对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)PPT
L
AO
OB
0
1
1 x( x)dx 0 x 5
曲线积分与曲面积分
A(1,1) 12
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
曲线积分与曲面积分
B(1,1)
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt
曲线积分与曲面积分
11
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
曲线积分与曲面积分
10
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
曲线积分与曲面积分
6
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
x,
y,
z)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
.
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,
i
,
i
)yi
.
n
R(
x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i
, i
,i
)zi
.
曲线积分与曲面积分
7
5.性质
y2 x
A(1,1)
13
例2 计算 y2dx, 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
解
(1)
L
:
x
y
a cos a sin
,
从 0 变到 ，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
1.定义 设L为 xoy面内从点A到点B的一条有
向光滑曲线弧, 函数 P( x, y), Q( x, y)在 L
上有界. 用L上的点M1( x1, y1 ), M2( x2 , y2 ), , Mn1( xn1, yn1 )把 L分成n个有向小弧段
Mi1Mi (i 1,2, , n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点. 如果当各小弧段 长度的最大值 0时,
L yi
Mi1 xi
M2
A M1
即 Wi P(i ,i )xi Q(i ,i )yi .o
x
n
求和 W Wi
近似值
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
i 1
[ P ( i
,i
)
xi
Q( i
,i
)
yi
].
曲线积分与曲面积分
精确值
3
二、对坐标的曲线积分的概念
第三节 对坐标的曲线积分(第二 类
曲线积分) 一、问题的提出
二、对坐标的曲线积分的概念
三、对坐标的曲线积分的计算
四、小结
曲线积分与曲面积分
1
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
Myii Mn1
L Mi1xi
L : A B,
M2
A M1
F(x, y) P(x, y)i Q(x, y) j o
B(a,0)
曲线积分与曲面积分
A(a,0)
14
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路 径不同积分结果不同.
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
8
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为 xy
( t ), ( t ),
当参数t单调地由变
到时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连
续导数,且 2 (t) 2 (t) 0,则曲线积分
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧, L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
L
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
曲线积分与曲面积分
5
2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其中
F
Pi
Qj ,
ds dxi dyj .
15
曲线积分与曲面积分
4
n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
)yi
.
其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.
x
常力所作的功 W F AB.
分割 A M0 , M1( x1 , y1 ), , Mn1( xn1 , yn1 ), Mn B.
Mi1Mi (xi )i (yi ) j .
曲线积分与曲面积分
2
取
F ( i
,i
)
P(i
,i
)i
Q(i
,i
)
y j,
F (i ,i )
B
M i Mn1
Wi F (i ,i ) Mi 1Mi ,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
曲线积分与曲面积分
9
且L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
特殊情形
(1) L : y y( x)
x起点为a，终点为b.
则
b
Pdx Qdy {P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx.
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第二型曲线积分格林公式课件
在流体动力学中，格林公式可以用于计算流体在封闭曲线上 的压力和阻力。
在其他领域的应用
要点一
描述波动
格林公式可以用于描述波动在封闭曲线上的传播，例如声 波和光波。
要点二
计算热传导
在热力学中，格林公式可以用于计算热量在封闭曲线上的 传导。
04
第二型曲线积分与格林公 式的扩展与推广
向更高维度的推广
总结词
思考题与开放性问题
01
思考题1
请思考第二型曲线积分与第一型 曲线积分之间的关系，并给出相 应的证明或解释。
思考题2
02
03
开放性问题1
对于给定的函数f(x, y)和g(x, y) ，如何选择合适的路径L使得第 二型曲线积分的值最小或最大？
探讨第二型曲线积分在实际问题 中的应用，例如物理、工程或经 济领域中的问题。
THANKS
感谢观看
第二型曲线积分格林 公式课件
xx年xx月xx日
• 第二型曲线积分简介 • 格林公式及其应用 • 第二型曲线积分与格林公式的物
理意义 • 第二型曲线积分与格林公式的扩
展与推广 • 习题与思考题
目录
01
第二型曲线积分简介
定义与性质
定义
第二型曲线积分定义为函数在有向曲线上沿着指定的方向进行积分，其值取决于曲线的起点和终点。
提高习题2
求出下列第二型曲线积分在L上的值：∫[(y^2x^2)dx+(x^2-y^2)dy]，其中L是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1，方向为顺时针。
提高习题3
计算下列第二型曲线积分：∫[((x^2+y^2)2xy)dx+(x^2+y^2)dy]，其中L是圆周(x-a)^2+(yb)^2=r^2，方向为逆时针。
在其他领域的应用
要点一
描述波动
格林公式可以用于描述波动在封闭曲线上的传播，例如声 波和光波。
要点二
计算热传导
在热力学中，格林公式可以用于计算热量在封闭曲线上的 传导。
04
第二型曲线积分与格林公 式的扩展与推广
向更高维度的推广
总结词
思考题与开放性问题
01
思考题1
请思考第二型曲线积分与第一型 曲线积分之间的关系，并给出相 应的证明或解释。
思考题2
02
03
开放性问题1
对于给定的函数f(x, y)和g(x, y) ，如何选择合适的路径L使得第 二型曲线积分的值最小或最大？
探讨第二型曲线积分在实际问题 中的应用，例如物理、工程或经 济领域中的问题。
THANKS
感谢观看
第二型曲线积分格林 公式课件
xx年xx月xx日
• 第二型曲线积分简介 • 格林公式及其应用 • 第二型曲线积分与格林公式的物
理意义 • 第二型曲线积分与格林公式的扩
展与推广 • 习题与思考题
目录
01
第二型曲线积分简介
定义与性质
定义
第二型曲线积分定义为函数在有向曲线上沿着指定的方向进行积分，其值取决于曲线的起点和终点。
提高习题2
求出下列第二型曲线积分在L上的值：∫[(y^2x^2)dx+(x^2-y^2)dy]，其中L是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1，方向为顺时针。
提高习题3
计算下列第二型曲线积分：∫[((x^2+y^2)2xy)dx+(x^2+y^2)dy]，其中L是圆周(x-a)^2+(yb)^2=r^2，方向为逆时针。
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
2 第二型曲线积分详细版.ppt
(1) 半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
解
(1)
L
:
x y
a a
cos sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
A(a,0)
精选
a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .
0
3
(2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式
a
0dx 0.
a
B(a,0)
A(a,0)
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。
精选
例7 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0) (1,0), (1,1).
精选
求和，得
n i 1
F
(
i
,i
)
ri，令
m1iaxn {si }
0，
则有限和的极限值为 F ( x, y) 沿曲线 L 从 A 到 B 的
第二型曲线积分，记作
lim
0
i
n 1
F
(
i
,i
)
ri
F ( x, y) dr
L
向量形式
上式也可以写成
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
第二类曲线积分
3. 对区域的可加性 4. 反方向性 5. 物理意义 当 为力时代表沿Γ 的所做的功：
高等数学（ZYH）
F (k , k , k ) rk
n
F (k ,k , k )
F
s1
3) 求和：
n
A
rk 1
O
sk rk rk
sn
B
W lim F (k , k , k ) rk 4) 取极限：
0
k 1
记作
n
P( x, y, z ) d x Q ( x, y, z ) d y R( x, y, z ) d z（分量形式）
（对坐标x 的曲线积分）
其中 lim P (k , k , k ) xk P( x, y, z ) d x 0
k 1
去掉第三分量就是第二类(对坐标的)平面曲线积分
lim
0
P ( , ) x
k 1 k k
n
k
Q (k , k ) yk
记作
P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
高等数学（ZYH）
二、第二类曲线积分的性质
1. 积分的存在性 有界闭曲线上的 (分段) 连续函数必可积 (积分存在) 2. 线性性质
第二类(对坐标的)空间曲线积分
lim F (k , k , k ) rk
n
记作
0
k 1
n
F ( x, y , z ) d r
（向量形式）
lim
0
P ( , ,
k 1 k k
k
) xk Q (k , k , k ) yk R (k , k , k ) zk
高等数学（ZYH）
F (k , k , k ) rk
n
F (k ,k , k )
F
s1
3) 求和：
n
A
rk 1
O
sk rk rk
sn
B
W lim F (k , k , k ) rk 4) 取极限：
0
k 1
记作
n
P( x, y, z ) d x Q ( x, y, z ) d y R( x, y, z ) d z（分量形式）
（对坐标x 的曲线积分）
其中 lim P (k , k , k ) xk P( x, y, z ) d x 0
k 1
去掉第三分量就是第二类(对坐标的)平面曲线积分
lim
0
P ( , ) x
k 1 k k
n
k
Q (k , k ) yk
记作
P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
高等数学（ZYH）
二、第二类曲线积分的性质
1. 积分的存在性 有界闭曲线上的 (分段) 连续函数必可积 (积分存在) 2. 线性性质
第二类(对坐标的)空间曲线积分
lim F (k , k , k ) rk
n
记作
0
k 1
n
F ( x, y , z ) d r
（向量形式）
lim
0
P ( , ,
k 1 k k
k
) xk Q (k , k , k ) yk R (k , k , k ) zk
《曲线积分》课件
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以 将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非 常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量 的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上 的定积分，用于计算曲线下的面积和 长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个 变量的变差，用于计算速度和加速度 等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概 念，它与定积分、重积分等概念 有密切联系，是解决许多实际问 题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹 长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物 体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等 。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电 场线的积分可以用来计算电场中的电荷 量。通过曲线积分的方法，可以计算出 电场线上各点的电场强度，从而得到整 个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量， 它表示电场中电荷的多少。在物理学中， 电荷量可以通过电场线的积分来计算，并 用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用
对坐标曲线积分
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
第二类曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y ) ( P( x, y ) , Q( x, y ))
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
L
2 其中 L 为沿抛物线 x yd x , y x 从点
y
B ( 1,1 )
AO : y x ,
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
x y
yx
4
1 1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
解: (1) 原式
(2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
0
2
4
(3) 原式
0
0 d y
1
例3 求
L
y 2dx 及
L
x 2 dy , L ：x 2 y 2 1，x 0,
y 0的 边 界 ， 逆 时 针 方 向闭 （ 路 默 认 正 向.）
k 1
n
4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δ yk
0 k 1
n
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
第二类曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y ) ( P( x, y ) , Q( x, y ))
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
L
2 其中 L 为沿抛物线 x yd x , y x 从点
y
B ( 1,1 )
AO : y x ,
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
x y
yx
4
1 1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
解: (1) 原式
(2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
0
2
4
(3) 原式
0
0 d y
1
例3 求
L
y 2dx 及
L
x 2 dy , L ：x 2 y 2 1，x 0,
y 0的 边 界 ， 逆 时 针 方 向闭 （ 路 默 认 正 向.）
k 1
n
4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δ yk
0 k 1
n
10-02第二类曲线积分的概念和性质
L
xi P (( tix ), y ) (tdx Q ( ) t , i 1 ) ( x , y )dy i i
L
L
L
i 1
L
A
M2 M1
Mi 1 xi
yi
M i M n 1
o
x
P ( x , y )dx
L
令 max {s i }
i在 . 取 i ( i ), i ( i ), 可得 ti与t i 1之间 Q[ (t ), (t )] (t )dt n [ (t ), (t )] (t )dt n P P ( i , i )x i P ( ( i ), ( i )) ( i )t i
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (2)近似代替: 用有向线段
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j 来近似代替 M i 1M i , 其中xi xi xi 1 , y yi yi yi 1 , F (i ,i ) B
用M i 1M i上任一点 (i ,i )的力: F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
2
2
Qx(t ), y(t )
2 2 x(t ) y(t ) y(t )
P ( x , y ) cos Q( x , y ) cos ds
L
2 2 x ( t ) y ( t ) dt
Pdx Qdy Rdz { P[ (t ), (t ), (t )] (t )
Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
xi P (( tix ), y ) (tdx Q ( ) t , i 1 ) ( x , y )dy i i
L
L
L
i 1
L
A
M2 M1
Mi 1 xi
yi
M i M n 1
o
x
P ( x , y )dx
L
令 max {s i }
i在 . 取 i ( i ), i ( i ), 可得 ti与t i 1之间 Q[ (t ), (t )] (t )dt n [ (t ), (t )] (t )dt n P P ( i , i )x i P ( ( i ), ( i )) ( i )t i
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (2)近似代替: 用有向线段
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j 来近似代替 M i 1M i , 其中xi xi xi 1 , y yi yi yi 1 , F (i ,i ) B
用M i 1M i上任一点 (i ,i )的力: F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
2
2
Qx(t ), y(t )
2 2 x(t ) y(t ) y(t )
P ( x , y ) cos Q( x , y ) cos ds
L
2 2 x ( t ) y ( t ) dt
Pdx Qdy Rdz { P[ (t ), (t ), (t )] (t )
Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
最新102第二型曲线积分
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
Mi1 x i
M2
A M1
(4) 两类曲线积分之间的联系：
o
x
设有向平面曲 L： 线xy弧 为 ((tt)), L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
其中cos (t) , cos (t) ,
2(t)2(t)
d s t d { s d ,d x ,d y } 上 z 弧点 (长x,向y,量z)微处元的 ； 单位切向 A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例 1 ． 计 算 C x dy ， x 其 中 C 为 抛 物 线 y 2 x上 从
点 A ( 1 , 1 )到 点 B ( 1 ,1 )的 一 段 弧 。
L P (x ,y ,z)d x l i0 i m 1 P (i,i, i) x i.
n
L Q (x ,y ,z)d y l i0 i m 1 Q (i,i, i) y i.
第2节_第二型曲线积分
所以
2 1
A(1,1)
1
L
xy dx ( y x ) dy
2
x
{ x[2( x 1)2 1] 1 [2( x 1)2 1 x] 4( x 1)]dx
2 1
10 (10x 32x 35x 12) dx 3
3 2
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×
例1 计算
AB BA
而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积，它与曲线 L 的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别.
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×
第二型曲线积分的性质 1. 若第二型曲线积分 存在，则
L
P1dx Q1dy ,
L
P2dx Q2dy
L
P1dx Q1dy P2dx Q2dy ( P1 P2 )dx (Q1 Q2 )dy
1
x 2, y y (1 y 3)
A(1,1) D( 2,1)
1
所以
DB
xy dx ( y x ) dy
3 1
2
x
( y x ) dy ( y 2) dy 0 DB
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×
沿直线 BA 的线积分：
BA
xy dx ( y x ) dy
25 xy dx ( y x ) dy AB 6
1. 分割: 插入分点 Mi ( xi , yi ), i 0, 1, 2, , n
2. 近似代替 Wi F ( i ,i ) M i 1 M i M i 1 M i ( xi xi 1 , yi yi 1 ) (xi , yi )
2 1
A(1,1)
1
L
xy dx ( y x ) dy
2
x
{ x[2( x 1)2 1] 1 [2( x 1)2 1 x] 4( x 1)]dx
2 1
10 (10x 32x 35x 12) dx 3
3 2
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例1 计算
AB BA
而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积，它与曲线 L 的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别.
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第二型曲线积分的性质 1. 若第二型曲线积分 存在，则
L
P1dx Q1dy ,
L
P2dx Q2dy
L
P1dx Q1dy P2dx Q2dy ( P1 P2 )dx (Q1 Q2 )dy
1
x 2, y y (1 y 3)
A(1,1) D( 2,1)
1
所以
DB
xy dx ( y x ) dy
3 1
2
x
( y x ) dy ( y 2) dy 0 DB
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沿直线 BA 的线积分：
BA
xy dx ( y x ) dy
25 xy dx ( y x ) dy AB 6
1. 分割: 插入分点 Mi ( xi , yi ), i 0, 1, 2, , n
2. 近似代替 Wi F ( i ,i ) M i 1 M i M i 1 M i ( xi xi 1 , yi yi 1 ) (xi , yi )