三角形中考压轴题(带答案)

中考专题-------三角形　

一．选择题（共3小题）

1．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且

EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为

（ ）

　A

．

a2B

．

a2

C

．

a2

D

．

a2

考

点：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专

题：

几何图形问题；压轴题．

分析：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．

解答：解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q

，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

又∵∠EPM=∠EQN=90°，

∴∠PEQ=90°，

∴∠PEM+∠MEQ=90°，

∵三角形FEG是直角三角形，

∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，

∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

，

∴△EPM≌△EQN（ASA）

∴S△EQN=S△EPM，

∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，

∴AC=

a，

∵EC=2AE，

∴EC=

a，

∴EP=PC=

a，

∴正方形PCQE的面积=

a×

a=

a2，

∴四边形EMCN的面积=

a2，

故选：D．

点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．

2．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=

BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（ ）

　A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

考

点：

三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．

专

题：

压轴题．

分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．

解答：解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．

∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB

∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC

点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．

由中位线定理可得EF∥AC，EF=

AC∴BD⊥EF，故①正确．

∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，

∴∠DBQ=∠CAQ，

∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，

∵∠BQD=∠AQC=90°，

∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=

AC，故②正确．

∵∠A=∠ABC=∠C=45°

∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）=45°

∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC

故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；

无法证明AD=CD，故④错误．

故选B．

本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．

点

评：

3．（2013•河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；

②BC=DE；③∠DBC=

∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（ ）

　A．①②B．②③C．①③D．②④全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考

点：

专

压轴题．

题：

分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可．

解答：解：∵AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，①错误；

利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正确；由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC=∠DAC=

∠DAB，③正确；

△ABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；

②③正确，故选B．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等．

二．填空题（共6小题）

4．（2015•泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n=　3n+1　（用含n的代数式表示）．所剪次数1234…n

正三角形

个数

471013…a n

考

点：

等边三角形的性质．菁优网版权所有

专

题：

压轴题；规律型．

分析：根据图跟表我们可以看出n代表所剪次数，a n代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加以求解．

解解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出