高数第十一章(1)对弧长的曲线积分
10.1 对弧长的曲线积分
y O
1
x
高等数学
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二、对弧长的曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分
L
f ( x, y ) d s
转化
计算定积分 d s (d x) 2 (d y ) 2
x (t ) ( t ) (1)若L: y (t )
2 2 d s (t ) (t )dt
L
L1
xds xds
0 x
1
y x2 yx L1 (1,1) L2
x
0 x
1
O
L1 : y x, 0 x 1
2 1 (5 5 1) 2 12
高等数学
L2 : y x2 , 0 x 1
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补充: 设在 xoy 面上有一分布着质量的曲线弧 L, 其线密度为 ( x, y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:
山东交通学院高等数学教研室
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1 引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在 xoy 面上对应 弧段为AB ,
其线密度为连续函数
求此构件的质量.
是常数, 且弧长为 s, 则其质量为 不是常数, 仍可采用 “分割, 作近似, 求和, 取极限”方法.
B
M n1
y
m
在 上的曲线积分:
连续
(3) 若 是空间光滑曲线弧， 类似可定义函数
L f ( x, y) ds存在.
L
f ( x, y, z ) d s lim f (i ,i , i ) si
高等数学：11-1对弧长的曲线积分
L
L
从而
(x2 y)ds x2ds 1 (x2 y2 )ds ．
L
L
2L
因为点(x, y) 位于 L 上，所以 x, y 满足 L 的方程，即有 x2 y2 1，
故
(x2 y)ds 1 ds 1 L的周长 1 2 ．
L
2L 2
2
注：解法二表明在计算过程中，可将曲线方程直接代入被积函数中．
(11.1.4)
a
注：式(11.1.1),(11.1.2),(11.1.3) ，和 (11.1.4) 中，积分下限小于积分上限．
16-12
例 11.1.1 计算曲线积分 x2 y2ds ，其中 L 是由圆周x2 y2 a2(a 0) ， L
直线 y x 以及 x 轴在第一象限中所围平面图形的边界．
数，则
f (x, y)ds
b
f (x, y(x))
1 y2(x)dx ．
L
a
(11.1.2)
16-11
（续定理）如果曲线 L 的方程为 x x( y) (c y d ) ，且x( y) 在[c,d ] 上具有
连续导数，则
f (x, y)ds
d
f (x( y), y)
1 x2( y)dy ．
16-4
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值S h(i ,i )si ． i1
⑷ 取极限：令 0，则有 的面积
n
S
lim
0
i1
h(i ,i )si
．
㈡ 曲线形物体的质量
设有平面上的曲线状物体，占有 xOy 坐标面上的
曲线段 L （见图 11-1-2），在 L 上任一点(x, y) 处，其线密
11.1对弧长的曲线积分
11.1对弧长的曲线积分《高等数学》同济高等数学精品课第11章曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral同济高等数学精品课第一节第一类曲线积分问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的计算几何意义与物理意义小结思考题作业3第十章曲线积分与曲面积分同济高等数学精品课对弧长的曲线积分一、问题的提出实例曲线形构件的质量匀质之质量M s 分割M1 , M 2 , , M n 1OAByL( i , i ) M iM1 M 2M n 1M i 1si取近似取( i , i ) si , M i ( i , i ) six求和M ( i , i ) sii 1 nn近似值精确值4取极限M lim ( i , i ) si 0i 1同济高等数学精品课对弧长的曲线积分二、对弧长的曲线积分的概念设L为xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 , M 2 , , M n 11.定义把L分成n个小段. 设第i个小段的y长度为si ,又( i , i )为第i个小段上任意取定的②作乘积f ( i , i ) si , 一点, ③ 并作和f ( i , i ) si ,i 1 n( i , i ) M iLM n 1B④ 如果当各小弧段的长度的最大值0时,OAM1 M 2M i 1six5同济高等数学精品课对弧长的曲线积分n注意: 被积表达式都定义在曲线上, si f ( i , i ) 即满足曲线的方程 . i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧L 对弧长的曲线积分或记作第一类曲线积分. 被积函数L f ( x, y )ds, 即nf ( i , i ) si L f ( x, y )ds lim 0 i 1积分弧段弧元素L积分和式曲线形构件的质量M ( x , y )ds6同济高等数学精品课对弧长的曲线积分2. 存在条件当f ( x , y )在光滑曲线弧L上连续,对弧长的曲线积分3. 推广L f ( x, y )ds 存在.函数f ( x , y , z )在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si 0i 1n同济高等数学精品课对弧长的曲线积分注意(1) 若L (或)是分段光滑的, ( L L1 L2 )L L12f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )dsL1 L2(对路径具有可加性)( 2) 函数f ( x , y )在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作L f ( x, y )ds8同济高等数学精品课对弧长的曲线积分4. 性质(1)L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L(2)L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数) L ⌒ f ( x, y )ds ( AB )L (⌒ BA)(3) 与积分路径的方向无关, 即f ( x , y )ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分补充在分析问题和算题时常用的对称性质设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分, y ) 在一条光滑(或分段光滑)的计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积曲线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则分曲线L的对称性.L f ( x, y )ds1当f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数0 , 2 f ( x , y )ds , 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数LL1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例计算( x y )ds . 其中L是圆周x 2 y 2 R 2 . L3解对称性,得yL Lx 2 y 2 R2L( x y 3 )ds xds y 3ds 0LOx对xds , 因积分曲线L关于x=0对称,被积函数x是L上关于x的奇函数对y 3ds , 因积分曲线L关于y=0对称, LLxds 0被积函数y 3是L上关于y的奇函数y 3ds 0 L11同济高等数学精品课对弧长的曲线积分三、对弧长曲线积分的计算解法化为参变量的定积分计算定理设f ( x , y )在曲线弧L上有定义且连续, x (t ) L的参数方程为( t ),其中y (t )( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且Lf ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt对弧长的曲线积分要求ds 0 (1)化为定积分的下限一定要小于上限(2) 积分值与曲线方向无关.注意( )同济高等数学精品课对弧长的曲线积分Lx (t ) L的参数方程为( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt特殊情形(1) L : y ( x ), a x b( )L f ( x, y )ds Lbaf [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx (a b)ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y df ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c13dds 1 2 ( y )dy同济高等数学精品课对弧长的曲线积分x (t ) L的参数方程为( t ), y (t )L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形(3) L : ( ),2 (t ) 2 (t )dt( )f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )dL f ( x , y )ds推广: x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 14f ( x , y , z )ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分如果积分路径L是两个曲面的交线1 ( x , y , z ) 0 z f ( x, y) 或z g( x , y ) 2 ( x , y , z ) 0此时需把它化为参数方程(选择x , y , z中某一个为参数), 再按上述方法计算.同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例1求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到Ly ( 0 y 2) 解y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 32( 2,2)的一段.对x积分?2yy2 2x( 2,2)Ox例2 求I xyzds , 其中: x a cos , y a sin ,z k 的一段. (0 2 )解I2a 2 cos sin k a 2 k 2d1 2 2 2 ka a k 2同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例3 计算L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即2⌒ 如图)的解由曲线L(半圆周ABC 2 2 2 方程x y R , 得ds 1 y 2dxx y R ( x 0).2 2AyLB xOCR x2 y2 dx dx 2 | y| yL R 0| y | ds AB ⌒ | y |d s ⌒ | y | d s BCR R R dx 2 R 2 | y | dx | y |0 | y| | y|17同济高等数学精品课对弧长的曲线积分计算| y | ds , 其中L是右半圆周,即L x 2 y 2 R 2 ( x 0).解此题时也可用对称性质L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,故AyLB xL | y | ds 2 ⌒ ydsABOC2R02R y dx y2R同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例4 求I x 2 d s ,x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周x y z 0.解由于的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2 a 3 ds 3 3x 2ds y 2d s z 2ds( 2 a ds, 球面大圆周长)19同济高等数学精品课对弧长的曲线积分例5 曲线是中心在( R, 0), 半径为R2 2的上半圆周.求提示:用极坐标( x y ) ds同济高等数学精品课对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义几何意义(1) 当f ( x , y ) 1时, L 弧长。
高等数学第一节 对弧长曲线积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C
高等数学第一节 对弧长的曲线积分1
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值 S h(xi ,hi )si ． i1
⑷ 取极限：令 l 0，则有 的面积
n
S
lim
l 0
i1
h(xi ,hi )si
上任取一点(x i , h i)，以r(x i , h i)s i 作为第 i 小段质量的近似值，
其中s i 表示第 i 小段的弧长．于是整个曲线构件的质量
n
M r(xi ,hi )si ． i 1
用l表示n个小弧段的最大
长度．为了计算M 的精确值，
y
线密度为r(x, y)的曲线 L：B
如果f (x, y)在L上关于y为奇函数, 如果f (x, y)在L上关于y为偶函数.
⑵ 如果 L 关于 y 轴对称， L1 为 L 在 y 轴上方的部分，则
L
f
(x, y)ds
2
L1
f
0, (x, y)ds,
如果f (x, y)在L上关于x为奇函数, 如果f (x, y)在L上关于x为偶函数.
i 1
B Mn1
s i Mi
A
L
(x i, h i)
Mi-1
O
M1
M2
x
２．第一类曲线积分的定义：
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x, y)在L上有界．
在 L上任意插入一点列M1，M2，···，Mn把L分在n个小段．
设第 i 个小段的长度为s i，
第 i 个小段上任意取定的一点(x i, h i) ， 作乘积f(x i, h i) s i，并作和
高等数学课件--D11_1对弧长曲线积分
k 1
2 2
n
注意 (t ) (t ) 连续
lim f [ ( k ) lim( k ) f ( k , k ) sk , ] 0
0
k 1 k 1
2012-10-12 同济版高等数学课件
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n
n
因此
2012-10-12
2 cos ( 2 sin )
2
( 2 sin )
I 9
2
d 2d
2 0
2π
2 d 18 π
同济版高等数学课件
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例7. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力.
解: d Fx k
d Fy k
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如果曲线 L 的方程为
则有
a
b
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
y O
L
y ds
( )
2
L R x
x R cos L: y R sin
3
R sin
2
2
2
( R sin ) ( R cos ) d
3
2
2
sin 2 R sin d 2 R 2 4
z ds
2
x ds
高等数学-第七版-课件-11-1 对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念 二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算
四 、对弧长的曲线积分的应用
曲线弧的质心
x
L
x ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
y
L
y ( x , y )ds
L
(x ,y )ds
(3) 在上述公式中,下限α一定小于上限β. (4) 口诀:变量参数化、一小二起下.
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
特例 (1)
y ( x ) ( x0 x X ) L：
对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念
二 、对弧长的曲线积分的性质
三 、对弧长的曲线积分的计算 四 、对弧长的曲线积分的应用
线性性质
f( x, y) g( x, y) ds f ( x, y)ds g( x, y)ds. L L L
可加性
则曲线积分 L f ( x , y )ds存在, 且
L
f ( x, y )ds f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
注
(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!
(2) 化为定积分中的三个变化 L f(x,y) ds [α,β] f (t ), (t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
三 变 、 一 注 意
[α,β] 积分弧段 L 被积函数 f ( x , y ) f ( ( t ), ( t )) 弧长元素 ds 2 ( t ) 2 ( t )dt 一点注意 下限一定小于上限
高数下第十一章曲线积分与曲面积分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
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1 2
(由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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上 f ( x, y, z ) ( x, y, z ) , 则 (5). 若在
f ( x, y , z ) d s ( x, y , z ) d s
特别的，有
f ( x, y, z ) d s | f ( x, y, z ) | d s.
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
lim
记作
k 1
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds
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Mk sk M k 1
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积
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sin R2
R
o
R x
例6. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:
( x 2 y 2 z 2 ) ds
a k
2
2
0
2
[a 2 k 2 t 2 ] d t
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) 3
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8. 设函数
在空间曲线 上连续, 若 关于xoy
上 面对称, 记 1为位于xoy面上方的部分. 在
(1) f ( x , y, z ) f ( x, y, z ), 则
f ( x , y , z ) d s 2 f ( x, y , z ) d s
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
为计算此构件的质量, 采用
n
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M
A
k 1
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3. 性质 （k 为常数)
(2)
(3)
f ( x, y, z) g ( x, y, z) d s f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s f ( x, y, z) ds f ( x, y, z ) ds f ( x, y, z ) ds
分为
f ( k , k )sk L f ( x, y) ds lim 0 k 1
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L
n
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
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说明：对于第一类曲线积分,仍有三个以下经常使用 的公式:（只对空间曲线进行描述,平面曲线类似） (1)若对于曲线 ,作 x
y 后表示方式不变,则
(6). 若在 上 m f ( x, y, z ) M , 则
m l f ( x, y , z ) d s M l
(7).(第一类曲线积分的中值定理)
在曲线 上连续, l 为 的弧长, 则存在 ( , , ) ,使得
f ( x, y, z ) d s f ( , , ) l
L
x R cos L: y R sin
o
( )
L R x
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 2 0 R 3 ( sin cos )
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
则
: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
0 k 1
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因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) 2 (d y ) 2 (t ) (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
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y
2
1
(2) f ( x , y, z ) f ( x, y, z ), 则
f ( x, y , z ) d s 0
当曲线关于 yoz 面对称, 函数关于变量 x 有奇偶性；
或者,曲线关于 zox 面对称, 函数关于变量 y 有奇偶性时,
仍有类似结果.
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利用对称性 , 得
4
)
o
x
4
4
4 a 2 cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
0
d
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例4. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
y
I y 2 ds
3 2 R sin
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例5. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y ds 解: d Fx k cos ( x, y ) R2
d Fy k
ds
2k 2k sin cos Fx cos d R R 0 0 2k 2k cos sin Fy sin d R 0 R 0 故所求引力为 F 4k , 2k R R
平面曲线的情形： 8＇设函数 在曲线 L 上连续, L关于x 轴对称, 记 L1为L 位于 x 轴上方的部分, 在 L 上
(1) f ( x , y) f ( x, y), 则
L
f ( x , y ) d s 2 f ( x, y ) d s
L1Leabharlann (2) f ( x , y) f ( x, y), 则
2
o
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ds d y dx x x
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如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
例7. 计算
其中为球面 x 2 y 2
与平面 x z 1 的交线 . z2 9 2
1 ( x 1 ) 2 1 y 2 1 解: : 2 2 4 , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 0 2 : y 2 sin z1 2 cos 2 则
o
y0 a x
4
注：逐段光滑的曲线求曲线积分时要注意利用性质3.
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例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0
4 r cos
L1 : r a cos 2
2 (t ) 2 (t ) d t
) 2 ( k ) t k , 2 ( k
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
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2.定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
n
( k ,k , k )
f ( x, y , z ) d s f ( k ,k , k )sk 0
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
lim f ( k , k )sk
0 k 1
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*证: 根据定义
n
设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为