导数的概念
导数的基本定义与解析几何的关系
导数的基本定义与解析几何的关系导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本定义是通过极限来描述函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义，并研究导数与解析几何之间的关系。
一、导数的基本定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下极限定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个无限接近于0的数。
这个定义可以理解为当x的增量趋近于0时，函数在x点处的平均变化率。
而导数则描述了函数在x点处的瞬时变化率。
二、导数与函数的图像导数与函数的图像之间有着密切的联系。
在函数的图像中，导数可以表示为函数曲线上某点处的切线斜率。
具体来说，如果函数在某一点的导数为正，那么函数图像在该点上升；如果导数为负，函数图像在该点下降；如果导数为零，函数图像在该点处达到极值。
三、导数与解析几何导数与解析几何之间的关系非常紧密。
通过导数，我们可以研究函数图像的性质，进而对解析几何中的曲线进行分析。
1. 切线与法线导数可以帮助我们确定曲线上某点处的切线方程。
对于函数f(x)，在点(x0,f(x0))处的切线方程可以表示为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)为函数在该点处的导数。
而法线方程可以通过切线方程的斜率倒数得到。
2. 曲线的凹凸性导数还可以帮助我们研究曲线的凹凸性。
在函数的图像中，如果导数在某个区间上恒大于零，那么函数在该区间上是凹的；如果导数在某个区间上恒小于零，那么函数在该区间上是凸的。
3. 极值点通过导数，我们可以找到函数的极值点。
对于函数f(x)，极值点可以通过导数的零点来确定。
当导数从正数变为负数时，函数图像上的极大值点出现；当导数从负数变为正数时，函数图像上的极小值点出现。
四、导数的应用导数在数学和科学中有着广泛的应用。
以下是一些导数的应用领域：1. 最优化问题导数可以帮助我们解决最优化问题，例如求函数的最大值和最小值。
导数的定义与计算
导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
本文将介绍导数的定义和计算方法。
一、导数的定义在数学中，导数可以通过极限的方法来定义。
设函数y=f(x)，若函数在点x处的导数存在且有限，则导数表示为f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的变化率。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
通过导数，我们可以研究函数的变化趋势、拐点、极值等重要性质。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面将介绍一些常见的计算方法。
1. 函数可导情况下的基本运算法则（1）常数法则：若c为常数，则导数(常数)=0。
（2）幂函数法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则导数f'(x)=nx^(n-1)。
（3）指数函数法则：若f(x)=a^x，其中a为常数，则导数f'(x)=a^x*ln(a)。
（4）对数函数法则：若f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则导数f'(x)=1/(x*ln(a))。
（5）三角函数法则：若f(x)=sin(x)，则导数f'(x)=cos(x)。
2. 导数的基本运算法则（1）和差法则：若f(x)=u(x)+v(x)，则导数f'(x)=u'(x)+v'(x)。
（2）积法则：若f(x)=u(x)v(x)，则导数f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
（3）商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则导数f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
（4）复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
3. 使用导数计算函数的极值为了找到函数的极值点，我们可以先求得函数的导数，然后解方程f'(x)=0。
解得的x值即为函数的极值点。
三、导数的应用导数是微积分的基本工具，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
导数概念的理解
导数概念的理解在数学中，导数的概念是十分重要的，它是求取一个函数因变量的变化率的基本工具。
在数学中，导数常常描述一个函数的变化趋势，它是函数发展的基本方法之一。
首先要认识什么是导数，定义来讲，导数是一个函数某一点上变量变化率的量化值，例如：给定一个函数y=f（x），当变量x发生变化时，函数y理论上也会发生变化，而这种变化率就是导数。
另一方面，想要理解导数的概念，必须先熟悉它的计算公式，对导数的计算，可以使用极坐标的方法或者微分的方法，极坐标的方法比较容易，它的定义式为：f(x) = lim h→0 (f(x+h)-f(x))/h在此，f（x）表示函数f（x）的导数，h为变量的微小变化量。
当函数发生变化的时候，变化率等于函数发生变化的量和变量发生变化的量的比值，从另一方面来看，在函数一点变化时，变化率等于这个函数变化的绝对值和变量发生变化量的比值，我们也可以用微分的方法计算函数的导数，这种方法是基于函数的图像来求解导数，它可以用以下几种方式求解：1.据定义式求解：例如，求y=x2的导数，那么具体的步骤为： 1）定义式：f(x)=lim h→0 (f(x+h)-f(x))/h2）计算：f(x)=lim h→0 (x2+2xh+h2-x2)/h=lim h→0(2xh+h2)/h=2x3）结果：f(x)=2x2.斜率的方法求解：假设有一个函数，它的图形如下：1）将它拆分为两个等腰直角三角形，求其斜率：（1）求对边斜率：斜率=tanθ=Δy/Δx=4/4=1（2）求临边斜率：斜率=tanθ=Δy/Δx=2/3=2/32）斜率就是函数的导数，所以：f(x)=1或者f(x)=2/3另外，还有一种求解导数的方法，叫做“极限的方法”，说白了，就是利用极限的概念，使变量的变化逐渐接近于零，继而求得函数的导数。
再次强调，导数概念可以用于函数发展，它可以帮助理解函数变化的趋势，由此也可以简化函数发展的过程。
例如，已经知道一个函数的导数，那么它的增减会更清楚，从而帮助我们简化函数的发展。
导数的定义及计算
导数的定义及计算导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率或斜率。
在本文中，我们将介绍导数的定义及计算方法，并通过一些具体的例子来加深理解。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限操作，h表示自变量x的变化量，也可以解释为一个无限小的增量。
根据这个定义，我们可以得出导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率。
二、导数的计算方法1. 基本导数公式导数有一些基本的计算公式，这些公式可以帮助我们计算各种类型函数的导数。
下面是一些常用的基本导数公式：- 常数函数导数：常数函数的导数为0。
- 幂函数导数：幂函数f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：指数函数f(x) = a^x（其中a>0且a≠1）的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
- 对数函数导数：对数函数f(x) = ln(x)（其中x>0）的导数为 f'(x) = 1/x。
- 正弦函数导数：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为 f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数导数：余弦函数f(x) = cos(x)的导数为 f'(x) = -sin(x)。
通过运用这些基本导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的运算法则导数还具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。
下面是导数的运算法则：- 和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
- 积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) +f(x)·g'(x)。
导数的概念及运算
导数的概念及运算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的概念在数学和物理学中都有广泛的应用，是解决问题和研究现象的重要工具。
导数的定义可以通过极限来进行解释。
对于函数f(x)，如果存在一个常数a，使得当x趋近于a时，函数f(x)与直线L的斜率趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是函数f(x)在点a处的导数。
导数通常用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)来表示。
导数的运算规则是微积分中的重要内容之一，它可以帮助我们求解复杂函数的导数。
常见的导数运算规则包括常数法则、幂法则、和法则、差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
常数法则指出，对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
这是因为常数不随x的变化而变化，所以其变化率为0。
幂法则指出，对于任意正整数n和常数c，有d/dx(x^n) =nx^(n-1)。
这是因为幂函数的导数与幂指数有关，且指数减1。
和法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)+g(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))。
这是因为求导是一个线性运算，可以对每一项分别求导。
差法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)-g(x)) = d/dx(f(x)) - d/dx(g(x))。
这也是因为求导是一个线性运算。
乘法法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
这是因为乘法的导数可以通过对每一项分别求导得到。
除法法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
这是因为除法的导数可以通过乘法和差法则得到。
复合函数法则指出，对于复合函数y = f(g(x))，其导数可以通过链式法则求得。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
导数的概念
导数的概念
一．导数的概念：
在数学中，函数()y f x =在0x 点处的瞬时变化率也叫函数在0x 处的导数，通常用符号 记作： 。
二．问题解决：
例1：一条水管中流过的水量y （单位：m 3）是时间x （单位：s ）的函数()3y f x x ==，求函数()y f x =
在2x =处的导数'(2)f ，并解释它的实际意义。
例2：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量量y （单位：kg ）是时间x （单位：h ）的函数()y f x =。
假设函数()y f x =在1x =和3x =处的导数分别为'(1)4f =和'(3) 3.5f =，试解释它们的实际意义。
二．当堂检测：
1.服药后，人体血液中药物的质量浓度y （单位：ug/mL ）来表示，它是时间t （单位：min ）的函数，表示为()y f t =，假设函数()y f t =在10t =和100t =处的导数分别为'(10) 1.5f =和'(100)0.6f =-，试解释它们的实际意义。
2.设x （单位：km ）表示从一条河流的某一处到某源头的距离，y （单位：km ）表示这一点的海拔高度，y 是x 的函数()y f x =。
假设函数()y f x =在100x =处的导数为'(100)0.1f =-，试解释它的实际意义。
导数的概念及运算
四、导数的几何意义 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 即:
注意：曲线在某点处的切线，
02Biblioteka 与该点的位置有关;要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
导数的概念及运算
Report
单击此处添加文本
汇报人姓名
导数的概念
有关导数定义的几点理解：
定义法求函数的导数
习题：
三、导数的计算
1
2
3
导数的运算法则
例4:求下列函数的导数:
复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为 y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
因为两切线重合,
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
函数的导数的概念
函数的导数的概念
函数的导数是指函数的变化率，它表示函数变化量与改变量之间的关系。
换句话说，它表示函数输入发生变化时，输出值变化的幅度大小。
导数常用来衡量曲线在某一点处的切线斜率，比如一元函数的导数可以表示曲线在该点处的斜率，二元函数的导数可以表示曲面在该点处的切面斜率等。
为了理解函数的导数，我们首先来考虑一维情形，即y=f(x)的函数。
当x的值发生变化时，y的值也会相应的发生变化，此时，y的变化量Δy 与x的变化量Δx 的比值为曲线上此点的切线斜率，即函数的导数。
因此，在微分学中，函数的导数被定义为：
函数f (x) 的导数为：
f '(x)=limΔx→0ΔyΔx
这是一种极限形式的描述，它表达的含义是： x 非常接近某一特定的值 x0 时，若Δx 极小，则ΔyΔx 就接近函数f (x) 在点x0 处的导数f '(x0)。
而在多元函数中，函数的导数可以被看成一个向量，它的每一个分量分别表示关于每个变量的导数值。
比如，一个多元函数z =f (x，y) 的导数向量为：
∇f (x, y)=(f_x(x, y), f_y(x, y))
其中f_x (x, y) 表示 f (x，y) 关于 x 的偏导数，f_y (x, y) 表示 f (x，y) 关于 y 的偏导数。
导数在微积分中扮演着重要的作用，它不但可以表示函数的变化量，还可以用来求函数的极值、求解微分方程、测量曲面等。
这些重要的应用使得导数成为微积分的一个难点，有关它的学习和研究也成为数学应用领域中很重要的内容之一。
高中数学导数的定义
高中数学导数的定义在高中数学的学习中，导数是一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为我们解决许多实际问题提供了有力的工具。
那么，究竟什么是导数呢？让我们从一个简单的例子开始。
想象一下，你正在参加一场跑步比赛。
在比赛过程中，你想知道自己在某一时刻的瞬时速度是多少。
速度，我们都知道，是路程除以时间。
但如果要知道某一特定瞬间的速度，就不能简单地用总路程除以总时间了，因为这只能得到平均速度。
而导数，就是用来解决这类问题的。
从数学的角度来看，导数描述的是函数在某一点处的变化率。
比如说，有一个函数 y ＝ f(x) ，它表示了某个量 y 随着另一个量 x 的变化而变化。
那么，导数 f'（x) 就表示了在 x 这个点上，y 相对于 x 的变化快慢程度。
具体来说，导数的定义是通过极限来给出的。
假设函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的邻域内有定义，如果当自变量 x 在 x₀处取得增量Δx （Δx可正可负，但不等于 0）时，函数 y 相应地取得增量Δy ＝ f(x₀＋Δx) f(x₀) ，那么当Δx 趋近于 0 时，比值Δy/Δx 的极限存在，这个极限就称为函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数，记作 f'（x₀) 。
用数学式子表示就是：f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
为了更好地理解这个定义，我们可以通过一些具体的函数来进行分析。
比如，对于函数 f(x) ＝ x²，我们来求它在 x ＝ 1 处的导数。
首先，计算函数的增量：Δy ＝ f(1 ＋Δx) f(1) ＝（1 ＋Δx)² 1² ＝1 ＋2Δx ＋（Δx)² 1 ＝2Δx ＋（Δx)² 。
然后，计算比值：Δy/Δx ＝（2Δx ＋（Δx)²) ／Δx ＝ 2 ＋Δx 。
最后，当Δx 趋近于 0 时，这个比值的极限就是 2，所以函数 f(x) ＝ x²在 x ＝ 1 处的导数为 2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章导数与微分 本章教学目标与要求 理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
本章教学重点与难点 1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导； 4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算
§2.1导数的概念
教学目的与要求 1.理解函数导数的概念及其几何意义. 2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线. 3.了解导数与导函数的区别和联系. 4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.
教学重点与难点 1.函数导数的概念、基本初等函数的导数 2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数
一、引例 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的． 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念． 1．瞬时速度
思考：已知一质点的运动规律为)(tss，0t为某一确定时刻，求质点在0t时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度ts，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运
动的路程是时间的函数)(ts，则质点在0t到tt0这段时间内的平均速度为
可以看出它是质点在时刻0t速度的一个近似值，t越小，平均速度v与0t时刻的瞬时速度越接近.故当0t时，平均速度v就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t时刻的瞬时速度，即物体在0t时刻的瞬时速度为
ttsttsvvtt)()(limlim00
0_0（1）
思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为： 22
1gts，
按照上面的公式，可知自由落体运动在0t时刻的瞬时速度为
000202000000)21(lim21)(21lim)()(lim)(0gttggttgtttgttsttstvttt。
这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式. 2．切线的斜率 思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？ 引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义. （1）切线的概念 曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单
说：切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长MN趋于0，NMT也趋向于0.（如图所示） （2）求切线的斜率 设曲线C为函数)(xfy的图形，CyxM),(00，则)(00xfy，点00(,)Nxxyy为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：
根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即0x，割线的斜率趋向于切线的斜率。也就是说，如果0x时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k，即 0000()()tanlimlimxxfxxfxykxx
（2）
3.边际成本 设某产品的成本C是产量x的函数()CCx，试确定产量为0x个单位时的边际成本。 用前两例类似的方法处理得： 00()()CxxCxCxx
表示由产量0x变到0xx时的平均成本，如果极限
000()()limxCxxCxCxx
（3）
存在，则此极限就表示产量为0x个单位时成本的变化率或边际成本。 思考：上述三个问题的结果有没有共同点？ 上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如
xxfxxfx）000()(lim（4）
的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.
二、导数的定义 1．导数的概念 定义设函数)(xfy在点0x的某邻域内有定义，当自变量x在点0x处取得增量x（点xx0仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量)()(00xfxxfy，如果极限
存在，则这个极限叫做函数)(xf在点0x处的导数，记为 当函数)(xf在点0x处的导数存在时，就说函数)(xf在点0x处可导，否则就说)(xf在点0x处不可导.特别地，当0x时，xy，为了方便起见，有时就说)(xfy在点0x处
的导数为无穷大. 关于导数有几点说明： （1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有
（2）00()()fxxfxyxx反映是自变量x从0x改变到0xx时，函数()fx的平均
变化速度，称为函数()fx的平均变化率；而导数'00()limxyfxx反映的是函数()fx在点0
x
处的变化速度，称为函数()fx在点0x处的变化率。 2．导函数的概念 上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数)(xfy在开区间I的每一点都可导，就称函
数)(xfy在开区间I内可导，这时，Ix，都对应)(xf的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做)(xfy的导函数，记作：
dxxdfdxdyxfy)(),(,''或。
即，导函数的定义式为：
xxfxxfyx)()(lim0或.)()(lim)(0hxfhxfxfh
在这两个式子中，x可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，x是常量，x或h才是
变量；并且导数)(0'xf恰是导函数)('xf在点0x处的函数值. 3.单侧导数的概念 我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。
定义极限xxfxxfx)()(lim000和xxfxxfx)()(lim000分别叫做函数)(xf在点0x处的左导数和右导数，记为)(0xf和)(0xf. 如同左、右极限与极限之间的关系，显然： 函数)(xf在点0x处可导的充分必要条件是左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在并且相等. 还应说明：如果)(xf在开区间),(ba内可导，且)(af和)(bf都存在，就说)(xf在闭
区间],[ba上可导. 三、按定义求导数举例 1．根据定义求函数的导数的步骤 根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ①求增量：)()(xfxxfy
②算比值：xxfxxfxy)()( ③求极限：xyyx0lim 2．运用举例 例1求Cy的导数（C为常数）.
解求增量0CCy 作比值0xy 取极限0lim0xyx 所以0)('C 即常量的导数等于零. 例2求函数)(Nxxyn的导数. 解nnnnnxxxnnxnxxxxy)()(!2)1()(221，
121)(!2)1(nnnxxxnnnx
x
y，
10'limnxnxxyy
，
即 注意：以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即
例如：xx21)('，2'11)(xx 例3求xxfsin)(的导数. 解hxhxhxfhxfxhhsin)sin(lim)()(lim)(sin00' 即 xxcos)(sin'.
用类似方法，可求得 xxsin)(cos'.