机器人运动学建模旋转矩阵
点乘旋转矩阵公式
点乘旋转矩阵公式旋转矩阵是三维空间中的一种线性变换，它可以将一个向量绕着某个轴旋转一定的角度。
在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，旋转矩阵是一个非常重要的概念。
本文将介绍旋转矩阵的点乘公式，以及它在计算中的应用。
一、点乘公式旋转矩阵是一个3x3的矩阵，它可以表示绕x轴、y轴、z轴旋转的变换。
以绕z轴旋转为例，旋转矩阵可以表示为：Rz(θ) = [cosθ -sinθ 0; sinθ cosθ 0; 0 0 1]其中，θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ分别表示θ的余弦和正弦。
这个矩阵的第一行表示旋转后x轴的坐标，第二行表示旋转后y轴的坐标，第三行表示旋转后z轴的坐标。
在计算中，我们通常需要将多个旋转矩阵相乘，得到一个综合的旋转矩阵。
这时，就需要用到点乘公式。
点乘公式可以表示为：Rz(θ1)Ry(θ2)Rx(θ3) = [cosθ2cosθ3 cosθ2sinθ3 -sinθ2; sinθ1sinθ2cosθ3-cosθ1sinθ3 sinθ1sinθ2sinθ3+cosθ1cosθ3 sinθ1cosθ2;cosθ1sinθ2cosθ3+sinθ1sinθ3 cosθ1sinθ2sinθ3-sinθ1cosθ3 cosθ1cosθ2]其中，Rx、Ry、Rz分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的矩阵，θ1、θ2、θ3分别表示旋转的角度。
这个公式的推导比较复杂，可以参考相关的数学教材。
二、应用点乘旋转矩阵公式在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中有着广泛的应用。
下面以计算机图形学为例，介绍它的应用。
在计算机图形学中，我们通常需要将一个三维模型绕着某个轴旋转一定的角度，以达到变换的效果。
这时，就需要用到旋转矩阵。
假设我们要将一个三维模型绕着z轴旋转30度，然后绕着y轴旋转20度，最后绕着x轴旋转10度，我们可以按照以下步骤计算：1. 计算绕z轴旋转30度的旋转矩阵Rz(30°)；2. 计算绕y轴旋转20度的旋转矩阵Ry(20°)；3. 计算绕x轴旋转10度的旋转矩阵Rx(10°)；4. 将这三个旋转矩阵按照点乘公式相乘，得到综合的旋转矩阵R =Rz(30°)Ry(20°)Rx(10°)；5. 将三维模型的每个顶点坐标乘以综合的旋转矩阵R，即可得到旋转后的顶点坐标。
旋转矩阵与左右手坐标系
旋转矩阵与左右手坐标系引言：在几何学和线性代数中，旋转矩阵是一种用于描述二维或三维空间中旋转变换的数学工具。
而左右手坐标系是用于确定空间中方向和位置关系的坐标系统。
本文将介绍旋转矩阵的原理和应用，以及左右手坐标系的定义和使用。
一、旋转矩阵的原理旋转矩阵是一个二维或三维的正交矩阵，它可以通过矩阵乘法来实现坐标系的旋转变换。
在二维空间中，旋转矩阵可以表示为：R = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|其中，θ表示旋转的角度。
在三维空间中，旋转矩阵可以表示为一个3x3的矩阵，具体形式与旋转轴和角度有关。
通过对向量进行旋转矩阵乘法，可以实现坐标系的旋转变换。
二、旋转矩阵的应用旋转矩阵在计算机图形学和机器人学等领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，旋转矩阵可以用来实现物体的旋转效果，从而呈现出各种形态和动画效果。
在机器人学中，旋转矩阵可以用来描述机器人的姿态和运动。
三、左右手坐标系的定义左右手坐标系是一种用于确定空间中方向和位置关系的坐标系统。
在三维空间中，左右手坐标系的定义如下：- 左手坐标系：将食指指向x轴正方向，中指指向y轴正方向，拇指指向z轴正方向，这时候拇指的方向就是旋转的方向。
- 右手坐标系：将食指指向x轴正方向，中指指向y轴正方向，拇指指向z轴正方向，这时候四个手指围成的方向就是旋转的方向。
四、左右手坐标系的应用左右手坐标系在物理学、机械工程和航空航天等领域广泛应用。
在物理学中，左右手坐标系可以用来描述电磁场的方向和磁场的旋转方向。
在机械工程中，左右手坐标系可以用来确定机器零件的装配方向和运动方向。
在航空航天中，左右手坐标系可以用来描述飞行器的姿态和方向。
五、旋转矩阵与左右手坐标系的关系旋转矩阵和左右手坐标系之间有着密切的关系。
在使用旋转矩阵进行坐标系旋转时，需要根据左右手坐标系的定义来确定旋转的方向。
如果使用左手坐标系，旋转矩阵的旋转方向就是拇指指向的方向；如果使用右手坐标系，旋转矩阵的旋转方向就是四个手指围成的方向。
三维向量旋转矩阵
三维向量旋转矩阵在三维空间中，向量的旋转是非常常见的操作，例如在三维建模、计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，都需要对向量进行旋转。
三维向量旋转矩阵是一种能够对向量进行旋转操作的数学工具，它是一种三维变换矩阵，能够将一个向量绕某一轴进行旋转，并将原向量转化为一个新向量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序的三元组 (x,y,z)，其中 x、y、z 分别表示向量在三个坐标轴上的投影长度。
例如，向量 A(1,2,3) 表示在三维空间中的一个从坐标原点沿 x 轴、y 轴、z 轴分别投影 1、2、3 个单位长度的向量。
向量的旋转首先需要确定旋转轴，旋转轴可以是任意方向的一条直线。
然后在旋转轴上确定一个旋转角度，即可对向量进行旋转。
旋转角度通常用弧度来表示，表示为θ。
在三维空间中，向量围绕某一轴进行旋转操作时，旋转方向可定义为右手定则。
即：当右手大拇指方向和旋转轴方向一致时，其他四指的卷曲方向即为旋转方向。
例如，在下图中，向量 A 绕旋转轴 R 旋转θ 角度，旋转的方向为右手定则方向。
为了能够将向量绕某一轴进行旋转，需要计算出旋转矩阵。
三维向量旋转矩阵有多种方法，下面将介绍其中两种方法。
使用三维旋转公式计算旋转矩阵旋转矩阵的计算可以使用三维旋转公式，该公式适用于将向量绕任意一个轴旋转，它的表达式如下：$${\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}},$$其中 $R_{x}(\theta)$、$R_{y}(\theta)$、$R_{z}(\theta)$ 分别是绕 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴进行旋转的矩阵，$\theta$ 是旋转的角度。
这三个旋转矩阵都是正交矩阵，它们的逆矩阵和转置矩阵都是它们本身。
机器人学-运动学部分
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
u″ y
-3 oy
4
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动9x0º；
③绕当前 wz轴转动90º；求合成旋转矩阵。
z w
v u o(o′) y
w′
o′ v′
u′
o
y
z
o′
v″
w″ u″
oy
z
v```
o′ u```
w```
oy
x
x
x
x
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何
0
z
0 0 0 1
第三章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定 参考系的运动作为时间的函数进行分析研 究，而不考虑引起这些运动的力和力矩
把机器人的空间位移解析地表示为时间的 函数，研究机器人关节变量和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
旋转才能获得相同的结果。
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90o sin 90o
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释
机器人学变换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机器人学是研究机器人的机械结构、运动规划、感知与控制等方面的学科。
作为人工智能和自动化领域的重要分支，机器人学在工业、医疗、农业、航空航天等领域有着广泛的应用。
本文旨在介绍机器人学中的一个重要概念——变换矩阵。
变换矩阵能够描述机器人在三维空间中的位置和姿态，是机器人学中的核心概念之一。
通过对变换矩阵的研究，可以帮助我们更好地理解机器人的运动规划、姿态表示以及感知与控制等问题。
在本文中，我们将从机器人学基础开始，介绍机器人学的概述和机器人的运动学知识。
然后，我们将详细讨论变换矩阵的应用，包括机器人姿态表示、运动规划以及感知与控制等方面。
最后，我们将介绍变换矩阵的计算方法，包括坐标系变换、旋转矩阵与平移矩阵以及变换矩阵的乘法与逆矩阵等内容。
通过本文的阅读，读者将能够了解机器人学中的变换矩阵的概念、应用和计算方法。
同时，我们也将对变换矩阵的未来发展进行展望，并总结本文的内容。
机器人学的研究对于推动自动化技术的发展具有重要的意义，希望本文能够为读者对机器人学的研究和应用提供一定的帮助和启示。
*（请注意，以上内容仅为示例，具体内容需要根据文章内容和结构进行编写）*文章结构是指文章按照一定的组织方式和逻辑顺序来呈现内容的方式。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 机器人学基础2.1.1 机器人学概述2.1.2 机器人运动学2.1.3 机器人学中的变换矩阵2.2 变换矩阵的应用2.2.1 机器人姿态表示2.2.2 机器人运动规划2.2.3 机器人感知与控制2.3 变换矩阵的计算方法2.3.1 坐标系变换2.3.2 旋转矩阵与平移矩阵2.3.3 变换矩阵的乘法与逆矩阵3. 结论3.1 总结3.2 对变换矩阵的展望3.3 结束语本文的结构按照从前到后的逻辑顺序组织，首先通过引言部分引入了文章的背景和目的，然后在正文部分逐步介绍了机器人学的基础知识、变换矩阵的应用以及计算方法，最后在结论部分进行总结，并对变换矩阵的未来发展进行展望，并以结束语作为文章的结尾。
一文读懂：工业六轴机器人D-H模型及运动学建模
第1页第一章 D-H 模型1.1 XX 机器人D-H 变换z4图1- 1 XX 机器人模型建立上述坐标系以后，坐标系i 关于坐标系1i -的位置和方向就完全由下列参数给定：a ：（相邻两个Z 轴之间的垂直的距离，即连杆的长度。
）d ：（相邻两个X 轴之间的垂直距离，即相连坐标系原点间的距离。
） α：（相邻两个Z 轴之间的夹角。
）θ：（相邻两个X 轴之间的夹角。
） 接下来进行相邻坐标系之间的坐标变换，运动顺序按照：1、将坐标系沿着轴1i Z -平移i d ，再绕着轴1i Z -旋转i θ，用齐次坐标变换描述：1'cos sin 00sin cos 00001001i i i i i i i A d θθθθ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、通过中间坐标系沿着轴'i X 平移i a ，并且绕着轴'i X 旋转i α，用齐次坐标变换描述为：1'1000cos sin 00sin cos 001i i i i i i i a A αααα-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3、坐标变换通过右乘得到：1cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin sin 0sin cos 01i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia a A d θαθθαθθθαθαθαα--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦表1- 1 巨轮机器人的DH 参数表θ daα0-1 1θ1d 1a 1α 1-2 2θ 2d2a2α2-3 3θ3d 3a 3α 3-4 4θ 4d 4a 4α 4-5 5θ5d5a5α5-66θ 6d 6a 6α第3页1.2 旋转变换1、参考坐标系绕Z 轴旋转θ角的旋转矩阵为：cos sin 0sin cos 001Z R θθθθθ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、参考坐标系绕X 轴旋转α角的旋转矩阵为：1000cos sin 0sin cos x R ααααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 得到关于两轴的旋转变换：R = [ cos(theta), -cos(alpha)*sin(theta), sin(alpha)*sin(theta)] [ sin(theta), cos(alpha)*cos(theta), -sin(alpha)*cos(theta)] [ 0, sin(alpha), cos(alpha)]1.3 正运动学变换0012345123456n T A A A A A A =1.4 逆运动学变换逆运动学是已知末端连杆的位置和方向，求机器人各个关节变量。
旋转矩阵的原理和应用
旋转矩阵的原理和应用1. 原理旋转矩阵是一种用于表示空间中物体旋转的数学工具。
它基于线性代数的概念，利用矩阵相乘的方式，将一个点或者向量围绕某个中心点进行旋转。
1.1 二维旋转矩阵在二维平面上，旋转矩阵可以表示一个点（x, y）绕原点旋转θ角度后的新坐标（x’, y’）。
二维旋转矩阵通常用一个2×2的矩阵表示，如下所示：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)其中，cos(θ)和sin(θ)分别代表θ角的余弦和正弦函数。
1.2 三维旋转矩阵在三维空间中，旋转矩阵可以表示一个点（x, y, z）围绕某个轴旋转θ角度后的新坐标（x’, y’, z’）。
三维旋转矩阵通常用一个3×3的矩阵表示，如下所示：cos(θ)+u^2(1-cos(θ)) u*v(1-cos(θ))-w*sin(θ) u*w(1-cos(θ))+v*sin(θ)v*u(1-cos(θ))+w*sin(θ) cos(θ)+v^2(1-cos(θ)) v*w(1-cos(θ))-u*sin(θ) w*u(1-cos(θ))-v*sin(θ) w*v(1-cos(θ))+u*sin(θ) cos(θ)+w^2(1-cos(θ))其中，θ是旋转角度，u、v、w是一个单位向量，表示旋转轴的方向。
2. 应用2.1 计算机图形学旋转矩阵在计算机图形学中被广泛应用，用于实现物体的旋转、变换和动画效果。
通过将旋转矩阵应用于物体的顶点坐标，可以实现物体的旋转变换。
2.2 机器人运动控制在机器人运动控制领域，旋转矩阵被用于描述机器人的姿态变换。
通过矩阵相乘的方式，可以计算出机器人末端执行器的位置和姿态。
2.3 物理模拟旋转矩阵在物理模拟中也有广泛的应用。
通过将旋转矩阵应用于物体的运动方程，可以模拟物体的旋转运动。
2.4 目标跟踪在计算机视觉领域，旋转矩阵可以用于目标跟踪和姿态估计。
通过将旋转矩阵应用于目标的特征点，可以实现目标的跟踪和姿态估计。
空间几何中的旋转矩阵
空间几何中的旋转矩阵在空间几何中，旋转矩阵是一种常用的数学工具，用于描述物体在三维空间中的旋转操作。
通过旋转矩阵，我们可以方便地计算出物体在三维空间中的旋转结果，并在计算机图形学、机器人学等领域中得到广泛应用。
一、旋转矩阵的定义和性质在三维空间中，旋转矩阵是一个3x3的方阵，记作R。
旋转矩阵具有以下性质：1. 旋转矩阵是一个正交矩阵，即满足R^T * R = I，其中R^T表示R 的转置矩阵，I表示单位矩阵。
2. 旋转矩阵的行列式为1，即det(R) = 1。
3. 旋转矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即R^(-1) = R^T。
二、旋转矩阵的构造方法旋转矩阵的构造方法有多种，常用的有欧拉角和四元数两种。
1. 欧拉角：欧拉角是一种常用的描述旋转的方法，它将旋转分解为绕三个坐标轴的连续旋转。
欧拉角与旋转矩阵之间存在一定的关系，可以通过欧拉角构造旋转矩阵。
设欧拉角分别为α、β和γ，通过绕z轴旋转γ角度，绕y轴旋转β角度，绕x轴旋转α角度，可以构造出旋转矩阵R = Rz(γ) * Ry(β) * Rx(α)，其中Rz(γ)、Ry(β)和Rx(α)分别表示绕z轴、y轴和x轴的旋转矩阵。
具体计算方法如下：Rz(γ) = |cosγ -sinγ 0||sinγ cosγ 0|| 0 0 1|Ry(β) = |cosβ 0 sinβ|| 0 1 0||-sinβ 0 cosβ|Rx(α) = | 1 0 0|| 0 cosα -sinα|| 0 sinα cosα|最终得到旋转矩阵R = Rz(γ) * Ry(β) * Rx(α)。
2. 四元数：四元数是一种超复数，具有实部和虚部。
在空间几何中，四元数可以用来表示旋转。
通过四元数构造旋转矩阵的方法如下：设四元数表示为q = q0 + q1i + q2j + q3k，其中q0为实部，q1、q2和q3为虚部。
旋转矩阵R可以通过四元数计算得到：R = |1-2(q2^2+q3^2) 2(q1*q2-q0*q3) 2(q1*q3+q0*q2)||2(q1*q2+q0*q3) 1-2(q1^2+q3^2) 2(q2*q3-q0*q1)||2(q1*q3-q0*q2) 2(q2*q3+q0*q1) 1-2(q1^2+q2^2)|其中，^表示乘方运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机器人运动学建模旋转矩阵
机器人运动学建模旋转矩阵
随着科技的不断进步和人工智能的快速发展，越来越多的机器人被引入到工业生产和日常生活中。
机器人在工业生产中的使用很多时候需要执行精确的动作和运动，因此需要对机器人进行运动学建模，以便更好地控制其动作和轨迹。
而机器人运动学建模的核心就是旋转矩阵。
一、机器人运动学
机器人运动学又称为机器人空间运动学，是研究机器人在运动中各个部位位置与时间变化关系的学科。
机器人运动学分为正运动学和逆运动学两种，前者是由给定各个部位的运动状态，通过正演得到机械臂末端的位置和姿态，所谓的末端位置和姿态，通常是以笛卡尔坐标系下的三个空间位置变量和三个空间角姿态变量︰ [
X, Y, Z,., , , ],其中 , , 分别代表绕笛卡尔坐标系中的X、Y、Z轴转到目标末端姿态的角度，即为姿态变量（也称欧拉角变量）。
后者是已知机械臂末端的位置和姿态，要求求出各个部位的运动状态，所谓的逆运动学问题。
二、旋转矩阵
机器人运动学建模的核心之一就是旋转矩阵。
旋转矩阵是指是用来描述刚体的旋转变换的一个正交矩阵。
矩阵
的每一列就是描述坐标系中一个基向量，它们互相垂直，必须统一长度，且每个向量应该 be 一个标准正交基向量，既应该具有单位长度又应该互相垂直。
矩阵中的每一个元素是基向量在另一坐标系中的投影（点积）。
因此，三维空间中的旋转变换可以通过一个 3X3 的旋转矩阵来表示，其中某一列就是描述坐标系中一个基向量。
考虑到二维空间中的旋转变换可以通过一个2x2的旋转矩阵(cos, sin、-sin, cos)来表示，我们可以将三维的旋转矩阵写成：
cos(a)cos(b) cos(a)sin(b)sin(c)-sin(a)cos(c) sin(a)sin(b)cos(c)+cos(a)sin(c)
-sin(a)cos(b) sin(a)sin(b)sin(c)+cos(a)cos(c) cos(a)sin(b)cos(c)-sin(a)sin(c)
-sin(b) cos(b)sin(c) cos(b)cos(c)
其中a,b,c是三个角度，表示绕X，Y，Z轴的旋转角度。
三、机器人运动学建模
机器人运动学建模是通过数学方法将机器人的各个部件和其轨迹描述为数学模型，从而实现对机器人的运动轨迹进行控制。
在机器人运动学建模中，常用的方法是DH法（D-H 法）的研究方法。
此方法是描述机械臂运动的方法之一，
正式名字叫做迪尼尼—赫登本方法（Denavit-Hartenberg Method）。
DH法是一种机器人运动学建模方法，它是一种约定，用于定义密码子相对于零件机构的位置。
基本假设是每个刚体的坐标系都可以定义为与其直接相邻的部件对其的旋转和平移。
另外，还有Jacobian矩阵方法，它是机器人动力学的基础。
Jacobian矩阵描述了机器人末端的速度、角速度等动力学参数与关节角度、关节速度和时间之间的关系。
它是机器人控制中的重要工具，在运动规划和轨迹控制中广泛使用。
四、结论
通过机器人运动学建模来描述机器人的运动变换与轨迹，可以更好地控制机器人的运动轨迹、精确度和自适应性。
其中，旋转矩阵是机器人运动学建模的核心之一，通过旋转矩阵可以描述机器人运动的旋转变换。
DH法和Jacobian矩阵方法是目前机器人运动学建模的主要方法。
在今后的机器人控制和运动规划中，机器人运动学建模将会发挥越来越重要的作用。