高中数学典型例题大全第三章导数导数的概念

高中数学典型例题大全第三章导数导数的概念

例 假设k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim

000，那么x

x f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 000等于〔 〕 A ．k 2 B ．k C ．k 21 D ．以上都不是 分析：此题考查的是对导数定义的明白得，依照导数定义直截了当求解即可

解：由于x

x f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim

000 22)()2(lim 000⋅∆⋅-∆⋅+=→∆x

x f x x f x k x x f x x f x 22)()2(lim 2000=∆⋅-∆⋅+⋅=→∆，应选A 求曲线方程的斜率和方程

例 曲线x x y 1+=上一点)2

5,2(A ，用斜率定义求： 〔1〕点A 的切线的斜率

〔2〕点A 处的切线方程

分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求x

f x f x ∆-∆+→∆)2()2(lim

0 解：〔1〕)2()2(f x f y -∆+=∆ x x x x x ∆+∆+∆-=+-∆++∆+=)

2(2)212(212 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+∆+∆∆-=∆∆→∆→∆x x x x x x y x x )2(2lim lim

00 4

31)2(21lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+→∆x x 〔2〕切线方程为)2(4

325-=-

x y 即0443=+-y x

讲明：上述求导方法也是用定义求运动物体)(t S S =在时刻0t 处的瞬时速度的步骤． 判定分段函数的在段点处的导数

例 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(2

1)1)(1(21)(2x x x x x f ，判定)(x f 在1=x 处是否可导？

分析：对分段函数在〝分界点〞处的导数咨询题，要依照定义来判定是否可导． 解：[]

1)11(211)1(21lim lim 2200=∆+-+∆+=∆∆→∆→∆x x x y x x x

x x y x x ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∆+=∆∆+→∆→∆)11(21)11(21lim lim 200 2

1= ∴)(x f 在1=x 处不可导．

讲明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim

000，当0→∆x ；包括+→∆0x ；-→∆0x ，判定分段函数在〝分界处〞的导数是否存在时，要验证其左、

右极限是否存在且相等，假如存在且相等，才能判定这点存在导数，否那么不存在导数．

利用导数定义的求解

例 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求以下各极限的值．

1．x

x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim

000； 2．.2)()(lim 000h

h x f h x f h --+→ 3．假设2)(0='x f ，那么k

x f k x f k 2)()(lim 000--→等于〔 〕 A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ．21 分析：在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆也必须选择相对应的形式．利用函数)(x f 在点0x 处可导的条件，能够将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．

解：1．原式＝)

()()(lim 000x x f x x f x ∆---∆-→∆

)()()(lim

0000x f x

x f x x f x '-=∆--∆--=→∆ 2．原式＝h h x f x f x f h x f h 2)()()()(lim 00000--+-+→ []).()()(21)()(lim )()(lim 21000000000x f x f x f h x f h x f h x f h x f h h '='+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=

→→ 3．[]2)()(lim

)(0000=---+='→k

x f k x f x f k 〔含k x -=∆〕， ∴k

x f k x f k 2)()(lim 000--→ [])(2

1)()((lim 210000x f k x f k x f k '-=---+-=→ .1221-=⨯-=应选A ． 讲明：概念是分析解决咨询题的重要依据，只有熟练把握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的要紧缘故．解决这类咨询题的关键确实是等价变形，使咨询题转化．

利用定义求导数

例 1．求函数x y =在1=x 处的导数；

2．求函数b ax x y ++=2〔a 、b 为常数〕的导数．

分析：依照导数的概念求函数的导数是求导数的差不多方法，确定函数)(x f y =在0x x =处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．

解：1．解法一〔导数定义法〕：11-∆+=∆x y ，

.2

1,21111lim ,1111110='∴=+∆++∆+=∆-∆+=∆∆=→∆x x y x x x x x y 解法二〔导函数的函数值法〕：x x x y -∆+=∆，

,1x

x x x x x x x y +∆+=∆-∆+=∆∆

.211lim lim

00x x x x x y x x =+∆+=∆∆→∆→∆ ∴.21,211='∴='=x y x

y 2．)(])()[(22b ax x b x x a x x y ++-+∆++∆+=∆

2

2)()2()(2x x a x x a x x x ∆+∆⋅+=∆⋅+∆+∆⋅= ,)2()()2(2

x a x x

x x a x x y ∆++=∆∆+∆⋅+=∆∆ .2,2)2(lim lim

00a x y a x x a x x y x x +='∴+=∆++=∆∆→∆→∆ 讲明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻明白得导数的概念．

证明函数的在一点处连续

例 证明：假设函数)(x f 在点0x 处可导，那么函数)(x f 在点0x 处连续．

分析：从和要证明的咨询题中去寻求转化的方法和策略，要证明)(0x f 在点0x 处连续，必须证明)()(lim 00

x f x f x x =→．由于函数)(x f 在点0x 处可导，因此，依照函数在点0x 处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式〔变为导数定义形式〕的转化．

解：证法一：设x x x ∆+=0，那么当0x x →时，0→∆x ，

)(lim )(lim 00

0x x f x f x x x x ∆+=→→ [])()()(lim 0000x f x f x x f x x +-∆+=→

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+∆⋅∆-∆+=→)()()(lim 0000x f x x x f x x f x x )(lim lim )()(lim 000000x f x x

x f x x f x x x →∆→∆→∆+∆⋅∆-∆+= ).()(0)(000x f x f x f =+⋅'=

∴函数)(x f 在点0x 处连续．

证法二：∵函数)(x f 在点0x 处可导，