对弧长的曲线积分
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对弧长的曲线积分
都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
对弧长的曲线积分
L
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
对弧长的曲线积分
0 2
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
Cjf4-对弧长的曲线积分
说明: ds (d x) (d y )
y
2 (t ) 2 (t ) d t
ds d y dx
o x
如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
(2)
f ( x, y, z) g ( x, y, z)d s f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
（k 为常数)
(4)
f ( x, y, z ) d s
1
f ( x, y , z ) d s
组成)
2
2
2 2 x 2 ds y ds z ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 a 3 3 2 3 a 3
思考: 例5中 改为 计算
, 如何
X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
f ( x, y , z ) d s
(由
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
上的连续函数, 则曲线积分
L
f ( x, y ) d s
2
f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
2
第四节 对弧长的曲线积分
第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
对弧长曲线积分课件
对弧长的曲线积分的结果是一个标量， 与积分路径无关，只与起点和终点有 关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长和曲线积分
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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在曲线L上连续.因此，以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的，
在此条件下，第一类曲线积分
总是存在的.
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量 当线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线 积分，即
一、第一类曲线积分的概念
曲线L的质心的坐标为
转动惯量为 上述定义可类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形， 即函数f(x,y,z)在空间曲线Γ上的第一类曲线积分为
图 10-3
二、第一类曲线积分的性质
解
二、第一类曲线积分的性质
【例4】
求
其中L为双纽线
（见图10-4）的弧.
图 10-4
二、第一类曲线积分的性质
解 双纽线的极坐标方程为
用隐函数求导得
即
，因此
结合对称性，所以
二、第一类曲线积分的性质
【例5】
设L为椭圆
，其周长为a，求
解 因为L关于y轴对称，且2xy是关于x的奇函数，所以
对弧长的曲 线积分
一、第一类曲线积分的概念
引例1
设有一曲线形物体所占的位置 是xOy面内的一段曲线L，它的端点 是A，B，它的质量分布不均匀，其 线密度为ρ(x,y)，试求该物体的质量 M（见图10-1）.
图 10-1
一、第一类曲线积分的概念
分析
如果该物体的线密度为常量，那么它的质量可用公式 质量=线密度×长度
这种和的极限在研究其他问题时经常用到，于是将其抽 象出来，得到第一类曲线积分的定义.
一、第一类曲线积分的概念
定义
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y在L上有界.
在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1把L分成n个小段.设第i
个小段的长度为Δsi，又ξi,ηi为第i个小段上任意取定的一点.
来计算.由于该物体上各点处的线密度是变量，所以不能用上 述公式来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.
一、第一类曲线积分的概念
(1)分割在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1,把L分成n个 小段，相应地，曲线形物体也分成n个小段，每一小段的质量 为ΔMi(i=1,2,…,n)，则该曲线形物体的质量
即
0,使得f［x(t),y(t)］≤M.
由于函数 一致连续，即
在［α,β］上连续,所以它在［α,β］上 0,当Δt<δ时，有
从而
二、第一类曲线积分的性质
所以
因此
二、第一类曲线积分的性质
注意
（1）由于函数 上连续，所以定积分
（2）定积分的下限α一定小于上限β. 若曲线L的方程为y=y(x),a≤x≤b，则
二、第一类曲线积分的性质
性质1
设α，β为常数，则
性质2
设L由L1和L2两段光滑曲线组成(记L=L1+L2)，则
二、第一类曲线积分的性质
注意
若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的， 则称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的 或分段光滑的.
二、第一类曲线积分的性质
性质3
设在L上有f(x,y)≤g(x,y)，则
性质4
（中值定理）设函数f(x,y)在曲线L上连续，则在L上必存在一点 (ξ,η)，使
其中s是曲线L的长度.
二、第一类曲线积分的性质
性质5
（奇、偶对称性）设函数f(x，y)在曲线L上连续. 若曲线L关于y轴对称，则
若曲线L关于x轴对称，则
二、第一类曲线积分的性质
其中L1=x,yx,y∈L,y≥0. 若曲线L关于x,y轴对称,则
【例2】
求半径为R,中心角为2α的圆弧L的质心(设线密度ρ=1). 解 取坐标系如图10-2所示.
图 10-2
二、第一类曲线积分的性质
由对称性知， 利用L的参数方程 于是
因此圆弧的质心为
二、第一类曲线积分的性质
【例3】
求
,其中L是以O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)为
顶点的三角形的边界（见图10-3）.
如果当小弧的长度的最大值λ→0时，
的极限
是存在的，则称此极限为函数fx,y在曲线弧L上的第一类曲
线积分或对弧长的曲线积分，记为
（10-1）
其中fx,y称为被积函数，L称为积分弧段，ds称为弧长元素.
一、第一类曲线积分的概念
注意
函数fx,y在闭曲线L上的第一类曲线积分记为
式(10-1)中和式的极限存在的一个充分条件是函数f(x,y)
其中L1=x,yx,y∈L,x≥0,y≥0.
二、第一类曲线积分的性质
性质6
（轮换对称性）设函数f(x，y)在曲线L上连续，若曲线L中将x
与y互换后，L变为L′,则
特别地，若L关于
y=x对称，则
对于积分
也有相应的性质，读者可自行写出.
三、第一类曲线积分的计算
定理
设有曲线
其中x(t),y(t)在［α,β］上具有一阶连续导数，且
又因为在L上有
所以二、第一类曲线积分的来自质【例6】求 解 因为
其中Γ为螺旋线
所以
谢谢聆听
(2)近似取其中一小段物体
（其长度记为Δsi）来
考虑,当Δsi很小时，其上的线密度可以近似看成是不变的常数，
它近似等于该小段上任一点ξi,ηi处的线密度ρ(ξi,ηi)，于是，该
小段的质量ΔMi可近似表示为
一、第一类曲线积分的概念
(3)求和该曲线形物体的质量
(4)取极限设λ=maxΔs1,Δs2,…,Δsn，当λ→0时取上述和的 极限，于是整个曲线形物体的质量
函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则曲线积分 在，且
存 （10-2）
三、第一类曲线积分的计算
证明
根据第一类曲线积分的定义，有
其中
设点
对应于参数值
即
由弧长公式知，L上由t=ti－1到t=ti的弧长
二、第一类曲线积分的性质
由积分中值定理，有 其中 于是
二、第一类曲线积分的性质
因为复合函数f［x(t),y(t)］关于t连续，所以在［α,β］上有界，
在［α,β］ 存在
二、第一类曲线积分的性质
若曲线L的方程为x=x(y),c≤y≤d，则 若曲线L的方程为ρ=ρ(θ),α≤θ≤β，则 公式(10-2)可推广到空间曲线Γ的情形.设Γ的参数方程为 则
二、第一类曲线积分的性质
【例1】
求
其中L为下半圆周
解 由于下半圆周的参数方程为
所以
二、第一类曲线积分的性质