切线平行于x轴的点的坐标是( )A (-1,2)B , (1,-2)C . (1,2)D . ( -1 , 2)或(1 , -2 )4 .假设函数f(x)的导数为f ' (x)=-sinx ,那么函数图像在点(4, f (4))处的切线的倾斜角为()A 90°B .0°C .锐角D .钝角5 .函数y 2x33x2 12x 5在［0 , 3］上的最大值、最小值分别是( )A. 5, —15B. 5,-4C. —4, —15D. 5, —16s6 . 一直线运动的物体,从时间t到t+ At时,物体的位移为△ s,那么lim ——为( )0 ttA从时间t至ij t+ At时,物体的平均速度 B.时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为^ t时该物体的速度 D .从时间t到t+ At时位移的平均变化率7 .关于函数f(x)2x3 6x2 7 ,以下说法不正确的选项是A.在区间( ,0)内,f(x)为增函数B .在区间(0, 2)内,f(x)为减函数D.在区间( ,0)(2,)内,f(x)为增函数 8 .对任意x,有f'(x)4x 3, f(1)=-1 ,那么此函数为()4_4___4_4 一A f (x) xB . f(x) x 2C . f(x) x 1D . f(x) x 29 .函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是()A.5 , -15B.5,4C.-4 , -15D.5 ,-1610 .设f(x)在X O 处可导,以下式子中与f'(x .)相等的是⑴ l …：(xo2x)；..f(X o X) f (X O X) lim -----------x 0 V11 . f ( x )是定义在区间［—c,c ］上的奇函数,其图象如下图：令 g (x)的表达正确的选项是()A.假设a <0,那么函数g ( x)的图象关于原点对称.B.假设a=-1, — 2<b<0,那么方程g (x) =0有大于2的实根.C.假设awo,b=2,那么方程g ( x) =0有两个实根D.假设a>1,b<2,那么方程g ( x) =0有三个实根12 .假设函数f(x)在点X O 处的导数存在,那么它所对应的曲线在点 13 .设f(x) x 1,那么它与x 轴交点处的切线的方程为 . x14 .设 f'(x 0)3,那么 limf(Xo h)-f(Xo 3h).h 0h15 .垂直于直线2x-6y+1=0 ,且与曲线y x 3 3x 2 5相切的直线的方程是⑶lx mf (X O 2 x) f (X Ox)(4)lx mf (X O x) f (X O 2 x)A (1) (2)B . (1) (3) C(2) (3) D (1) (2) (3) (4)C.在区间(2,)内,f(x)为增函数+b,那么以下关于函数(X O , f(X o ))处的切线方程是16 .曲线y17 . y=x 2e x 的单调递增区间是18 .曲线y 3]3x2—1在点(1,3/4)处的切线方程为1 ...............................19 . P 是抛物线y X 2上的点,假设过点 P 的切线方程与直线 y -x 1垂直,那么过P 点处的切线方程是220 .在抛物线y x 2上依次取两点,它们的横坐标分别为X 1 1, X 2 3,假设抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行,那么 P 点的坐标为 .21 .曲线f(x) x 3在点A 处的切线的斜率为 3,求该曲线在 A 点处的切线方程.22 .在抛物线y x 2上求一点P,使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为一.4__ x(x 0)23 .判断函数f(x) ')在x=0处是否可导.x(x 0)24 .求经过点(2, 0)且与曲线y 1相切的直线方程. x25 .曲线C 1 : y x 2与C 2： y (x 2)2 .直线l 与C 1、C 2«W,求直线l 的方程. 六.参考答案：1 — 5 CBDCA 6 —10 BDBAB 11 B 12 . y f (X O ) f'(X O )(X X O )1317. (-8,-2)与(0,+ oo) 18. x V2y 1 019 . 2x-y-1=020. ( 2, 4) 21 .由导数定义求得f'(x) 3x 2,y=2(x-1)或 y=2(x+1)14 . -6 153x+y+6=0 16令 3x 2 3 ,那么 x= ± 1.当x=1时,切点为(1,1),所以该曲线在(1, 1)处的切线方程为 y-1=3(x-1)即3x-y-2=0 ; 当x=-1时,那么切点坐标为(-1,-1),所以该曲线在(-1,-1)处的切线方程为 y+1=3(x+1)即3x- y+2=0.22.由导数定义得f' (x)=2x,设曲线上 P 点的坐标为(x 0,y 0),那么该点处切线的斜率为 k p 2x 0,根据2x .3limx 0y二•lim ——不存在.x 0x,函数f(x)在x=0处不可导.1lim --------------- x 0x 0(x 0x)夹角公式有2x o 3 解得x 01或x o由x 0得y 016, 一八 1 1、那么P (-1, 1)或 P(-,—).4 1623- limx 0limx 0f(0f(0)limx 0limx 0limx 0f(0 x) f(0)xlimx 024.可以验证点 (2, 0)不在曲线上,故设切点为P (x 0, y 0).由 y'|x x 0lim xxx .x 0xlim ------------- x ------ x 0x (x 0 x) x 01~~2, x 01 得所求直线方程为y y0 」2(x x o).X.由点(2, 0)在直线上,得x：y. 2 X o,再由P(X o,y.)在曲线上,得x.y. 1,联立可解得x0 1 , y01.所求直线方程为x+y-2=0.25.解：设l与G相切于点P(x1,x；),与C2相切于Q(x2,① 2)2).对C1 : y' 2x ,那么与C1相切于2 2点P的切线方程为y x1 2x1( x x1),即y 2x1x x1 . ①2对C2：y' 2(x 2),那么与C2相切于点Q的切线方程为y (x2 2) 2(x2 2)(x x2),即2y 2( x22)x x2 4. ②2x1 2M 2) x 0, x 2•••两切线重合,・•.12 2 2,解得1 ,或1 ,x；x2 4 x22; x20「•直线方程为y=0或y=4x-4.。

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§7.1 直线方程与直线系
班级姓名学号

例1：已知点A（2，3），B（－3，－2），若直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，求
直线l的斜率k的取值范围。
例2：一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程。
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍
（2）夹在两坐标间的线段被P分成1：2
（3）与x轴，y轴正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小
例3：一直线被两直线L1：4x+y+6=0，L2：3x－5y－6=0截得线段中点恰好是坐标原点，求
这条直线的方程。
例4：在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线方
程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。
【备用题】
求证：不论a取何值，直线(a+1)x－(2a+5)y－6=0必过一定点。
【基础训练】

1、直线)0,0(1babyax的倾斜角是：（）

A、arctan(ab) B、arctan(ba) C、π－arctanab D、π－arctanba
2、若直线ax+by+c=0通过第一，二，三象限，则：
A、ab>0, bc>0 B、ab>0, bc<0 C、ab<0, bc>0 D、ab<0, bc<0
3、光线由点P（2，3）射到直线x+y=－1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线方程为：
（）
A、－x+y=0 B、4x－5y+31=0 C、4x－5y+1=0 D、4x－5y+16=0

4、直线xcosθ+3y+2=0的倾斜角的取值范围是：

A、]65,2()2,6[ B、),65[]6,0[ C、]65,0[ D、需视θ的取值而
定
5、直线过点（－2，－1），且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为。
6、直线L1，L2的方程分别为y=mx和y=nx(m, n≠0)，L1的倾斜角是L2倾斜角的2倍，L
1

的斜率是L2的斜率的4倍，则mn= 。

【拓展练习】
1、下列命题中正确的是：（）
A、经过点P0（x0, y0）的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示
B、经过定点A（0, b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
C、经过任意两个不同点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线都可用方程（x2－x1）(y－y1)=(y2－y1)(x
－x1)表示

D、不经过原点的直线都可以用方程1byax表示
2、设点P（a, b），Q(c, d)是直线y=mx+k上两点，则|PQ|等于（）
A、21||mca B、21||mca C、21||mdb D、21||mdb
3、直线x+y=2, x－y=2, x+ay=3围成一个三角形，则：
A、a≠±1 B、a≠1且a≠2 C、a≠－1且a≠2 D、a≠±1且a≠2
4、经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距
离的直线的方程是。
5、一直线过点A（－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是。
6、平面上有相异两点A(cosθ,sin2θ)和B（0，1），求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角
的范围。

7、已知直线L：y=ax+2和A（1，4），B（3，1）两点，当直线L与线段AB相交时，求实
数a的取值范围。

8、已知P（2，1），过P作一直线，使它夹在已知直线x+2y－3=0,2x+5y－10=0间的线段被
点P平分，求直线方程。

9、求证：不论a, b为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a－b=0均通过一定点，并求此定点坐标。
10、已知点F（6，4）和直线L1：y=4x，求过P的直线L，使它和L1以及x轴在第一象限
内围成的三角形的面积最小。