高中数学典型例题大全第三章导数导数的概念

高中数学典型例题大全第三章导数导数的概念
例 假设kxxfxxfx)()(lim000，那么xxfxxfx)()2(lim000等于〔 〕
A．k2 B．k C．k21 D．以上都不是
分析：此题考查的是对导数定义的明白得，依照导数定义直截了当求解即可
解：由于xxfxxfx)()2(lim000

22)()2(lim000
xxfxxfx

kxxfxxfx22)()2(lim2000

，应选A

求曲线方程的斜率和方程

例 曲线xxy1上一点)25,2(A，用斜率定义求：
〔1〕点A的切线的斜率
〔2〕点A处的切线方程

分析：求曲线在A处的斜率Ak，即求xfxfx)2()2(lim0

解：〔1〕)2()2(fxfy

xxxxx)2(2)212(212






xxxxxxyxx)2(2
limlim

00

431)2(21lim0x
x

〔2〕切线方程为)2(4325xy
即0443yx
讲明：上述求导方法也是用定义求运动物体)(tSS在时刻0t处的瞬时速度的步骤．
判定分段函数的在段点处的导数
例 函数)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf，判定)(xf在1x处是否可导？
分析：对分段函数在〝分界点〞处的导数咨询题，要依照定义来判定是否可导．
解：1)11(211)1(21limlim2200xxxyxx

xxxyxx

)11(21)11(21limlim

2

00

2
1


∴)(xf在1x处不可导．

讲明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即xxfxxfx)()(lim000，当0x；
包括0x；0x，判定分段函数在〝分界处〞的导数是否存在时，要验证其左、
右极限是否存在且相等，假如存在且相等，才能判定这点存在导数，否那么不存在导数．
利用导数定义的求解

例 设函数)(xf在点0x处可导，试求以下各极限的值．
1．xxfxxfx)()(lim000；
2．.2)()(lim000hhxfhxfh
3．假设2)(0xf，那么kxfkxfk2)()(lim000等于〔 〕
A．－1 B．－2 C．－1 D．21
分析：在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，
y
也必须选择相对应的形式．利用函数)(xf在点0x处可导的条件，能够将已给定的极限式班
等变形转化为导数定义的结构形式．

解：1．原式＝)()()(lim000xxfxxfx
)()()(lim0000xfxxfxxfx


2．原式＝hhxfxfxfhxfh2)()()()(lim00000


).()()(21)()(lim)()(lim21000000000xfxfxfhxfhxfhxfhxfhh













3．

2)()(lim)(0000kxfkxfxf
k


〔含kx〕，

∴kxfkxfk2)()(lim000

)(21)()((lim210000xfkxfkxfk


.1221
应选A．

讲明：概念是分析解决咨询题的重要依据，只有熟练把握概念的本质属性，把握其内涵
与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，
盲目套用导数的定义是使思维受阻的要紧缘故．解决这类咨询题的关键确实是等价变形，使
咨询题转化．

利用定义求导数

例 1．求函数xy在1x处的导数；
2．求函数baxxy2〔a、b为常数〕的导数．
分析：依照导数的概念求函数的导数是求导数的差不多方法，确定函数)(xfy在

0
xx
处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．

解：1．解法一〔导数定义法〕：11xy，

.21,21111lim,1111110xxy
x

x
xxx
y

解法二〔导函数的函数值法〕：xxxy，
,1xxxxxxxxy



.211limlim00xxxxxyxx






∴.21,211xyxy
2．)(])()[(22baxxbxxaxxy
22
)()2()(2xxaxxaxxx

,)2()()2(2xaxxxxaxxy




.2,2)2(limlim00axyaxxaxxyxx





讲明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为
极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻明白得导数的概念．

证明函数的在一点处连续

例 证明：假设函数)(xf在点0x处可导，那么函数)(xf在点0x处连续．
分析：从和要证明的咨询题中去寻求转化的方法和策略，要证明)(0xf在点0x处连续，
必须证明)()(lim00xfxfxx．由于函数)(xf在点0x处可导，因此，依照函数在点0x处可
导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式〔变为导数定义形式〕的
转化．

解：证法一：设xxx0，那么当0xx时，0x，

)(lim)(lim000xxfxfxxxx



)()()(lim0000xfxfxxfxx







)()()(lim0000xfx

x

xfxxf

xx

)(limlim)()(lim000000xfxxxfxxfxxx
).()(0)(000xfxfxf
∴函数)(xf在点0x处连续．
证法二：∵函数)(xf在点0x处可导，
∴在点0x处有
yxfxfxxx00lim)]()([lim
0

xxyxxyxxx000limlimlim

00)(0xf
∴).()(lim00xfxfxx∴函数)(xf在点0x处连续．
讲明：关于同一个咨询题，能够从不同角度去表述，关键是要透过现象看清咨询题的本
质，正确运用转化思想来解决咨询题．函数)(xf在点0x处连续，有极限以及导数存在这三
者之间的关系是：导数存在连续有极限．反之那么不一定成立．证题过程中不能合理
实现转化，而直截了当明白得为)(lim00xxfx是使论证推理显现失误的障碍．