3计算下列对弧长曲线积分

在第一象限内所围成的扇形的整个边界。 解：
y = x与x 2 + y 2 = a 2的交点为(
2 2 a, a) 2 2
2 );
记： L1 : y = 0 ( 0 ≤ x ≤ a )
L2 : y = x (0 ≤ x ≤ a
2 ≤ x ≤ a)
x2 + y2
L3 : y = a 2 − x 2 ( a
(−
π
2
≤θ ≤
π
2
)
1 A = ∫ 2π ( 2a cos 2 θ ⋅ 2a cos 2θ + a sin 2θ ⋅ 4a cosθ sin θ )dθ 2 −2
= 4a
2
π
∫
π
2 0
(cos θ + sin θ cos θ )dθ = 4a
4 2 2
2
∫
π
2 0
cos 2 θ dθ =π a 2
∫
AB
F ⋅ dr =
∫
z2
z1
mgdz = mg ( z 1 − z 2 )
L
7. 把对坐标的曲线积分
∫
P ( x , y )dx + Q( x , y )dy 化成对弧长 L 的曲线积分，其中 L 为:
(1) 在 xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1) (2) 沿抛物线 y = x 从点(0,0)到点(1,1)
y = x与y = x 2的交点为（ 0， 0 ），（ 1， 1 ）
记： L1 : y = x ( 0 ≤ x ≤ 1); 所以
解：LΒιβλιοθήκη : y = x 2 (0 ≤ x ≤ 1)
∫ xds = ∫ xds + ∫ xds
L L1 L2
= ∫ x 1 + ( x )′ 2 dx + ∫ x 1 + ( x 2 )′ 2 dx
∫∫ (−2 y cos x + 6 xy
D
− 6 xy 2 + 2 y cos x )dxdy = 0
即
∫ (2 xy
L
3
0 3 − y 2 cos x )dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy + ∫ (1 − 2 y + π 2 y 2 )dy + 0 = 0 1 4
=∫
1 1 + 4x2
L2
[ P ( x , y ) + 2 xQ( x , y )]ds
(1 − x ) 2 dx 2x − x2
dx = 2x − x 2 ds
(3)
ds = 1 + ( 2 x − x 2 )′ 2 dx = 1 +
∴ cos α =
∴ cos β = sin α = 1 − ( 2 x − x 2 ) = 1 − x
5．利用格林公式，计算下列曲线积分： （3）
∫ (2 xy
L
3
− y 2 cos x )dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy ，其中 L 为抛物线 2 x = π y 2 上由
点(0,0)到 (
π
2
,1) 的一段弧；
解：记：D 为 L: x =
π
2
,
2
y = 0 所围的闭区域，则
= − ∫ 1dt = −2π
0
2π
6． 设 z 轴与重力的方向一致， 求质量为 m 的质点从位置 ( x1 , y1 , z1 ) 沿直线移到 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 时 重力所做的功。 解： F = {0, 0, mg } ,记 dr={dx,dy,dz}, W= A ( x1 , y1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则功
L1 + L2
∫
ydx − xdy ∂Q ∂P = ∫∫ ( − )dxdy = 0 2 2 2( x + y ) D1 ∂x ∂y
ydx − xdy = ∫ 2 2 L 2( x + y )
L1 −
∫
2 2 2 2 2π − ε sin θ − ε cos θ ydx − xdy = dθ = −π 2( x 2 + y 2 ) ∫0 2ε 2
解： ds =
x t + y t + z t dt = 1 + 4 x 2 + 9 y 2 dt
dx 1 = ds 1 + 4x2 + 9 y2 cos γ = dz 3y = ds 1 + 4x2 + 9 y2
2
2
2
∴
cos α =
cos β =
dy 2x = ds 1 + 4x2 + 9 y2
解：圆弧的参数方程为： x = 2a cos
2
θ,
y = 2a cosθ sin θ
(0 ≤ θ ≤ π ) 2
∴ 原式 =
∫
2a
0
1 x ⋅ 0dx + ∫ 2 4a 2 cos 3 θ sin θ ( −4a cos θ sin θ dθ ) = − π a 3 0 2
其中 L 为圆周 x + y = a
∫
L31
P ( x , y )dx + Q( x , y )dy = ∫ [ P 2 x − x 2 + Q ⋅ (1 − x )]ds
L3
8. 设 Γ 为曲线 x = t , y = t , z = t 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分
2 3
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz 化成对弧长的曲线积分。
= ∫ a 2 n+1 dt = 2π a 2 n+1
（2）
∫ ( x + y )ds, 其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段
L
解：该直线方程： y = 1 − x 所以，原式= （3）
∫ 1⋅
0
1
1 + (1 − x )′ 2 dx = ∫
1
0
2dx = 2
所围成的区域边界
∫
L
xds, 其中L为由直线y = x 及抛物线y = x 2
2 2 2
(3) 沿上半圆周 x + y = 2 x 从点(0,0)到点(1,1)
o 解： （1） L1 的方向余弦： cos α = cos β = cos 45 = 1
2
∫
（ 2）
L1
P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = ∫
2
1 2
L1
[ P ( x , y ) + Q( x , y )]ds
2
A=
1 1 2π xdy − ydx = [4 cos t ⋅ 3 cos t − 3 sin t ( −4 sin t )]dt = 12π 2 ∫L 2 ∫0
（3）化为圆的参数方程： x = r cos θ = 2a cos θ ⋅ cos θ = 2a cos 2 θ
y = r sin θ = 2a cos θ sin θ = a sin 2θ
2t
=
（6）
∫
2
0
3 −t 3 e dt = (1 − e − 2 ). 2 2
∫
Γ
x 2 yzds ，其中 Γ 为折线 ABCD,这里 A,B,C,D 依次为点（0，0，0） 、
（0，0，2） 、 （1，0，2） 、 （1，3，2） ；
z B
解：AB:
x = 0, y = 0, z = t ( 0 ≤ t ≤ 2 ) ,
dS = 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy
原式=
D xy
∫∫
3( 2 − x 2 − y 2 ) 1 + 4( x 2 + y 2 )dxdy = 3 ∫ = 111 π 10
2
2π 0
dθ ∫
2 0
( 2 − r 2 ) 1 + 4r 2 rdr
5． （2）计算
∫∫ ( x
∴ 原式 = ∫ 0dt + ∫ 0dt + ∫ 1 2 ⋅ t ⋅ 2dt = 9
习题 10-2 3. 计算下列对坐标的曲线积分： （ 2）
∫
L
xydx, 其中 L 为圆周 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 (a > 0) 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域
的整个边界（按逆时针方向绕行）
3． 计算曲线积分
∫
ydx − xdy 2 2 ，其中 L 为圆周 ( x − 1) + y = 2 的方向,L 为逆时针方向。 L 2( x 2 + y 2 ) −x y 无意义，该点又在圆内，所以不能 , Q= 2 2( x + y ) 2( x 2 + y 2 )
2
解： （当 x=0, y=0 时， P =
原式= e
L1
∫
x2 + y2
ds + ∫ e
L2
x2 + y2
ds + ∫ e
L3
ds
=
∫
a
0
e x 1 + 0 2 dx + ∫
a x a 0 2x
a 2
0
e
2x
1 + ( x ′) 2 dx + ∫ a e a 1 + (
2
a
− 2x 2 a −x
2 2
) 2 dx