初等数学研究系列——不等式——权方和不等式专题研究

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权方和不等式(含柯西不等式的应用)(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)-2025版高中数学一轮复习考点帮

第06讲权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式2+22+2≥B +B 2(s s s ∈s 当且仅当B =B 时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)2+2⋅2+2≥B +B (s s s ∈,当且仅当B =B 时，等号成立.)(2)2+2⋅2+2≥B +B (s s s ∈,当且仅当B =B 时，等号成立.)(3)++≥B +B 2(s s s ≥0,当且仅当B =B 时，等号成立.)3.扩展：12+22+32+⋯+212+22+32+⋯+2≥11+22+33+⋯+2二、权方和不等式:若,,,0a b x y >则222()a b a b x y x y ++≥+当且仅当a b x y=时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设1212,,,,,,,n n x x x R y y y R ++∈∈ ,若0m >或1m <-,则()()111112121212m m m m n n mm m m nn x x x x xx yyyy y y ++++++++++≥+++ ;若10m -<<,则()()111112121212m m m m n n m m m m n n x x x x x x y y y y y y ++++++++++≤+++ ;上述两个不等式中的等号当且仅当312123n nx x x x y y y y ==== 时取等注意观察这个不等式的结构特征,分子分母均为正数,且始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键,特别的,高考题中以1m =最为常见,此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.例1：若正数x ，y 满足111=+yx ，则y x 2+的最小值为______________解：()(()222111111121222x y x y x y x y ++=+=+≥+，即(()2111232x y x y +≤⇒+≥++，当且仅当122x y =时取等号，即1x =，12y =+时取等号所以y x 2+的最小值为3+例2：若0>x ，0>y ，2321=+++yx y x ，则y x 56+的最小值为______________解：()(()(22211311211343224246565x y x y x y x y x y x y x y x y +++=+=+≥++++++++即1343265x y+≥+，则13652x y +≥+()1324x y x y =++时取等号例3：已知正数,x y 满足491x y +=，则22492x x y y+++的最小值为解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x x y y x x y y x y x y⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=+≥=++++++++当且仅当944989y x x y =++时取等号.由49194,4989x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪++⎪⎩解得：17217x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，例4：若1>a ，0>b ，2=+b a ，则ba 211+-的最小值为______________解：(22211213111a b a ba b ++=+≥=+--+-，当且仅当121a b=-时取等号例5：若1>a ，1>b ，则1122-+-a b b a 的最小值为______________解：()()22222448112a b t a b t b a a b t t+++≥==++≥--+-当且仅当1122ab b a a b ⎧=⎪--⎨⎪+-=⎩时取等号，即2a b ==，所以2211a b b a +--的最小值为8例6：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则yx zx z y z y x 222222+++++的最小值为______________解：()222212222223x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++≥=++++++++当且仅当222x y zy z z x x y==+++时取等号例7：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则zy x 941++的最小值为______________解：()222212314912336x y z x y z x y z++++=++≥=++，当且仅当123x y z ==时取等号例8：已知正数x ，y 满足1=+y x ，则2281y x +的最小值为______________解：()()3332222212181227x y x y x y ++=+≥=+当且仅当12x y=时取等号例9：求θθ22cos 4sin 1+的最小值为______________解：()()()()2221112222221214129sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++=+≥=+当且仅当2212sin cos θθ=时取等号例10：求6cos 583sin 25)(22+++=x x x f 的最小值为______________解：()()()()22222222254585481()2sin 35cos 63752sin 325cos 610sin cos 27f x x x x x x x +=+==++++++当且仅当()()225452sin 325cos 6x x =++时取等号例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设*0,0,,0n n a b n m >>∈>N ，则()()11111123123123123m m m m m n nm m m m m n n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当123123n n a a a a b b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当1sin cos x x+取得最小值时，x 的值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解：由题意得，sin 0,cos 0x x >>，则()()()333322221112222222131(31)48sin cos sin cos sincos x xx x x x++=+==+，当且仅当2231sin cos x x=，即1cos 2x =时等号成立，所以π3x =．例12：已知正数x ，y 满足194=+y x ，则yy x x +++22924的最小值为______________解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x xy y x x y y x yx y⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=≥=++++++++当且仅当944989y x xy=++时取等号例13：已知305432=++++v u z y x ，求222225432v u z y x ++++的最小值为______________解：()()()()()222222222222234523451234523453060123+4+515y z u v x x y z u v x y z u z ++++=++++++≥==++当且仅当x y z u v ====时取等号例14：已知0>a ，0>b ，5=+b a ，求31+++b a 的最大值为______________()()()()111222111122221313311112a b a b ----+++++=+≤==+当且仅当13a b +=+时取等号例15：求223223)(x x x x x f -+++-=的最大值为______________解：()()()()11222211221222123223()11322311x x x x f x x x x x----++-=-+++-≤=+当且仅当223223x x x x -+=+-时取等号例16：已知正数a ，b ，c 满足1=++c b a ，求131313+++++c b a 的最大值为___________解：()()()()()1112221112221212313131111313131111a b c a b c ----+++++++++++≤=++当且仅当13a b c ===时取等号例1：用柯西不等式求函数y=AB ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.【详解】由柯西不等式可得，函数y=4≤1时，即2x =时等号成立，故该的最大值为4.故选：C.例2：由柯西不等式，当24x y z++=）A ．10B ．4C ．2D【答案】D【分析】利用柯西不等式可得2(2)(424)x y z ++++≥+，即求.【详解】解：由柯西不等式，得2(2)(424)x y z ++++≥+，当且仅当2424x y z==，即82,25x z y ===时，等号成立.因为24x y z ++=，所以210≤，≤故选：D例3：已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是．【答案】k >【详解】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++≤k >考点：柯西不等式例4：已知23612x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（利用柯西不等式）【答案】14449【分析】利用柯西不等式进行求解．【详解】由柯西不等式可知：（222x y z ++）（4+9+36）2144(236)49x y z ≥++≥，22214449x y z ∴++≥，当且仅当243672,,,23649494923612x y z x y z x y z ⎧==⎪===⎨⎪++=⎩即【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．例5：已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +++=，则1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++的最小值是．【答案】163/153【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1111a b c b c d c d a d a b++++++++++()1111133a b c d a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎡⎤=+++⨯+++ ⎪⎣⎦++++++++⎝⎭()()()()111113a b c b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++++++⨯+++ ⎪⎣⎦++++++++⎝⎭()2116111133≥+++=，当且仅当14a b c d ====时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.例6：已知非负实数a 、b 、c 、d 满足1ab bc cd da +++=，求证：33331.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++【答案】证明见解析【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.【详解】不妨设0a b c d ≤≤≤≤，则22220a b c d ≤≤≤≤．记a b c d S +++=，则0S a S b S c S d -≥-≥-≥->，1111S a S b S c S d≤≤≤----．依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到3333a b c d b c d c d a d a b a b c+++++++++++()2222222221()4a ab bc cd c a b c d a b c d S a S b S c S d ⋅⋅⋅⋅=+++≥+++⋅+++----1111S a S b S c S d ⎛⎫⋅+++ ⎪----⎝⎭()()()()()22221111148a b c d S a S b S c S d S a S b S c S d ⎛⎫⎡⎤=+++⋅-+-+-+-⋅+++ ⎪⎣⎦----⎝⎭()222221448a b c d ≥+++⋅()()()()2222222216a b b c c d d a ⎡⎤=+++++++⎣⎦1(2222)6ab bc cd da ≥+++11()33ab bc cd da =+++=，故原不等式正确．一、单选题1．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（）A ．1B ．4C．2+D．3+【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为01x <<，所以10x ->，则()121212133111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=+⋅+-=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当121x x x x-=-，即1x -时，等号成立，取得最小值3+故选：D ．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x yyx +的最小值为（）A ．4B．C ．6D．3【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为0x >，0y >，且21x y +=，所以()112231331x x y x y xy y x x y y x y ⎛⎫=+=++=++≥+= ⎝⎭++⎪，当且仅当2x yy x =，即22x =，1y =时取等号.故选：D3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112+=y x，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y xxy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭31333222222xy xy =++≥+=+=当且仅当12112xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.故选：C.4．（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．45B ．23C ．1D ．2【答案】A【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭12431422532455a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A5．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O 为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（）A ．49B C ．79D ．1【答案】D【分析】由题可得点P 满足的圆方程227x y +=，进而()()22119x y +++=，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点P 的坐标满足227x y +=，所以，()()22119x y +++=．因此，()()222222141141111911x y x y x y ⎡⎤⎡⎤+=++++⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦()22224111155219119x y x y ⎡⎡⎤++⎢⎢⎥=++≥+=⎢++⎢⎥⎣⎦⎣.当且仅当()222241111x y x y ++=++时，即x y ==故选:D ．6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【分析】由已知可得125a b +++=，根据“1”的代换化简得出11121212512b a a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为2a b +=，所以125a b +++=，所以()111111212512a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭1212512b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当12,2a b a b +=++=，即31,22a b ==时，等号成立，所以1112+++a b 的最小值为45．故选：C ．7．（2021·浙江·模拟预测）已知0x >，R y ∈，且2530x xy x y +-+=，+（）AB C ．D ．【答案】C【分析】依题意得6x y +==+，进而由柯西不等式可得最大值.【详解】由2530x xy x y +-+=可得23050x x xy y --++=，即()()560x x y ++-=.由0x >可知6x y +=.由0x >，20x -≥可得02x <≤，由柯西不等式得2222124⎡⎤⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1=即12x =时，取等号.+故选：C.【点睛】关键点点睛：+之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江宁波·期中）设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（）A ．2B ．92C ．132D ．9【答案】C【分析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解.【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a ba b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当22a bb a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.9．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】A【分析】根据题意，()22m m n n =-+，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由20m n >>，20m n ∴->，()22m m n n =-+，()()22222233222m n n m n n m m n m nm n n m n n m n n-+-+-∴+=+=++≥---当且仅当222n m nm n n-=-，即(2m n =时等号成立.故选：A.10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值（）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】D 【分析】首先不等式变形为2224211x y a y x ≤+--恒成立，再利用两次基本不等式求224211x y t y x =+--的最小值，即可求解a 的取值.【详解】不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，可转化为2224211x y a y x ≤+--恒成立，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，≥，=8≥=，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是111x x -=-且12121y y -=-，得2x =且1y =，此时第一次使用基本不等式()()()()221211212211211x x y y y x -+-+-+-+=--，说明两次基本不等式能同时取得，所以224211x y y x +--的最小值为8，即28a ≤，则a -≤所以实数a 的最大值为故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求224211x y t y x =+--的最值时，需变形为()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，再通过两次基本不等式求最值.二、填空题11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n ∈+∞,，14n m+=，则9m n +的最小值为.【答案】4【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为(),0,m n ∞∈+，14n m+=，所以9191191044m m n mn n n m mn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11044⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时取等号.故答案为：412．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+⎡⎤⎡⎤+=++-+=+++⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦1224≥+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立，故答案为：2413．（2024·河南·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为．【答案】92【分析】,,a b c 是ABC 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为2a b c ++=，所以()411412a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+=⋅+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭1419552222c a b a b c ⎛+⎛⎫=⋅++≥⋅+= +⎝⎭⎝，当且仅当4c a b a b c +=+，即2a b c +=时等号成立，故41a b c ++的最小值为92．故答案为：92.14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数10>>>a b ，且2222a b b a +=+，则111a b+-的最小值为.【答案】4【分析】根据10>>>a b ，将2222a b b a +=+化简可得20a b +-=，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由2222a b b a +=+可得()()20a b a b -+-=，因为10>>>a b ，所以0a b -≠，即20a b +-=，则11-+=a b ，则()1111112224111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=+-+=++≥+ ⎪---⎝⎭，当且仅当11b a a b-=-，即31,22a b ==时等号成立，故111a b +-的最小值为4.故答案为：4.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是．【答案】3+3．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由22x y +=，得211x y-+=，因为1x >，0y >，所以10,0x y ->>，所以121213(1)323211(1)y x y x y x y x x y ⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+≥++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当且仅当2(1)(1)x y x y-=-，即x 2y =+所以11y x +-的最小值是3+故答案为：3+16．（2024·全国·模拟预测）已知0x y >>，621x y x y+=+-，则2x y -的最小值为．【答案】12【分析】令2a x y =+，2b x y =-，从而可得11x a b =+，11y a b =-，再根据()1323x y a b a b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求解即可.【详解】令2a x y =+，2b x y =-，则2x y a+=，2x y b -=，且0a >，0b >，所以11x a b =+，11y a b=-．又31a b +=，所以()11111313223x y a ba b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭933612b a a b =+++≥+，当且仅当16a =，12b =，即8x =，4y =时，等号成立．故答案为：1217．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为.【答案】52/2.5【分析】将目标式转化为1421a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1a b =-，则12122142111a b a b a b a b -+=+=+-+++，又214(1)()91a b a b +++==+，∴14912a b +≥+，当且仅当12b a +=时等号成立，∴12952122a ab +≥-=+，当且仅当1223b a +==时等号成立.∴121aa b ++的最小值为52.故答案为：52.18．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(],4∞-【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y ⎛⎫+++=++=++ ⎪++++⎝⎭()()()41322324991929x y x y ++=++≥+=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min412x y x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4∞-.故答案为：(],4-∞【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431212x y x y x y +=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为.【答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为：94.20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为.【答案】3+3【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )332lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+21．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．【答案】2【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +≤，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+，由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+⋅≤+，可得23(23)34x y +≤，所以232x y +≤，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++≥，即24(23)x y +≥，所以232x y +≤，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．故答案为：2.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数,,x y z 满足31224x y z ++=，则2123x y y z+++的最小值为.【答案】22【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意,,x y z 为正数，()()312232234x y z x y y z ++=+++=，所以2123x y y z +++()()2132232314x y y z x y y z ⎛⎫++++++=⎡⎤ ⎣⎦⎝⎭()()433218423y z x y x y y z ++⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦1824⎡≥+=+⎢⎢⎣当且仅当()()()()22 4332,324323y z x yx y y z x y y z++=+=+ ++，)()223x y y z+=+，62331x yy z⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩时等号成立.故答案为：2+23．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cosf xx x=+，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x=的最小值为．【答案】【分析】令πsin cos)4t x x x=+=+，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos)()sin cos sin cosx xf xx x x x+=+=，令πsin cos)4t x x x=+=+，由π2x<<，得ππ3π444x<+<，所以πsin()124x<+≤，则1t<由sin cost x x=+，得22(sin cos)12sin cost x x x x=+=+，所以21sin cos2tx x-=，则原函数可化为22244()1112t tg tt t tt===---，又函数1,y t yt==-在上单调递增，所以1y tt=-在上单调递增，故当t=时，1y tt=-取得最大值2，此时()g t取得最小值故答案为：24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数,a b满足112121a ba ba b+++=+++，则a b+的最小值为.【分析】根据分离常量法可得112212121a ba b+=++++，结合权方和不等式计算可得(1)(1)1a b a b+-++≥，即2()2a b+≥，即可求解.【详解】0,0a b>>，111111(21)(21)112222221212121212121a ba ba ba b a b a b+++++++=+=+=++++++++，所以211221221212121211a ba b a b a b⎛⎫+⎪⎝⎭+-=+≥=+++++++，当且仅当222121a b =++即a b =时等号成立，所以(1)(1)1a b a b +-++≥，得2()2a b +≥，所以a b +≥a b +≤，即a b +。

高中数学权方和不等式

高中数学权方和不等式
高中数学权方和不等式
一、定义
权方和不等式是指对于非负数a1，a2，……，an和非负实数k1，
k2，……，kn 且k1+k2+……+kn=1，成立如下不等式：
k1a1^2+k2a2^2+……+knan^2 ≥ (k1a1+k2a2+……+knan)^2
二、证明
我们先假设x=k1a1+k2a2+……+knan，那么根据定义就有：
k1a1^2+k2a2^2+……+knan^2−x^2= (k1a1+k2a2+……+knan)^2−x^2
再根据平均值不等式不等式，对于任意的非负数a1，a2，……，an，
若a1+a2+……+an=1，则有：
a1^2+a2^2+……+an^2≥(a1+a2+……+an)^2
即：
k1a1^2+k2a2^2+……+knan^2≥(k1a1+k2a2+……+knan)^2
两边减x^2，就得到了我们的不等式。

三、应用
权方和不等式是不等式证明中的一种基本方法，在奥数中也经常应用。

例如：
1. 比较定积分∫x^2sinx dx 和∫x^2cosx dx 的大小。

2. 若 a,b,c,d>0 且1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 4，求证：
(3a+b)(3b+c)(3c+d)(3d+a) ≥ 256abcd。

3. 已知正实数x，y，z满足xyz=1，求证：
x/(x+yz)+y/(y+zx)+z/(z+xy) ≥ 3/2。

四、小结
权方和不等式是数学中一种重要的不等式，掌握本文所述的证明方法及应用范畴，有助于提高我们的数学综合素养。

在实际应用中，我们可根据实际问题进行变形和运用，达到求解问题的目的。

权方和不等式(高阶拓展)(教师版)

权方和不等式(高阶拓展)【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题知识讲解权方和不等式:若a ,b ,x ,y >0则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 当且仅当a x =by时取等.（注:熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设x 1，x 2，⋯, x n ∈R +，y 1，y 2，⋯，y n ∈R +，若m >0或m <-1，则x 1m +1y 1m +x 2m +1y 2m +⋯+x m +1ny m n ≥x 1+x 2+⋯x n m +1y 1+y 2+⋯+y n m；若-1<m <0，则x 1m +1y 1m +x 2m +1y 2m +⋯+x m +1ny m n ≤x 1+x 2+⋯x n m +1y 1+y 2+⋯+y nm；上述两个不等式中的等号当且仅当x 1y 1=x 2y 2=x 3y 3=⋯=xn y n时取等注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键，特别的，高考题中以m =1最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.考点解析1若正数x ，y 满足1x +1y=1，则x +2y 的最小值为解：1x +1y =1x +22y =12x 1+2 22y 1≥1+2 2x +2y1，即1+2 2x +2y 1≤1⇒x +2y ≥3+22，当且仅当1x =22y 时取等号，即x =2+1，y =22+1时取等号所以x +2y 的最小值为3+222若x >0，y >0，12x +y +3x +y=2，则6x +5y 的最小值为解：12x +y +3x +y =12x +y +124x +y =122x +y +23 24x +y≥1+23 26x +5y =13+436x +5y即2≥13+436x +5y ，则6x +5y ≥132+23，当且仅当12x +y =34x +y时取等号3若a >1，b >0，a +b =2，则1a −1+2b的最小值为解：1a -1+2b =12a -1+2 2b ≥1+2 2a +b -1=3+22当且仅当1a -1=2b时取等号4若a >1，b >1，则a 2b −1+b 2a −1的最小值为解：a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥8当且仅当a b -1=b a -1a +b -2=2时取等号，即a =b =2，所以a 2b -1+b 2a -1的最小值为85已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为解：x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13当且仅当x y +2z =y z +2x =zx +2y时取等号6已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则1x +4y +9z的最小值为解：1x +4y +9z =12x +22y +32z ≥1+2+3 2x +y +z=36当且仅当1x =2y =3z时取等号7已知正数x ，y 满足x +y =1，则1x 2+8y 2的最小值为解：1x 2+8y 2=13x 2+23y 2≥1+2 3x +y2=27当且仅当1x =2y时取等号8求1sin 2θ+4cos 2θ的最小值为解：1sin 2θ+4cos 2θ=12sin 2θ 1+22cos 2θ 1≥1+2 2sin 2θ+cos 2θ1=9当且仅当1sin 2θ=2cos 2θ时取等号9求f (x )=52sin 2x +3+85cos 2x +6的最小值为解：f (x )=52sin 2x +3+85cos 2x +6=5252sin 2x +3 +4225cos 2x +6 ≥5+4 210sin 2x +cos 2x +27=8137当且仅当552sin 2x +3 =425cos 2x +6时取等号10已知正数x ，y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为解：42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x+92y 29+9y≥4x+9y24x+9y+17=118当且仅当4x8+4x=9y9+9y时取等号11已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为解：x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z23+4u24+5v25≥x +2y +3z +4u +5z21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号12已知a >0，b >0，a +b =5，求a +1+b +3的最大值为解：a +1+b +3=a +1121-12+b +3121-12≤a +1+b +3121+1-12=32-12=32当且仅当a +1=b +3时取等号13求f (x )=x 2−3x +2+2+3x −x 2的最大值为解：f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2121-12+2+3x -x 2121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2时取等号14已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求3a +1+3b +1+3c +1的最大值为解：3a +1+3b +1+3c +1=3a +1121-12+3b +1121-12+3c +1121-12≤3a +1+3b +1+3c +1121+1+1-12=32当且仅当a =b =c =13时取等号一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m +1+1n +1的最小值为()A.134B.94C.74D.95【答案】B【分析】将m +n =2拼凑为m +14+n +14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【详解】∵m +n =2，∴m +1 +n +1 =4，即m +14+n +14=1，∴4m +1+1n +1=4m +1+1n +1 m +14+n +14 =n +1m +1+m +14n +1+54≥2n +1m +1⋅m +14n +1 +54=94，当且仅当n +1m +1=m +14n +1 ，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .2(2023·河北邯郸·统考一模)已知a >0，b >0，且a +b =2，则2a +1+8b +1的最小值是()A.2B.4C.92D.9【答案】C【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.【详解】依题意，因为a +b =2，所以a +1 +b +1 =4，则2a +1+8b +1=14a +1 +b +1 2a +1+8b +1=142b +1 a +1+8a +1 b +1+10≥14×2×4+10 =92，当且仅当a =13，b =53时，等号成立．故选：C .3(2023·广西·校联考模拟预测)已知正实数x ,y 满足2x +y =3，则15x +y +1x +2y的最小值为()A.49 B.89C.83D.43【答案】A【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】解：依题意，6x +3y =5x +y +x +2y =9，故15x +y +1x +2y =1915x +y +1x +2y 5x +y +x +2y =192+x +2y 5x +y +5x +y x +2y≥49，当且仅当x =12,y =2时等号成立.故选:A .4(2023·海南海口·校联考模拟预测)若正实数x ，y 满足x +3y =1．则12x +1y 的最小值为()A.12B.25C.27D.36【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；【详解】解：因为x +3y =1，所以12x +1y =12x +1yx +3y =15+36y x+xy．因为x ,y >0，所以36y x +x y ≥236y x ⋅x y =12，当且仅当36y x =xy，即x =23，y =19时，等号成立，所以，12x +1y的最小值为27．故选：C5(2023·全国·高三专题练习)若正数a，b满足a+b=7，则1a+1+9b+1的最小值是()A.1B.169C.6D.25【答案】B【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值．【详解】解：由题意，正数a，b满足a+b=7，∴a+1+b+19=1，∴1 a+1+9b+1=1a+1+9b+1⋅a+1+b+19=191+9+b+1a+1+9a+9b+1≥19×(10+29)=169当且仅当a=54，b=234时取等号，故选：B.6(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2，m=cos2α+1，n=2sin2α，则4m+1n的最小值等于()A.2B.52C.3 D.92【答案】D【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得m+n=2，化简4m+1n=1 25+4nm+mn，结合基本不等式，即可求解.【详解】由m=cos2α+1=2cos2α，且n=2sin2α，所以m+n=2cos2α+2sin2α=2，又由α∈0,π2，可得m>0,n>0，则4m+1n=124m+1n(m+n)=125+4n m+m n≥125+24n m⋅m n=92，当且仅当4nm=mn，即m=43,n=23时，等号成立，所以4m+1n最小值等于92.故选：D.7(2023·全国·高三专题练习)若x>0，y>0，且1x+3y=1，则3x+y的最小值为()A.6B.12C.14D.16【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为x>0，y>0，且1x+3y=1，所以3x+y=3x+y1x+3y=6+y x+9x y≥6+2y x⋅9x y=12，当且仅当y=3x=6时等号成立，所以，3x+y的最小值为12.故选：B8(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知a>0，b>0，且a+2b=1，则1a+1b的最小值为()A.42B.12C.3-22D.3+22【答案】D【分析】利用基本不等式求解．【详解】因为a>0，b>0，且a+2b=1，所以1a+1b=1a+1b(a+2b)=3+2b a+a b≥3+22，当且仅当2b a=a b，即a=2-1,b=2-22时等号成立，故选：D．9(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足2x+y=3，则4x+y+1x的最小值为()A.289B.283C.3D.1【答案】C【分析】由4x+y+1x=134x+y+1x(x+y+x)=135+4x x+y+x+y x，再由基本不等式即可求出答案.【详解】因为2x+y=3，则13⋅2x+y=1则4x+y+1x=134x+y+1x(x+y+x)=135+4x x+y+x+y x≥135+24x x+y⋅x+y x=3，当且仅当4xx+y=x+yx2x+y=3即x=y=1时等号成立.所以4x+y+1x的最小值为3.故选:C．10(2023·全国·高三专题练习)已知a>0，b>0，且1a+1+21+b=1，那么a+b的最小值为()A.22-1B.2C.22+1D.4【答案】C【分析】由题意可得a+b=a+1+b+11a+1+21+b-2，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为a>0，b>0，1a+1+21+b=1，则a+b=a+1+b+1-2=a+1+b+11a+1+21+b-2=3+2a+11+b+b+1a+1-2=2a +1 1+b +b +1a +1+1≥22a +1 1+b⋅b +1a +1+1=22+1.当且仅当2a +1 1+b=b +1a+11a +1+21+b=1即a =22b =2时取等.故选：C .11(2023·全国·高三专题练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12 的最小值为()A.16B.25C.36D.49【答案】B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B12(2023·全国·高三专题练习)已知a +b =1，a >0，b >0，则1a +1b +4a 2+b2的最小值为()A.12B.6+42C.152D.4+62【答案】B【分析】由已知得出a 2+b 2 +2ab =1，将所求代数式化为1ab +4a 2+b2，与代数式a 2+b 2 +2ab 相乘，展开后利用基本不等式可求得1a +1b +4a 2+b2的最小值.【详解】因为a >0，b >0且a +b =1，则a 2+b 2 +2ab =1，所以，1a +1b +4a 2+b 2=a +b ab +4a 2+b 2=1ab +4a 2+b 2=2ab +a 2+b 2 1ab +4a 2+b2=6+8ab a 2+b2+a 2+b 2ab ≥6+28ab a 2+b 2⋅a 2+b 2ab =6+42，当且仅当a 2+b 2=22ab 时，等号成立，因此，1a +1b +4a 2+b 2的最小值为6+4 2.故选：B .13(2023·全国·高三专题练习)已知正数x ，y 满足2x +3y +13x +y =1，则x +y 的最小值()A.3+224B.3+24C.3+228D.3+28【答案】A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令x+3y=m，3x+y=n，则2m+1n=1，即m+n=x+3y+3x+y=4x+y，∴x+y=m+n4=m4+n42m+1n=12+m4n+2n4m+14≥2m4n⋅2n4m+34=2×122+34=22+34，当且仅当m4n=2n4m，即m=2+2，n=2+1时，等号成立，故选：A.14(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知实数x≥0>y，且1x+2+11-y=1，则x-y的最小值是()A.0B.1C.2D.4【答案】B【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】∵x≥0>y，等式1x+2+11-y=1恒成立，∴x-y+3=x+2+1-y1x+2+11-y，由于x≥0>y，所以1-y>0，2+x>0，∴1x+2+1 1-yx+2+1-y=2+x+21-y+1-yx+2≥2+2x+21-y⋅1-yx+2=4，当且仅当x+2=1-y时，即x=0,y=-1时取等号.∴x-y+3≥4，∴x-y≥1，故x-y的最小值为1.故选：B.15(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)已知锐角α,β满足α+β=π3，则1sinαcosβ+1cosαsinβ的最小值为()A.2B.433C.833D.83【答案】C【分析】计算出sinαcosβ+cosαsinβ=32，再将代数式233sinαcosβ+cosαsinβ与代数式1 sinαcosβ+1cosαsinβ相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】∵α+β=π3，∴sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=sinπ3=32，∵α、β均为锐角，则sinαcosβ>0，cosαsinβ>0，∴1 sinαcosβ+1cosαsinβ=233sinαcosβ+cosαsinβ1sinαcosβ+1cosαsinβ=2332+cosαsinβsinαcosβ+sinαcosβcosαsinβ≥233×2+2cosαsinβsinαcosβ⋅sinαcosβcosαsinβ=833，当且仅当cosαsinβsinαcosβ=sinαcosβcosαsinβ时，即当cosαsinβ=sinαcosβ时，故tanα=tanβ，α=β时等号成立.因此，1sinαcosβ+1cosαsinβ的最小值为833.故选：C 二、填空题16(2023·天津红桥·统考二模)已知x，y∈R+，4x+5y=1，则1x+3y+13x+2y的最小值．【答案】4【分析】将1x+3y+13x+2y=1x+3y+13x+2yx+3y+3x+2y展开，利用基本不等式即可求解.【详解】1x+3y +13x+2y=1x+3y+13x+2yx+3y+3x+2y=2+3x+2yx+3y+x+3y3x+2y≥2+23x+2yx+3y⋅x+3y3x+2y=4，当且仅当3x+2yx+3y=x+3y3x+2y4x+5y=1即x=114y=17，1x+3y+13x+2y的最小值为4，故答案为：417(2023·全国·高三专题练习)已知正数x、y满足1x+1y=1，求x+2y的最小值为.【答案】3+22/22+3【分析】利用1的妙用，由x+2y=x+2y1x+1y利用基本不等式求解.【详解】因为正数x、y满足1x+1y=1，所以x+2y=x+2y1x+1y=3+2y x+x y≥3+22y x⋅x y=3+22当且仅当1x+1y=12yx=xy，即x=2+1,y=1+22时，取等号，所以x+2y的最小值为3+22，故答案为：3+2 2.18(2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测)已知正实数x，y满足x+y=15，则13x+y+2x+2y的小值为．【答案】9【分析】利用待定系数法可得出5x+5y=3x+y+2x+2y=1，与13x+y+2x+2y相乘，展开后利用基本不等式可求得13x+y+2x+2y的最小值.【详解】设x+y=m3x+y+n x+2y=3m+nx+m+2ny，可得3m+n=1m+2n=1，解得m=15n=25，所以5x+5y=3x+y+2x+2y=1，1 3x+y +2 x+2y3x+y+2x+2y=1+2x+2y3x+y+23x+yx+2y+4=5+2x+2y3x+y+23x+yx+2y≥5+22x+2y3x+y⋅23x+yx+2y=9，当且仅当2x+2y3x+y=23x+yx+2y时，即x=115y=215等号成立，则13x+y+2x+2y的小值为9.故答案为：9.19(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)已知x+y=4，且x>y>0，则2x-y+1y的最小值为．【答案】2【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.【详解】因为x+y=4，所以x-y+2y=4，又x>y>0，所以x-y>0则2x-y+1y=2x-y+1yx-y+2y×14=2+4yx-y+x-yy+2×14≥4+24yx-y⋅x-yy×14=2，当且仅当4yx-y=x-yy且x+y=4，即x=3,y=1时，等号成立，所以2x-y+1y的最小值为2.故答案为：2.20(2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知正实数x，y满足4x+7y=4，则2x+3y+12x+y的最小值为.【答案】9 4【分析】由4x+7y=2x+3y+2x+y，结合基本不等式求解即可.【详解】因为4x+7y=4，所以2x+3y+12x+y=142x+3y+2x+y2x+3y+12x+y，所以2x+3y+12x+y=144+2x+3y2x+y+22x+yx+3y+1，因为x,y为正实数，所以2x+3y2x+y>0,22x+yx+3y>0，所以2x+3y2x+y+22x+yx+3y≥22x+3y2x+y⋅22x+yx+3y=4，当且仅当x+3y=2x+y4x+7y=4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94，故答案为：94.21(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )=1x +94-x(0<x <4)，则f (x )的最小值为.【答案】4【分析】根据x +4-x =4可得f (x )=14x +4-x 1x +94-x ，再根据基本不等式求解即可.【详解】因为x +4-x =4，故f (x )=1x +94-x =14x +4-x 1x +94-x=1410+4-x x +9x 4-x ≥1410+24-x x ×9x 4-x=4，当且仅当4-x x =9x4-x，即x =1时取等号.故f (x )的最小值为4.故答案为：422(2023·全国·高三专题练习)若正实数x ，y 满足2x +y =2，则4x 2y +1+y 22x +2的最小值是．【答案】45【详解】根据题意，若2x +y =2，则4x 2y +1 +y 22x +2=(2-y )2y +1+(2-2x )22x +1=y +1 -3 2y +1+2x +1 -2 2x +1=(y +1)+9y +1+2(x +1)+162x +1 -14=9y +1+162x +1-9；又由2x +y=2，则有2(x +1)+(y +1)=5，则 4x 2y +1+y 22x +2=9y +1+162x +12x +2 +y +1 5-9=1516+9+18x +1 y +1+8y +1 x +1-9≥1525+218x +1 y +1×8y +1 x +1-9≥45；当且仅当y +1=2(x +1)=52时，等号成立；即 4x 2y +1+y 22x +2的最小值是45，故答案为45.点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.23(2023·全国·高三专题练习)函数f x =1cos 2x +25sin 2x的最小值为．【答案】36【分析】根据cos 2x +sin 2x =1，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为cos 2x +sin 2x =1，所以f x =1cos 2x +25sin 2xcos 2x +sin 2x =sin 2x cos 2x +25cos 2x sin 2x+26≥2sin 2x cos 2x ⋅25cos 2x sin 2x+26=36，当且仅当sin 2x =5cos 2x 时，等号成立．故函数f x =1cos 2x +25sin 2x的最小值为36.故答案为：3624(2023·全国·高三专题练习)设x >-1,y >0且x +2y =1，则1x +1+1y的最小值为．【答案】3+222【分析】由已知条件可知x +1>0，且x +1+2y =2，再展开1x +1+1y=121x +1+1yx +1+2y ，并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为x >-1,y >0，所以x +1>0，2y x +1>0,x +1y>0，因为x +2y =1，所以x +1+2y =2，所以1x +1+1y =121x +1+1y (x +1+2y )=123+2y x +1+x +1y≥12(3+22)，当且仅当2y x +1=x +1y ，即x =22-3，y =2-2时取得最小值．故答案为：3+222.25(2023秋·贵州贵阳·高一统考期末)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．根据权方和不等式，函数f x =3x +12-3x 0<x <23的最小值为．【答案】8【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.【详解】因为a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立，又0<x <23，即2-3x >0，所以f x =3x +12-3x =323x +122-3x ≥3+1 23x +2-3x =8，当且仅当33x =12-3x ，即x =12时，等号成立，所以f x =3x +12-3x 0<x <23的最小值为8.故答案为：8.。

基本不等式和权方和不等式

基本不等式整式形式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；根式形式：①ab b a 2≥+；②2)2(b a ab +≤（0a >，0b >）（一正二定三相等）题型一：问题满足基本不等式，则直接用基本不等式：1、点),(b a 在直线x+2y=3上移动，则b a 42+的最小值是题型二：条件满足基本不等式，则直接用基本不等式：2、若,122=+y x 则y x +的最大值为3、若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．4、若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85、已知两个正数x,y 满足x+4y+5=xy,则xy 的最小值时为( )(A)20 (B)25 (C)30 (D)356、（多选）已知11>>b a ，，且1)(=+-b a ab ，那么（）A ．b a +有最小值222+B ．b a +有最大值222+C ．ab 有最小值223+D ．ab 有最大值21+7、已知x> 0，y> 0，且4xy －x －2y ＝ 4，则 xy 的最小值为（）A. 22B. 22C. 2D. 2权方和不等式y x b a y b x a ++≥+222)(，当yb x a =时，等号成立使用方法：1、权方和不等式适用于分式与整式的最值问题中，最好分式的分子部分为常数；2、权方和不等式的分母未知数的系数必须要和所给定值式子未知数的系数成比例关系；3、权方和不等式可以简化配凑所带来的复杂计算。

题型三：构造“1”的代换8、已知0a >，0b >，12=+b a ，则b a 12+的最小值是（） A ．4 B ．29 C ．8 D ．9 9、若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510、x 、0>y ,1=+y x ,则yx 41+的最小值为__ __. 11、若正数4y 3x ,53,+=+则满足xy y x y x 的最小值为__ __.12、若正数y ,082,+=-+x xy y x y x 则满足的最小值为__ __.13、若正数y x xy y x y x +=++，求满足4,的最小值为__ __.14、已知实数0a >，0b >，11111=+++b a ，则b a 2+的最小值是（） A ．23 B ．22 C ．3 D ．215、已知x 、0>y ，且21111=++y x ，则y x +的最小值是（） A ．3 B ．5 C ．7 D ．916、已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为__ __.17、（多选）已知b a ,为正实数，且12121=+++ba b a ，则b a +的值可能为（） A. 32 B. 1 C. 34 D. 1217 18、设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则19c a+的最小值为（） A ．3 B ．92 C ．5 D ．719、已知1->x ，0>y ，且满足12=+y x ，则y x 211++的最小值为__ __.20、若a >0，b >0，且94=+b a ，则a ab +的最小值为（）A. 9B. 3C. 1D. 3121、非负实数x ，y 满足062=--y x xy ，则y x 2+的最小值为____________．22、已知22=-b a ，且20<+<b a ，则b a b a 211-++的最小值为___________．题型四：凑项、凑系数使和为定值或积为定值23、已知不等式8201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．10m >- B ．10m <- C ．8m >- D ．8m <-24、已知实数x 满足x 21log ﹥1，则函数1218-+=x x y 的最大值为（）A ．-4B ．8C ．4D ．025、（多选）已知1>x ，则125-+x x 的值可以为（）A. 9B. 10C. 11D. 12题型五：等号不成立，则需要利用函数单调性求解26、对任意的2≥x ，a x x x≤++12恒成立，则a 的取值范围是27、,1,0=+>b a b a 、则ab ab 1+的最小值为__ __参考答案1、422、-23、184、B5、B6、AC7、D 8、D 9、C 10、9 11、5 12、1813、252- 14、B 15、C 16、16 17、CD 18、A19、29 20、C 21、0 22、223、24、D 25、CD 26、{}72≥a a 27、417。

权方和不等式(高阶拓展)(学生版)

初等数学研究不等式

例 .解不等式 x 5 x 9 1. 1
分析 : 这是一个无理不等式 , 可以利用乘方 , 将其转化为有理不等式 (组) 来求解.但需注意自变量的取值范围和同解性 .
x 5 0 解 : 首先, 确定的 x允许值范围是 : x [5,9]. 9 x 0 其次 , 原不等式 5 x 1 9 x 两边平方 2 x 15 2 9 x ,移项若2 x 15 0, 无解. 15 9 x 15 若2 x 15 0(9 x ) (2 x 15) 2 4(9 x) {x 14 7 x 9}. 2 2 2
例4.解不等式 6x 9 6x 4 13x 6.
解 : 显然 x 0, 不等式可化为 6 9 6 4 13 6 .因为6 0, 所以两边同除
令t ( ) x 0 3 x 2 x 6 2 3 2 3 3 以6 , 得6( ) 6( ) 13 6t 13 0 求解 t ( ) x 2 3 t 3 2 3 2 1 3 亦即 3 1 3 x 3 ( ) ( ) . 2 2 2 2 当x 0时, 得x 1 3 1 而y ( ) x 是增函数 , 所以 1 1 求解 , 所以原不等 2 x 当x 0时, 得x 1 1 x 1 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1 x
解 : 由对数函数的性质 , 知 25 x 2 1 25 x 2 x2 9 16 1 3 x 1. 当 2 2 2 16 x 16x 17 0 24 2 x x 25 x 14 16 25 x 2 9 x 2 25 0 1 2 当0 25 x 1 16 x 2 2 x 24 0 3 x 4. 24 2 x x 2 25 x 2 16 0 x 2 16x 17 0 14 16 综合得原不等式的解集为{x 3 x 1} {x 3 x 4}.

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(十一大题型)(解析版)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~不等式柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录1方法技巧与总结 12题型归纳与总结 2题型一:柯西不等式之直接套公式型 2题型二:柯西不等式之根式下有正负型 3题型三:柯西不等式之高次定求低次型 4题型四:柯西不等式之低次定求高次型 5题型五:柯西不等式之整式与分式型 6题型六:柯西不等式之多变量型 7题型七:柯西不等式之三角函数型 8题型八:Aczel 不等式 9题型九:权方和不等式之整式与分式综合型 10题型十:权方和不等式之三角函数型 11题型十一:权方和不等式之杂合型 123过关测试 131方法技巧与总结1、柯西不等式(Cauchy 不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a ,b ,c ,d ∈R ，都有(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)．(2)n 元柯西不等式：(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2，取等条件：a i =λb i 或b i =λa i (i =1,2,⋯,n )．2、Aczel 不等式(反柯西不等式)设a 1,a 2,⋯,a n ；b 1,b 2,⋯,b n 均为实数，a 21-a 22-⋯-a 2n >0或b 21-b 22-⋯-b 2n >0，则有(a 21-a 22-⋯-a 2n )(b 21-b 22-⋯-b 2n )≤(a 1b 1-a 2b 2-⋯-a n b n )2．当且仅当a k ，b k 成比例时取等．3、权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．2题型归纳与总结题型一:柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B4(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2=25，当且仅当34-3x=13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为25.故选：A .5柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .6(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3 B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为26.故选：C .7设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc 22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2 =a 2+2a 21-a 2 =a 2-12 2+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .8(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A9已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d ≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c-2=d -2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D10若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2 +2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当a c =3,b d =2,a +c b +d =43,⇒a :b :c :d =3:2:1:1时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .11已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12=x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为3.故选：B12已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2 2当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时取等,所以12+222+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五:柯西不等式之整式与分式型13(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a (2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.14已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b+13c =a +2b +3c 1a +12b +13c ≥a a +2b 2b +3c 3c 2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.15已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b+11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c(1-a +1-b +1-c )≥1+1+1 2所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六:柯西不等式之多变量型16已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .17已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .18已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b-1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4 的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b-1c=3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4 ≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七:柯西不等式之三角函数型19函数3+23cosθ+cos2θ+5-23cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cosθ+10-(3cos+1)2=3cosθ+13+10-(3cosθ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cosθ+1)23cosθ+1=3⇒cosθ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D.20(2024·浙江·一模)若sin x+cos y+sin x+y=2，则sin x的最小值是() A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x+cos y+sin x cos y+cos x sin y=2整理得2-sin x=sin x+1cos y+cos x sin y，由柯西不等式得sin x+1cos y+cos x sin y≤1+sin x2+cos2x⋅cos2y+sin2y=2+2sin x，当sin x+1sin y=cos y cos x时取等号，所以2-sin x2≤2+2sin x，即sin2x-6sin x+2≤0，解得3-7≤sin x≤1，所以sin x的最小值为3-7.故选：C．21函数y=2cos x+31-cos2x的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y=2cos x+31-cos2x=2cos x+32sin2x ≤cos2x+sin2x22+(32)2=22当且仅当cos xsin2x=232，即tan x=±322时，函数有最大值22.故选：A.题型八:Aczel 不等式22f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45 -(x -4)=4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．23为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 ≤1，则-12x 2+1-42x 2+2 ≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九:权方和不等式之整式与分式综合型24已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.25权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B26已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.27已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：2728已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin2θ12+432cos2θ12≥1+4 32sin2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5529(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m3+⋯+a m +1n b m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x取得最小值时，x 的值为()A.π12 B.π6 C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x=332sin 2x 12+132cos 2x 12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x 12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x ，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．30已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y =132x 2 12+232y 2 12≥1+2 32x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m ,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y =1 ，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3331已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6032求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2 121-12+2+3x -x 2 121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.3过关测试33(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D34已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B35(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122 D.p 14+q144【答案】B 【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4p f sin x +sin 2x +4q f cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2x q f cos x =cos 2x ，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .36由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D37已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B38已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B39实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .40已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .41若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .42函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .43若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3 B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+122+12 =4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .44函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -5 2+6-x 212+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B45已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A46函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin 2x +cos 2x=3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A47(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .48已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C49(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .50(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：651若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 552已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.53(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 254在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A= 1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B =2tan B tan C =3tan C tan A ⇒tan A :tan B :tan C =2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2655函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.56(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.57已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：858已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1)12x +y +1y +1 -32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。

用权方和不等式简证一类分式不等式

用权方和不等式简证一类分式不等式
尹显模
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2010(000)008
【摘要】@@ 权方和不等式是著名的重要不等式之一,是证明不等式的有力工具,它具有条件简明、结构优美、使用方便等特点.若能恰到好处地正确运用权方和不等式,将会起到简化证明过程的神奇效果.本文以数学杂志中的几个分式不等式为例,给出证明与大家共享.
【总页数】2页(P27-28)
【作者】尹显模
【作者单位】湖北省阳新县电视大学,435200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧用a~2＋b~2≥2ab的变式简证一类分式不等式 [J], 何世洪;
2.一类分式不等式的简证 [J], 闵飞
3.一类分式不等式的简证 [J], 闵飞
4.巧用函数不等式lnx≤x-1简证一类数列不等式 [J], 武增明
5.巧用函数不等式lnx≤x-1简证一类数列不等式 [J], 武增明
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权方和不等式

m(m+1)<0时：
(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].
也就是[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].
其中n是正整数。
取等号的条件：x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn.[1]
权方和不等式的证明：
其证明需要用到赫尔德(Holder)不等式.

权方和不等式专题研究

2
而 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )
2
(a + b + c) 3 a b c + + ≥ = 故 b +1 c +1 a +1 1 a + b + c 2 + a + b + c ( ) ( ) 4 3
3
例 9. 已知：a, b ∈ R + , 求证：
a
3 2
简证：左=
a 3 + 3b 2 a
+
b
3 2
b3 + 3a 2b
≥
( a + b)2
a 3 + 3a 2b + 3b 2 a + b3
3
而 a 3 + 3a 2b + 3b 2 a + b3 = a + 3b b + 3a 2 等号在a = b时取得.
2
1 等号在a = b = c = 取得. 3 a b c 3 例 8. 已知a, b, c ∈ R +且a + b + c = 1, 求证： + + ≤ a +1 b +1 c +1 4
3
huajie313 初等数学研究系列——不等式
简证：左=3-(
1 1 1 + + ) a +1 b +1 c +1
(1 + 1) = 4 1 1 简证: + ≥ 1− x 1− y 2 − x − y 1+ z

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( x + 2y + 3z + 4u + 5v ) = 60 x 2 ( 2 y ) ( 3z ) ( 4u ) ( 5v ) ≥ 简解：w = + + + + 1 2 3 4 1+ 2 + 3 + 4 + 5 5
2 2 2 2 2
当且仅当x = y = z = u = v = 2时w取得最小值60.
正是第42届IMO的原题.
a a 2 + 8bc
+
b b 2 + 8ca
+
c c 2 + 8ab
≥1
以上我们是直接（或通过简单变形）使用权方和不等式证不等式，可谓“简洁明快” ，实际上凑着使用权方和不等式证明不等式也有“小巧玲珑”之美，请看： 1 1 1 2 2 2 . 例 10. 已知：x, y, z ∈ R + , x + y + z = 1, 求证： + + ≥ + + 1− x 1− y 1− z 1+ x 1+ y 1+ z
n
1
m
⎛ n ⎞ ai ⎟ ∑ n ai m +1 ⎜ i =1 ⎝ ⎠ ( a > 0, b > 0, m > 0.等号在a = λb 时取得 ). 将上式整理为 ∑ m ≥ i i i i m n b i =1 ⎛ ⎞ i ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 我们称上式（狭义）权方和不等式（m 称为该不等式的权）。它的特点是分子的幂指数比分母高 1 次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权方和不等式的“化简魅力” 。 Ⅰ.用于求极值 1 1 例 1.已知x, y ∈ R +且 + = 1, 求x + 2 y的最小值. x y
2
初等数学研究系列——不等式
例 4．已知x, y,∈ R +且x + y = 1, λ > 0, n ∈ N * .求
1 λ + 的最小值. xn y n
1 λ 1 简解： n + n = n x y x
n +1
( +
n +1
λ
yn
)
n +1
(1 + ≥
n +1
λ
)
n +1
( x + y)
n
= 1 + n +1 λ 1 1+
又f ( x) = ln x在(0, +∞)上单调增
故有 : ∑ λi ai ≥ ∏ aiλi (等号在 ai = a j 时取得)
i =1 i =1 n n
引理 2：（Holder 不等式）若ai > 0, bi > 0(i = 1, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅n),
⎞q ⎛ n ⎞p ⎛ n 则∑ ai bi ≤ ⎜ ∑ aip ⎟ ⋅ ⎜ ∑ biq ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
初等数学研究系列——不等式
内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。
பைடு நூலகம்
权方和不等式专题研究
“权方和不等式”是 80 年代初由湖南杨克昌教授命名的，其实质是 Holder 不等式的特例。在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器” 。故在此对其做专题研究。一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用引理 1：若λi > 0, ai > 0且∑ λi = 1, 则∑ λi ai ≥ ∏ aiλi
n +1
(
)
n +1
联立x + y = 1,
1 = x
n +1
λ
y
, 可解得在x =
λ
,y=
n +1
λ λ
1+
n +1
时取得最值.
例 5. 求函数y =
a b ⎛ π⎞ + (a, b, m > 0)在 ⎜ 0， ⎟ 上的最小值. m m sin α cos α ⎝ 2⎠
简解：y =
a b + m sin α cos m α
2
⎛ m2 ⎞2 +2 ⎜a ⎟ ⎠ =⎝
2
m
+1
( sin 2 α ) 2
m
⎛ m2 ⎞2 +2 ⎜b ⎟ ⎠ +⎝
m
+1
( cos2 α ) 2
m
2 ⎛ m2 ⎞2 m+ 2 +2 m+ 2 +b ⎟ ⎜a 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎠ m+ 2 m+ 2 a b ≥ ⎝ = + ⎜ ⎟ m 2 2 ⎝ ⎠ 2 sin cos α α + ( ) 1
i =1 i =1
1
⎛ n ⎞p ⎛ n ⎞q 此即 : ∑ ai bi ≤ ⎜ ∑ aip ⎟ ⋅ ⎜ ∑ biq ⎟ （当 aip = λ biq 时取等号） i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
1
初等数学研究系列——不等式
注 1：引理 1 实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。注 2：在引理 2 中令 p=q=2 即可得到 Cauchy 不等式。下面我们对引理 2.实施两步特殊化处理： ⎛ ⎞ ①令 p=m+1 则 m>0,原不等式变形为： ∑ ai bi ≤ ⎜ ∑ aim +1 ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠
(1 + 1) = 4 1 1 + ≥ a −b b−c a −b+b−c a−c 等号在a − b = b − c即2b = a + c时取得.
2
a b c 3 例 7．已知a, b, c ∈ R +且a + b + c = 1, 求证： + + ≥ b +1 c +1 a +1 4
(a + b + c) a2 b2 c2 简证：左= + + ≥ ab + a bc + b ca + c ab + bc + ca + a + b + c
i =1
n
∑ a + s ≤ n +1 ≤ a
i =1 i
n
ai
n
a a1 a + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + n a3 + s a1 + s 2 +s
a a 2 + 3b 2 + b b 2 + 3a 2 ≥1
3
例 9. 已知：a, b ∈ R + , 求证：
a
3 2
简证：左=
a 3 + 3b 2 a
+
2
而 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )
2
(a + b + c) 3 a b c + + ≥ = 故 b +1 c +1 a +1 1 a + b + c 2 + a + b + c ( ) ( ) 4 3
i =1 i =1 i =1 n n n
证明：
因函数f ( x) = ln x在(0, +∞)上是凹函数
由Jensen不等式 : 对λi > 0, ai > 0且∑ λi = 1
i =1 n
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ n 有 : ln ⎜ ∑ λi ai ⎟ ≥ ∑ λi lnai = ln ⎜ ∏ aiλi ⎟ (当 ai = a j 等号成立) ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎠
3
1 1 8 + + 的最小值 a 2 b2 c2
等号在
1 1 2 1 1 = = 且a + b + c = 1即a = b = , c = 时取得 4 2 a b c
例 3．已知x + 2y + 3 z + 4u + 5v=30,求w = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 4u 2 + 5v 2的最小值.
a b c 9 3 + + ≤ 3− = a +1 b +1 c +1 4 4 1 等号在a = b = c = 取得. 3 例 5 与例 6 分别揭示了使用狭义权方和的两个典型技巧：一是调整分子分母幂指数差以利套用公式；二是凑分母简化分子以利不等号变向。故
注 3: 例5与例6还可以进一步推广为：已知ai > 0, ∑ ai = s, n ≥ 2且n ∈ N *
n n
1 m +1
⎛ ⋅⎜∑b ⎝ i =1
n
m +1 m i
⎞ ⎟ ⎠
m m +1
②做变换 ai =
ai bi
m m +1
, bi = b
m m +1 i
⎛ n a m +1 ⎞ m +1 ⎛ n ⎞ m +1 ,将上不等式变形为： ∑ ai ≤ ⎜ ∑ i m ⎟ ⋅ ⎜ ∑ bi ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 bi ⎠