曲线积分
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学和数学分析中有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有多种，下面我们将介绍其中的一些常见方法。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，它描述了函数沿着曲线的变化情况。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们分别对应着不同的计算方法。
对于第一类曲线积分，也称为向量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中P、Q是定义在曲线上的连续函数。
那么第一类曲线积分的计算公式为∫C Pdx+Qdy=∫[a,b](P(x(t)),Q(y(t)))·(x'(t),y'(t))dt，其中[a,b]是曲线的参数区间。
对于第二类曲线积分，也称为标量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为f(x,y)，其中f是定义在曲线上的连续函数。
那么第二类曲线积分的计算公式为∫C f(x,y)ds=∫[a,b] f(x(t),y(t))·|r'(t)|dt，其中[a,b]是曲线的参数区间，|r'(t)|表示曲线在参数t处的切线长度。
除了以上介绍的基本计算方法外，还有一些特殊情况下的曲线积分计算方法，比如在极坐标系下的曲线积分、在三维空间中的曲线积分等。
这些方法在具体问题中有着重要的应用，需要根据具体情况进行灵活运用。
总之，曲线积分的计算方法是微积分中的重要内容，它涉及到向量场、标量场以及曲线的参数方程等多个概念。
掌握曲线积分的计算方法对于理解微积分的理论和应用具有重要意义，希望以上介绍能够对大家有所帮助。
高等数学第十章曲线积分
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
曲线积分
根据对弧长的曲线积分的计算公式,得 1 3 1 2 2 3 yds 3t t 1dt t 1d t 2 1 =…… L 0 2 0
例 3 设空间曲线 L 为螺旋线 x a cos t ﹑ y a sin t ﹑
z bt 上相应于 t 从 0 到 2π 的一段，试计算曲线积分
பைடு நூலகம்
L
( x 2 y 2 z 2 )ds .
解： 根据对弧长的曲线积分的计算推广公式,得
(x
L
0
2
y z )ds
2 2
[(a cos t ) 2 (a sin t ) 2 (bt ) 2 ] (a sin t ) 2 (a cos t ) 2 b 2 dt
L
二、对弧长的曲线积分的计算
定理1 设 L 是光滑曲线,其参数方程为 x (t ) , （ t ）, y (t ) , f ( x, y) 为定义在 L 上的连续函数,
则曲线积分 f ( x, y )ds ，并且
L
L
f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t )dt
2π
2 2 1 2 3 a b a t b t π a2 b2 (3a2 4π2b2 ) 3 0 3
2 2
2π
例4 求 I 解
L
x2 y 2 ds, L : x2 y 2 2ax,(a 0).
(0 t 2π)
x a a cos t L: y a sin t
关；
4、 f ( x , y )ds = f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) dt
曲线积分
(2) C f ( x, y) ds C 1 f ( x, y) ds C 2 f ( x, y) ds
(3) C ds l ( l 曲线C 的长度)
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3. 计算 • 对光滑曲线
2 2 f ( x , y ) d s ( t ) (t ) d t f [ (t ), (t )] C
1.引例: 曲线形物质的质量 假设曲线形细长物质在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k ) sk M k 1
计算此物质的质量.
n
采用 “大化小, 常代变, 近似求和, 求极限”
可得
M
A
k 1
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2.定义 设 二元函数f(x,y)在可求长曲线C(A,B)有定义. 若通过对 曲线C 的任意分割T和局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
2 3 a 2 X 2 a 3
圆C的圆心 在原点, 故
X 0
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例5. 计算
2 2 x y 其中C为球面
与平面 x z 1 的交线 . z2 9 2
则
1 2 1 2 1 2 (x 2) 4 y 1 解: C : , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 C : y 2 sin 0 2 z1 2 cos 2
2
I y C y ds.
2
(5) 曲线C的重心坐标
xds C x , C ds
yds C y . C ds
例1. 计算
曲线积分基本概念
曲线积分基本概念曲线积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线上函数的积分值。
曲线积分可以帮助我们理解曲线上的物理量分布以及曲线所代表的实际问题。
一、曲线积分的定义曲线积分是将曲线划分为无限小的线段，然后计算每个线段上函数的值与线段长度的乘积，最后对所有线段的积分进行求和。
曲线积分可以分为第一类和第二类两种情况。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分，计算的是函数在曲线上的沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，函数为f(x,y)，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第一类曲线积分的计算公式为：∮C f(x,y) ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线的弧长元素，r'(t)表示曲线的导数。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，计算的是向量场沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，向量场为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第二类曲线积分的计算公式为：∮C F(x,y) · dr =∫[a,b] [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt其中，·表示向量的点乘运算，dr表示曲线的切向量元素，x'(t)和y'(t)表示曲线参数方程的导数。
二、曲线积分的应用曲线积分在物理和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 力学曲线积分可以用于计算物体在曲线路径上所受的力的功。
通过计算曲线上的力和位移的点积，可以求得沿曲线路径所做的功。
2. 电磁学在电磁学中，曲线积分可以用于计算沿闭合曲线的电场强度和磁场的环流。
根据所给的电场和磁场，可以计算出闭合曲线上的电场通量和磁场强度的环积分。
3. 流体力学曲线积分在流体力学中也有广泛应用。
曲线积分格林公式
曲线积分格林公式
曲线积分格林公式是一种计算曲线积分的公式，其中，曲线积分是指对某个函数在某一区间内的积分。
格林公式的具体形式如下：
∫f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，∫f(x)dx表示某个函数f(x)在区间[a,b]内的积分，F(x)表示函数f(x)的反函数。
格林公式可以帮助我们快速计算某个函数在某一区间内的积分，因此在数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
下面是一个使用曲线积分格林公式计算函数积分的例子：
假设有一个函数f(x) = x^2 + 1，我们要计算这个函数在区间[1,3]内的积分。
我们可以找到函数f(x)的反函数F(x) = √(x-1)。
根据格林公式，我们可以得到：
∫f(x)dx = F(3) - F(1) = √(3-1) -√(1-1) = √2 - 0 = √2。
因此，函数f(x)在区间[1,3]内的积分为√2。
这就是使用曲线积分格林公式计算函数积分的一个例子。
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
《曲线积分》课件
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以 将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非 常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量 的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上 的定积分，用于计算曲线下的面积和 长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个 变量的变差，用于计算速度和加速度 等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概 念，它与定积分、重积分等概念 有密切联系，是解决许多实际问 题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹 长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物 体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等 。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电 场线的积分可以用来计算电场中的电荷 量。通过曲线积分的方法，可以计算出 电场线上各点的电场强度，从而得到整 个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量， 它表示电场中电荷的多少。在物理学中， 电荷量可以通过电场线的积分来计算，并 用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用
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曲线积分知识点讲稿一.对弧长的曲线积分:1.引例 :设L 是质量分布不均匀的构件，密度为f(x,y)，则弧M i-1M i 的质量△M i =f(ξi , ηi )△s iM=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ2.弧长曲线积分的定义: 设L 为OXY 平面内的一条光滑曲线弧，端点为A,B,函数f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，并取B M A M n ==,0，把L 分成n 个小段，令第i 个小弧段的长度为△s i ，又),(i i ηξ为第i 个小弧段上的任意一点，作乘积i i i s f ∆),(ηξ(i=1,2,3,…，n),并对i 求和i ni i i s f ∆∑=),(1ηξ，如果当各个小弧段的长度的最大值λ→0时，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记为⎰Lds y x f ),(，即⎰Lds y x f ),(=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段. 3.对弧长曲线积分的性质: (1). =±⎰Lds y x g y x f )],(),([⎰Lds y x f ),(⎰±Lds y x g ),((2). ⎰Lds y x kf ),(=⎰Lds y x f k ),((3).⎰Lds y x f ),(=⎰1),(L ds y x f +)(),(212L L L ds y x f L +=⎰(4). 变换L 的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不变(但一般取下限<上限). (5).⎰=LL ds其中L 表示曲线的弧长,也可看作如下三种情况的推广.a b dxba-=⎰, [b-a]的长度,D dxdyD=⎰⎰ D 的面积,Ω=⎰⎰⎰ΩdxdydzΩ的体积.Y二.对弧长的曲线积分的计算法设f(x,y)在曲线弧L 上有定义且连续 (1).L 是参数方程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (α≤t ≤β)φ(t),ψ(t)有一阶连续导数 并且0)()(22≠'+'t t ψϕ 22)()(y x s ∆+∆≈∆ 又∵dt t t dt t x )()()(ϕϕϕ'≈-+=∆ , dt t t dt t y )()()(ψψψ'≈-+=∆∴△s 的近似值即弧长元素d s 为222222))(())(()()(dt t dt t dy dx ds ψϕ'+'=+==dt t t )()(22ψϕ'+'∴⎰Lds y x f ),(=])(),([⎰βαψϕt t f dt t t )()(22ψϕ'+'(2).曲线L 的方程 : ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(b x a x y y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰bax y x f )](,[dx x y )(12'+(3). 曲线L 的方程 ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(d y c yy y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰dcy y x f ]),([dy y x )(12'+(4).曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则⎰Γds z y x f ),,(=⎰βαωψϕ)](),(),([t t t f dt t t t )()()(222ωψϕ'+'+'★(5)曲线方程是极坐标形式 L: r=r(θ), θ0≤θ≤θ1 ⎩⎨⎧==θθθθs i n )(c o s)(r y r x (θ0≤θ≤θ1) 则θθθθθθθθθd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=1)()(]sin )(,cos )([),(22计算对弧长的曲线积分 : 1.⎰+Lds y x )2(,其中L 为连接两点(2,0),(0,3)的直线段解: AB:132=+y x ,即x y 233-=∴2131,232='+-='y y X0 A(2,0)⎰⎰⎰+=-+=+220)321(213213)2332()2(dx x dx x x ds y x L=2137)341(21322=+x x 2. ∮L(x 2+y 2)n ds,其中L 为圆周 x=acost, y=asint (0≤t ≤2π)解: adt dt y x ds t a y t a x ='+'=='-='22,cos ,sin∮L(x 2+y 2)n ds=1220222])sin ()cos [(+=+⎰n n aadt t a t a ππ3. I=∮L(x 2+y 2+5)n ds= 12π , 其中L 为x 2+y 2=1的圆周.4. I=∮L(4x 2+5y 2-16)ds= 4K , 其中L 为椭圆14522=+yx,周长为K.5. ds eyx L22∮+,其中L 为圆周x 2+y 2 =a 2, 直线x y 3=及X 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 直线OA L 1 : x y 3=, 扇形2 :x=acost,y=asint (0≤t ≤π/3)X 轴 : L 3 y=0 , L=L 1+L 2+L 3 I=ds eyx L22∮+=⎰+122L yx ds e+⎰+222L yx ds e+⎰+322L yx ds e∵dx dx ds y L 2)3(1,3:21=+==' , t a y t a x L cos ,sin :2='-='a d t dt y x ds ='+'=22 , dx ds y L ==',0:3 ∴ I=dx e dt e a dx e axaa x⎰⎰⎰++03222π=a xaa xet ae e 030202)()(++π=2)32(-+ae aπ6.⎰Γyzds x 2,其中四个点为 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,2),D(1,3,2), Γ为折线ABCD解: AB,BC,CD 是直线写成参数(一次)式直线方程: AB: x=0,y=0,z=t (0→2)BC: x=1,y=0,z=2 CD: x=1, y=t (0→3),z=2⎰Γy z d s x 2=⎰AByzds x 2+⎰BCyzds x 2+⎰CDyzds x 2=0+0+⎰CDyzds x2=dt t ⎰++31002=9 X7.求心形线r=a(1+cos θ) 的长度(a>0)解: θθθcos 2cos )]cos 1([222222a a a a r ++=+=θθ222sin )(a r =' ∴ds=θθθθd a d r r 2cos2)(22='+ X]2c o s 2c o s [22c o s 22020⎰⎰⎰-==ππππθθθθθθd d a d a ds L∮=a a 8]2sin22sin 2[220=-ππθθ一.对坐标的曲线积分的概念与性质:1.引例 :变力沿曲线所作的功设质点受力为 F(x,y)=p(x,y)i+Q(x,y)j j y i x M M i i i i )()(1∆+∆=-i i i i i M M F w 1),(-≈∆ηξi i i i i i i y Q x P w ∆+∆≈∆),(),(ηξηξ X]),(),([i i i i i i niniiy Q x P wW ∆+∆≈∆=∑∑ηξηξ]),(),([limi i i i i i niy Q x P W ∆+∆=∑→ηξηξλ2.坐标曲线积分的定义:设L 为OXY 平面内从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧，,函数P(x,y),Q(x,y)在上有界，在L 上沿L 的方向任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，，把L 分成n 个有向小弧段，M i-1M i (i=1,2,…; B M A M n ==,0)令△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1,点),(i i ηξ为M i-1M i 上的任意一点，如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，i ni i i x P ∆∑=),(1ηξ，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数P(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标x 的曲线积分，记为⎰Ldx y x P ),(，类似地，如果i ni i iy Q ∆∑=→),(lim1ηξλ总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分，记为⎰Ldy y x Q ),(即⎰Ldx y x P ),(=i ni iix P ∆∑=→),(lim 10ηξλ⎰Ldy y x Q ),(=i ni i iy Q ∆∑=→),(lim 1ηξλ其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段，此两个积分也称为第二类曲线积分在书写上常把两者合并:⎰Ldx y x P ),(+⎰L dy y x Q ),(= dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰3.坐标曲线积分的性质:(1).如果有向弧 L=L 1+L 2 , 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰=dy y x Q dx y x P L ),(),(1+⎰+dyy x Q dx y x P L ),(),(2+⎰(2).设L 是有向曲线弧段，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧段，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰-=-dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰◣注意◥1.对坐标曲线积分，必须注意曲线L 的方向，化到定积分时，下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点，α不一定小于β. 2.对弧长曲线积分，化到定积分时，虽然α→β，β→α弧长不改变，但下限α一定要小于上限β 二. 对坐标的曲线积分的计算方法设 P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L 上有定义且连续 1.曲线 L : 参数方程⎩⎨⎧≠'+'==0)()(,)()(22t t t y t x ψϕψϕ , (α≤t ≤β) 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dtt t t Q t t t P ⎰'+'βαψψϕϕψϕ)()](),([)()](),([(2. 曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则dz z y x R dyz y x Q dx z y x P L),,().,(),,(++⎰=dt t t t t R t t t t Q t t t t P )}()](),(),([)()]().(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'⎰3. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==b x a x x x y y ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dxx y x y x Q x y x P ba⎰'+)()](,[)](,[4. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==d x c yy y x x ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dy y y x Q y x y y x P dc⎰+']),([)(]),([三.计算坐标曲线积分 1.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是y 2=x 上从点(1,1)到点(9,3)解:用 x=x(y) , 1≤y ≤3 ,x ’(y)=2y ,dx=2ydy∴dy x y dx y x L)()(-++⎰=⎰-++3122)](2)[(dy y y y y y=3158)213121()2(313123423=++=++⎰y y y dy y y y2.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是先沿着直线从点A(1,1)到点B(1,3)而后再沿直线到点C(4,3)解: 直线⎪⎩⎪⎨⎧==∴≡→==∴≡→dx dx dy y x BC dydy dx x y AB 03;)41(:01;)31(:dy x y dx y x L)()(-++⎰=dy x y dx y x AB)()(-++⎰+dy x y dx y x BC)()(-++⎰=⎰-ABdy x y )(+⎰+BCdx y x )(=⎰⎰++-4131)3()1(dx x dy y=237)3(21)1(21412312=++-x y3. 22)()(∮y x dy y x dx y x L+--+ ,其中 L: x 2+y 2=a 2逆时针方向 解:设 x=acost ,y=asint ,则 dx=-asint ,dy=acost ,0≤t ≤2π ∴22)()(∮yx dyy x dx y x L+--+=⎰---+π20222]cos )sin (cos )sin )(sin (cos [adtt t t a t t t a=ππ220-=-⎰dt4.dz y x ydy xdx)1(-+++⎰Γ其中Γ是从点A(1,1,1)到点B(3,4,5)的一段直线解: 空间直线AB 的方程 :413121-=-=-z y x ,其参数式为dtdz t z dt dy t y dtdx t x 4,413,312,21=+==+==+= 当 x=1 ,t=0 ; x=3 , t=1∴dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ=⎰-+++++++10)]13121(4)31(3)21(2[dt t t t t=251)2339()339(121=+=+⎰t t dt t【格林公式】dy y x Q dx y x P dxdy yP xQ LD),(),()(+=∂∂-∂∂⎰⎰∮(D 为单连通区域)1. =+xdy ydx L∮ 0 .2. I=dy y xy dx y x x L)()(3223∮++- 其中 L: x 2+y 2=32逆时针方向 解: 232223,,,y x Q y xy Q xyp y x x P =∂∂+=-=∂∂-=∴ I=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=281)41(230430220ππθπ==⎰⎰r rdr r d3.⎰-Lydx x dy xy 22, L:由A(1,0) 沿着y=21x -到B(-1,0)的圆弧解: 设=r L L+BA (即形成单连通区域 D)2222,,,y xQ xy Q xyP y x P =∂∂=-=∂∂-= X⎰-rL y d x x dy xy 22=⎰-Lydx x dy xy 22=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=πθπ41][012=⎰⎰d rdr r而因为022=-⎰BAydx x dy xy (y=0) ∴422π=-⎰Lydx x dy xy。