1对弧长的曲线积分
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对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
对弧长的曲线积分
都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
两类曲线积分定义及计算公式
对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.
第二类曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连 x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ),
到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
第一类曲线积分的计算
设 f ( x , y )在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 , x ( t ), L的 参 数 方 程 为 ( t )其 中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 则
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )dx. ( a b )
L
f ( x , y )ds
b
a
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c
推广
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy. (c d )
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )
Pdx Qdy Rdz
{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
第二类曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连 x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ),
到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
第一类曲线积分的计算
设 f ( x , y )在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 , x ( t ), L的 参 数 方 程 为 ( t )其 中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 则
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )dx. ( a b )
L
f ( x , y )ds
b
a
( 2) L : x ( y )
c y d.
d c
推广
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy. (c d )
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )
Pdx Qdy Rdz
{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分
i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似 取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计 算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线 的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例 求I xyzds,其 中 : x a cos , y a sin ,
z k 的 一 段. (0 2 )
高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1
∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
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(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
提示
(2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (x, y)ds
d
f [ ( y), y]
2( y) 1dy
L
c
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
•当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L
上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的
•曲线形构件的质量就是曲线积分 (x, y)ds的值 L
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
设f(x y)在曲线弧L上连续 L的参数方程为
x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0
则曲线积分 L f (x, y)ds 存在 并且
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？
提示
f (x, y, z)ds
f [(t), (t), (t)]
2(t) 2(t) 2(t)dt
一代、二换、三定限
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，
特别地 有
| L f (x, y)ds | L| f (x, y)| ds
思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
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二、对弧长的曲线积分的计算（描述代人法) （描成参数方程）
❖定理
则
f (x, y)ds 2 f (x, y)ds
L
L1
其中L1 是位于对称轴一侧的部分
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]Biblioteka 2(t) 2(t)dt ()
L
例 1 计算 yds 其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 L
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L1 L2
L1
L2
•函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 f (x, y)ds L
❖对弧长的曲线积分的性质
•性质1 设c1、c2为常数 则
L[c1 f
§6.4.1 对弧长的曲线积分（第一类）
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和
n
f (i,i)si
i 1
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则
称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
L f (x, y)ds 即
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0
i 1
f
( i ,i )si
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
(x, y) c2g(x, y)]ds
c1
L
f
(x, y)ds c2
g(x, y)ds
L
•性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
•性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
•类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线
积分
n
f
(x,
y,
z)ds
lim
0
i 1
f
(i,i,
i )si
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积
分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和
换：换弧微元 ds x2 y2dt
定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数
关于对称性
对弧长的曲线积分 可以利用对称性 简化计算
设L 关于 x ( y ) 轴对称 若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数
则 f (x, y)ds 0 L
若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数
•整个曲线形构件的质量近似为
M
n
( i ,i )si
i 1
•令max{s1 s2 sn}0 则整个曲线形构件的质量为
n
M
lim
0
i 1
(i,i
)si
❖对弧长的曲线积分
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界
将L任意分成n个小弧段
>>>光滑曲线
s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)
提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb)
f (x, y)ds
b
f [x, (x)]
1 2(x)dx
L
a
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
提示
(2)L的参数方程为x(y) yy(cyd)
f (x, y)ds
d
f [ ( y), y]
2( y) 1dy
L
c
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
•当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L
上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的
•曲线形构件的质量就是曲线积分 (x, y)ds的值 L
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L
(2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f (x, y)ds ？ L
设f(x y)在曲线弧L上连续 L的参数方程为
x(t) y(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0
则曲线积分 L f (x, y)ds 存在 并且
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
则 f (x, y, z)ds ？
提示
f (x, y, z)ds
f [(t), (t), (t)]
2(t) 2(t) 2(t)dt
一代、二换、三定限
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，
特别地 有
| L f (x, y)ds | L| f (x, y)| ds
思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
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二、对弧长的曲线积分的计算（描述代人法) （描成参数方程）
❖定理
则
f (x, y)ds 2 f (x, y)ds
L
L1
其中L1 是位于对称轴一侧的部分
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]Biblioteka 2(t) 2(t)dt ()
L
例 1 计算 yds 其中 L 是抛物线 yx2 上点 O(0 0)与点 L
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
•任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si
例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L1 L2
L1
L2
•函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 f (x, y)ds L
❖对弧长的曲线积分的性质
•性质1 设c1、c2为常数 则
L[c1 f
§6.4.1 对弧长的曲线积分（第一类）
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
❖曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上
已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
•把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧长)
在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和
n
f (i,i)si
i 1
如果当max{s1 s2 sn}0时 这和的极限总存在 则
称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作
L f (x, y)ds 即
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0
i 1
f
( i ,i )si
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
(x, y) c2g(x, y)]ds
c1
L
f
(x, y)ds c2
g(x, y)ds
L
•性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds
L
L1
L2
•性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则
L f (x, y)ds L g(x, y)ds
•类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线
积分
n
f
(x,
y,
z)ds
lim
0
i 1
f
(i,i,
i )si
❖对弧长的曲线积分
说明
n
L
f
(x,
y)ds
lim
0 i1
f
( i ,i )si
•如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积
分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和
换：换弧微元 ds x2 y2dt
定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数
关于对称性
对弧长的曲线积分 可以利用对称性 简化计算
设L 关于 x ( y ) 轴对称 若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数
则 f (x, y)ds 0 L
若 f( x ,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数
•整个曲线形构件的质量近似为
M
n
( i ,i )si
i 1
•令max{s1 s2 sn}0 则整个曲线形构件的质量为
n
M
lim
0
i 1
(i,i
)si
❖对弧长的曲线积分
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界
将L任意分成n个小弧段
>>>光滑曲线
s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度)
提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb)
f (x, y)ds
b
f [x, (x)]
1 2(x)dx
L
a
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f (x, y)ds ？ L