对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
高等数学第十章曲线积分
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
曲线积分
曲线积分知识点讲稿一.对弧长的曲线积分:1.引例 :设L 是质量分布不均匀的构件，密度为f(x,y)，则弧M i-1M i 的质量△M i =f(ξi , ηi )△s iM=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ2.弧长曲线积分的定义: 设L 为OXY 平面内的一条光滑曲线弧，端点为A,B,函数f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，并取B M A M n ==,0，把L 分成n 个小段，令第i 个小弧段的长度为△s i ，又),(i i ηξ为第i 个小弧段上的任意一点，作乘积i i i s f ∆),(ηξ(i=1,2,3,…，n),并对i 求和i ni i i s f ∆∑=),(1ηξ，如果当各个小弧段的长度的最大值λ→0时，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记为⎰Lds y x f ),(，即⎰Lds y x f ),(=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段. 3.对弧长曲线积分的性质: (1). =±⎰Lds y x g y x f )],(),([⎰Lds y x f ),(⎰±Lds y x g ),((2). ⎰Lds y x kf ),(=⎰Lds y x f k ),((3).⎰Lds y x f ),(=⎰1),(L ds y x f +)(),(212L L L ds y x f L +=⎰(4). 变换L 的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不变(但一般取下限<上限). (5).⎰=LL ds其中L 表示曲线的弧长,也可看作如下三种情况的推广.a b dxba-=⎰, [b-a]的长度,D dxdyD=⎰⎰ D 的面积,Ω=⎰⎰⎰ΩdxdydzΩ的体积.Y二.对弧长的曲线积分的计算法设f(x,y)在曲线弧L 上有定义且连续 (1).L 是参数方程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (α≤t ≤β)φ(t),ψ(t)有一阶连续导数 并且0)()(22≠'+'t t ψϕ 22)()(y x s ∆+∆≈∆ 又∵dt t t dt t x )()()(ϕϕϕ'≈-+=∆ , dt t t dt t y )()()(ψψψ'≈-+=∆∴△s 的近似值即弧长元素d s 为222222))(())(()()(dt t dt t dy dx ds ψϕ'+'=+==dt t t )()(22ψϕ'+'∴⎰Lds y x f ),(=])(),([⎰βαψϕt t f dt t t )()(22ψϕ'+'(2).曲线L 的方程 : ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(b x a x y y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰bax y x f )](,[dx x y )(12'+(3). 曲线L 的方程 ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(d y c yy y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰dcy y x f ]),([dy y x )(12'+(4).曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则⎰Γds z y x f ),,(=⎰βαωψϕ)](),(),([t t t f dt t t t )()()(222ωψϕ'+'+'★(5)曲线方程是极坐标形式 L: r=r(θ), θ0≤θ≤θ1 ⎩⎨⎧==θθθθs i n )(c o s)(r y r x (θ0≤θ≤θ1) 则θθθθθθθθθd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=1)()(]sin )(,cos )([),(22计算对弧长的曲线积分 : 1.⎰+Lds y x )2(,其中L 为连接两点(2,0),(0,3)的直线段解: AB:132=+y x ,即x y 233-=∴2131,232='+-='y y X0 A(2,0)⎰⎰⎰+=-+=+220)321(213213)2332()2(dx x dx x x ds y x L=2137)341(21322=+x x 2. ∮L(x 2+y 2)n ds,其中L 为圆周 x=acost, y=asint (0≤t ≤2π)解: adt dt y x ds t a y t a x ='+'=='-='22,cos ,sin∮L(x 2+y 2)n ds=1220222])sin ()cos [(+=+⎰n n aadt t a t a ππ3. I=∮L(x 2+y 2+5)n ds= 12π , 其中L 为x 2+y 2=1的圆周.4. I=∮L(4x 2+5y 2-16)ds= 4K , 其中L 为椭圆14522=+yx,周长为K.5. ds eyx L22∮+,其中L 为圆周x 2+y 2 =a 2, 直线x y 3=及X 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 直线OA L 1 : x y 3=, 扇形2 :x=acost,y=asint (0≤t ≤π/3)X 轴 : L 3 y=0 , L=L 1+L 2+L 3 I=ds eyx L22∮+=⎰+122L yx ds e+⎰+222L yx ds e+⎰+322L yx ds e∵dx dx ds y L 2)3(1,3:21=+==' , t a y t a x L cos ,sin :2='-='a d t dt y x ds ='+'=22 , dx ds y L ==',0:3 ∴ I=dx e dt e a dx e axaa x⎰⎰⎰++03222π=a xaa xet ae e 030202)()(++π=2)32(-+ae aπ6.⎰Γyzds x 2,其中四个点为 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,2),D(1,3,2), Γ为折线ABCD解: AB,BC,CD 是直线写成参数(一次)式直线方程: AB: x=0,y=0,z=t (0→2)BC: x=1,y=0,z=2 CD: x=1, y=t (0→3),z=2⎰Γy z d s x 2=⎰AByzds x 2+⎰BCyzds x 2+⎰CDyzds x 2=0+0+⎰CDyzds x2=dt t ⎰++31002=9 X7.求心形线r=a(1+cos θ) 的长度(a>0)解: θθθcos 2cos )]cos 1([222222a a a a r ++=+=θθ222sin )(a r =' ∴ds=θθθθd a d r r 2cos2)(22='+ X]2c o s 2c o s [22c o s 22020⎰⎰⎰-==ππππθθθθθθd d a d a ds L∮=a a 8]2sin22sin 2[220=-ππθθ一.对坐标的曲线积分的概念与性质:1.引例 :变力沿曲线所作的功设质点受力为 F(x,y)=p(x,y)i+Q(x,y)j j y i x M M i i i i )()(1∆+∆=-i i i i i M M F w 1),(-≈∆ηξi i i i i i i y Q x P w ∆+∆≈∆),(),(ηξηξ X]),(),([i i i i i i niniiy Q x P wW ∆+∆≈∆=∑∑ηξηξ]),(),([limi i i i i i niy Q x P W ∆+∆=∑→ηξηξλ2.坐标曲线积分的定义:设L 为OXY 平面内从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧，,函数P(x,y),Q(x,y)在上有界，在L 上沿L 的方向任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，，把L 分成n 个有向小弧段，M i-1M i (i=1,2,…; B M A M n ==,0)令△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1,点),(i i ηξ为M i-1M i 上的任意一点，如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，i ni i i x P ∆∑=),(1ηξ，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数P(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标x 的曲线积分，记为⎰Ldx y x P ),(，类似地，如果i ni i iy Q ∆∑=→),(lim1ηξλ总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分，记为⎰Ldy y x Q ),(即⎰Ldx y x P ),(=i ni iix P ∆∑=→),(lim 10ηξλ⎰Ldy y x Q ),(=i ni i iy Q ∆∑=→),(lim 1ηξλ其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段，此两个积分也称为第二类曲线积分在书写上常把两者合并:⎰Ldx y x P ),(+⎰L dy y x Q ),(= dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰3.坐标曲线积分的性质:(1).如果有向弧 L=L 1+L 2 , 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰=dy y x Q dx y x P L ),(),(1+⎰+dyy x Q dx y x P L ),(),(2+⎰(2).设L 是有向曲线弧段，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧段，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰-=-dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰◣注意◥1.对坐标曲线积分，必须注意曲线L 的方向，化到定积分时，下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点，α不一定小于β. 2.对弧长曲线积分，化到定积分时，虽然α→β，β→α弧长不改变，但下限α一定要小于上限β 二. 对坐标的曲线积分的计算方法设 P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L 上有定义且连续 1.曲线 L : 参数方程⎩⎨⎧≠'+'==0)()(,)()(22t t t y t x ψϕψϕ , (α≤t ≤β) 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dtt t t Q t t t P ⎰'+'βαψψϕϕψϕ)()](),([)()](),([(2. 曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则dz z y x R dyz y x Q dx z y x P L),,().,(),,(++⎰=dt t t t t R t t t t Q t t t t P )}()](),(),([)()]().(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'⎰3. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==b x a x x x y y ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dxx y x y x Q x y x P ba⎰'+)()](,[)](,[4. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==d x c yy y x x ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dy y y x Q y x y y x P dc⎰+']),([)(]),([三.计算坐标曲线积分 1.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是y 2=x 上从点(1,1)到点(9,3)解:用 x=x(y) , 1≤y ≤3 ,x ’(y)=2y ,dx=2ydy∴dy x y dx y x L)()(-++⎰=⎰-++3122)](2)[(dy y y y y y=3158)213121()2(313123423=++=++⎰y y y dy y y y2.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是先沿着直线从点A(1,1)到点B(1,3)而后再沿直线到点C(4,3)解: 直线⎪⎩⎪⎨⎧==∴≡→==∴≡→dx dx dy y x BC dydy dx x y AB 03;)41(:01;)31(:dy x y dx y x L)()(-++⎰=dy x y dx y x AB)()(-++⎰+dy x y dx y x BC)()(-++⎰=⎰-ABdy x y )(+⎰+BCdx y x )(=⎰⎰++-4131)3()1(dx x dy y=237)3(21)1(21412312=++-x y3. 22)()(∮y x dy y x dx y x L+--+ ,其中 L: x 2+y 2=a 2逆时针方向 解:设 x=acost ,y=asint ,则 dx=-asint ,dy=acost ,0≤t ≤2π ∴22)()(∮yx dyy x dx y x L+--+=⎰---+π20222]cos )sin (cos )sin )(sin (cos [adtt t t a t t t a=ππ220-=-⎰dt4.dz y x ydy xdx)1(-+++⎰Γ其中Γ是从点A(1,1,1)到点B(3,4,5)的一段直线解: 空间直线AB 的方程 :413121-=-=-z y x ,其参数式为dtdz t z dt dy t y dtdx t x 4,413,312,21=+==+==+= 当 x=1 ,t=0 ; x=3 , t=1∴dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ=⎰-+++++++10)]13121(4)31(3)21(2[dt t t t t=251)2339()339(121=+=+⎰t t dt t【格林公式】dy y x Q dx y x P dxdy yP xQ LD),(),()(+=∂∂-∂∂⎰⎰∮(D 为单连通区域)1. =+xdy ydx L∮ 0 .2. I=dy y xy dx y x x L)()(3223∮++- 其中 L: x 2+y 2=32逆时针方向 解: 232223,,,y x Q y xy Q xyp y x x P =∂∂+=-=∂∂-=∴ I=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=281)41(230430220ππθπ==⎰⎰r rdr r d3.⎰-Lydx x dy xy 22, L:由A(1,0) 沿着y=21x -到B(-1,0)的圆弧解: 设=r L L+BA (即形成单连通区域 D)2222,,,y xQ xy Q xyP y x P =∂∂=-=∂∂-= X⎰-rL y d x x dy xy 22=⎰-Lydx x dy xy 22=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=πθπ41][012=⎰⎰d rdr r而因为022=-⎰BAydx x dy xy (y=0) ∴422π=-⎰Lydx x dy xy。
对坐标的曲线积分
4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy
1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L
高等数学曲线积分与曲面积分
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
章曲线积分与曲面积分
一、主要内容 二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记 为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数 叫积 ，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分
i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似 取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计 算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线 的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例 求I xyzds,其 中 : x a cos , y a sin ,
z k 的 一 段. (0 2 )
高数第十一章(1)对弧长的曲线积分
1 2
(由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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上 f ( x, y, z ) ( x, y, z ) , 则 (5). 若在
f ( x, y , z ) d s ( x, y , z ) d s
特别的，有
f ( x, y, z ) d s | f ( x, y, z ) | d s.
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
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Mk sk M k 1
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积
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sin R2
R
o
R x
例6. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:
( x 2 y 2 z 2 ) ds
a k
2
2
0
2
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)、计算对弧长的曲线积分C，其中曲线C是y0某2a的一段弧a0某2aco2解：C的参数方程为y2acoin2原式202aco24a2cod4a244332、计算某yd，其中L星形线某aco3t,yain3t在第一象限的弧L0t272intcot解：原式2acotint3acotintdt3aa3060664443733、计算某yzd，其中为折线ABC，这里A,B,C依次为点0,0,0,1,2,3,1,4,3某t某1解：AB段参数方程y2t0t1，BC段参数方程y22t0t1 z3z3t原式AB某yzdBC某yzd3dt1212tdt1121412t6t18004、计算某2y2d，其中为螺旋线某tcot,ytint,zt上相应于t从0到1的弧。
解：方法一原式tt111112222tdtt2t2t2dt0202221t02111原式lnt4204220方法二、原式tt1112tdt22211u11201u1202211220原式方法三、原式lnu121202ln224tt34222因为tt422lnt11所以lntt421111lntln1ln原式422205、计算L，其中L:某2y2a某a02某aco2解：某ya某raco，曲线L的参数方程为yainco22原式22aco2a220cod2a26、计算L,其中L为圆周某2y2a2，直线y某,y0在第一象限内所围成的扇形的边界。
解：如右图，线段OA的参数方程为某t0t2yt某acot弧AB的参数方程为0t4yaint线段OB的参数方程为某t0tay0aat原式4eadtedt000a4etaet00ae1aaaaaee1ea24427、求曲线某at,ya2at,zt30t1的质量，其密度。
23解：m1aut2020a20a1u23aa388h3a1lnh823ln3a168、求半径为a，中心角为的均匀圆弧（线密度1）的质心。
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对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。
在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。
在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。
2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。
在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。
在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。
这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。
总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。