数学归纳法知识总结

理科数学归纳法知识总结

一 基本概念

1.运用数学归纳法证明命题要分两步,

第一步是归纳奠基(或递推基础),

第二步是归纳递推(或归纳假设),

两步缺一不可

二 易错点

1.归纳起点易错 （1）n 未必是从n=1开始

例 用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为2

32n n - 点拔：本题的归纳起点n=3

（2） n=1时的表达式

例 用数学归纳法证明),1(1112

2*+∈≠--=++++N n a a a a a a n n

，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）

A. 1

B.a +1

C.21a a ++

D. 421a a a +++

点拨 n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是a +1，故选B

2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法

例1 用数学归纳法证明：

2243131414141⋅-=+++n 错证：

（1）当n=1时，左=右=4

11，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，

则当n=k+1时，2112431314

11])41(1[41414141⋅-=--=+++++k k 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设

3 从n=k 到n=k+1增加项错误

例1 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2（k+2）时命题成立

点拨：因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选 例2 用数学归纳法证明不等式24

1312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是

点拨：求)()1(k f k f -+即可

当 n=k 时， 左边k k k k ++++++=

12111 ， n=k+1时，左边)

1()1(13121++++++++=k k k k , 故左边增加的式子是

11221121+-+++k k k ，即)22)(12(1++k k 三 知识应用 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

1 用数学归纳法证明等式

例1 用数学归纳法证明等式：n

n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-

例2 用数学归纳法证明： ()()12121217

51531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 2 用数学归纳法证明不等式

例3用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221+<+++⋅+

⋅n n n 例4．证明不等式n n 21

31

21

1<+

+++ (n ∈N )． 3 用数学归纳法证明整除问题

例5 求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除.

例6 证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除

4 用“归纳——猜想——证明”解决数列问题

例7在数列}{n a 中，n

n n a a a x a -+==+11,tan 11， （1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式

例8 在数列{}n a 中，)(2)2(,2111*++∈-++==N n a a a n n n n λλλ，其中0>λ，求数列

}{n a 的通项公式

5用“归纳——猜想——证明”解决几何问题

例9．n 个半圆的圆心在同一条直线l 上，这n 个半圆每两个都相交，且都在直线l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

四 练习巩固

1.用数学归纳法证明：1(n 2-1)+2(n 2-22)+…+n(n 2-n 2)=2n (n-1)(n+1)4(n ∈N*).

2.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=

n 4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*). 3.当n>1，n ∈N*时，求证：111912310

n n n ++⋅⋅⋅+>++ 4.用数学归纳法证明：n n 11111+1++++n 22322

≤⋅⋅⋅≤(n ∈N*) 5.用数学归纳法证明 49n +16n-1能被64整除(n ∈N*)

6.用数学归纳法证明 m n+2+(m+1)2n+1能被m 2+m+1整除(n ∈N*)

7.在数列{}n a 中，a n >0,且S n =1/2(a n +n

1a ) (1)求a 1、a 2、a 3；

(2)猜测出a n 的关系式并用数学归纳法证明。

8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，….

(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．

9.平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这

n 个圆把平面分成n 2-n+2个部分。