平面向量(教案)
【教案】平面向量数乘运算的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、内容和内容解析内容：平面向量数乘运算的坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第四课时的内容．前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握向量数乘运算的坐标表示.（2）会根据向量的坐标，判断向量是否共线．目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用分配律，推导出向量数乘运算的坐标表示．（2）三点共线问题和定比分点问题都可以转化为向量平行问题，利用共线向量基本定理推导得出结论.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数乘运算的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导向量数乘运算的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数乘运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合平面向量的坐标表示推理出结论．2. 教学问题二：研究三点共线和定比分点问题是本节课的第二个教学问题．解决方案：将三点共线转为两个向量平行，利用共线向量基本定理，结合平面向量基本定理推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：向量的坐标表示的理解及运算的准确性．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数乘运算的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的．在教学过程中，重视平面向量数乘运算的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1506＋502＝2 008(km).晶晶：502×4＝2 008(km).可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.用实际问题引入，激发学生学习的积极性.探索交流，解决问题[问题1]当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[问题2]如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？[问题3]已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？【练习】已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.[问题4]如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向教师1：提出问题1．学生1：学生思考．横、纵坐标均不为0时成比例.教师2：提出问题2．学生2：能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.教师3：提出问题3．学生3：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x,2y)；3a＝2a＋a＝(2x,2y)＋(x，y)＝(3x,3y)．教师4：平面向量数乘运算的坐标表示：已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．教师5：完成练习学生4：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).教师6：提出问题4.通过复习共线向量定理引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.量定理，a 与b 共线时，存在唯一实数λ，使a ＝λb ，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a 与b 的坐标之间的关系吗？[问题5]如图，线段P 1P 2的端点P 1，P 2的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，点P 是直线P 1P 2上的一点，当21PP P P λ=时，点P 的坐标是什么？学生5：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1y 2＝x 2y 1.教师7：平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1))，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.教师8：中点坐标公式 若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.教师9：提出问题5.学生6：)1,1(2121λλλλ++++y y x x P通过探究让学生掌握向量的数乘的坐标表示，培养数学运算的核心素养.通过探究得出一般结论，通过学生解决问题的能力.典例分析巩固落实 1.向量数乘运算的坐标表示 例1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3，－4)，c ＝(－2,6)，试求a ＋3b, 3a －2b ＋12c .2.平面向量共线的坐标运算 例2.已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b教师10：完成例1．学生7：因为a ＝(1,2)，b ＝(3，－4)，c ＝(－2,6)，所以a ＋3b ＝(1,2)＋3(3，－4)＝(1,2)＋(9，－12)＝(10，－10)，3a －2b ＋12c ＝3(1,2)－2(3，－4)＋12(－2,6)＝(3,6)－(6，－8)＋(－1,3)＝(－4,17)． 教师11：完成例2学生8：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，通过例1进一步掌握向量加法、减法、数乘向量的坐标运算，提高学生的观察、概括能力.通过例2练习共线向量的坐标运算，平行？平行时它们是同向还是反向？3.向量共线的判定及解决点共线问题例3.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A ，B ，C 三点共线．[课堂练习] 1.已知()()2,1,3,4a b ==- ，求34a b +的坐标.2.已知()()4,2,6,a b y ==，且a b ，求y .当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．学生9：k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.故k a ＋b 与a －3b 反向．教师12：完成例3学生10：∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线， ∴存在实数λ，使得AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋m j )．于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.故m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线． 教师13：布置课堂练习1、2． 学生11：完成课堂练习，并核对答案．提高学生解决问题的能力.通过例3练习共线向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力.[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？教师13：提出问题6．学生11：师生共同回顾总结：引领课堂小结升华认知在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a－2b的坐标是()A．(5，3)B．(4，3)C．(8，3)D．(0，－1)2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝()A．－9B．9C．3D．－33．与向量a＝(1，2)平行，且模等于5的向量为________．4．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．学生12：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：B、B、(1，2)或(－1，－2)、x＝12.学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量应用教案设计
平面向量应用教案设计。
一、教案设计背景在进行平面向量的教学过程中，应该给学生提供一些实际的、具有应用意义的例子，让学生真正了解向量的物理意义和几何意义。
因此，在设计教案时，要注重培养学生的实际应用能力，帮助学生将理论与实践相结合。
同时，还要根据学生的实际情况，合理设置教学目标和教学内容，有针对性地进行教学。
二、教案设计目标1、了解平面向量的定义、性质及运算法则；2、了解平面向量的几何和物理意义；3、掌握平面向量的加、减、数乘等基本运算；4、理解平面向量在物理学中的应用；5、能运用平面向量解决相关问题。
三、教学内容设计1、平面向量的定义及其基本性质；2、平面向量的加、减、数乘及其性质；3、平面向量在平面直角坐标系中的坐标表示；4、平面向量的应用：（1）向量叉积的物理意义及其应用；（2）向量叉积的计算方法；（3）摩擦力的向量分解；（4）向量投影的应用。
四、教学方法设计1、讲授法在平面向量教学中，讲授法是最基础的教学方法，通过以物理意义为主线的学习方法，结合具体的例子来进行讲解，可以让学生快速掌握向量的相关知识。
2、归纳法平面向量的定义、性质及运算法则较多，采用归纳法可以让学生快速记忆和理解，增加教学效果，提高教学质量。
3、实践法在教学中，可以通过让学生参与实际操作来达到教学效果的提高。
举个例子，通过让学生进行向量相加、相减、数乘等操作，能够有效增强学生的理解和记忆能力。
4、启发式教学法在解决向量应用问题时，可以采用启发式教学法，结合学生的实际情况，帮助学生提高解题的思维能力和应用能力。
五、教学资源准备1、教学材料：课件、示意图、多媒体资料等；2、教学实例：让学生自主选择实际应用实例，进行讨论和分析；3、计算机程序：使用计算机程序来帮助学生更快速、准确地进行计算，增强学生的实际操作能力和计算能力。
六、教学反思与评估在教学过程中，教师应时刻反思自己的教学方法是否合理、有效，及时进行调整和完善。
同时，要通过测试、问答、小组讨论等方式对学生进行评估，了解学生的掌握程度和反馈意见，为下一步的教学改进提供参考。
平面向量教案
6．已知向量=, 求向量b，使|b|=2||，并且与b的夹角为。
课后作业一、选择题1．在△ABC中，一定成立的是（）A．a sin A=b sin B B．a cos A=b cos B C．a sin B=b sin A D．a cos B=b cos A2．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（） A．直角三角形B．等腰直角三角形 C．等边三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，较短的两边为,且A=45°,则角C的大小是（）A．15°B．75 C．120°D．60°4．在△ABC中，已知,则·等于（）A．－2 B．2 C．±2 D．±45．设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（）A．a≥3 B．a＞－1 C．－1＜a≤3 D．a＞06．在△ABC中,三边长AB=7，BC=5，AC=6，则·等于（）A．19 B．－14 C．－18 D．－197．在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B成立的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．若△ABC的3条边的长分别为3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（）A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．3∶49．已知向量，，若与垂直，则实数= （）A．1 B．－1 C．0 D．210．已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是（）A．4 B．－4 C．2 D．－211．已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A．1公里B．sin10°公里C．cos10°公里D．cos20°公里第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题13．在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14．在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B= 时，BC的长取得最大值.15．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于 . 16．已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b－c)２＝ .三、解答题17．设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=－3e1+4e2,求a·b. 18．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求及D点坐标.。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案教学目标知识与技能1. 理解平面向量的定义及其几何表示。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和共线向量定理。
3. 学会运用平面向量解决几何问题，如长度、夹角和向量积等。
过程与方法1. 通过实例培养学生的空间想象能力，加深对向量概念的理解。
2. 利用向量图形直观地展示向量运算，提高学生的几何直观能力。
3. 培养学生运用向量方法解决实际问题的能力，如力学中的力的合成与分解。
情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣，感受数学在现实生活中的应用。
2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
教学内容1. 平面向量的定义及其几何表示- 向量的概念- 向量的几何表示（箭头表示、起点表示）- 向量的模（长度）2. 平面向量的线性运算- 向量加法：三角形法则、平行四边形法则- 向量减法：转化为加法运算- 数乘向量：乘法法则、数乘与向量长度的关系- 共线向量定理及其应用3. 向量与几何- 向量与三角形：向量积的概念、向量积的几何意义- 向量与多边形：对角线向量的应用- 向量与圆：切线、半径向量的关系4. 向量在实际问题中的应用- 力的合成与分解：力的向量表示、力的合成与分解方法- 线性方程组与向量：高斯消元法与向量的关系教学过程1. 导入- 通过现实生活中的实例引入向量概念，如力的表示。
- 利用几何图形（箭头、起点表示）直观地展示向量。
2. 新课讲解- 讲解平面向量的定义及其几何表示。
- 引导学生通过图形理解向量的线性运算，如加法、减法、数乘。
- 引入共线向量定理，并通过图形进行解释。
3. 案例分析与练习- 通过具体案例分析，让学生运用向量解决几何问题，如三角形、多边形、圆等问题。
- 结合实例讲解向量在实际问题中的应用，如力的合成与分解。
4. 课堂小结- 回顾本节课所学内容，总结平面向量的定义、几何表示和线性运算。
- 强调向量在几何和实际问题中的应用。
5. 作业布置- 布置有关平面向量的练习题，巩固所学知识。
《平面向量的加法教案》
《平面向量的加法教案》一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的表示方法。
2. 引导学生掌握平面向量的加法运算规则，并能熟练运用加法运算解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
二、教学内容1. 平面向量的定义及表示方法。
2. 平面向量的加法运算规则。
3. 向量加法的几何意义。
4. 向量加法的坐标表示。
5. 向量加法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的加法运算规则，向量加法的几何意义，向量加法的坐标表示。
2. 教学难点：向量加法在实际问题中的应用，平面向量的坐标表示。
四、教学方法1. 采用直观演示法，通过图形展示向量加法的几何意义。
2. 运用讲解法，讲解向量加法运算的规则及坐标表示。
3. 利用例题解析法，分析向量加法在实际问题中的应用。
4. 开展小组讨论法，让学生分组探讨向量加法的问题。
五、教学安排1. 第一课时：介绍平面向量的定义及表示方法。
2. 第二课时：讲解平面向量的加法运算规则及几何意义。
3. 第三课时：讲解平面向量的坐标表示，并进行相关练习。
4. 第四课时：分析向量加法在实际问题中的应用，进行例题解析。
5. 第五课时：开展小组讨论，巩固向量加法的理解和应用。
六、教学评估1. 通过课堂提问，检查学生对平面向量加法概念的理解程度。
2. 通过作业批改，评估学生对向量加法运算规则和坐标表示的掌握情况。
3. 通过小组讨论，观察学生在解决实际问题时的合作和思考能力。
4. 定期进行小测验，了解学生对向量加法的整体掌握水平。
七、教学反思1. 课后反思教学过程中的有效性和学生的参与度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。
2. 分析学生的学习情况，针对学生的薄弱环节制定针对性的辅导措施。
3. 结合学生的反馈和教学实践，调整教学内容和教学进度。
八、教学拓展1. 引导学生思考向量减法的概念和运算规则，与向量加法进行对比。
2. 探讨向量加法在物理、工程等领域的应用，如力的合成与分解。
平面向量的数量积教案(新人教必修
平面向量的数量积教案（新人教必修）第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，包括大小和方向。
通过图形和实例说明向量的表示方法，如箭头和坐标表示。
1.2 向量的长度和方向向量的长度（模长）的定义和计算方法。
向量的方向及其表示方法。
1.3 向量的加法和减法向量的加法和减法运算规则。
通过图形和实例说明向量的加法和减法。
第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义向量的数量积（点积）的定义和性质。
数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ。
2.2 数量积的性质和运算规则数量积的交换律、结合律和分配律。
数量积与向量长度的关系。
2.3 数量积的应用利用数量积判断两个向量的夹角。
利用数量积解决向量垂直和平方等问题。
第三章：向量的数量积的坐标表示3.1 坐标系中的向量二维和三维坐标系中的向量表示。
向量的坐标运算规则。
3.2 数量积的坐标表示向量的数量积的坐标表示公式：a·b = x1y1 + x2y2。
利用坐标表示进行数量积的计算。
3.3 数量积的坐标运算利用坐标表示进行向量的加法、减法和数量积的运算。
坐标系中向量的夹角和垂直问题。
第四章：向量的数量积的性质和应用4.1 数量积的性质数量积的奇偶性、对称性和守恒性。
数量积与向量垂直的性质。
4.2 数量积的应用利用数量积解决向量平行和共线问题。
利用数量积解决向量投影和夹角问题。
第五章：向量的数量积的综合应用5.1 数量积与线性方程组利用数量积解决线性方程组的解的存在性。
利用数量积判断线性方程组的解的情况。
5.2 数量积与几何图形利用数量积解决几何图形中的问题，如三角形、四边形等。
利用数量积判断几何图形的特点和性质。
5.3 数量积与物理应用利用数量积解决力学中的问题，如力的合成和分解。
利用数量积解决电磁学中的问题，如电场和磁场的合成。
第六章：向量的数量积的进一步应用6.1 投影向量介绍投影向量的概念和计算方法。
利用数量积计算向量的投影向量。
平面向量单元教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
平面向量单元教学设计一、教学目标：1. 掌握平面向量的定义与性质。
2. 学会使用向量的加减法进行计算。
3. 理解向量的数量积和向量积的概念。
4. 掌握解决平面向量相关问题的方法和技巧。
5. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容：1. 平面向量的基本概念和性质：（1）向量的定义与表示。
（2）零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念。
（3）向量的平行与垂直关系。
2. 平面向量的运算：（1）向量的加法与减法。
（2）向量的数量积及其性质。
（3）向量的向量积及其性质。
3. 平面向量的应用：（1）向量解决几何问题的方法和技巧。
（2）平面向量在力学中的应用。
三、教学过程：1. 导入：通过提出一个问题或引入一个实际问题，激发学生对平面向量感兴趣。
2. 学习向量的定义和表示。
（1）讲解向量的定义，并通过实例演示向量的表示方法。
（2）通过绘图法和分解法，教授向量的表示与计算。
（3）巩固学生对向量定义和表示方法的理解，提供一些相关练习。
3. 学习向量的运算。
（1）讲解向量的加法与减法的概念和计算方法。
（2）讲解向量的数量积的概念和计算方法，并介绍数量积的几何意义。
（3）讲解向量的向量积的概念和计算方法，并介绍向量积的几何意义。
（4）通过例题演示向量运算的应用。
4. 学习平面向量的应用：（1）介绍平面向量在几何问题中的应用，如解决平面几何中的平行、垂直等问题。
（2）介绍平面向量在力学中的应用，并进行相关实例分析。
5. 小结与拓展：对本节课内容进行总结，并提供一些拓展的问题给学生，激发学生的思考和兴趣。
四、教学评价和反馈方式：1. 课堂练习：通过课堂练习来检查学生对平面向量的理解和掌握情况。
2. 个人作业：布置一些个人作业来让学生巩固与运用所学的知识。
3. 知识问答：设置一些知识问答的活动，让学生在竞争中巩固所学知识。
4. 课堂讨论：安排一些小组或全班讨论活动，培养学生的团队合作精神和表达能力。
五、教学资源：1. 教学课件：提供给学生课堂学习的参考资料。
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- 1 -
普通高中新课程标准实验教科书数学必修4第二章
向量加法运算及其几何意义
滕州一中 邵长金
- 2 -
2009年4月2日
一、教材内容分析
向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形
式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟
通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰
富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生
活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套
良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几
何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成
为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中
数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量线性运算的第一节，向
量加法是向量减法及向量数乘运算的一个重要基础.学生可借鉴对
物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.
二、教学目标
1.通过实例,掌握向量加法的运算,并理解其几何意义.
2.通过经历向量加法概念、法则的建构过程，感受将实际问题
抽象为数学概念的过程, 并初步感受平面向量有力的工具作用,体
会数形结合、分类讨论等重要数学思想方法，进一步培养学生发现
问题、分析问题、解决问题等认识客观事物的数学本质的能力和素
养．
3.经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐
趣，激发学生的学习热情．培养学生不怕困难、勇于探索和创新
- 3 -
的个性品质和优良作风，增强学生“数学源于实践、用于实践”
的应用意识.通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的
积极态度.
三、重点、难点
重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）及其几何
意义.
难点：对向量加法法则的理解.
四、教学方法
类比数的运算，结合向量运算深刻的物理背景和几何意义，采
用“启发探究”式教学方法．
五、教具
多媒体辅助、粉笔、黑板、《导学练习》题签、三角板、圆规等.
六、教学过程
一、设置情景：
1、 提问 1+1=？复习向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向
量相等.我们研究的向量是与起点无关的自由向量。向量的加法的定
义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．Ⅲ．类比猜想 探究性
质
加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，
实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性
质？如果满足，具体形式是什么？
- 4 -
2.物理情
景设置探
究
某人从北京南站A乘公交到鸟巢C， 或从A乘地铁先到B再到C，
则两次的位移和：ACBCAB引导学生结合有关物理知识得出三
角形法则,和平行四边形法则
力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们
的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与
向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）
二、抽象概括 形成定义
1.建立数学模型
若记,OAaABb则向量OB叫做向量a与b的和，记为
ab
OAABOB
．
如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——
ABBOAO
，即向量AO为向量AB与BO的和
2.抽象数学概念
由此，你们能概括出一般的两个向量a与b和的定义吗？
学生活动：在平面内任取一点O，平移a使其起点为点O，平
移b使其起点与a向量的终点重合，再连接向量a的起点与向量b的
终点．
A B C
A
B
C
- 5 -
（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三
角形中；
（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向
量的终点与第一个向量的起点重合；
（3）和向量又是什么？——连接向量a的起点与向量b的终点，并
指向b的终点，得到的向量OB即为向量a与b的和；
（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．
已知向量,ab，在平面内任取一点O，作,OAaABb，则向量OB叫做
向量,ab的和．记作：ab．即abOAABOB．
用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个
向量使它们首尾顺次相连．
还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行
四边形法则．
平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．
两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则
与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况
灵活地选择．
三、尝试运用法则
例⒈课本81页
练习1、如图，已知a、b，用向量加法的三角形法则作出⑴-
⑷中的ab；用向量加法的平行四边形法则作出⑸-⑹中的
ab
.
- 6 -
⑴ ⑵
b
b a
a
a
b
b b
a a
通过练习得结合率，交换律的验证让学生通过画图自己验证。师生
借助于多媒体共同完成．
研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的
加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的
组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．
四、数学运用 深化认识
练习⒉如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列
向量：
⑴
122334AAAAAA ⑵1223344556
AAAAAAAAAA
5
A
4
A
6
A
1
A
2
A
3
A
O
- 7 -
推广1：1223341nnAAAAAAAA
推广2：
12233411nnnAAAAAAAAAA
3.化简：（请写出基本过程．）
(1) = (2)(AB)ABBCCAMBBOOM
(3)OAOCBOCO
例2．长江两岸之间大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所
示，一艘船从长江南岸Ａ点出发，以23ｋｍ／ｈ的速度向垂直于
对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2ｋｍ／ｈ．
（１） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（２） 求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角
表示).
分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：
如图，设AB表示水流速度，AD表示游艇的速度，那谁是游艇的实
际速度？AC，三个向量应满足什么关系？ACABAD．
解：如图，设AB表示水流速度，AD表示游艇的速度，AC表示
游艇的实际速度，因为ACABAD，所以四边形ABCD为平行四边
B D A
C
- 8 -
形．
在RtABC中,||2,||23,ABBC所以
2222
||||||2(23)4ACABBC
因为||tan3||BCCABAB
所以60CAB答：略.变式:在RtACD中， 90ACD
||||12.5DCAB， ||25AD
，所以
0
30CAD
答 若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北
偏西
0
30
．
回顾反思 拓展延伸
五、课时小结：
1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？
知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．
留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些
什么探究？
本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数
学模型，最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生
活，又服务于生活．
- 9 -
2、分类讨论、数形结合.
3.拓展延伸：
六、（1）作业： 1、 第91页A组第2题；2、第91页B组第
1题.
（2）选作题:用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平
行四边形
七、板书设计
八、（选用）视频播放：突出向量加法在生活中的意义，同时对学
生进行爱国主义教育。
九、教学设计流程图
向量加法的运算律
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算
C
BA
D
课堂小结：
1+1=？
课题
- 10 -
教后记：通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意
鸟巢
三角形法则 课本84
第3题
平行四边
形
动作分解及总结 例1作图及共线 作图练习
用例1结果得绝对84页题4及补充 运算率
3化简 例2 小结及作
业
- 11 -
两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多
个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简
和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题
B•