小波变换在图像处理中的应用

小波变换是一种快速发展和比较流行的信号分析方法。经典的傅里叶变换能满足大多数信号处理的需求，但对于非平稳信号的分析却不能依靠傅里叶变换，因为它不能提供局部时间段上的频率信息。后来提出的加窗傅里叶变换解决了这一问题，但是它也具有很大的局限性，即当基本窗函数取定时，窗口的时间宽度和频率宽度就固定了，不会随着时域和频域的位移而变换。为了克服这个缺点，学者们经过努力探索，提出了小波变换的理论。近年来，小波变换作为一种变换域信号处理方法，得到了迅速发展，在信号分析、图像处理、地震勘探和非线性科学等诸多领域得到了广泛应用。小波变换在图像处理中的应用主要体现在以下几个方面：图像的压缩、去噪、融合、增强、分解与重构、边缘检测、检索以及人脸、指纹、虹膜的识别等。

本文介绍了小波变换的基本理论及特征，包括连续小波变换、离散小波变换。基于小波变换的这些理论和特性，总结了其在图像处理方向的应用，最后对小波变换在图像处理方向的应用进行了总结和展望。

关键字小波变换图像处理

1 研究背景和意义 (1)

2 小波变换理论及性质 (2)

2.1 连续小波变换 (2)

2.2 离散小波变换 (3)

2.3 小波变换的性质 (4)

3 小波变换在图像处理中的应用 (6)

3.1 图像压缩 (6)

3.2 图像去噪 (7)

3.3 图像融合 (9)

3.4 图像增强 (10)

3.5 图像分解与重构 (11)

3.6 图像边缘检测 (13)

3.7 图像检索 (14)

4 小波变换进行指纹识别 (15)

5 小波变换进行人脸识别 (16)

6 小波变换进行虹膜识别 (17)

7 总结和展望 (18)

参考文献 (19)

1 研究背景和意义

小波变换诞生于20世纪80年代, 素有“数学显微镜”的美称，这也就决定了它在高科技研究领域重要的地位。目前, 它在模式识别、图像处理、机器学习、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何的时频信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。

而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，

在低频部分可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用，本文主要介绍了小波变换的基本理论及特点，并根据其特点研究了小波分析在图像处理中的应用。

2 小波变换理论及性质

2.1 连续小波变换

定义：设φ(t )∈L 2(R )，其傅立叶变换为φ̂(ω̂)，当φ̂(ω)满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）

C φ=∫|φ̂(ω)|2|ω|∞−∞dω (1) 时，我们称φ(t )为一个基本小波或母小波。将母函数φ(t )经伸缩和平移后得

φa,b (t )=1

√|a |φ(t−a

a ) a,

b ∈R;a ≠0 (2)

称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数f (t )∈L (R )的连续小波变换为

W f (a,b )=√a f (t )φ(t−b a )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∞−∞

dt (3) 其重构公式（逆变换）为

f (t )=1

C φ∫∫1a 2∞−∞∞−∞W f

(a,b )φ(t−b a )da db (4)

由于基小波φ(t )生成的小波φa,b (t )在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以φ(t )还应该满足一般函数的约束条件

∫|φ(t )|∞

−∞

dt <∞ (5) 故φ̂(ω)是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，φ̂(ω)在原点必须等于0，即

φ̂(0)=∫φ(t )∞−∞

dt =0 (6) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波φ(t )的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：

A ≤∑|φ

̂(2−jω)|2∞−∞≤B (7) 式中0

在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波φa,b (t )和连续小波变换W f (a,b )的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数

φa,b (t )=|a |−12⁄φ(t−b

a )

这里b ∈R ， a ∈R +，且a ≠0，为方便起见，在离散化中，总设a 只 取正值，这样相容性条件就变为

C φ=∫|φ̂(ω)||ω|∞0dω<∞ (8) 通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散公式分别取作a =a 0j ，b =ka 0j b 0，这里j ∈Z ，扩展步长a 0≠1是固定值，为方便起见，总是假定a 0>1（由于m 可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数φj,k (t )即可写作

φj,k (t )=a 0−j 2⁄φ(t−ka 0j b 0a 0j )=a 0−j 2⁄φ(a 0−jt −kb 0) (9) 而离散化小波变换系数则可表示为

C j,k =∫f (t )φj,k ∗∞

−∞(t )dt (10) 其重构公式为

f (t )=C ∑∑C j,k ∞−∞∞−∞φj,k (t ) (11)

其中，C 是一个与信号无关的常数。为保证重构信号的精度，网格点应尽可能密（即a 0和b 0尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数φj,k (t )和离散小波系数C j,k 就越少，信号重构的精确度也就会越低。

2.3 小波变换的性质

连续小波变换具有如下性质：

性质1（线性）：设f (t )=αg (t )+βh (t )，则

WT f (a,b )=αWT g (a,b )+βWT h (a,b )