线性方程组的几种求解方法

甘肃政法学院

本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法

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完成时间： 2012 年 11 月

目录

第一章引言 (1)

第二章线性方程组的几种解法 (1)

2.1 斯消元法 (1)

2.1.1 消元过程 (1)

2.1.2 回代过程 (2)

2.1.3 解的判断 (2)

2.2 克莱姆法则 (3)

2.3 LU分解法 (4)

2.4 追赶法 (6)

第三章结束语 (8)

致谢 (8)

参考文献 (9)

摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。

关键词:线性方程组;解法;应用

Several methods of solving linear equation group

Abstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.

Key word: Linear equations; Solution ; Example

第一章 引言

线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。

首先，我们讨论一般线性方程组，这里所指的一般线性方程组形式为

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a .......................

(22112222212111212111)

(1)式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,

,)j b j n =称为常数项.则线性方程组(1)称为齐次线性方程组，如果常

数项全为零，即120s b b b ====.

令1112

12122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢

⎥

⎣⎦, 12n x x X x ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈

第二章 线性方程组的几种解法

2.1 高斯消元法

高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下 :

⎪⎩⎪

⎨⎧=--=++=++)

3(2224)2(4222)

1(623321

321321x

x x x x x x x x

2.1.1 消元过程

第一步：将(1)÷3使1x 的系数化为1 得23

1

32321=++

x x x （1） 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)得

由(3)-4×(2)得

第二步：将(3)除以

3

2

，使x 2系数化为1得 再将(4)式中x 2系数化为零，即由(4)-(-

3

14

)⨯(5)，得 )6( (63)

18

3-=x 第三步：将(6)除以

3

18

，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧-==+=++)

3(1)2(02)

1(2313233

2321x x x x x x 2.1.2 回代过程 由(7)得 x 3=-1, 将x 3代入(5)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(2)得x 2=1

所以，本题解为（x ）=（1,2,-1）T 2.1.3 解的判断

设方程组的增广矩阵记为A ，则A 经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：

)

7(......13-=x )

5(......0232=+x x )

4( (63)

10

31432-=--

x x )3( (03)

4

3232=+x x )

2( (23)

1

32321=++x x x