七年级数学整式的加减探索规律(习题及答案)(最新整理)
七年级整式的加减习题与答案
一、单选题1、实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简|a-b|+|a+b|的结果为（）。
A. 2aB. 2bC. -2aD. -2b参考答案: C【思路分析】首先根据图示，可得a＜0＜b，且|a|＞|b|，据此分别求出|a-b|、|a+b|的值各是多少；然后把它们求和，求出化简|a-b|+|a+b|的结果为多少即可．【解题过程】解：根据图示，可得a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴|a-b|+|a+b|=（b-a）-（a+b）=-2a故选：C．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2、按如图2-1-3所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（）A. x=3，y=3B. x=-4，y=-2C. x=2，y=4D. x=4，y=2参考答案: C【思路分析】本题考查正是相关概念的应用【解题过程】解：当x=3，y=3时，输出的值为15；当x=-4，y=-2时，输出的值为20；当x=2，y=4时，输出的值为12；当x=4，y=2时，输出的值为20。
故选：C。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3、下列说法正确的是（）A. −0.5x2y3与2x3y2是同类项B. 1x与3x是同类项C. 34xyz与34xy是同类项D. 5a2b与−3ba2是同类项参考答案: D【思路分析】本题主要考查同类项的判断，掌握同类项的定义是解题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。
初一数学整式的加减试题答案及解析
初一数学整式的加减试题答案及解析1.因式分解：(1)x3-4x； (2)(3a-b)(x-y)＋(a＋3b)(y-x)．【答案】(1) x(x+2)(x-2)；(2) 2(x-y)(a-2b).【解析】（1）先提出公因式x，剩下的因式用平方差公式分解即可；（2）两次提取公因式即可得解.试题解析：（1）原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)；（2）原式=(3a-b)(x-y)-(a＋3b)(x-y)=(x-y)(2a-4b)=2(x-y)(a-2b).【考点】1.因式分解——提公因式法；2.因式分解——公式法.2.已知代数式的值为，求代数式的值.【答案】-6【解析】解：.因为3，故上式.3.先化简，后求值：已知，求代数式的值.【答案】【解析】解：由得，，解得，.将代数式化简得.将，代入得原式.4.多项式3a2b2-5ab2+a2-6是___次项式，常数项是 .【答案】四次四项式、-6【解析】本题中未知数的最高次是4次，所以是四次，未知数有a，b两个，故是四次二项式；常数项是-6【考点】多项式点评：本题属于对多项式的基本常识的考查，需要考生在对多项式基本次数的基础上熟练把握5.下列计算正确的是（）A．2x＋3y＝5xy B．－3x－x＝－xC．－xy＋6x y＝5x y D．5ab－b a＝ab【答案】D【解析】根据合并同类项的法则依次分析各选项即可作出判断.A、2x与3y不是同类项，无法合并，B、－3x－x＝－x，C、－xy与6x y不是同类项，无法合并，故错误；D、5ab－b a＝ab，本选项正确.【考点】合并同类项点评：解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.6.若2x y与－3x y是同类项，则－m=【答案】3【解析】先根据同类项的定义求得m、n的值，再根据有理数的乘方法则计算即可.由题意得，解得，则－m【考点】同类项，有理数的乘方点评：解题的关键是熟记同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项是同类项.7.已知：A=x＋xy＋y，B=－3xy－x求（1）B－A；（2）2A－3B；（3）若A－B－C=0，则C如何用含x，y的代数式表示？【答案】（1）－2x－4xy－y；（2）5x＋11xy＋2y；（3）2x＋4xy＋y【解析】先根据题意分别列出代数式，再去括号、合并同类项即可.（1）B－A=（－3xy－x）－（x＋xy＋y）=－3xy－x－x－xy－y=－2x－4xy－y；（2）2A－3B=2（x＋xy＋y）－3（－3xy－x）=2x＋2xy＋2y+9xy+3x=5x＋11xy＋2y ；（3）∵A－B－C=0∴C= A－B=（x＋xy＋y）－（－3xy－x）=x＋xy＋y+3xy+x= 2x＋4xy＋y.【考点】整式的加减点评：解题的关键是熟练掌握在去括号时，若括号前是“-”号，把括号和括号前的“-”号去掉后，括号里各项的符号均要改变.8.化简或求值：（1）化简：（2）已知，求的值。
初一数学整式规律探索含答案
规律探索中考要求重难点1.能根据图，表，数，式中的排列特征，探究期中蕴藏的数式规律课前预习德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误.长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”.他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。
而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好.。
有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来.还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。
”他想不可能这么快就会有答案了.可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的.”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n 的方法。
高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。
《整式的加减》练习题2(有答案)
《整式的加减》练习题2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1、单项式22xy2的次数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2参考答案: C【思路分析】本考点的主要内容是确定单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。
【解题过程】解：单项式22xy2的次数是1+2=3.故选C.2、若单项式a m−1b2与12a2b n的和仍是单项式，则n m的值是（）A. 3B. 6C. 8D. 9参考答案: C【思路分析】此题考查的是确定单项式的次数根据单项式的次数求参数。
仔细读题，获取题中已知条件，结合确定单项式的次数根据单项式的次数求参数相关知识，即可解答此题。
【解题过程】解：∵单项式am-1b²与12a²bn的和仍是单项式，∴单项式am-1b²与a2b n是同类项，∴m-1=2，n=2，∴m=3，∴nm=8。
故选:C。
3、一块地有a公顷，平均每公顷产粮食m千克；另一块地有b公顷，平均每公顷产粮食n 千克，则这两块地平均每公顷的粮食产量为（）A. m+n2B. a+b2C. am+bna+bD. am+bnm+n参考答案: C【思路分析】这道题是考查用代数式表示数量关系，用两块地的总产量除以总的公顷数，列式即可．【解题过程】解：两块地的总产量为ma+nb，.所以，这两块地平均每公顷的粮食产量为：am+bna+b故选C.4、计算2a2+a2的结果是（）A. 1B. aC. 3a2D. 2a参考答案: C【思路分析】本考点的主要内容是求几个单项式的和，理解合并同类项的法则是关键，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
【解题过程】解：2a2+a2=（2+1）a2=3a2；故选：C。
七年级上册《数学》整式的加减练习题(含答案)
七年级上册《数学》整式的加减练习题2.1 第1课时单项式一、能力提升1.下列结论正确的是()A.a是单项式,它的次数是0,系数为1B.π不是单项式C.是一次单项式D.-是6次单项式,它的系数是-2.已知是8次单项式,则m的值是()A.4B.3C.2D.13.3×105xy的系数是,次数是.4.下列式子:①ab;②-;③;④-a2+a;⑤-1;⑥a-,其中是单项式的是.(填序号)5.写出一个含有字母x,y的五次单项式:.6.观察下面的单项式:a,2a2,4a3,8a4,…,根据你发现的规律,第8个式子是.7.某学校到文体商店买篮球,篮球单价为a元,买10个以上(包括10个)按8折优惠.用单项式填空:(1)购买9个篮球应付款元;(2)购买m(m≥10)个篮球应付款元.8.若单项式(k-3)x|k|y2是五次单项式,则k=.9.观察下列各数,用含n的单项式表示第n个数.-2,-4,-6,-8,-10,…,.二、创新应用10.观察下列单项式:-x,3x2,-5x3,7x4,…,-37x19,39x20,…,回答下列问题:(1)这组单项式的系数的规律是什么?(2)这组单项式的次数的规律是什么?(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第n个单项式是什么吗?(4)请你根据猜想,写出第2020,2021个单项式.答案一、能力提升1.D a是单项式,次数、系数均为1,所以A错;因为π是单独的一个数,所以π是单项式,所以B错;的分母中含有字母,无法写成数字与字母的积,所以不是单项式,所以C错;对于D项,它的系数为-,次数为2+3+1=6,所以D正确.2.C由单项式的次数的定义,得2m+3+1=8,将A,B,C,D四选项分别代入验证知C为正确答案.3.3×105;2.4.①②⑤.5.-x4y(答案不唯一).6.128a8.7.(1)9a.(2)0.8ma.8.-3;由题意,得|k|+2=5,且k≠3,解得k=-3.9.-2n;-2,-4,-6,-8,-10,这些数都是负数,且都是偶数,因此第n个数为-2n.二、创新应用10.解:(1)这组单项式的系数的符号规律是(-1)n,系数的绝对值规律是2n-1,故系数的规律是(-1)n(2n-1).(2)次数即x的指数的规律是从1开始的连续自然数.(3)第n个单项式是(-1)n(2n-1)x n.(4)第2020个单项式是4039x2020,第2021个单项式是-4041x2021.2.1 第2课时多项式一、能力提升1.下列说法正确的是()A.多项式ax2+bx+c是二次多项式B.四次多项式是指多项式中各项均为四次单项式C.-ab2,-x都是单项式,也都是整式D.-4a2b,3ab,5是多项式-4a2b+3ab-5中的项2.如果一个多项式是五次多项式,那么它任何一项的次数()A.都小于5B.都等于5C.都不小于5D.都不大于53.一组按规律排列的多项式:a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b7,……其中第10个式子是()A.a10+b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b214.若x n-2+x3+1是五次多项式,则n的值是()A.3B.5C.7D.05.-3x2y-2x2y2+xy-4的最高次项为.6.若一个关于a的二次三项式的二次项系数为2,常数项和一次项系数都是-3,则这个二次三项式为.7.多项式的二次项系数是.8.如图(1)(2),某餐桌桌面可由圆形折叠成正方形(图中阴影部分表示可折叠部分).已知折叠前圆形桌面的直径为am,折叠成正方形后其边长为bm.如果一块正方形桌布的边长为am,并按图(3)所示把它铺在折叠前的圆形桌面上,那么桌布垂下部分的面积是多少?如果按图(4)方式把这块桌布铺在折叠后的正方形桌面上呢?并求当a=2,b=1.4时它们的面积大小(π取3.14).9.四人做传数游戏,甲任取一个数传给乙,乙把这个数加1传给丙,丙再把所得的数平方后传给丁,丁把所得的数减1报出答案,设甲任取的一个数为a.(1)请把游戏最后丁所报出的答案用整式的形式描述出来;(2)若甲取的数为19,则丁报出的答案是多少?二、创新应用10.如图,观察点阵图形和与之对应的等式,探究其中的规律:(1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式:(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式.答案一、能力提升1.C.2.D;多项式的次数指的是次数最高项的次数,故一个五次多项式次数最高项的次数为5.3.B;根据多项式排列的规律,字母a的指数是按1,2,3,…的正整数排列,故第10个式子应为a10.字母b的指数是按1,3,5,7,…的奇数排列,故第10个式子应为b19.中间的符号第1个式子是正,第2个式子是负,这样正、负相间,故第10个式子应为a10-b19.4.C;由题意,得n-2=5,解得n=7.5.-2x2y2;6.2a2-3a-3.7.=-,二次项为,故二次项系数为.8.解:m2;(a2-b2)m2;2.04m2.当a=2,b=1.4时,a2-a2=22-×22=4-3.14=0.86(m2),a2-b2=22-1.42=2.04(m2).9.解:(1)由甲传给乙变为a+1;由乙传给丙变为(a+1)2;由丙传给丁变为(a+1)2-1.故丁所报出的答案为(a+1)2-1.(2)由(1)知,代入a=19,得399.二、创新应用10.解:(1)④4×3+1=4×4-3.⑤4×4+1=4×5-3.(2)4(n-1)+1=4n-3.2.2 第1课时合并同类项一、能力提升1.下列各组式子为同类项的是()A.x2y与-xy2B.0.5a2b与0.5a2cC.3b与3abcD.-0.1m2n与nm22.若-2a m b2m+n与5a n+2b2m+n可以合并成一项,则m-n的值是()A.2B.0C.-1D.13.若x a+2y4与-3x3y2b是同类项,则(a-b)2021的值是()A.-2021B.1C.-1D.20214.已知a=-2021,b=,则多项式3a2+2ab-a2-3ab-2a2的值为()A.1B.-1C.2021D.-5.若2x2y m与-3x n y3的和是一个单项式,则m+n=.6.若关于字母x的整式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x的值无关,则m=,n=.7.把(x-y)和(x+y)各看作一个字母因式,合并同类项3(x+y)2-(x-y)+2(x+y)2+(x-y)-5(x+y)2=.8.合并下列各式的同类项:(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy;(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5.9.已知-2a m bc2与4a3b n c2是同类项,求多项式3m2n-2mn2-m2n+mn2的值.10.先合并同类项,再求值:(1)7x2-3+2x-6x2-5x+8,其中x=-2;(2)3x-4x3+7-3x+2x3+1,其中x=-2.二、创新应用11.有这样一道题:“当a=0.35,b=-0.28时,求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3的值.”有一名同学指出,题目中给出的条件“a=0.35,b=-0.28”是多余的,他的说法有没有道理?为什么?答案一、能力提升1.D2.A;∵-2a m b2m+n与5a n+2b2m+n可以合并成一项,∴m=n+2,则m-n=2.故选A.3.C;由同类项的定义,得a+2=3,2b=4,解得a=1,b=2.所以(a-b)2021=(1-2)2021=(-1)2021=-1.4.A;把多项式合并同类项,得原式=-ab,当a=-2021,b=时,原式=1.5.5;2x2y m与-3x n y3的和是一个单项式,说明2x2y m与-3x n y3是同类项,即m=3,n=2,故m+n=5.6.1;3;算式的值与x的值无关,说明合并同类项后,所有含x项的系数均为0.-3x2+mx+nx2-x+3=(-3+n)x2+(m-1)x+3,则m=1,n=3.7.0.8.解:(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy=(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy=-7x2-4y2-6xy.(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)=8x2y-2xy2+2.9.解:由同类项定义,得m=3,n=1.3m2n-2mn2-m2n+mn2=(3-1)m2n+(-2+1)mn2=2m2n-mn2.当m=3,n=1时,原式=2×32×1-3×12=18-3=15.10.解:(1)原式=(7-6)x2+(2-5)x+(8-3)=x2-3x+5,当x=-2时,原式=(-2)2-3×(-2)+5=15.(2)原式=-2x3+8,当x=-2时,原式=-2×(-2)3+8=24.二、创新应用11.解:他的说法有道理.因为原式=(7+3-10)a3+(-6+6)a3b+(3-3)a2b=0,所以原式的值与a,b的值无关.即题目中给出的条件“a=0.35,b=-0.28”是多余的.2.2 第2课时去括号一、能力提升1.三角形的第一条边长是(a+b),第二条边比第一条边长(a+2),第三条边比第二条边短3,这个三角形的周长为()A.5a+3bB.5a+3b+1C.5a-3b+1D.5a+3b-12.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是()A.0B.2C.5D.83.今天数学课上,老师讲了多项式的加减,放学后,小明回到家拿出课堂笔记复习老师课上讲的内容,他突然发现一道题:(x2+3xy)-(2x2+4xy)=-x2【】.【】处被钢笔水弄污了,则此处中的一项是()A.-7xyB.7xyC.-xyD.xy4.化简(3x2+4x-1)+(-3x2+9x)的结果为.5.若一个多项式加上(-2x-x2)得到(x2-1),则这个多项式是.6.已知a-b=3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)的值为.7.某轮船顺水航行了5h,逆水航行了3h,已知船在静水中的速度为akm/h,水流速度为bkm/h,则轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多.8.先化简,再求值:(1)(x2-y2)-4(2x2-3y2),其中x=-3,y=2;(2)a-2[3a+b-2(a+b)],其中a=-21,b=1000.9.已知A=2x2+3xy-2x-1,B=-x2+kxy-1,且A+B的值与y无关,求k的值.10.观察下列各式:①-a+b=-(a-b);②2-3x=-(3x-2);③5x+30=5(x+6);④-x-6=-(x+6).探索以上四个式子内的括号的变化情况,思考它和去括号法则有什么不同?利用你探索出来的规律,解答下面的题目:已知a2+b2=5,1-b=-2,求-1+a2+b+b2的值.二、创新应用11.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简|a-b|-|c-a|+|b-c|-|a|.答案一、能力提升1.B;三角形的周长为a+b+(a+b+a+2)+(a+b+a+2-3)=a+b+a+b+a+2+a+b+a+2-3=5a+3b+1.2.D;由a-3b=-3,得-(a-3b)=3,即-a+3b=3.因此5-a+3b=5+3=8.3.C.4.13x-1;(3x2+4x-1)+(-3x2+9x)=3x2+4x-1-3x2+9x=13x-1.5.2x2+2x-1;(x2-1)-(-2x-x2)=x2-1+2x+x2=2x2+2x-1.6.-1;由a-b=3,可得a-b的相反数为-3,即-(a-b)=-3,即-a+b=-3,因此(b+c)-(a-d)=b+c-a+d=(-a+b)+(c+d)=-3+2=-1.7.(2a+8b)km轮船在顺水中航行了5(a+b)km,在逆水中航行了3(a-b)km,因此轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多5(a+b)-3(a-b)=5a+5b-3a+3b=(2a+8b)km.8.解:(1)原式=-x2+y2.当x=-3,y=2时,原式=-.(2)原式=2b-a.当a=-21,b=1000时,原式=2021.解:A+B=(2x2+3xy-2x-1)+(-x2+kxy-1)=2x2+3xy-2x-1-x2+kxy-1=x2+(3+k) xy-2x-2.因为A+B的值与y无关,所以3+k=0,解得k=-3.10.解:因为a2+b2=5,1-b=-2,所以-1+a2+b+b2=-(1-b)+(a2+b2)=-(-2)+5=7.二、创新应用11.解:由题意知a-b<0,c-a>0,b-c<0,a<0,因此原式=-(a-b)-(c-a)-(b-c)-(-a)=-a+b-c+a-b+c+a=a.2.3 第3课时整式的加减一、能力提升1.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是()A.-5x-1B.5x+1C.-13x-1D.13x+12.化简-3x-的结果是()A.-16x+B.-16x+C.-16x-D.10x+3.如图①,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形,得到一个“”图案,如图②所示,再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图③所示,则新长方形的周长可表示为()A.2a-3bB.4a-8bC.2a-4bD.4a-10b4.小明在复习课堂笔记时,发现一道题:=-x2-xy+y2,括号处被钢笔弄污了,则括号处的这一项是()A.y2B.3y2C.-y2D.-3y25.已知a3-a-1=0,则a3-a+2020=.6.多项式(4xy-3x2-xy+x2+y2)-(3xy-2x2+2y2)的值与无关.(填“x”或“y”)7.若a2+ab=8,ab+b2=9,则a2-b2的值是.8.若2x-y=1,则(x2+2x)-(x2+y-1)=.9.先化简,再求值:2(a2b+ab2)-(2ab2-1+a2b)-2,其中a=-,b=-2.10.计算:(1)3(a2-4a+3)-5(5a2-a+2);(2)3x2-.11.规定一种新运算:a*b=a+b,求当a=5,b=3时,(a2b)*(3ab)+5a2b-4ab的值.二、创新应用12.扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:第一步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌现有的张数相同;第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆;第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是多少?并说明你的理由.13.小黄做一道题“已知两个多项式A,B,计算A-B”.小黄误将A-B看作A+B,求得结果是9x2-2x+7.若B=x2+3x-2,请你帮助小黄求出A-B的正确答案.答案一、能力提升1.A;由题意,得(3x2+4x-1)-(3x2+9x)=3x2+4x-1-3x2-9x=-5x-1.2.B.3.B;所得新长方形的长为a-b,宽为a-3b,则其周长为2[(a-b)+(a-3b)]=2(2a-4b)=4a-8b.4.C;=-x2+3xy-y2+x2-4xy-()=-x2-xy-y2-()=-x2-xy+y2,故括号处的这一项应是-y2.5.2021;由a3-a-1=0,得a3-a=1,整体代入得a3-a+2020=1+2020=2021.6.x;因为(4xy-3x2-xy+x2+y2)-(3xy-2x2+2y2)=4xy-3x2-xy+x2+y2-3xy+2x2-2y2=-y2, 所以多项式的值与x无关.7.-1;a2+ab-(ab+b2)=a2+ab-ab-b2=a2-b2=8-9=-1.8.2;当2x-y=1时,(x2+2x)-(x2+y-1)=x2+2x-x2-y+1=2x-y+1=1+1=2.故答案为2.9.解:原式=2a2b+2ab2-2ab2+1-a2b-2=a2b-1,当a=-,b=-2时,原式=×(-2)-1=×(-2)-1=--1=-.10.解:(1)3(a2-4a+3)-5(5a2-a+2)=3a2-12a+9-25a2+5a-10=-22a2-7a-1.(2)3x2-=3x2-5x+x-3-2x2=x2-x-3.11.解:原式=a2b+3ab+5a2b-4ab=(1+5)a2b+(3-4)ab=6a2b-ab.当a=5,b=3时,原式=6×52×3-5×3=450-15=435.二、创新应用12.解:设第一步每堆各有x张牌;第二步左边有(x-2)张牌,中间有(x+2)张牌,右边有x张牌;第三步左边有(x-2)张牌,中间有x+2+1=x+3张牌,右边有(x-1)张牌;第四步中间有x+3-(x-2)=x+3-x+2=5张牌,因此中间一堆牌现有的张数是5.13.解:因为A+B=9x2-2x+7,B=x2+3x-2,所以A=9x2-2x+7-(x2+3x-2)=9x2-2x+7-x2-3x+2=8x2-5x+9,所以A-B=8x2-5x+9-(x2+3x-2) =8x2-5x+9-x2-3x+2=7x2-8x+11.。
(必考题)初中七年级数学上册第二章《整式的加减》经典题(含答案解析)
1．已知2a ﹣b ＝3，则代数式3b ﹣6a+5的值为( )A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7A 解析：A【分析】由已知可得3b ﹣6a+5=-3（2a ﹣b ）+5，把2a ﹣b ＝3代入即可.【详解】3b ﹣6a+5=-3（2a ﹣b ）+5=-9+5=-4.故选:A【点睛】利用乘法分配律，将代数式变形.2．已知－25a 2m b 和7b 3－n a 4是同类项，则m ＋n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6C 解析：C【分析】本题根据同类项的性质求解出m 和n 的值，代入求解即可．【详解】由已知得：2431m n =⎧⎨-=⎩，求解得：22m n =⎧⎨=⎩， 故224m n +=+=；故选：C ．【点睛】本题考查同类项的性质，按照对应字母指数相同原则列式求解即可，注意计算仔细． 3．下列计算正确的是（ ）A ．﹣1﹣1=0B ．2（a ﹣3b ）=2a ﹣3bC ．a 3﹣a=a 2D ．﹣32=﹣9D 解析：D【分析】根据有理数的减法、去括号、同底数幂的乘方即可解答．【详解】解：A ．﹣1﹣1＝﹣2，故本选项错误；B .2（a ﹣3b ）＝2a ﹣6b ，故本选项错误；C ．a 3÷a ＝a 2，故本选项错误；D ．﹣32＝﹣9，正确；故选：D ．【点睛】本题考查了去括号和简单的提取公因式，掌握去括号时符号改变规律是解决此题的关键. 4．下列去括号正确的是（ ）A ．112222x y x y ⎛⎫ =⎭-⎪⎝--- B ．()12122x y x y ++=+- C ．()16433232x y x y --+=-++ D ．()22x y z x y z +-+=-+ D 解析：D【分析】根据整式混合运算法则和去括号的法则计算各项即可． 【详解】 A. 112222x y x y ⎛⎫ =⎭-⎪⎝--+，错误； B. ()12122x y x y ++=++，错误； C. ()136433222x y x y --+=-+-，错误； D. ()22x y z x y z +-+=-+，正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则和去括号的法则是解题的关键． 5．我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予3a 实际意义的例子中不正确的是( )A ．若葡萄的价格是3 元/kg ，则3a 表示买a kg 葡萄的金额B ．若a 表示一个等边三角形的边长，则3a 表示这个等边三角形的周长C ．某款运动鞋进价为a 元，若这款运动鞋盈利50%，则销售两双的销售额为3a 元D ．若3和a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a 表示这个两位数D 解析：D【分析】根据单价×数量＝总价，等边三角形周长=边长×3，售价＝进价＋利润,两位数的表示=十位数字×10+个位数字进行分析即可．【详解】A 、根据“单价×数量＝总价”可知3a 表示买a kg 葡萄的金额，此选项不符合题意；B 、由等边三角形周长公式可得3a 表示这个等边三角形的周长，此选项不符合题意；C 、由“售价＝进价＋利润”得售价为1.5a 元，则2×1.5a ＝3a (元)，此选项不符合题意；D 、由题可知，这个两位数用字母表示为10×3＋a ＝30＋a ，此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．6．一列数123,,n a a a a ⋅⋅⋅，其中11a =-，2111a a =- ，3211a a =- ，……，111n n a a -=- ，则1232020a a a a ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=（ ） A ．1 B ．-1 C ．2020 D ．2020- A 解析：A【分析】首先根据11a =-，可得()21111,1112a a ===---32112,1112a a ===--43111112a a ===---，…，所以这列数是-1、12、2、−1、12、2…，每3个数是一个循环；然后用2020除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，从而可得答案．【详解】 解： 11a =-，()21111,1112a a ===--- 32112,1112a a ===-- 43111112a a ===---， 所以这列数是-1、12、2、−1、12、2…，发现这列数每三个循环， 由202036731,÷= 且()1231121,2a a a ⨯⨯=-⨯⨯=- 所以：()()123206732011 1.a a a a =-⨯-⨯⨯⋅⨯=⋅⋅故选A ．【点睛】 本题主要考查了探寻数列规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是-1、12、2、−1、12、2…，每3个数是一个循环． 7．已知132n x y +与4313x y 是同类项，则n 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5B解析：B【分析】根据同类项的概念可得关于n 的一元一次方程，求解方程即可得到n 的值.【详解】解：∵132n x y +与4313x y 是同类项， ∴n+1=4，解得，n=3，故选：B.【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．8．已知有理数1a ≠,我们把11a-称为a 的差倒数,如:2的差倒数是1112=--,1-的差倒数是()11112=--.如果12a =-,2a 是1a 的差倒数,3a 是2a 的差倒数,4a 是3a 的差倒数…依此类推,那么2020a 的值是（ ）A ．2-B ．13C ．23D ．32A 解析：A【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以-2，13，32依次循环，用2020除以3，再根据余数可求a 2020的值．【详解】 ∵a 1=-2， ∴2111(3)3a ==--，3131213a ==-， 412312a ==-- ∴每3个结果为一个循环周期∵2020÷3=673⋯⋯1，∴202012a a ==-故选：A.【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．9．下面去括号正确的是（ ）A ．2()2y x y y x y +--=+-B ．2(35)610a a a a --=-+C ．()y x y y x y ---=+-D ．222()2x x y x x y +-+=-+ B解析：B【分析】根据去括号法则对四个选项逐一进行分析,要注意括号前面的符号,以选用合适的法则.【详解】A. 2()2y x y y x y +--=--,故错误;B. 2(35)610a a a a --=-+,故正确;C. ()y x y y x y ---=++,故错误;D. 222()22x x y x x y +-+=-+,故错误;故选:B【点睛】本题考查去括号的方法:去括号时,运用乘法的分配律,先把括号前的数字与括号里各项相乘;括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号;括号前是“一”，去括号后，括号里的各项都改变符号.10．下列同类项合并正确的是（ ）A ．x 3+x 2＝x 5B ．2x ﹣3x ＝﹣1C ．﹣a 2﹣2a 2＝﹣a 2D ．﹣y 3x 2+2x 2y 3＝x 2y 3D 解析：D【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【详解】解：A 、x 3与x 2不是同类项，不能合并，故A 错误；B 、合并同类项错误，正确的是2x ﹣3x ＝﹣x ，故B 错误；C 、合并同类项错误，正确的是﹣a 2﹣2a 2＝﹣3a 2，故C 错误；D 、系数相加字母及指数不变，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则，并根据合并同类项的法则计算是解题关键．11．已知多项式()210m xm x +--是二次三项式，m 为常数，则m 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2±D ．3± A 解析：A【分析】根据已知二次三项式得出m-2≠0，|m|=2，从而求解即可．【详解】 解：因为多项式()210m x m x +--是二次三项式，∴m-2≠0，|m|=2，解得m=-2，故选：A.【点睛】本题考查了二次三项式的定义，掌握多项式的项和次数的定义是本题的解题关键．12．下列说法正确的是（）A．0不是单项式B．25Rπ的系数是5C．322a是5次单项式D．多项式2ax+的次数是2D解析：D【分析】根据整式的相关概念可得答案．【详解】A、0是单项式，故A错误；B、25Rπ的系数是5π，故B错误；C、322a是2次单项式，故C错误；D、多项式2ax+的次数是2，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查单项式的系数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，也考查了多项式的次数．13．代数式21ab-的正确解释是（）A．a与b的倒数的差的平方B．a与b的差的平方的倒数C．a的平方与b的差的倒数D．a的平方与b的倒数的差D解析：D【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．【详解】解：代数式21ab-的正确解释是a的平方与b的倒数的差.故选：D.【点睛】用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．14．下列关于多项式21ab a b--的说法中，正确的是（）A．该多项式的次数是2 B．该多项式是三次三项式C．该多项式的常数项是1 D．该多项式的二次项系数是1-B解析：B【分析】直接利用多项式的相关定义进而分析得出答案．【详解】A、多项式21ab a b--次数是3，错误；B 、该多项式是三次三项式，正确；C 、常数项是-1，错误；D 、该多项式的二次项系数是1，错误；故选：B ．【点睛】此题考查多项式，正确掌握多项式次数与系数的确定方法是解题关键．15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于1，则()2a b cd m +-+的值是（ ）.A ．0B ．-2C ．0或-2D ．任意有理数A解析：A【分析】根据相反数的定义得到0a b +=，由倒数的定义得到cd=1，根据绝对值的定义得到|m|=1，将其代入()2a b cd m +-+进行求值． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c ，d 互为倒数，∴cd =1，∵m 的绝对值等于1，∴m =±1，∴原式=0110-+=故选：A.【点睛】本题考查代数式求值，相反数，绝对值，倒数.能根据相反数，绝对值，倒数的定义求出+a b ，cd 和m 的值是解决此题的关键.1．当k =_________________时，多项式()221325x k xy y xy +----中不含xy 项．3【分析】先合并同类项然后使xy 的项的系数为0即可得出答案【详解】解：=∵多项式不含xy 项∴k-3=0解得：k=3故答案为：3【点睛】本题考查了多项式的知识属于基础题解答本题的关键是掌握合并同类项的解析：3【分析】先合并同类项，然后使xy 的项的系数为0，即可得出答案．【详解】解：()221325x k xy y xy +----=()22335x k xy y +---， ∵多项式不含xy 项，∴k-3=0，解得：k=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则． 2．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____．65【分析】根据题目中数字的特点可知每组的个数依次增大每组中的数字都是连续的偶数然后即可求出2020是多少组第多少个数从而可以得到mn 的值然后即可得到m+n 的值【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行解析：65【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值．【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，∴第m 组有m 个连续的偶数，∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，∵1+2+3+…+44＝44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035， ∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m ＝45，n ＝20，∴m +n ＝65．故答案为：65．【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．3．一组数：2，1，3，x ，7，y ，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a b -”，例如这组数中的第三个数“3”是由“221⨯-”得到的，那么这组数中y 表示的数为______.－9【分析】根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可【详解】解：根据题意得：故答案为－9【点睛】本题考查了有理数的运算理解题意弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键解析：－9.【分析】根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可.【详解】解：根据题意，得：2131x，2(1)79y .故答案为－9.【点睛】 本题考查了有理数的运算，理解题意、弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键. 4．合并同类项（1）21123x x x --=____________________；（按字母x 升幂排列） （2）3222232223x y x y y x x y --+=_____________________；（按字母x 降幂排列） （3）222234256a b aba b =_____________________；（按字母b 降幂排列）【分析】（1）先合并同类项再将多项式按照字母x 的次数由小到大重新排列即可；（2）先合并同类项再将多项式按照字母x 的次数由大到小重新排列即可；（3）先合并同类项再将多项式按照字母b 的次数由大到小重新排解析：256x x -+ 32222x y x y -- 221022b ab a -- 【分析】 （1）先合并同类项，再将多项式按照字母x 的次数由小到大重新排列即可；（2）先合并同类项，再将多项式按照字母x 的次数由大到小重新排列即可；（3）先合并同类项，再将多项式按照字母b 的次数由大到小重新排列即可.【详解】解：（1）2222111155232366x x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+=-=-+ ⎪⎝⎭； 故答案为：256x x -+； （2）解：322223223222232x y x y y x x y x y x y --+=--； 故答案为：32222x y x y --；（3）解：222222223425621021022a b ab a b a b ab b ab a +--+=-+-=--； 故答案为：221022b ab a --.【点睛】此题考查整式的降幂及升幂排列，合并同类项法则，将多项式按照某个字母重新排列时注意该项的次数及符号，利用交换律将多项式重新排列.5．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是（a+b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．若（1+x ）45的展开式按x 的升幂排列得：（1+x ）45＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 45x 45，则a 2＝_____．990【分析】根据图形中的规律即可求出（1+x ）45的展开式中第三项的系数为前44个数的和计算得到结论【详解】解：由图2知：（a+b ）1的第三项系数为0（a+b ）2的第三项的系数为：1（a+b ）3的解析：990【分析】根据图形中的规律即可求出（1+x ）45的展开式中第三项的系数为前44个数的和，计算得到结论．【详解】解：由图2知：（a+b ）1的第三项系数为0，（a+b ）2的第三项的系数为：1，（a+b ）3的第三项的系数为：3＝1+2，（a+b ）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，…∴发现（1+x ）3的第三项系数为：3＝1+2；（1+x ）4的第三项系数为6＝1+2+3；（1+x ）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（1+x ）n 的第三项系数为1+2+3+…+（n ﹣2）+（n ﹣1），∴（1+x ）45＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 45x 45，则a 2＝1+2+3+…+44＝44(441)2⨯+＝990； 故答案为：990．【点睛】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b ）n 中，相同字母a 的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高．6．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，摆第n 个图，需用火柴棒的根数为_______________． 6n+2【解析】寻找规律：不难发现后一个图形比前一个图形多6根火柴棒即：第1个图形有8根火柴棒第2个图形有14＝6×1＋8根火柴棒第3个图形有20＝6×2＋8根火柴棒……第n 个图形有6n+2根火柴棒解析：6n+2．【解析】寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即：第1个图形有8根火柴棒，第2个图形有14＝6×1＋8根火柴棒，第3个图形有20＝6×2＋8根火柴棒，……，第n个图形有6n+2根火柴棒．7．===，……=m=_____________9【分析】根据观察可知：将代入即可得出答案【详解】解：……故答案为：【点睛】主要考查了学生的分析总结归纳能力规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析从特殊值的规律上总结出一般性的规律解析：9【分析】n+=代入即可得出答案．13n+，将210【详解】解：==……，n+13n+=210n∴=8∴=+=m n19故答案为：9．【点睛】主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．8．礼堂第一排有a个座位，后面每排都比第一排多1个座位，则第n排座位有________________．【分析】有第1排的座位数看第n排的座位数是在第1排座位数的基础上增加几个1即可【详解】解：∵第一排有个座位∴第2排的座位为a+1第3排的座位数为a+2…第n排座位有（a+n-1）个故答案为：（a+n +-解析：a n1【分析】有第1排的座位数，看第n排的座位数是在第1排座位数的基础上增加几个1即可．【详解】解：∵第一排有a个座位，∴第2排的座位为a+1，第3排的座位数为a+2，…第n排座位有（a+n-1）个．故答案为：（a+n-1）．【点睛】考查列代数式；得到第n 排的座位数与第1排座位数的关系式的规律是解决本题的关键． 9．在如图所示的运算流程中，若输出的数3y =，则输入的数x =________________．或【分析】由运算流程可以得出有两种情况当输入的x 为偶数时就有y=x 当输入的x 为奇数就有y=（x+1）把y=3分别代入解析式就可以求出x 的值而得出结论【详解】解：由题意得当输入的数x 是偶数时则y=x 当解析：5或6【分析】由运算流程可以得出有两种情况，当输入的x 为偶数时就有y=12x ，当输入的x 为奇数就有y=12（x+1），把y=3分别代入解析式就可以求出x 的值而得出结论． 【详解】解：由题意，得当输入的数x 是偶数时，则y=12x ，当输入的x 为奇数时，则y=12（x+1）． 当y=3时，∴3=12x 或3=12（x+1）． ∴x=6或5故答案为：5或6【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是，根据流程图，列出方程，解方程即可得出答案.10．已知22 251,34A x ax y B x x by =+-+=+--，且对于任意有理数,x y ，代数式 2A B - 的值不变，则12()(2)33a Ab B ---的值是_______．-2【分析】先根据代数式为定值求出ab 的值及的值然后对所求代数式进行变形然后代入计算即可【详解】∵对于任意有理数代数式的值不变∴∵∴原式=故答案为：-2【点睛】本题主要考查代数式的求值能够对代数式进解析：-2【分析】先根据代数式 2A B -为定值求出a,b 的值及 2A B -的值，然后对所求代数式进行变形，然后代入计算即可.【详解】222(251)2(34)A B x ax y x x by -=+-+-+--222512628x ax y x x by =+-+--++(6)(25)9a x b y =-+-+∵对于任意有理数 ,x y ，代数式 2A B - 的值不变∴60,250a b -=-=,29A B -=56,2a b ∴== ∵121()(2)2(2)333a Ab B a b A B ---=--- ∴原式=51629653223-⨯-⨯=--=- 故答案为：-2【点睛】 本题主要考查代数式的求值，能够对代数式进行化简，变形是解题的关键.11．已知()()2420b k k a k =--≠，用含有b 、k 的代数式表示a ，则a =______.【分析】将已给的式子作恒等式进行变形表示a 由于k≠0先将式子左右同时除以（-4k ）再移项系数化1即可表示出a 【详解】∵k≠0∴原式两边同时除以（-4x ）得∴∴故答案为【点睛】本题考查的是代数式的表示 解析：2248b k k+ 【分析】将已给的式子作恒等式进行变形表示a ，由于k≠0，先将式子左右同时除以（-4k ），再移项、系数化1，即可表示出a.【详解】∵k≠0，∴原式两边同时除以（-4x ）得，224b k a k=-- ∴224b a k k=+， ∴2224828b k b k a k k+=+=， 故答案为2248b k k+. 【点睛】本题考查的是代数式的表示，能够进行合理变形是解题的关键.1．父母带着孩子（一家三口）去旅游，甲旅行社报价大人为a元，小孩为a2元；乙旅行社报价大人、小孩均为a元，但三人都按报价的90%收费，则乙旅行社收费比甲旅行社贵多少元？（结果用含a的代数式表示）解析：乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a元．【分析】根据题意分别表示出甲乙两旅行社的费用，相减即可得到结果．【详解】根据题意得：（a+a+a）×90%-（a+a+12 a）=2.7a-2.5a=0.2a（元），则乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a元．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x，y的多项式my3＋3nx2y＋2y3－x2y＋y不含三次项，求2m＋3n的值．解析：-3.【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2=0，3n-1=0，求出m、n的值后代入进行计算即可．【详解】my3＋3nx2y＋2y3－x2y＋y＝(m＋2)y3＋(3n－1)x2y＋y，∵此多项式不含三次项，∴m＋2＝0，3n－1＝0，∴m＝－2，n＝13，∴2m＋3n＝2×(－2)＋3×13=-4+1＝－3.【点睛】本题考查了合并同类项和解一元一次方程的应用，关键是求出m、n的值．3．观察由“※”组成的图案和算式，解答问题（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= ；（3）请用上述计算103+105+107+…+2015+2017的值．解析：（1）102；（2）()22n + ；（3）1015480．【分析】（1）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可，此题中一共有10个连续奇数相加，所以结果应为102；（2）一共有(n+2)个连续奇数相加，所以结果应为n 2；（3）让从1加到2005这些连续奇数的和，减去从1加到101这些连续奇数的和即可．【详解】（1）由图片知：第1个图案所代表的算式为：1=21；第2个图案所代表的算式为：1+3=4=22；第3个图案所代表的算式为：1+3+5=9=23；…依次类推：第n 个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n-1）=2n ；1+3+5+…+19的个数为：191102+=， ∴1+3+5+…+19=210；故答案为：210；（2）1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）的个数为：23122n n ++=+， ∴1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=()22n +， 故答案为：()22n +；（3）103+105+107+…+2015+2017=（1+3+…+2015+2017）-（1+3+…+99+101）=21009-251=1015480．【点睛】本题考查了数字的变化规律的应用；判断出有几个奇数相加是解决本题的易错点；得到从1开始连续奇数的和的规律是解决本题的关键．4．计算：（1）()223537a ab a ab -+-++；（2）()222312424a a a a ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭. 解析：（1）62ab --；（2）2321a a --+【分析】先去括号，然后合并同类项即可．【详解】解：（1）()223537a ab a ab -+-++ 223537a ab a ab =-+--- 2ab =-6-；（2）()222312424a a a a ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ 2222261a a a a =+--+ 2321a a =--+．【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟记去括号法则和合并同类项的法则是解决此题的关键．。
初一数学整式的加减能力提升专题突破练习题5(探索规律 附答案)
初一数学整式的加减能力提升专题突破练习题5（探索规律附答案）1．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）在第n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________；（3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折．现在小明需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，小明参加哪个活动合算？2．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…．③（1）第①行的第7个数是．（2）如果第①行的数字为a，那么第②行的数字可表示为．（3）第③行的第n个数是．（4）第②行的第8个数与第③行的第8个数的和为．3．图中的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的.（1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 图形的周长（2）推测第n 个图形中正方形的个数为______（用含n 的代数式表示）.（3）在这些图形中，任意一个图形周长y 与它所含正方形个数x 之间的函数关系式为______.4．观察下列等式：第1个等式：a 1＝114⨯＝13×（11﹣14）； 第2个等式：a 2＝147⨯＝13×（14﹣17）；第3个等式：a 3＝1710⨯＝13×（11710-）；第4个等式：a 4＝11013⨯＝13×（111013-）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；第n （n 为正整数）个等式：a n ＝ ＝ ；（2）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值； （3）数学符号1nx =∑f （x ）＝f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ），试求10x=13(3)x x +∑ 的值．5．观察下列等式112⨯＝112-，123⨯＝1123-，134⨯＝1134-，将以上三个等式两边分别相加得：112⨯+123⨯+134⨯＝112-+1123-+1134-=1（1）猜想并写出：()11n n ⨯+＝ ．（2）直接写出下列各式的计算结果： ①112⨯+123⨯+134⨯+…+120182019⨯＝ ；②112⨯+123⨯+134⨯+…+()11n n ⨯+＝ ．（3）探究并计算：124⨯+146⨯+168⨯+…+120182020⨯． 6．生活与数学（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是 ；（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是 ；（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行8个数排成下图：①图中方框内的9个数的和与中间的数的关系是 ；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是．7．如图是由火柴搭成的一些图案．（1）照此规律搭下去，搭第4个图案需要多少根火柴？（2）照此规律搭下去，搭第n个图案需要多少根火柴？搭第2019个图案需要多少根火柴？8．将正整数1至2019按照一定规律排成下表：记a ij表示第i行第j个数，如a14＝4表示第1行第4个数是4．（1）直接写出a35＝，a54＝；（2）①若a ij＝2019，那么i＝，j＝，②用i，j表示a ij＝；（3）将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2026．若能，求出这5个数中的最小数，若不能请说明理由．9．仔细观察下列三组数：第一组：1，－4，9，－16，25，……第二组：－1，8，－27，64，－125，……第三组：－2，－8，－18，－32，－50，……（1）第一组的第6个数是_________；（2）第二组的第n个数是_________；（3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和．10．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．（1）请用含有n的式子表示出图1中所有圆圈的个数；（2）如果图1中的圆圈共有10层，我们自上往下，在每个圆圈中都按图2的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，，则最底层最右边这个圆圈中的数是：．（3）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的整数，1，2，2，3，3，3，…，请求出图3中所有圆圈中各数之和．11．实践与探索：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5 个数(如图)(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5 个数，若设中间的数为a，用a 的代数式表示十字框框住的5 个数字之和；(2)十字框框住的5 个数之和能等于285 吗？若能，分别写出十字框框住的5 个数；若不能，请说明理由；(3)十字框框住的 5 个数之和能等于 365 吗？若能，分别写出十字框框住的 5 个数；若不能，请说明理由．12．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如下所示的三角形，称为莱布尼兹三角形.若用有序实数对(,)m n 表示第m 行中从左到右的第n 个数，如(4,3)表示分数112，那么(9,2)表示的分数是什么？……13．如图，在第1个图形中，互不重叠的三角形有4个，在第2个图形中，互不重叠的三角形有7个，在第3个图形中，互不重叠的三角形有10个，…… （1）在第4个图形中，互不重叠的三角形有几个？（2）在第n 个图形中，互不重叠的三角形有几个？（用含n 的代数式表示）答案：1．(1)（n+3），（n+2） (2)4n+6;(3) 小明参加活动二合算,理由见解析【分析】（1）由n=1、n=2和n=3时图形中第一行和第一列的数量即可得出答案；（2）分别清点题目给出的三个图形中的白瓷砖和黑瓷砖的块数，然后通过分析，找出白瓷砖和黑瓷砖的块数与图形数之间的规律，即可解答此题；（3）根据题意分别列出两种活动中总费用的代数式，再代入求值即可．【详解】（1）根据题意知，在第n个图中，第一横行共n+3块瓷砖，第一竖列共有n+2块瓷砖，故答案为n+3，n+2；（2）通过观察图形可知，当n=1时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；当n=2时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；当n=3时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n2+n；白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4n+6，故答案为4n+6；（3）原价时，总价=4（4n+6）=16n+24，活动一：当n=6时，原式=112；活动二：4（4n+6）×0.9=14.4n+21.6，当n=6时，原式=108，综合上述，小明参加活动二合算．【点睛】图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．2．（1）62(2)-⨯-；（2）2a +；（3）1(2)n ---；（4）73(2)2-⨯-+ 【分析】（1）根据已知发现从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘2-得到的； （2）根据已知相应位置的数对比可以发现规律； （3）根据已知相应位置的数对比可以发现规律； （4）根据规律得出每行第8个数，相加即可． 【详解】（1）第①行数的规律是：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘2-得到的，即2-，()22-⨯-，22(2)-⨯-，32(2)-⨯-，…∴第①行的第7个数是62(2)-⨯-；（2）第②行的每个位置上的数是第①行相应位置的数加2得到的， 所以如果第①行的数字为a ，那么第②行的数字可表示为(2a +)； （3）第③行的每个位置上的数是第①行相应位置的数除以2得到的，∴第③行的第n 个数是：112(2)(2)2n n ---⨯-=--；（4）第②行的第8个数与第③行的第8个数的和为：7772(2)2(2)23(2)22-⨯--⨯-++=-⨯-+；故答案为：（1）62(2)-⨯-；（2）2a +；（3）1(2)n ---；（4）73(2)2-⨯-+．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． 3．（1）①8,18②13,28；③18,38；（2）5n+3;10+8;（3）2x+2 【解析】试题分析：（1）依此数出n=1，2，3，…，正方形的个数，算出图形的周长； （2）根据规律以此类推，可得出第n 个图形中，正方形的个数为及周长； （3）根据上问规律，得出y 与x 之间的关系．试题解析：（1）∵n=1时，正方形有8个，即8=5×1+3，周长是18，即18=10×1+8； n=2时，正方形有13个，即13=5×2+3，周长是28，即28=10×2+8；n=3时，正方形有18个，即18=5×3+3，周长是38，即38=10×3+8； （2）由（1）可知，n=n 时，正方形有5n+3个，周长是10n+8． （3）∵y=10n+8，x=5n+3， ∴y=2x+2．点睛：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的. 4．（1）11316⨯，13×（111316-）；1(32)(31)n n -+，13×（113231n n --+）；（2）100301；（3）905572【分析】（1）根据题干中的规律可得第5个等式，再总结规律可得1(32)(31)n n -+的值等于132n -和131n +的差再乘以13； （2）将a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100用各自的算式替换，再根据（1）中归纳的等式进行拆项计算； （3）依据数学符号1nx =∑的概念，可得10x=13(3)x x +∑对应的算式，再利用前两问得到的拆项算法计算即可. 【详解】解：（1）按以上规律知第5个等式为a 5＝11316⨯＝13×（111316-），第n 个等式a n ＝1(32)(31)n n -+＝13×（113231n n --+）（2）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100＝114⨯+ 147⨯+ 1710⨯+…+ 1(31002)(31001)⨯-⨯⨯+ ＝13×（1﹣14）+13×（1147-）+ 13×（11710-）+…+13×（11298301-）＝13×（1﹣111447+-+ 11710-+…+11298301-）＝13×（1﹣1301）＝13×300301 ＝100301； （3）()10x=133x x +∑ ＝314⨯+ 325⨯+ 336⨯+…+11013⨯.＝3×（111142536++⨯⨯⨯+…+11013⨯）＝3×[13×（1﹣ 14 ）+ 13×（1125-）+13×（1136-）+…+13×（111013-）] ＝1﹣14+ 12﹣15+ 13﹣16+ 14﹣17+ 15﹣18+ 16﹣19 + 17﹣11018+﹣ 111+11912-+111013- ＝1+ 12 + 13﹣111﹣112﹣113＝905572． 5．（1）111n n -+；（2）①20182019；②1n n +；（3）10094040．【分析】（1）仿照例题，裂项相消可得111(1)1n n n n =-++；（2）仿照例题的规律，将式子把乘法化为分数减法运算，用裂项相消的方法，化简即可求解；（3）所求式子先提公因式14，即化为（2）的形式，再可以用裂项相消的方法化简即可求解． 【详解】 解：（1）111(1)1n n n n =-++；故答案为111n n -+； （2）①111112233420182019+++⋯⋯+⨯⨯⨯⨯1111111112233420182019=-+-+-+⋯⋯+- 112019=- 20182019=； ②112⨯+123⨯+134⨯+…+()11n n ⨯+ 111111*********n n =-+-+-+⋯⋯+-+ 111n =-+ 1n n =+； 故答案为①20092010；②1n n +； （3）124⨯+146⨯+168⨯+…+120182020⨯ =11111111412423434410091010⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯⨯⨯⨯⨯ 11111()412233410091010=⨯+++⋯⋯+⨯⨯⨯⨯ 111111111()412233410091010=-+-+-+⋯⋯+- 11(1)41010=- 1100941010=⨯ 10094040=. 【点睛】本题考查数字的规律；根据例题将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键．6．（1）4；（2） 7、8、13、14；（3）10；（4）29；（5）①9个数的和是中间数的9倍； ②40；③28【分析】(1)先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可; (2)先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可; (3)先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示,用一元一次方程求解即可;(4)先根据日历，上的数据规律把所要求的数用代数式表示,用一元一次方程求解即可； (5)①根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系；②③根据①中规律得出即可.【详解】(1)设第一个数是x ,其他的数为x ＋ 1,x ＋ 7,x ＋8,则x ＋x ＋1＋x ＋7＋x ＋8＝ 32,解得x ＝4;这四个数是:4,5,11,12;故答案为:4,5,11,12，所以第一个数为4；(2)设第一个数是x ,其他的数为x ＋ 1,x ＋6,x ＋ 7,则x ＋x ＋1＋x ＋6＋x ＋ 7＝ 42,解得x ＝ 7，x ＋1＝8,x ＋6＝ 13,x ＋ 7＝ 14;故答案为:7,8,13,14;(3)设中间的数是x ,则5x ＝ 50,解得x ＝ 10;故答案为:10;(4)设最后一个星期日是x ，x －7，x －14，x －21，x －28，则x ＋x －7＋x －14＋x －21＋x －28＝75，解得：x ＝29，故答案为29；(5)①∵2＋4＋6＋18＋20＋22＋34＋36＋38＝180,180÷20＝9，∴方框内的9个数的和是中间的数的9倍，②中间一个数＝360÷9＝40，故答案为40；③中间一个数＝252÷9＝28，故答案为28.7．（1）17；（2）41n +，8077【分析】（1）根据前三幅图案发现规律，求第4个图案的火柴数；（2）归纳总结规律，用代数式把规律表示出来，然后代值求解．解：（1）第1个图案有5根火柴，第2个图案有9根火柴，第3个图案有13根火柴， 第4个图案的火柴数应该是第三个图案的火柴数加上4，9413+=，∴搭第4个图案需要13根火柴；（2）发现规律，下一个图案上的火柴数是上一个图案的火柴数加4，第1个图案火柴数5405+⨯=，第2个图案火柴数5419+⨯=，第3个图案火柴数54213+⨯=，…第n 个图案火柴数()54141n n +-=+，令2019n =，4201918077⨯+=，∴搭第2019个图案需要8077根火柴．8．（1）23，40；（2）①225，3；②9（i﹣1）+j；或者9i﹣9+j；（3）不能等于2026，见解析.【分析】(1)根据表格直接得出即可.(2)①根据每行由小到大排列8个数,用2019除以8,根据除数与余数即可求值.②根据表格数据排列规律即可.(3)设5个数最小的为x,用含x的代数式分别表示出其他4个数,根据求和等式列出方程,解出即可.解：（1）a35＝23，a54＝40;（2）①∵2019÷9＝224…3，∴2019是第225行的第3个数，∴i＝225，j＝3．故答案为225，3；②根据题意，可得a ij＝9（i﹣1）+j．故答案为9（i﹣1）+j；或者9i-9+j（3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为x+4，x+10，x+12，x+20，根据题意，得x+x+4+x+10+x+12+x+20＝2026，解得x＝396．∵396÷9＝44，∴396是第44行的第9个数，而此时x+4＝400是第45行的第4个数，与396不在同一行，∴将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和不能等于2026．9．（1）-36；（2）（-1）n n3；（3）700．【分析】（1）观察不难发现，第一组的数的绝对值为相应序数平方，第奇数个为正，偶数个为负，即可得出结果；（2）观察可知，第二组的数的绝对值为相应序数的立方，第奇数个为负，偶数个为正；（3）观察得出，第三组的数是相应序数平方乘以-2，求出当n等于10时的每组的第10个数，相加即可得出结论．【详解】解：（1）∵第一组按12，-22，32，-42，52，┅┅；∴第一组第6个数是：-62=-36，（2）∵第二组按-13，23，-33，43，-53，┅┅；∴第二组第n个数是：（-1）n n3．（3）第三组按12×（-2），22×（-2），32×（-2），42×（-2），52×（-2）┅┅；∴第一组的第n个数是（-1）n+1n2，第二组的第n个数是（-1）n n3，第三组第n个数是（-2）n2，∴当n=10时，三组的第10个数分别为：-100，1000，-200，∴这三个数的和为：-100+1000+（-200）=700．10．（1）(1)2n n+；（2）55；（3）385．【解析】试题分析：（1）根据图形中圆圈的个数变化规律得出答案即可；（2）第10层有10个数，最右边一个数为：1+2+3+ (10)（3）所有数字和为：1+2×2+3×3+4×4+…+10×10．试题解析：解：（1）图1中所有圆圈的个数为：()11232n nn+++++=个；（2）第10层有10个数，最右边一个数为：1+2+3+…+10=55 ；（3）图3中所有圆圈中各数之和：1+2×2+3×3+4×4+…+10×10=222123 (10)++++=110(101)(2101)6⨯+⨯+=385．11．(1) 5a；⑵可以；45，55，57，59，69；⑶不可能．【分析】（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，中间的数为a，上面的为a-12，下面的为a+12，左面的为a-2，右面的为a+2，这5个数的和可用a来表示，（2）代入285看看求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．（3）代入365看看求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．解：(1)从表格知道中间的数为a，上面的为a－12，下面的为a+12，左面的为a－2，右面的为a+2，a+(a－2)+(a+2)+(a－12)+(a+12)=5a；⑵5a=285，a=57，a=57 为奇数在第5 列，所以可以，十字框框住的5 个数分别,45，55，57，59，69；.⑶5a=365，a=73，又因为73÷12=6.....1，所以73 在第7 行第一列，因为我们设的a 是十字框正中间的数，故不可能．12．1 72.【解析】【分析】观察莱布尼兹三角形，分析每一行第一个数的规律，可得第8行左边的第一个分数是18，第9行左边的第一个分数为19，则第9行左边第二个分数为11.89-【详解】观察莱布尼兹三角形，第8行左边的第一个分数是18，第9行左边的第一个分数为19，则第9行左边第二个分数为1118972-=，所以92（，）表示的分数是172.13．（1）13（个）；（2）（3n+1）个.【解析】试题分析：第1个图形中，互不重叠的三角形有4个；第2个图形中，互不重叠的三角形有4+3=7个；第3个图形中，互不重叠的三角形有4+3×2=10个；第4个图形中，互不重叠的三角形有4+3×3=13个.……第n个图形中，互不重叠的三角形有4+3(n-1)=(3n+1)个.试题解析：解：(1)在题图第1个图形中，互不重叠的三角形有4个，在题图第2个图形中，互不重叠的三角形有7=4+3×1个，在题图第3个图形中，互不重叠的三角形有10=4+3×2个，所以在第4个图形中，互不重叠的三角形有4+3×3=13(个).(2)由(1)可得，在第n个图形中，互不重叠的三角形有4+3(n-1)=(3n+1)个.点睛：在根据图形的变化规律列代数式的问题中，常用的方法是用列举法从有限到无限寻找规律，分别列举出前面的几个图形中的互不重叠的三角形的个数，注意到每一个图形中互不重叠的三角形的个数与它前面的图形中互不重叠的三角形的个数之间的变化关系，即可找到规律.。
部编数学七年级上册专题05整式中的两种规律探索问题(解析版)(人教版)含答案
专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，……∴（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1∵（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0，∴x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1，则x 2019﹣1＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（）A ．5B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∵15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∴211154a ==--，∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∴314151-4a ==æö-ç÷èø，∴415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-，则前6个数的和是()()0110110++++-+-=，第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=，归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=´+Q ，且前6个数的和是0，\这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______．【答案】()12n nn-【详解】解：()11122-=-´，()221221242==-´，()3333182-=-´，()4414414162==-´，()55551322-=-´，……由此发现：第n 个数为()12n n n -．故答案为：()12n nn-【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++LL【答案】5221a b 【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∴()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6 (1)2n n -【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112´-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132´-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162´-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102´-=，……∴n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）．故答案为6；(1)2n n -．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∴12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n-【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064120213-=，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（ ）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，…故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形，解得n =100故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数22436485……n 12n +∴当n =16时，排数为：192n +=，∴前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872´+++´…9（颗），∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∴竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6，∴n =3×2+6×2=6+12=18．故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ，整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22，∴x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12，∴x +y =3z -24=12故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】Q 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，\第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，\第6行最后一个数字为：36216´-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M =m （n +1），∴M =11×(12+1)=143．故答案为：143．7．为了求220211222+++¼+的值，可令220211222S =+++¼+，则220222222S =++¼+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++¼+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++¼+的值是______．【答案】2021332--【详解】解：令1220211333S ---=+++¼+，则1220212022133333S ----=++¼++，因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++¼+=．故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．…拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人．故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147´-´=，172316247´-´=，不难发现，结果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8），根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数17193761（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n=+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-éùëû()()21322213312n n n n n --=+-=-+2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；∵6=4+2，28+2¹，∴2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∵m 是“筋斗数”，∴m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∴m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∵m 与13的和能被11整除，∴1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∵2b +a ≤9且a 、b 为整数，∴b ≤4.5∵1100a +110b 能被11整除，∴2000b +a +13能被11整除，∴b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∴a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∴m 的值为9909或2110或642212．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n ++++++++L ＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n +++++L 的值的几何图形．【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，1111111112481632641282562n ++++++++L 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；②设1111111112481632641282562n s =++++++++L ，111111111212481632641282n s -=++++++++L ，1212n s s \-=-，即112ns =-，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++L 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。
七年级数学思维探究(5)整式的加减(含答案)
5．整式的加减解读课标代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，是后续学习中进行运算、解决问题的基础．在代数式中，我们把那些含相同的字母，并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项，整式的加减就是合并同类项． 代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题，解这类问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代人，而关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求解的常用工具． 问题解决例1甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是____．试一试用m 的式子分别表示三家超市降价后的价格． 例2下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）A ．1627384950B ．2345678910C ．3579111300D ．4692581470 试一试用字母表示数，从揭示100个连续自然数之和的规律人手．例3已知关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-，当2x =时的值为17-，求当2x =-时该多项式的值．试一试设法求出a 、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念隐含的关于a 、b 的等式．例4有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为229 92 12111+==，请你找出所有这样的两位数． 试一试设原数为___ab ，发现______ab ba +的特点是解本例的出发点．例5如图，是用棋子摆成盼图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要______枚棋子，摆第n 个图案需要____枚棋子．…解法一 列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想．1716116a ==+=+⨯()21916121126a ==++=++⨯； ()33716121811236a ==+++=+++⨯； ……猜想()2112346331na n n n =++++++⨯=++…，再将6n =代入该代数式得137．解法二数形结合，分解图形，感悟从部分研究整体的思想．问题中“按照这样的方式摆下去”，何种方式并没有明确的界定，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分成三个平行四边形．如图，图的序列号：1，2，3，4，5，… 图中的点的数目：7，19，37，61，91，… ()171123a ==+⨯⨯；()2191233a ==+⨯⨯； ()3371343a ==+⨯⨯； ()4611453a ==+⨯⨯； ()5911563a ==+⨯⨯； ……猜想()2113331n a n n n n =++⨯=++⎡⎤⎣⎦整体思考整体思考是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向，例6（1）已知当1x =时，22ax bx +的值为3，则当2x =时，28ax bx +-的值为___（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm m ，宽为cm n ）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）A ．4cm mB ．4cm nC ．()2cm m n +D ．()4cm m n -图1图2（3）记12n n S a a a =+++…，令12nn S S S T n+++=…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的“理想数”，已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，求8，1a ，2a ，…，500a 的理想数试一试整体思考具体体现为：整体观察、整体变形、整体代入．对子（1），能求出a 、b 的值吗？对于（2），为表示图②中相关量，还需知道什么？对于（3），从理解“理想数”的意义人手，导出n T 与1a ，2a ，…，n a 的关系，要求的是501T 的值．数学冲浪 知识技能广场1．（1）若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则n m =______．（2）有一组单项式：2a ，32a -，43a ，54a -，…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出10个单项式为_______．2．（1）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用 含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律是_______．1=11+3=223+6=326+10=42…（2）如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是______（用含n 的代数式表示）． 3．数学翻译牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献．牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道．牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了．”下表是由牛顿给出，的1个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必求出问题的最后答案）．235a b -=1023a b -+（2）若m 、n 互为倒数，则()21mn n --的值为________．5．小王第一周每小时工资为a 元，工作b 小时．第二周每小时工资增加10%，工作总时间减少10%，则第二周工资总额与第一周工资总额相比（ ）A ．增加1%B ．减少1%C ．减少1.5%D ．不变 6．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图b0c a 所示，且a b =，则代数式a c a c b b --+---的值为（ ） A ．2c - B ．0 C ．2c D ．222a b c -+7．如果210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值为（ ）A ．6B ．8C ．6-D ．8- 8．已知多项式239x x +的和等于2341x x +-，则这个多项式是（ ） A ．51x -- B ．51x + C ．131x -- D ．131x + 9．已知多项式()()22262351x ax y bx x y +-+--+-．（1）若多项式的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值_____；（2）在（l ）的条件下，求多项式()()2222323a ab b a ab b ---++的值；（3）在（1）的条件下，求()2222111239122389b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅++⋅+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 10．如图所示，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注的①、②正方形边长分别是x ，y ，那么你能计算出其他8个正方形的边长吗？思维方法天地11．已知多项式432434325132021213ax ax x x x bx bx x +--+++--是二次多项式，则22a b +=_______．12．已知381P xy x =-+，22Q x xy =--，当0x ≠时，327P Q -=恒成立，则y 的值为______． 13．（1）若0m n p +-=，则111111m n p n p m p m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于_______． （2）已知2004a b -=，2005b c -=-，2007c d -=，则()()a c b d a d---的值为______．14．如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是________．第1个图第2个图第3个图15．当1x =-时，代数式3238ax bx -+的值为18，那么，代数式962b a -+=（ ） A ．28 B ．28- C ．32 D ．32-16．关于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如3235=+，337911=++，3413151719,=+++…，若3m 分裂后，其中有一个奇数是2013，则m 的值是（ ）A ．43B ．44C ．45D ．4617．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a 元和b 元．根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果m 千克与乙种糖果n 千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨%c ，乙种糖果单价下跌%d ，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么mn等于（ ） A ．ac bd B ．ad bc C ．bc ad D ．bdac18．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，则不是“巧数”的两位数的个数是（ ）A ．82B ．84C ．86D 8819．有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： （1）经5次分割后，共得到多少张纸片？ （2）经n 次分割后，共得到多少张纸片？（3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？为什么？20．已知：b 是最小的正整数且a 、b 、c 满足()250c a b -++=，试回答问题．（1）求a ，b ，c 的值；（2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在1到2之间运动时（即12x ≤≤时），请化简式子：1125x x x +--+-；（3）在（1）、（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 应用探究乐园21． 一条公交线路上从起点到终点有8个站，一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点站下车的乘客有多少人？22．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc （a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出5个数acb ，bac 、bca 、cab 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc ．现在设3194N =，请你当魔术师，求出数abc 来． 自然数的排序把自然数1，2，3，…，n 按一定的方式排列顺序，可得到形式特异、内涵丰富的排序问题，融知识性与趣味性于一体．解这类问题的关键是：通过观察能发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规律、特殊位置数的规律等．例1 将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对(),n m 表示第n 排、第m 个数，比如()4,3表示的数是9，则7,2表示的数是______．1 第1排2 3 第2排 4 5 6 第3排7 8 9 10 第4排 … …分析与解弄清题意是前提，找准规律是关键，正确表达尤重要，对于本例，最明显也对解题最有指导价值的规律是：第n 排有n 个数，要求(),n m 只需知道它是这个数中的第n 个数即可．前6排共有12345621+++++=个数，即第6排最后一个数是21，故()7,2表示的数是21223+=． 例2 正整数按如图所示的规律排列，请写出第二十行第二十一列的数字： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 2 5 10 17 … ↓ ↓ ↓ ↓ 第二行 4 ← 3 6 11 18 …↓ ↓ ↓ 第三行 9 ← 8 ← 7 12 19 … ↓ ↓ 第四行 16 ← 15 ← 14 ← 13 20 … ↓ 第五行 25 ← 24 ← 23 ← 22 ← 21 …试一试这个自然数表的特点可从以下方面观察：第n 行的第一个数，第一行第n 个数，每行或每列数的增减性．例3 将正偶数按下表排列5列．第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面排规律，则2000应在（ ） A ．第125行，第1列 B ．第125行，第2列 C ．第250行，第1列 D ．第250行，第2列试一试注意到每一行排4个数，奇数行空第一列，偶数行空第五列，只要计算出2000是第几个数即可．例4 将自然数按如图所示的顺序排列，在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列．问：1993排在第几行第几列？ 1 2 6 7 15 16 …3 5 8 14 17 …4 9 13 …10 12 …11 ……试一试从斜行方向上看，奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增． 例5 将正整数从1开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第一个拐弯处，3在第二个拐弯处，5在第三个拐弯处，7在第四个拐弯处……问：在第2007个拐弯处的数是多少． 试一试用n a 表示第n 次拐弯时所对应的数，从寻求n a 与n 之间的关系入手． (12345678910111213)141516171819202122练一练1．已知一列数：1，2-，3，4-，5，6-，7，…将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 2- 3 第3行 4- 5 6- 第4行 7 8- 9 10- 第5行 11 12- 13 14- 15 …… ……按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于______． 2．将正奇数按下表排列：3．自然数1，2，3，…，按下表规律排列：横排为行，记数据1，2，3，4的那一行为第一行，依次记下面的各行分别是2行，第3行，…．试问2011位于该表的第_____行，并对应于“启智杯竞赛有趣”中的汉字：_______．4+=123++=+45678+++=++9101112131415++++=+++161718192021222324…………由上，我们可知第100行的最后一个数是______．5．奇数宝塔东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异，数学中的宝塔更是千变万化、不计其数．从1开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔：第几行行中各数的和1131352327911333131********2123252729535313335373941636……………………观察行中各数的规律：前2行的各数之和332=++=+=；135123前3行的各数之和3332=+++++=++=；135**** ****前4行的各数之和33332…；=++++=+++=1 3 519 123410前5行的各数之和333332…；=++++=++++=135291234515因此，可推知前6行的各数之和333333…________；135********=++++=+++++=根据以上规律，猜想：333…=________．12n+++6．如图，数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．1234567891011121314151617181920212223242526272829303133343536………（1）表中第8行的最后一个数是____，它是自然数______的平方，第8行共有____ 个数． （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是______，最后一个数是____，第n 行共有______个数．（3）求第n 行各数之和． 7．自然数按右表的规律排列：（1）求上起第十行、左起第十三列的数； （2）数127应在上起第几行、左起第几列？252423222120191817161514131211109876543215．整式的加减答案问题解决例1 乙例2A 设自然数从1a +开始，这100个连续自然数的和为()()()12100a a a ++++++…1005050a =+例3 1-原多项式整理得()()()321235a x b a x b a x ++-++-由题意得10a +=从而1a =-，1b =-例4()()1010a b b a +++()11a b =+因而a b +是11的倍数，即11a b k +=⋅，且k 是完全平方数，由于a ≤9，9b ≤，得18a b +≤，1k =，从而11a b +=．推得这样的两位数有8个：29，38，47，56，65，74，83，92． 例6（1）由条件得23a b +=，原式2=-；（2）设小长方形的长为a ，宽为b∴上面的阴影周长为：()2n a m a -+-，下面的阴影周长为：()222m b n b -+-∴总周长为：()44442m n n a b +--+又∵2a b m +=∴()4442m n a b +-+4n =故选B（3）由定义得()()()112123121n n T a a a a a a a a a n ⎡⎤=++++++++++⎣⎦…… 即()()12311122n n n T na n a n a a a n -=+-+-++-⎡⎤⎣⎦… 又[]50012349950015004994982500T a a a a a =+++++… 1234995005004994982a a a a a +++++…2004500=⨯故8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数” 为[]501123499500150185004994982501T a a a a a =⨯++++++… []150182004500501=⨯+⨯2008=数学冲浪1．（1）4 （2）1110a - 2．（1）()()21122n n n n n -++= （2）42n -3．（1）()()11147004700333x x ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦ ()41470033x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（2）()41470033x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x =4．（1）5； （2）15．B 6．A 7．C 8．A9．（1）3a =-，1b =；（2）原式17=（3）原式62=10．③的边长为①、②边长之和：x y +；⑨的边长为③、②边长之和：()2y x y x y ++=+；⑧的边长为⑨、②边长之和：()23y x y x y =++=+；⑦的边长为⑧的边长加上②与①边长之差：()()34x y x y y ++-=；⑥的边长为⑦的边长减去①边长：4y x -；④的边长为⑥的边长减去①与③边长这客：()()4y x x x y --++33y x =-；⑤的边长为④、⑥边长之和：()()433y x y x -+-74y x =-；⑩的边长为⑤、④边长之和：()()7433y x y x -+-107y x =-11．2213a b +=由条件可得210a b --=且513a b +-0=12．2代入化简得()1320x y -=20y -=13．（1）3-（2）11003-14．22n n ++15．C 16．C 3m 分裂后的第一个数是()11m m -+，共有m 个奇数，由()4545111981⨯-+=()464612071⨯-=，得45m =17．D18．C 90486-=（个）19．（1）共得到13516+⨯=张纸片；（2）经n 次分割，共得到()13n +张纸片．（3）若能分得2003张纸片，则132003n +=，32002n =，无整数解，所以不可能经若干次分割后得到2003张纸片．20．（1）1a =-，1b =，5c =（2）原式122x =-（3）32AB t =+，34BC t =+，2BC AB -=，不随时间t 的改变而改变21．设前7站上车的乘客数量依次为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，7b ，8b 人，则1234567a a a a a a a ++++++2345678b b b b b b b =++++++又123456100a a a a a a +++++=，23456780b b b b b b +++++=，即7810080a b +=+，8720b a -=22．将abc 也加到和N 上，由于a 、b 、c 在每一位上都恰好出现两次， 所以()222abc N a b c +=++①从而()100031942223194a b c +>++>，于是1518a b c ++≤≤因为222153194136⨯-=，222163194358⨯-=，222173194580⨯-=，222183194802⨯-=．其中只有35816++=满足要求，即能使①成立，故358abc =．自然数的排序例2第n 行第一列数字为2n ，第1n +列数字为2n n +，故第二十行第二十一列的数字为22020420+=例3C 由22000n =，得1000n =，又10004250÷=例4第n 斜行中共有n 个连续的自然数，其中最大的数是()12n n +， 第62斜行的最大数是()6262119532+=， 第63斜行的最大数是()6363120162+=， 因此，1933位于第63斜行．又第63斜行中的数是由下向上递增的，左边第一个数是1954，则1993是位于第63斜行的由下向上数第199********-+=个位置的数，换数成原图中行和列是第6340124-+=行、第40列．例512a =，23a =，35a =，47a =，510a =，613a =，717a =，821a =，……， 又313a a =+，535a a =+，757a a =+，……即后一拐弯数=前一拐弯数+后一拐弯次数． 故200720052003200720052007a a a =+=++3572007a ==++++……2352007=++++…()11352007=+++++…()12007100412+⨯=+ 210041=+1008017=故第2007个拐弯处的数是1008017．练一练1．50-提示：前9行的数的个数和为123945++++=…，故第10行数为46-，47，48-，49，50-，51，……2．251，5参见例33．575；杯2011被7除得商287（为奇数），余数24．10200第k 行的最后一个数是()211k +-5．221；()2123n ++++…6．（1）64；8；15（2）222n n -+；2n ；21n -（3）设第n 行各数之和为S ，则()()()222212223n S n n n n n -=-++-+++项…()()()222212223n n n n n n -=-++-+++项…()()2222221n n n n =-++-322331n n n =-+-7．提示：经观察可得这个自然表的排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数， 并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第一个数为2n ；②第一行第n 个数是()211n -+；③第n 行中从第一个数至第n 个数依次递减1；④第n 列中从第一个数至第n 个数次递增1．这样可求：（1）上起第十行，左起第十三列的数应是第十三列的第10个数，即()213119154⎡⎤-++=⎣⎦ （2）数127满足关系式2127116=+()212115⎡⎤=-++⎣⎦即127在左起十二列，上起第六行的位置供应站的最佳位置的确定例1即在数轴上找出表示x 的点，使它到表示1，2，…，617各点距离之和最小， 当309x =时，原式的值最小，最小值是：309130923093080309310309311309616309617-+-++-++-+-++-+-…… 308307112308=+++++++……95127=例2∵213x x ++-≥516y y -++≥ ∴213x x ++-=516y y -++=得21x -≤≤，15y -≤≤故x y +的最大值为6，最小值为3-．练一练1．放B 、C （含B 、C ）之间任一处2．253．0，1-由条件得23x ≤≤，原式2x =-4．D 只要3x <，1y <，4z <中至少有一个成立，则229x y z x y z -+++<≤， 这与条件矛盾，从而得3x =，1y =，4z =，3x =，1y =-，4z =或3x =-，1y =，4z =-5．B 各线段间的距离如图．首先排除选择点A 和D ，然后比较C 点和G 点．6．A 原式1111111.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.535791113x x x x x x =-+-+-+-+-+- 该式子可以看成数轴上的某点到13，15，…，113各个点的距离乘以相应系数后积的和． 因为1.5 2.5 3.5 4.5+++5.56.5=+，所以该点在111和19之间时，和最小． 7．（1）5；（2）500000提示：当10001002x ≤≤时，原式有最小值，这个最小值为：()()()100221004420001000500000-+-++-=… 8．最大值为11，最小值为5-乘方美谈练一练1．略2．（1）520082008、20092009的个位数字分别与42008、2009的个位数字相同（2）9910109.9109.9910 1.0110 1.110⨯<⨯<⨯<⨯3．823⎛⎫ ⎪⎝⎭4．11312- 5．（1）()10077125⨯++ ()10088125⨯++（2）()100125n n ⨯++（3）39800256．C 7．A 8．C 9．B 10．B11．（1）6提示：1222n n n +-=（2）64729 12．（1）因为20024500233⨯+=，20024500244⨯+=，所以20023与200024的个位数字分别与23、24的个位数字相同，即9，6，从而2002200234+的个位数字为5，因此，20022000234+是5的位数．（2）41k n n +-一定是10的倍数，原式()()()()()2005200520051111n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=+-++-+---⎣⎦⎣⎦每个括号里的数都能被10整除，所以全式也能被10整除．13．设金片数为n 时的移动次数为n a ，21n n a =-，完成64片金片的转移总共需要的时间为64215849365246060-=⨯⨯⨯（亿年），而太阳系的寿命是100亿~150亿年，等到那时宇宙早已毁灭．。
初一数学整式的加减试题答案及解析
初一数学整式的加减试题答案及解析1.已知x-y=4，x-3y=1，则x2-4xy＋3y2的值为．【答案】4.【解析】把x2-4xy＋3y2分解为(x-y)(x-3y),然后把x-y=4，x-3y=1代入求值即可.试题解析：原式=(x-y)(x-3y)把x-y=4，x-3y=1代入上式得：原式=4×1=4.【考点】1.因式分解.2.求代数式的值.2.因式分解：(1)x3-4x； (2)(3a-b)(x-y)＋(a＋3b)(y-x)．【答案】(1) x(x+2)(x-2)；(2) 2(x-y)(a-2b).【解析】（1）先提出公因式x，剩下的因式用平方差公式分解即可；（2）两次提取公因式即可得解.试题解析：（1）原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)；（2）原式=(3a-b)(x-y)-(a＋3b)(x-y)=(x-y)(2a-4b)=2(x-y)(a-2b).【考点】1.因式分解——提公因式法；2.因式分解——公式法.3.先化简，再求值：若，求代数式的值．【答案】156．【解析】依据绝对值和有理数的偶次方的性质，可得；把原式化简代入即可. ∵，又∵，∴，∴，原式＝，=，=，=，当时，原式＝ ,=-4×9×(-2)+7×3×4，=72+84，=156.【考点】1.整式的加减；2.绝对值；3.有理数的乘方.4.（1）5x-（3x-2y）-3（x+y），其中x=-2，y=1．（2）先化简，再求值：a（a－1）－（a2－b）= －5 求：代数式－ab的值．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）先去括号、合并同类项得出-x-y，再把x=-2，y=1代入求出即可．（2）先去括号、合并同类项求出a-b=5；再化简，代入即可求值．试题解析：(1)原式=5x-3x+2y-3x-3y=-x-y，当x=-2，y=1时，原式=-（-2）-（-1）=3．(2)原等式变形得：a2-a-a2+b=-5∴a-b=5将a-b=5代入上式得：原式=．【考点】整式的加减—化简求值．5.（-8x2-16y）- (3x2-9y) ，其中x=,y=【答案】-1.【解析】原式去括号合并得到最简结果，将x、y的值代入计算即可求出值．试题解析: （-8x2-16y）- (3x2-9y)=-2x2-４y-ｘ2＋3y=-3x2-ｙ当ｘ=,ｙ=时，-3ｘ2-ｙ=-３×（）２-＝-１考点: 整式的加减—化简求值．6.已知代数式的值为，求代数式的值.【答案】-6【解析】解：.因为3，故上式.7.在排成每行七天的日历表中取下一个方块（如图）.若所有日期数之和为189，则的值为（）A．21B．11C．15D．9【答案】A【解析】日历的排列是有一定规律的，在日历表中取下一个3×3方块，当中间的数是的话，它上面的数是，下面的数是，左边的数是，右边的数是，左边最上面的数是，最下面的数是，右边最上面的数是，最下面的数是.若所有日期数之和为189，则，即，解得：，故选A．8.观察烟花燃放图形，找规律:依此规律，第9个图形中共有_________个★.【答案】20【解析】根据图形易知，当图形n=1时，个数=2×（n+1）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
…
图1
图2
图3
8. 一个纸环链，纸环按“红黄绿蓝紫”的顺序重复排列，截去其中的一部分， 剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）
红 黄绿蓝紫红黄绿 … … 黄绿蓝紫
A．2 012
B．2 013
C．2 014
D．2 015
9. 小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练ห้องสมุดไป่ตู้数数，数到 2
013 时对应的手指头是（ ）
A．大拇指 B．食指
C．小拇指 D．无名指
3
17
大大大 9 1
2 8 10 16 18
3 7 11 15 19 5 4 6 12 14
13
10. 如图，平面内有公共端点的八条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH， 从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，8， 9，…． （1）“20”在射线______________上； （2）请任意写出三条射线上的数字排列规律； （3）“2 015”在哪条射线上？ B
的平方，第 8 行共有________个数；
（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是_________， 最后一个数是_________，第 n 行共有_________个数． 2. 将 1，2，3，4，5，6，…按一定规律排成下表：
第一行 第二行 第三行 第四行
1 2，3 4，5，6 7，8，9，10
…
从第 1 个球起到第 2 014 个球止，共有实心球________个． 思路分析 ①判断该题是循环规律，查找重复出现的结构，即循环节； ②观察图形的变化规律，发现每 10 个球为一个循环，每个循环节里有 3 个 实心球．故 2 014÷10=201…4，201×3=603； ③再从某个循环节开始查前 4 个球，发现有 2 个实心球，故总数为 603+2=605 （个）．
C
10
A
11
32
9
D 12 4
1
H
5O
8 16
67 13
15
14 E
G
思考小结
F
1. 我们学习了数的规律、式的规律、图形规律、循环规律等，它们都有对应的
操作方法．
（1）数与式的规律：
①_________；②_________；③处理符号；④验证．
（2）图形规律：
①观察图形的构成：____________________；
巩固练习
1. 如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．
1
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 …
（1）表中第 8 行的最后一个数是_____，它是自然数______
探索规律（习题）
例题示范
例 1：观察图 1 至图 4 中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记 第 n 个图中小圆圈的个数为 M，则 M=__________（用含 n 的代数式表示）．
…
图1
图2
图3
图4
思路分析
做图形规律的题，我们一般从两个方面来研究：
（1）观察图形的构成．
（2）转化．
观察本题的图形，发现后面的图形总比前面的图形多 3 个小圆圈，可以采用
…
…
（1）第 8 行的数是_________________________________； （2）第 50 行的第一个数是_______． 3. 下列图形由边长为 1 的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第 8 个图 形中正方形有（ ）
…
图1
图2
图3
A．38 个
B．41 个
C．43 个
D．48 个
分类的手段进行解决．分成原来的和增加的两类．
①2+3×1
②2+3×2
③2+3×3
④2+3×4
则第 n 个：2+3n=3n+2．
验证：当 n=1 时，3n+2=5，成立．
故第 n 个图形中有(3n+2)个小圆圈．
（想一想，还有其他观察角度吗？）
例 2：观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：
2. （1）29，-30，31，-32，33，-34，35，-36；
（2）-1 226．
3. C
4. 179
5. 5n+3
6. n2-n+1
7.
64 27
，
4 3
n1
8. B
9. C
10. （1）OD
（2）射线 OA：8n-7；射线 OB：8n-6；射线 OC：8n-5； 射线 OD：8n-4；射线 OE：8n-3；射线 OF：8n-2；射线 OG：8n-1；射线 OH： 8n．任选三个即可．
②转化：________________________________________．
（3）循环规律：
①________________；②____________________．
4
【参考答案】 巩固练习
1. （1）64，8，15； （2）(n-1)2+1（或 n2-2n+2），n2，(2n-1)．
（3）在射线 OG 上．
思考小结
1. （1）①标序号；②找结构． （2）①分类，去重，补形；②转化为数的规律或其他图形的规律． （3）①确定起始位置；②找循环节．
5
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
2
…
图1
图2
图3
6. 观察下列图形，根据图形及相应点的个数的变化规律，第 n 个图形中点的个 数为__________．
…
图1 图2
图3
图4
图5
7. 如图 1，一等边三角形的周长为 1，将这个等边三角形的每边三等分，在每 边上分别以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图 2；再 将图 2 中的每一段作类似变形，得到图 3；按上述方法继续下去得到图 4， 则第 4 个图形的周长为________，第 n 个图形的周长为________________．
4. 如下图所示，摆第 1 个“小屋子”要 5 枚棋子，摆第 2 个要 11 枚棋子，摆
第 3 个要 17 枚棋子，则摆第 30 个要_________枚棋子．
…
第1个
第2个
第3个
5. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第 n 个图案中白色正方形的个数为_________．