2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练36二元一次不等式组与简单的线性规划问题理北师大
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练34归纳与类比文北师大版
3x1＋ 3x2＋ 2 3
＝
＝
x1＋ 3
x2＋ 3
3x1＋ x2＋ 3 x1＋3x2 ＋ 3
3x1＋ 3x2 ＋2 3
3x1＋ 3x2＋ 2 3
3
＝ 3
＝ x1＋3x2 ＋2×３ 3
x1＋ 3x2＋ 2 3 ＝ 3 .
12 分
B 组 能力提升
( 建议用时： 15 分钟 )
1．(2018 ·郑州模拟 ) 平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，
2
2
sin x1＋ sin x2
B，线段 AB总是位于 A，B 两点之间函数图像的下方， 类比可知应有
2
＜sin
x1 ＋ x 2 2 .]
7．观察下列不等式： 13
1＋ 2< ， 22
1 15 1＋ 22＋ 32<3，
1 1 17 1＋ 22＋ 32＋ 42<4，
…
照此规律，第五个不等式为 __________ ．
故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是
2，所以丙的卡片上必有数字 2. 又丙的卡片
上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2. 因为乙与丙的卡片上相同的数字
不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
12 分
部编本试题，欢迎下载！
D．全不正确
C [ 因为 f ( x) ＝ sin( x2＋ 1) 不是正弦函数，所以小前提不正确． ]
2．如图 6-4-3 ，根据图中的数构成的规律，得 a 表示的数是 (
)
2020高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时分层训练1集合理北师大版A组基础达标一、选择题1．(20xx·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B [集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B [依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(20xx·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( )A．－1 B．0C．1 D．2A [因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.]4．(20xx·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D [由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112B．{1,2}A．{－1，－2}D．{－1,2}C．{－2,1}A [因为Q＝{1,2}，所以P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选A.] 6．(20xx·南昌一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B ＝{y|y＝＋1}，那么A∩(∁UB)＝( )A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)C [因为A＝(0，＋∞)，B＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0,1)，故选C.]7．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A．1 B．3C．7 D．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.]二、填空题8．(20xx·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B ＝{1}，则实数a的值为________．1 [∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.]9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.]10．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞)[因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.]B组能力提升11．(20xx·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是( )A. (－2，＋∞)B．( 4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]C [集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．] 13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B [∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C [由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。
2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练11函数与方程理北师大版
课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
新高考数学一轮复习提分练(含答案)
新高考数学一轮复习提分练（含答案）一、选择题1．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.122 B.111 C.322 D.2112．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为()A.16 B.112 C.536 D.193．甲、乙两人一起到阿里山参观旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是()A.136 B.19 C.536 D.164．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是()A.512 B.12 C.712 D.565．(2020·上海高考改编)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是()A.23 B.29 C.13 D.79二、填空题6．在集合{x|x＝nπ6，n＝1，2，3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝12的概率是________．7．(2020·惠州质检)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．8．(2020·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．三、解答题9．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．10．现有8名2020年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．11．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17；现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率．解析及答案一、选择题1．【解析】基本事件总数为C212，事件包含的基本事件数为C26－C23，故所求的概率为P＝C26－C23C212＝211.【答案】 D2．【解析】依题意，以(x，y)为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1，6)，(2，4)，(3，2)，共3个，故所求事件的概率P＝336＝112.【答案】 B3．【解析】甲、乙两人任选4个景点游览，共有A46·A46种游览方案，又甲、乙最后1小时在同一景点有C16·A35·A35种可能．∴所求事件的概率P＝C16·A35·A35A46·A46＝16.【答案】 D 4．【解析】∵cos θ＝m－nm2＋n2·2，θ∈(0，π2]，∴m≥n满足条件，m＝n的概率为636＝1 6，m＞n的概率为12×56＝512，∴θ∈(0，π2]的概率为16＋512＝712.【答案】 C5．【解析】每人选择三项中的两项共有C23C23C23＝27(种)方法．其中有且仅有两人选择项目完全相同的选法有C23C23C12种．∴所求概率为P＝1827＝23.【答案】 A 二、填空题6．【解析】基本事件总数为10，满足方程cos x＝12的基本事件数为2，故所求概率为P＝210＝15.【答案】1 57．【解析】从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)．故所求事件的概率P＝610＝35.【答案】3 58．【解析】法一6节课的全排列为A66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A33C23A22A22＋2A33A33)种，由古典概型概率公式得P(A)＝A33C23A22A22＋2A33A33A66＝15.法二6节课的全排列为A66种，先排三节艺术课有A33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A34种不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝A33A34A66＝15.【答案】1 5三、解答题9．【解】一颗骰子先后抛掷2次，有6×6＝36个基本事件．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.又B发生时，有m＝C13×C13＝9个基本事件．∴P(B)＝m36＝936＝14，则P(B)＝1－P(B)＝34.因此，两数中至少有一个奇数的概率为3 4.(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．又事件C包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有8个．∴P(C)＝836＝29，从而P(C)＝1－P(C)＝1－29＝79.∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为7 9.10．【解】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．记“A1恰被选中”为事件M，则M发生共有C13C12＝6个基本事件．因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.11．【解】(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球有C2n＝n（n－1）2种结果，从袋中任取2个球共有C 27＝21种不同结果．由题意知17＝n（n－1）221＝n（n－1）42，∴n(n－1)＝6.解得n＝3(舍去n＝－2)．即袋中原有白球3个．(2)记“取球2次即终止”为事件A，则P(A)＝C14×C13A27＝27.(3)记“甲取到白球”为事件B，“第i次取到白球”为事件A i，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只能在第1次，第3次和第5次取球．所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝C13A17＋A24C13A37＋A44C13A57＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.。
高考数学一轮复习课时分层训练33二元一次不等式组与简单的线性规划问题文北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练33二元一次不等式组与简单的线性规划问题文北师大版A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )A．(－24,7) B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.]2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )A．B．23C．D．34C [平面区域如图中阴影部分所示．解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝，∴S△ABC＝××1＝.]3．(2016·北京高考)若x，y满足则2x＋y的最大值为( )A．0 B．3C．4 D．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2018·郑州模拟)若x ，y 满足约束条件则当取最大值时，x ＋y 的值为( ) 【导学号：00090194】 A ．－1 B ．1 C ．－D ．3D [作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(－3，－1)与可行域内的点(x ，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，，所以x ＋y ＝.故选D ．]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图像上存在点(x ，y)满足约束条件则实数k 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．D ．12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B ．] 二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z＝3x －y ，∴y＝3x －z ，当该直线经过点A(2,2)时，z 取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足则x2＋y2的取值范围是________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y)为阴影区域内的动点．d ＝可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y)之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由可得A(2,3)，所以dmax ＝＝，dmin ＝＝，所以d2的最小值为，最大值为13，所以x2＋y2的取值范围是.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝x －.易知在点(a ，a)处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.] 三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P(－1，－1)，Q(2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m>0，2＋3m ＋m>0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m<0，2＋3m ＋m<0，所以m 的取值范围是m<－. 12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.【导学号：00090196】[解] (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0). 2分 平移初始直线x －y ＋＝0， 过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1，所以z的最大值为1，最小值为－2. 6分(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－<2，解得－4<a<2. 10分故所求a的取值范围为(－4,2). 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )A．－3 B．1C．D．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．]2．(2018·安阳模拟)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) 【导学号：00090197】A．B．14C．4 D．112B [作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最大，由解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A(1,1)，zmax ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小， 此时z 最小，由解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，即B(a ，a)，zmin ＝2×a＋a ＝3a ， ∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝，故选B ．]3．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． (1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，x ＋y≥6，x －2y≤0，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点． (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组得则点M的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。
2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练 六十六 二项式定理 Word版含解析
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课时分层提升练六十六二项式定理……………………30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·桂林模拟)已知(1+x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212【解析】选A.由题意得=,由组合数性质得n=10,则奇数项的二项式系数和为=29.2.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10【解析】选C.在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.3.(2020·都匀模拟)在(1-x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为( )A.-5B.-15C.-25D.25【解析】选B.由题意知含x4项的系数为-2+=-15.4.设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a1|+|a3|+|a5|= ( )A.121B.122C.243D.244【解析】选 B.(2x-1)5的展开式的第r+1项T r+1=(-1)r=25-r(-1)r x5-r,所以a1=2·(-1)4=10,a3=23(-1)2=80,a5=25(-1)0=32,所以|a1|+|a3|+|a5|=10+80+32=122.选B.取x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,①取x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243.②①-②得,a1+a3+a5=122,又因为a1>0,a3>0,a5>0,所以|a1|+|a3|+|a5|=122.5.若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 B.由二项式定理的展开公式可得T r+1=(ax2)6-r·=a6-r·b r x12-3r,令12-3r=3,得r=3.因为的展开式中x3项的系数为20,所以a3b3=20,a3b3=1,ab=1.由基本不等式可得a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b时等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.的展开式中的有理项共有________项.【解析】因为T r+1=()8-r=,所以r为4的倍数,故r=0,4,8,共3项.答案:37.(2020·贵阳模拟)的展开式中x3的系数为-84,则展开式的各项系数之和为________.【解析】二项展开式的通项T r+1=x9-r=a r x9-2r,令9-2r=3,得r=3,所以a3=-84,解得a=-1,所以二项式为,令x=1,则(1-1)9=0,所以展开式的各项系数之和为0.答案:08.设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中含x的项为________.【解析】由已知条件4n-2n=240,解得n=4,T r+1=(5x)4-r=(-1)r54-r,令4-=1,得r=2,则展开式中含x的项为T3=150x.答案:150x三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3).(1)求展开式中x2的系数.(2)求展开式中系数之和.【解析】(1)展开式中x2的系数为+++…+=+++…+=++…+=++…+=…===.(2)展开式中的系数之和为f(1)=2+22+23+…+2n==-2.10.已知的展开式中,前三项系数成等差数列.(1)求n.(2)求第三项的二项式系数及项的系数.(3)求含x项的系数.【解析】(1)因为前三项系数1,,成等差数列.所以2·=1+,即n2-9n+8=0.所以n=8或n=1(舍).(2)由n=8知其通项为=.()8-r.=..,r=0,1, (8)所以第三项的二项式系数为=28.第三项的系数为·=7.(3)令4-r=1,得r=4,所以含x项的系数为·=.……………………20分钟40分1.(5分)(2020·绵阳模拟)若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于( )A. B. C.1 D.2【解析】选 D.的展开式的通项公式为T r+1=·x10-r·=·x10-2r,令10-2r=4,解得r=3,所以x4项的系数为.令10-2r=6,解得r=2,所以x6项的系数为.所以(x2-a)的展开式中x6的系数为-a=30,解得a=2.2.(5分)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-40B.-20C.20D.40【解析】选D.令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a, 所以1+a=2,所以a=1,所以==x+,所以展开式中常数项为的与x的系数和,因为展开式的通项为T r+1=(-1)r25-r x5-2r,令5-2r=1得r=2;令5-2r=-1得r=3,所以展开式中常数项为8-4=40.3.(5分)设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a 和b对模m同余,记为a≡b(modm).若a=+·2+·22+…+·220,a≡b(mod10),则b的值可以是( )A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021【解析】选D.a=+·2+·22+…+·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1,又a≡b(mod10),所以b的值可以是2 021.【变式备选】1.72 015+72 014+72 013+…+·7除以9得余数是________.【解析】原式=(7+1)2 015-1=82 015-1=(9-1)2 015-1=92 015-92 014+92 013-…+·9-2,所以除以9所得余数为7.答案:72.求证:4×6n+5n+1-9能被20整除.【证明】4×6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+5n-2+…+)+(4n-1+4n-2+…+)],是20的倍数,所以4×6n+5n+1-9能被20整除.4.(5分)(2020·梧州模拟)展开式中的常数项为________.【解析】展开式的通项公式为T r+1=·.令r=5,得常数项为=1,令r=3,得常数项为·2=20,令r=1,得常数项为·=30,所以展开式中的常数项为1+20+30=51. 答案:515.(10分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求正数a的值.【解析】设的展开式中的常数项为T r+1,则T r+1==,令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=·=16,又(a2+1)n展开式的各项系数之和为2n,由题意,得2n=16,所以n=4,所以(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,从而(a2)2=54,所以a=.6.(10分)已知二项式.(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数.(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.【解析】(1)由题意可得+=2,整理得n2-21n+98=0,解得n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,所以T4的系数为··23=,T5的系数为··24=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,所以T8的系数为··27=3 432.(2)由题意可得++=79,整理得n2+n-156=0.解得n=12或n=-13(舍去).设项的系数最大,因为=(1+4x)12,所以解得9.4≤k≤10.4,所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=··210·x10=16 896x10.关闭Word文档返回原板块。
2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练58算法与算法框图理北师大版
故选 B.]
5．(2017 ·全国卷Ⅲ ) 执行如图 9-1-20 所示的算法框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入
的正整数 N的最小值为 ( )
A． 5
图 9-1-20 B． 4
C． 3 D [ 假设 N＝2，算法执行过程如下： t ＝ 1，M＝ 100，S＝ 0，
D． 2
100 1≤2， S＝ 0＋ 100＝ 100，M＝－ 10 ＝－ 10，t ＝ 2，
的值为 (
)
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A． 4 C． 2
图 9-1-17 B． 3 D．－ 1
a( a－ b) ， a≥ b， A [ 由算法框图可知， S＝
b( a＋ 1) ， a＜ b，
5π
5π
因为 2cos 3 ＝1,2tan 4 ＝ 2,1 ＜2，
5π
5π
所以 2cos 3 ? 2tan 4 ＝2×(1 ＋ 1) ＝ 4.]
10．执行如图 9-1-25 所示的算法框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 ________.
【导学号： 79140321】
图 9-1-25 3 [ 由 x2－ 4x＋3≤0，解得 1≤ x≤3. 当 x＝1 时，满足 1≤ x≤3，所以 x＝ 1＋ 1＝2， n＝ 0＋ 1＝ 1； 当 x＝2 时，满足 1≤ x≤3，所以 x＝ 2＋ 1＝3， n＝ 1＋ 1＝ 2； 当 x＝3 时，满足 1≤ x≤3，所以 x＝ 3＋ 1＝4， n＝ 2＋ 1＝ 3； 当 x＝4 时，不满足 1≤ x≤3，所以输出 n＝ 3.]
5 无解，所以满足条件的实数 x 的个数为 3 个，故选 C.]
7．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的
2021高考江苏版(理)数学一轮复习： 第7章 第36课 课时分层训练36
课时分层训练(三十六)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于________． n 2＋1－12n [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ， 那么S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．假设S 10＝50，那么数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为________．120 [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.]3．中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．〞其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里．96 [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，那么a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，那么a 2＝96，即第二天走了96里．] 4．数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列的前16项之和S 16等于________.【导学号：62172197】7 [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.] 5．函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 2 017＝________.2 018－1 [由f (4)＝2得4a ＝2，解得a ＝12，那么f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.]6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N ＋，那么S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π2，n ∈N ＋，显然每连续四项的和为0. S 2 016＝S 4×504＝0.]7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列〞，假设a 1＝2，{a n }的“差数列〞的通项公式为2n ，那么数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.【导学号：62172198】2n ＋1－2 [∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.]8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N ＋)，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋ (12)⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.]9．(2021·南通三模)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N ＋)，那么∑k ＝1100(a k a k ＋1)的值为________．100101[∵(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1， ∴a n －a n ＋1＝a n a n ＋1， ∴1a n ＋1－1a na 1＝1，∴1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×1＝n .∴a n ＝1n .∴a k ·a k ＋1＝1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，∴∑k ＝1100(a k a k ＋1)＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 100a 101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101.]10．(2021·苏州模拟){a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，那么|T n |取得最小值时的n 的值为________．5或6 [由a 5＝15，a 10＝－10，得d ＝a 10－a 510－5＝－10－1510－5＝－5，那么a n ＝a 5＋(n －5)×(－5)＝40－5n ， ∴a n ＋5＝40－5(n ＋5)＝15－5n ， ∴T n ＝6(40－5n ＋15－5n )2＝165－30n .当|T n |＝0时，n ＝112，又n ∈N ＋故当n ＝5或6时，|T n |取得最小值．] 二、解答题11．数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：S n <2. 【导学号：62172199】 [解] (1)∵当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 得a na n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 2a 1＝13.将上述式子相乘得a na 1＝2n (n ＋1).又a 1＝21×(1＋1)＝1，∴a n ＝2n (n ＋1).(2)证明：∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2－2n ＋1， ∴S n <2.12．(2021·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．[解] (1)设{a n }的公差为d ，据有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．数列{a n }中，a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ，那么{a n }的前100项和为________．1 289 [由a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ， 得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，∴a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 98＋a 99) ＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276， ∵a 100＝1＋a 50＝1＋(1＋a 25) ＝2＋(12－a 12)＝14－(1＋a 6)＝13－(1＋a 3)＝12－(1－a 1)＝13， ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝1 276＋13＝1 289.]2．等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，那么数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n ＝________.(n －1)·2n ＋1 [∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1， ∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，②∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.]3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，那么a 2a 1＝3.∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n .(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n ， ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1. ∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n . ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ] ＝(n －1)·3n ＋1＋3.4．(2021·无锡期中)数列{a n }，{b n }是正项数列，{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，{b n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＋1，a 3＝b 3－2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n ＋1S n ·S n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n ；(3)设d n ＝a 2nb n ＋1，假设d n ≤m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)设公差为d ，公比为q ，由得a 1＝b 1＝1，d ＝q,2d ＝q 2－3， 解之得：d ＝q ＝3，a n ＝3nb n >0，故b n ＝3n －1. (2)S n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1－3n 1－3＝3n －12，所以c n ＝4·3n(3n －1)(3n ＋1－1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1， T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－18＋18－126＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1－1.(3)d n ＝a 2nb n ＋1＝(3n －2)23n ，d n ＋1－d n ＝(3n ＋1)23n ＋1－(3n －2)23n ＝－18n 2＋42n －113n ＋1. 当n ＝1,2时，d n <d n ＋1， 当n ≥3，n ∈N ＋时，d n >d n ＋1，又因为d 1＝13，d 2＝169，d 3＝4927，d 4＝10081，所以m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4927，＋∞.。
2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练39平行关系文北师大版
(2) 由 (1) 可知， PA∥平面 BMQ，所以点 P 到平面 BMQ的距离等于点 A 到平面 BMQ的距离，
V V V 所以 ＝ ＝ ， P- BMQ
A- BMQ
M- ABQ
1 取 CD的中点 K，连结 MK，所以 MK∥ PD， MK＝ 2PD＝ 1，
又 PD⊥底面 ABCD，所以 MK⊥底面 ABCD．
C 正确；
对于 D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故
D 不正确． ]
2．下列四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N，P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥平面 MNP的图形的序号是 ( )
图 7-4-6
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
C [ 对于图形①，平面 MNP与 AB所在的对角面平行，即可得到 AB∥平面 MNP；对于图
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图 7-4-11 [ 解 ] (1) 证明：设 AC∩ BD＝O，取 BE中点 G，连接 FG，OG，
1 所以， OG∥DE，且 OG＝ 2DE.
因为 AF∥ DE， DE＝ 2AF， 所以 AF∥ OG，且 OG＝ AF， 从而四边形 AFGO是平行四边形， FG∥OA．
] 3．(2018 ·湘潭模拟 ) 如图 7-4- 13，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥ BC，
PD⊥底面 ABCD，∠ ADC＝90°， AD＝2BC， Q为 AD的中点， M为棱 PC的中点． (1) 证明： PA∥平面 BMQ； (2) 已知 PD＝ DC＝ AD＝ 2，求点 P 到平面 BMQ的距离．
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课时分层训练(三十六)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组 基础达标一、选择题1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )C [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画图可知选C.]2．(2018·北京东城区综合练习(二))在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y所表示的平面区域的面积为( )【导学号：79140201】A ．1B ．2C ．4D ．8A [不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为12×2×1＝1，故选A.]3．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0,6] B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.]4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，所以2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]5．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型客车不多于A 型客车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元C [设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点．当目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 对应的直线经过点A (5,12)时，z 取得最小值，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.故租金最少为36 800元，选C.] 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．－5 [作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z2.作出直线l 0：y ＝32x ，并平移l 0，知当直线y ＝32x －z2过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋y ＋1＝0，得A (－1,1)，所以z min ＝3×(－1)－2×1＝－5.]7．(2017·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.【导学号：79140202】5 [画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y＝m 上，所以m ＝5.]8．(2017·河南、湖北、山西三省联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＞0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 [不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因点D (2,3)与B (8,1)连线的斜率为－13且C的坐标为(2，－2)，故由图知z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13. ]三、解答题9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图631所示．图631(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．[解] (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]＜0， 即(14－a )(－18－a )＜0， 解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.【导学号：79140203】[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2， 过C (1,0)取最大值1， 所以z 的最大值为1， 最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．B 组 能力提升11．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为12，则z 的最小值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．3D ．6B [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y ＝k得A (k ，k )，易知目标函数z ＝x ＋y 在点A 处取最大值，则12＝k ＋k ，故k ＝6，所以B (－12,6)，又目标函数z ＝x ＋y 在点B 处取最小值，∴z 的最小值为－6，故选B.]12．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________.【导学号：791400204】[－2,2] [作出满足不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．]13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分中的整数点．(1) (2)(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。