(整理)对弧长的曲线积分.

对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。

在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。

对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。

【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。

亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。

注记:1、f x y dsL(,)⎰中的被积函数f x y (,)的定义域为L 上的一切点。

2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,设Γ是空间的一条光滑曲线,函数f x y z (,,)在Γ上有界,则f x y z ds f s i i i i i n(,,)lim (,,)Γ∆⎰∑=⋅→=λξηζ013、若L 为一条封闭曲线,一般将f x y dsL(,)⎰记为 ⎰Ldsy x f ),(。

二、对弧长的曲线积分的性质利用对弧长的曲线积分定义, 我们可以证明下述性质 1、[(,)(,)](,)(,)f x y g x y ds f x y ds g x y dsLLL±=±⎰⎰⎰2、若k 为常数,⎰⎰⋅=⋅LLdsy x f k ds y x f k ),(),(3、的长度L ds L=⎰4、若在L 上,f x yg x y (,)(,)≤,则 f x y ds g x y dsLL(,)(,)≤⎰⎰5、若L LL =+12,则 f x y ds f x y ds f x y dsL L L (,)(,)(,)=+⎰⎰⎰12上述性质均不加以证明, 有兴趣的同学可以查阅有关书籍。

三、对弧长曲线积分的计算法假设曲线L 由参数方程x t y t t ==≤≤ϕφαβ(),()()给出,且函数ϕφ(),()t t 在[,]αβ上具有一阶连续导数；函数f x y (,)在L上连续；当参数t 由α变至β时, 依点A 至点B 的方向描出曲线L 。

在L 上取一系列的点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,设它们对应于一列单调增加的参数值αβ=<<<<<<<=--t t t t t t i i n n 0111依定义f x y ds f s Li i i i n(,)lim (,)⎰∑=→=λξη01∆这里的(,)ξηi i M i M i ∈-弧1,并设点(,)ξηi i 对应于参数值τi则 ξϕτηφττii i i i i i t t ==≤≤-(),()1由弧长计算公式与定积分中值定理有[][]∆s t t dti t t i i='+'-⎰ϕφ()()221[][]=''+''⋅≤'≤=---ϕτφττ()()(,)i ii i i i i i i t t t t t t 2211∆∆从而[][]f x y ds f t Li i i ni i i(,)lim [(),()]()()⎰∑=''+''⋅→=λϕτφτϕτφτ0122∆ (2)由于函数[][]'+'ϕφ()()t t 22在[,]αβ上连续, 在λ→0时,小区间[,]t t i i -1的长度∆t i n i →=012(,,,) 。

那么在[,]t t i i -1上,[][]''+''ϕτφτ()()i i 22与 [][]'+'ϕτφτ()()i i 22只相差一个∆t i 的高阶无穷小, 因此, 我们可以把(2)式右端的'τ换成τi ,有[][]f x y ds f t L i i i ni i i (,)lim [(),()]()()⎰∑='+'⋅→=λϕτφτϕτφτ0122∆而右端和式的极限,就是函数[][]22)()()](,)([t t t t f φϕφϕ'+'在区间],[βα上的定积分。

由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线积分亦存在,且有[][]dtt t t t f ds y x f L22)()()](),([),(φϕφϕβα'+'=⎰⎰ (3)强调指出, (3)式中的定积分下限α一定要小于上限β,理由是 (2)式中的∆t i 由表达式[][]∆∆s t i i ii =''+''⋅ϕτφτ()()22 给出,因小弧段的长度∆s i >0, 从而∆t t t t t i n i i i i i >⇒->⇒>=--001211(,,,)因此 βα=<<<<<<<=--n n i i t t t t t t 1110利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式 1、曲线L 由方程y x a x b =≤≤φ()()给出时,[]f x y ds f x x x dxLab(,)[,()]()⎰⎰=+'φφ122、曲线L 由方程x y c y d =≤≤ϕ()()给出时,[]f x y ds f y y y dyLcd(,)[(),]()⎰⎰=+'ϕϕ123、空间曲线Γ由参数方程)()()()(βαωφϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x给出时,[][][]dtt t t t t t f ds z y x f 222)()()()](),(),([),,(ωφϕωφϕβα'+'+'=⎰⎰Γ【例1】计算x y ds L22+⎰,其中L 为圆周x y ax a 220+=>() 【解法一】L 可化为参数方程()()x a y a -+=22222x a y a =+=⎧⎨⎪⎩⎪⎪≤≤21202(cos )sin ()θθθπ[][]sin cos '+'=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=x y a a a 2222222θθ 2cos)cos 1(2222θθa a y x =+=+)2(2cos 2cos 220220222θθθθππd a d a ds y x L ⎰⎰⎰==+22222cos 2cos a tdt a dt t a ===⎰⎰ππ【解法二】曲线L 关于x 轴对称,设L1是在x 轴上方的一支,则方程应为 y ax x x a =-≤≤20()而被积函数f x y x y (,)=+22在L 上关于x 轴偶对称,故x y ds L22+⎰=+⎰2221x y dsL=⎰21axdsLdx x ax x a ax a2202212⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⋅=⎰=⋅-+--⎰24240222ax ax x a x ax x dx a()()()=-⎰2402ax a x a x dxa ()=-⎰a a dxa xa[]=--a a a xa20=22a【例2】计算半径为R ,中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为ρ=1)。

解:建立如图所示的坐标系则 I y dsL=⎰2而L x R y R :cos sin ()==⎧⎨⎩-≤≤θθαθα于是I R R R d =-+-⎰2222sin (sin )(cos )θθθθαα=-⎰R d 32sin θθαα=⎰2320R d sin θθα=-⎰21223R d cos θθα=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥21214230R θθαsin=-R 3122(sin )αα。