6 向量场的曲线积分

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曲线积分计算方法

(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是
多少 ?
z
1.25R
(2)
在
T 3
的时间内
, 卫星监视的地球
表面积是多少 ?
OR y
解: 如图建立坐标系.
x
cos 4 , arccos 0.8
5
设卫星绕 y 轴旋转
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(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为
1
z
第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 得
1
z
I

1
3
(2 π
3
)

2π
O 2 y x
Σ1
O y x 注意曲面的方向 !
I

x d y d z y d z d x zdx d
(x2

y2

z
2
)
3 2
y
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例8. 计算曲面积分
中是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
其中为曲线 z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds

利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3

y
O
x
( 的重心在原点)
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例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心、a 为半径的上半圆周.
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS
(2x 2z) d S 2(x z) y dS

高等数学第10章曲线积分与曲面积分

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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发，蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出现的现象
第10章曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系，并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续，有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为

（完整版）曲线积分与曲面积分（解题方法归纳）

1 / 13第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分利用性质计算曲线积分和曲面积分. .(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. . (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. . (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. . 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y dsf x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)LL Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则轴对称，则10 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y dsf y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则对称，则 ()()=⎰⎰L L f x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则 []22(,)(),()()()()βααβ''=+<⎰⎰Lf x y ds f x t y t x t y t dt若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则，则[]22(,)()cos ,()sin ()()βαθθθθθθθ'=+⎰⎰Lf x y ds f r r r r d若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则[]222(,,)(),(),()()()()()βααβΓ'''=++<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt （5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则，则[]22(,,),,(,)1(,)(,)xyx y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy ∑''=++⎰⎰⎰⎰ 其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则，则[]22(,,)(,),,1(,)(,)yzy z D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则，则[]22(,,),(,),1(,)(,)zxz x D f x y z dS f x y x z z y y z y y z dzdx ∑''=++⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”）其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”）其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”）其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域.（8）d d +⎰⎰L P x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰⎰Ñc P x Q y （c 为D 内任一闭曲线）内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Q y x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑL DQ P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdydv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或 (cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式）斯托克斯公式dydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q RΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰Ñ 其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1.计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：）计算曲线积分的步骤： 1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dy I x y x x x x由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此函数，因此220,011==++⎰⎰LLdx dy xx故 20+==++⎰L dx dyI x y x 『方法技巧』『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用同，记清楚后再使用..事实上，本题还可应用格林公式计算事实上，本题还可应用格林公式计算..例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS 2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS故2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS by dS cz dS ndS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS ndS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c x y z dS R n 22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n 『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些同，理解起来更容易些..若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰Òx y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙乙x y z dS axdS a x a dS a dS222402248ππ∑=+==⎰⎰g Òa dS a a a 『方法技巧』积分曲面积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰Òx a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰ÑLxy dy x ydxx y，其中L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a 代入被积函数中得代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰ÑLxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d ad324332013118(sinsin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰g g g ad a a解法2 利用格林公式利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰蜒L L Dxy dy x ydx xy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故，故2222322112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰g ÑaLxy dy x ydxd d a ax y『方法技巧』『方法技巧』本题解法本题解法1用到了定积分的积分公式：用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰g g Lg g g Lg g g n n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰Lx y dx x y dyx y ，其中L 为沿cos π=y x 由点由点(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解直接计算比较困难. 由于由于 2222,+-+==++x yx y P Q x y x y ，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：2cos 5:(:)442sin πθππθπθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得，代入被积函数中得222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰L L x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑为1++=x y z 的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面解由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy 面的区域{}(,)1=+≤xy D x y x y ，故，故233(1)∑∑∑++==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy x y dxdy21(1)22003(1)3(1)-=--=--⎰⎰⎰⎰xyx D x y dxdy dx x y dy 1401(1)2=-⎰x dx 04111(1)30=---=⎰t x t t dt『方法技巧』『方法技巧』由于积分曲面由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x ydydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故 222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰g g xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰g hh h h d d h『方法技巧』『方法技巧』添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求..本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰ÑLz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰ÑL dydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量曲线或曲面形物体的质量. . (2) 曲线或曲面的质心（形心）曲线或曲面的质心（形心）. . (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds 曲面形构件曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2）质心坐标质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰LLLLx x y dsy x y dsx y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3）转动惯量转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y L L I y x y ds I x x y ds 空间曲线形物体的转动惯量：空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y L LI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds11 / 13曲面形物体的转动惯量：曲面形物体的转动惯量： 2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰zI x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4）变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功所做的功»(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2）矢量场沿有向曲面的通量矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3）散度和旋度散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z 矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤： i j k12 / 13 （1）根据所求物理量，代入相应的公式中；）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分）计算曲线积分或曲面积分. .例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功（其中22,=+r x y k 为常数）为常数）解积分曲线积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为场力所做的功为»(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy »22=-⎰AB y xk dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(0)∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y xW k dx dy kk r r 『方法技巧』本题的关键是另取路径本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如U AO OB ，但不可以选取此路径，，但不可以选取此路径，因为因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线21(12)0⎧⎪=+≤≤⎨=⎪⎩y z z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解旋转曲面为旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1L A B o y L x 图11.713 / 13 1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』本题的关键是写出旋转曲面本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分. .。

两类曲线积分定义及计算公式

物理意义
第一类曲线积分在物理中有广泛的应用，如计算力场沿着某条路径的做功、电流在电路中的能量损耗等。
第二类曲线积分定义
定义
第二类曲线积分是另一种形式的积分，它涉及到曲线的方向和速度。
计算公式
∫P(x,y)dx + Q(x,y)dy，其中P(x,y)和Q(x,y)是给定的函数，x和y是曲线的参数方程。
奇偶性质
如果被积函数f(x,y)是关于x的奇函数或偶函数，则第二类曲线积分∫f(x,y)ds也具有相应的奇偶性质。
格林公式
如果曲线C由两条光滑曲线C1和C2组成，且C1和C2围成一个闭合曲线，则∫(C)Pdx+Qdy=∫∫(D)Q*∂P/∂xP*∂Q/∂y dxdy。
05
积分的应用
第一类曲线积分的应用
计算面积
第一类曲线积分可以用于计算曲线围成的面积，特别是某些不规则图
形的面积。
求解曲线长度
通过第一类曲线积分，可以求解曲线的长度，这对于几何学和物理学中很多问题的求解非常
有用。
求解速度和加速度
在物理问题中，第一类曲线积分常用于求解质点在曲线上的速度和加
速度。
第二类曲线积分的应用
求解力矩和转矩
第二类曲线积分计算公式
定义
第二类曲线积分是计算向量场F(x,y)在曲线L上的线积分，其值为∫F·ds，其中·表示向量F与单位切向量的点乘。
计算公式
∫F·ds = ∫[F·n] ds，其中n是曲线L上从点a到点b的单位法向量。
03 计算实例
第一类曲线积分计算实例
计算公式
∫f(x,y)dx
实例
∫(x^2 + y^2) dx，其中L为从 (0,0)到(1,1)的直线段

高数中的曲线与曲面积分理论分析

高数中的曲线与曲面积分理论分析曲线和曲面积分是高等数学中重要的概念和工具，用于计算曲线和曲面上的物理量。

在本文中，我们将对曲线与曲面积分的理论进行分析，并讨论它们的应用。

首先，让我们从曲线积分开始讲解。

曲线积分是用于计算曲线上的物理量的工具。

对于参数曲线C：{r(t) | a≤t≤b}，其中r(t)是曲线上的点的位置矢量函数，我们可以定义曲线积分为：∫[C]f(x,y,z)ds = ∫ab f(r(t))|r'(t)|dt其中f(x,y,z)是定义在曲线上的函数，ds是曲线微元长度，r'(t)是参数曲线的导数向量。

曲线积分具有重要的几何意义。

它可以用来计算沿曲线的弧长、曲线上的向量场的通量和曲线上的标量场的平均值等。

曲线积分还可以应用在物理学和工程学的许多领域，例如计算曲线上的质量、电荷、电流等。

接下来，我们将讨论曲面积分的理论。

曲面积分是用于计算曲面上的物理量的工具。

对于参数曲面S：{r(u,v) | (u,v)∈D}，其中r(u,v)是曲面上的点的位置矢量函数，D表示参数域，我们可以定义曲面积分为：∬[S]f(x,y,z)dS = ∬D f(r(u,v))|r_u×r_v|dudv其中f(x,y,z)是定义在曲面上的函数，dS是曲面微元面积，r_u和r_v是参数曲面的偏导数向量，并且r_u×r_v表示曲面的法向量。

曲面积分也具有重要的几何意义。

它可以用来计算曲面的面积、曲面上的向量场的通量和曲面上的标量场的平均值等。

曲面积分在物理学和工程学中也有广泛的应用，例如计算流体力学中的流量、电场和磁场的通量等。

在实际应用中，曲线和曲面积分通常需要进行参数化。

参数化是将曲线或曲面上的点表示为参数的函数，以便进行计算和分析。

对于曲线，常用的参数化方法有向量参数化和标量参数化；对于曲面，常用的参数化方法有二重积分方法和参数方程方法。

根据不同的问题和情况，选择合适的参数化方法非常重要。

斯托克斯定理的具体内容

斯托克斯定理的具体内容1.引言1.1 概述斯托克斯定理是数学中的一项重要定理，它建立了曲线与曲面之间的联系。

该定理是由19世纪的数学家斯托克斯提出的，因此得名斯托克斯定理。

它在向量分析领域被广泛应用，是理解和解决许多与流体力学、电动力学和热力学等相关问题的基础。

斯托克斯定理通过建立曲线积分和曲面积分之间的关系，使我们能够将曲面上的积分问题转化为曲线上的积分问题。

具体而言，该定理表明了曲面上的一个向量场的环量（曲线积分）等于通过该曲面的一个相关向量场的流量（曲面积分）。

通过斯托克斯定理，我们可以利用曲线上的积分来计算曲面上的积分，这大大简化了对曲面上向量场性质的分析。

该定理在物理学中尤为重要，因为它允许我们通过简化计算来确定电流和磁场之间的关系。

除了在物理学中的应用，斯托克斯定理还在其他学科中有广泛的应用。

例如，在地理学中，它可以用于描述大气环流和漩涡的运动；在计算机图形学中，它可以用于模拟自然界的流体现象。

总而言之，斯托克斯定理为我们理解和计算曲线和曲面之间的相互关系提供了有效的工具。

其重要性不仅在数学领域得到了充分的认可，而且在各个学科中的广泛应用也证明了它在各个领域的价值。

随着研究的深入，我们相信斯托克斯定理将在更多的领域中有着新的应用和发展。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下:本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。

下面将对每个部分的内容进行详细介绍。

1. 引言部分引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面。

首先，我们将对斯托克斯定理进行整体概述，介绍其基本定义和应用背景。

接着，我们将详细描述文章的结构，确保读者对整篇文章的组织有清晰的了解。

最后，我们明确本文的目的，即通过深入研究斯托克斯定理，探讨其在数学和物理等领域的重要性和应用前景。

2. 正文部分正文部分将重点阐述斯托克斯定理的定义及其应用。

首先，我们将详细介绍斯托克斯定理的定义，包括其公式表达和背后的原理基础。

然后，我们将探讨斯托克斯定理的应用领域，例如流体力学、电磁学和微分几何等。

曲线积分求全微分

曲线积分求全微分1. 什么是曲线积分？曲线积分是微积分中的一个重要概念，用于计算沿曲线的某个向量场的总体效应。

它可以被视为将向量场沿着曲线的方向进行积累的过程。

在数学中，曲线积分可以分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

•第一类曲线积分是将标量函数沿着曲线进行积累。

它可以描述例如质点在力场中所受到的位移功或者沿着路径的温度变化等情况。

•第二类曲线积分是将向量函数沿着曲线进行积累。

它可以描述例如磁场对电流环所产生的力或者涡旋场对流体流动所做的功等情况。

2. 曲线积分的计算方法2.1 第一类曲线积分设有一条参数方程为C:r(t)=(x(t),y(t),z(t)) (a≤t≤b) 的光滑曲线，我们希望计算标量函数f(x,y,z)沿该曲线的第一类曲线积分。

曲线积分的计算公式为：∫f C (x,y,z)ds=∫fba(x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt其中，ds=|r′(t)|dt表示曲线元素的长度。

2.2 第二类曲线积分设有一条参数方程为C:r(t)=(x(t),y(t),z(t)) (a≤t≤b) 的光滑曲线，我们希望计算向量函数F(x,y,z)沿该曲线的第二类曲线积分。

曲线积分的计算公式为：∫F C ⋅dr=∫Fba(r(t))⋅r′(t)dt其中，⋅表示向量的点乘运算。

3. 曲线积分与全微分的关系在某些情况下，我们可以通过求解全微分来计算某个标量函数沿曲线的第一类曲线积分。

如果一个标量函数f(x,y,z)在空间中具有连续偏导数，并且存在一个标量场ϕ(x,y,z)使得：df=∂ϕ∂xdx+∂ϕ∂ydy+∂ϕ∂zdz那么，沿曲线C的第一类曲线积分可以通过如下公式计算：∫f C (x,y,z)ds=∫dCf=∫(∂ϕ∂xdx+∂ϕ∂ydy+∂ϕ∂zdz)C由于全微分是一个标量，因此可以直接对其进行积分。

4. 曲线积分的应用曲线积分在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：4.1 力场对质点所做的功设有一个力场F(x,y,z)，质点沿着曲线C从点A移动到点B。

向量微积分的基本概念和定义

向量微积分的基本概念和定义在数学中，向量微积分是研究向量值函数关于时间或空间的变化率和积分的一种分支。

向量是一种具有方向和大小的量，它可以表示为一组有序的实数。

向量微积分在现代数学、物理、工程及计算机科学中都有广泛的应用，掌握向量微积分的基本概念和定义对于理解这些学科非常重要。

1. 向量的定义和运算向量是指具有大小和方向的物理量，如力、速度等。

一般地，向量用加粗的小写字母表示，例如a。

向量的大小又称向量的模，用竖线表示，如|a|。

向量的方向可以用一个有向线段表示，其中箭头表示向量的方向。

向量的几何运算包括加法和数乘。

向量的加法和数乘可以分别表示为：a +b = (a1+b1, a2+b2, …, an+bn)k · a = (ka1, ka2, …, kan)其中a，b均为n维向量，k是实数。

向量还有重要的运算符，如点积和叉积。

点积是一个二元运算，用符号“·”表示，它的定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn其中a，b均为n维向量。

叉积也是一个二元运算，用符号“×”表示，它的定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中a，b均为三维向量。

2. 导数和微分向量值函数是指将实数域中的一个区间映射到向量空间中的函数。

向量值函数的导数被称为导向量或者微分，用符号“dF/dt”表示。

导向量的定义为：dF/dt = lim(h→0) [F(t+h) - F(t)]/h其中F(t)表示向量值函数，h为无穷小量。

微分可以反映向量值函数的局部变化率，它的物理意义非常重要。

3. 曲线积分和曲面积分曲线积分是指沿曲线路径对向量值函数进行积分的过程。

它的定义为：∫c F·ds = ∫c F·drt其中F为向量值函数，C为曲线，rt为其参数方程。

曲线积分可以表示向量场在曲线上的流量，也可用于计算环路积分和势力场等物理量。

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P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
P [ (t ), (t )] (t )dt

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证明: 下面先证

根据定义设分点 xi 对应参数 ti ,
n
lim P( i , i ) xi
0 i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i )ti
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
0 i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移解决办法: “分割” “近似” “求和” “取极限”
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x
F
A
W F AB cos
B

F AB
1) “分割”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
2x x2
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(1 x )
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x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )

小结：

P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
2 0

(1 4 cos t ) d t 2
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2
o x
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y
结束
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数的参数方程为
dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cos , cos ds ds 则两类曲线积分有如下联系
L P( x, y) d x Q( x, y) d y
记作

L
F d r
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
其中dr (dx, dy)称为有向曲线元
称为被积函数 , L 称为积分弧段或积分曲线 .
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因为F dr ( P( x, y), Q( x, y))(dx, dy) Pdx Qdy
可定义 F d r P( x, y, z)dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz

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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x
a
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b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )
L 1
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1
例3. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
o 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
B a
A a x
则
L
y d x a 2 sin 2 t (a sin t )d t
y
B ( 1, 1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1;
x y
o
4
yx
1 3 x dx 0
(3) 有向折线 L : OA AB . 解: (1) 原式
A(1, 0 ) x
(2) 原式 ( 2 y 2 y 2 y y 4 )d y
0
1
(3) 原式

Q [ (t ), (t ) , (t )] (t ) R [ (t ), (t ) , (t )] (t )d t
2. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y P d x Q d y R d z
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记 F 在 t 上的投影为 A F d r
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例6.将积分分, 其中L 沿上半圆周解： y 2 x x , d y
2
化为对弧长的积
1 x 2x x
2
2
dx y
所以切向量为(1,
1 x
2x x
)
o
B x
L P( x, y) dx Q( x, y) d y
b
对空间光滑曲线弧 :
x (t ) y (t ) t : , 类似有 z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )

(t )
(t )
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例1. 计算
(2) 抛物线
其中L为
2
0

2 4 3 2a 1 a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 则
3
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例5. 求
从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取的参数方程
其中
x cos t , y sin t , z 2 cos t sin t ( t : 2 0 ) z (2 2 cos t sin t ) cos t
y
B ( 1, 1 )
y x
AO : y x , x : 1 0 OB : y x ,
x yd x
L AO
x : 0 1
OB
o
Hale Waihona Puke y x1 3x
x yd x
x yd x
2 x
0 2
A(1,1)
解法2 取 y 为参数, 则
4 dx 5
x yd x y 2 y ( y 2 ) d y
( 2x 0 x 0 )d x ( 2 y 0 1)d y
2 0 0
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1
1
A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段.
2 例2. 计算 x yd x , 其中L 为沿抛物线 y x 从点
L
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
i
(2) 用L－表示 L 的反向弧 , 则
P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且
x (t ) t : , 则曲线积分连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有
所做的功为
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) “近似” 有向小弧段近似代替, 在用有向线段上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk

P cos Q cos R cos ds
令 F ( P , Q , R), d r (d x , d y , d z )
(cos , cos , cos ) 为单位切向量
F d r

F d s
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3) “求和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n

4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δyk
0 k 1
n
(其中为 n 个小弧段的最大长度)
第二节对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
第十章
与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系
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一、对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))
P [ x( s), y ( s)] cos Q [ x( s), y ( s)] cos ds
0 l
P( x, y ) cos Q( x, y ) cos ds
L
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类似地, 在空间曲线上的两类曲线积分的联系是
P d x Q d y R d z
对坐标的曲线积分也可写成 F d r = P( x, y )d x Q (x , y )dy