全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)六
2021高考小题训练多抢分与答案 (6)
2021高考小题训练多抢分与答案（6）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604075)(2017·十堰调研)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 2．(2017·咸宁摸底考试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |4x ＋3>0}，则A ∩∁U B ＝( )A.⎣⎡⎭⎫－34，3B.⎝⎛⎦⎤－1，－34 C.⎝⎛⎦⎤－3，－34 D.⎣⎡⎭⎫34，3 3．(导学号：50604076)(2017·玉林一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 4．(2017·江门调研)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) A.433 B ．4 3 C.833D ．8 35．(2017·广元质检)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )A ．20B ．25C ．22.5D ．22.756．(导学号：50604077)(2017·梧州一模)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．207．已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n －1＝2a n ()n ≥2，n ∈N *，则数列{}a n 的前6项和为( )A ．63B ．127 C.6332 D.127648．(2017·益阳二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线()2＋λx －()3＋λy ＋()1－2λ＝0()λ∈R 过定点A ()x 0，y 0，则z ＝y －y0x －x 0的取值范围为()A.⎣⎡⎦⎤15，7B.⎣⎡⎦⎤17，5 C.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[)7，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，17∪[)5，＋∞9．(导学号：50604078)(2017·鹤壁质检)已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB ＝2，AC ＝4，BC ＝25，三棱锥O －ABC 的体积为83， 则球O 的表面积为( )A ．22π B.74π3C ．24πD ．36π10．(2017·宜昌调研)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1 B.3＋1 C. 3 D ．311．(2017·滨江联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|>π2的最小正周期为π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 12．(导学号：50604079)设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“Ω函数”．给出下列四个函数：①y ＝sin x ；②y ＝2x ；③y ＝1x －1；④f (x )＝ln x ．则其中“Ω函数”共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2017·南昌二模)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.14．(导学号：50604080)(2017·吉安调研)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x 为奇函数，则实数a ＝________.15．16．(导学号：50604081)(2017·济宁联考)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．小题训练多抢分(一)1．A 由1＋z 1－z ＝i 得，z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝i ，故|z|＝1.2．B A ＝(－1,3)，∁U B ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－34，A ∩∁U B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－34. 3．B 由题意得f(0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.f(－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f(－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f(f(－3))＝f(9)＝log 39＝2.4．A 该几何体为正四棱锥，高为3，故V ＝13×4×3，选A .5．C 产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5得，x ＝22.5.6．C ∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6， ∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x6－2r， 令6－2r ＝0，即r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.7．C 因为a 1＝1，a n －1＝2a n ()n ≥2，n ∈N *，∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴S 6＝1－(12)61－12＝6332.8．B 依题意，直线()2＋λx －()3＋λy ＋()1－2λ＝0()λ∈R 可以转化为2x －3y ＋1＋λ()x －y －2＝0，联立⎩⎨⎧ 2x －3y ＋1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝7，y 0＝5，故z ＝y －5x －7；作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知z ＝y －5x －7表示阴影区域内的点与A ()7，5两点连线的斜率，故k AD ≤z ＝y －5x －7≤k AC ，即17≤z ＝y －5x －7≤5，故z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为⎣⎡⎦⎤17，5，故选B.9．D ∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的外接圆圆心为BC 中点D ，∴V O －ABC ＝13·S ABC·OD得OD ＝2，∴OA ＝3，∴球O 的表面积为4π×9＝36π，故选D. 10．C ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝a sin A ＝3sin 2π3＝2，∴R ＝1，∴S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )，故S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.11．B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象， 又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．12．C ∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )，等价于∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＋f (y )＝0成立；①因为y ＝sin x 是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，即当y ＝－x 时，f (x )＝－f (y )成立，故y ＝sin x 是“Ω函数”； ②因为y ＝2x >0，故f (x )＋f (y )＝0不成立，所以y ＝2x 不是“Ω函数”；③y ＝1x －1时，若f (x )＋f (y )＝0成立，则1x －1＋1y －1＝0，整理可得y ＝2－x ，(x ≠1)即当y ＝2－x (x ≠1)时，f (x )＋f (y )＝0成立，故y ＝1x －1是“Ω函数”；④f (x )＝ln x 时，若f (x )＋f (y )＝0成立，则ln x ＋ln y ＝0，解得y ＝1x ，即y ＝1x时，f (x )＋f (y )＝0成立，故f (x )＝ln x 是“Ω函数”．13.43 由a ∥b 得sin θ＝－2cos θ，所以tan θ＝－2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－41－4＝43. 14．－1 因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21－x ＝－lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x ⇒a ＋21＋x ＝1a ＋21＋x⇒a ＋21－x ＝1＋x a (1＋x )＋2⇒1－x 2＝(a＋2)2－a 2x 2⇒a ＝－1.15．7 运行该程序，第一次，S ＝270，i ＝3；第二次，S ＝243，i ＝5；第三次，S ＝0，i ＝7.16.52 由双曲线的方程可知，渐近线为y ＝±bax ，分别与x －3y ＋m ＝0(m ≠0)联立，解得A ⎝⎛⎭⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝⎛⎭⎫－am a ＋3b ，bma ＋3b ，由|P A |＝|PB |，设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，PQ 与已知直线垂直，故y Q x Q ＝－3，则e ＝c a ＝52.。
全国名校高三数学综合优质试题汇编(附详解) 平面解析几何
全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解） 平面解析几何 考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页.2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟，满分160分.4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上.)1.直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α＝________. 2.若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为__________.3.直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长为________.4.(优质试题·常熟模拟)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为________. 5.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB ＝________.6.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为________.7.已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为________.8.M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若MF ＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO ＝________.9.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k 的值为____________.10.(优质试题·昆山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.11.(优质试题·常州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是__________.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1－1e2＝______.13.过双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得AB＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是____________.14.(优质试题·南通模拟)设直线l：3x＋4y＋4＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是____________.第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于点B，圆C过点A且与l1，l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标.16.(14分)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值.17.(14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线.18.(16分)(优质试题·镇江模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径.19.(16分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？20.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP →＝2AO →.(1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP →＝mBC →，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值.答案精析1.2π3解析 因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3，即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3. 2．(0,2)解析 OP ＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．3．4 5解析 由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5.4．2 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1， 即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝c a ＝1＋31＝2. 5.135解析 直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0， 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25. ∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25.6.85 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*) 联立直线和圆的方程，消去y 得5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85. 7．6π解析 由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)，∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7， ∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.8．45°解析 设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于MN ＝MF ＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°.9.223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)，由AF ＝2FB 得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)， 消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，② x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223. 10．4 5解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2,0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455， 所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5. 11．(2，＋∞)解析 AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)．12．2解析 由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c， 所以1e 1－1e 2＝4c 2c＝2. 13.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 根据题意过双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得AB ＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <AB ＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a>AB ＝4，并且2a <4，解得0<a <12. 14．[2，＋∞)解析 由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2，所以r 的取值范围是[2，＋∞)．15．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝CA ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2， 故B ′(－23，2)． 由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 16．(1)解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，*把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程*，得x 24＋y 2＝1， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 方法一 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2) ＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1 ＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34. 所以k 1k 2＝－34为定值． 方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32，所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 易知Δ＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34， 所以k 1k 2＝－34为定值． 17．(1)解 由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2， 其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22， 所以12＋12b2＝1，解得b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率．所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1， 所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2， 又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， 所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．18．解 (1)若a ＝－8，则圆M ：(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1,0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，化简为kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离d ＝|k －4k ＋5|k 2＋1＝3， 解得k ＝815.此时切线方程为8x －15y ＋43＝0. 综上，所求切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1,0)，则OM ＝1.设圆的半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2.又因为OA →·OB →＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.19.解 如图，分别以两条道路所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy ，设A (a ，0)，B (0，b )(0<a <1,0<b <1)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 与圆C 相切， 所以|b ＋a －ab |b 2＋a2＝1， 化简得ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2.因为AB ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝(a ＋b －2)2， 因为0<a <1,0<b <1，所以0<a ＋b <2，所以AB ＝2－(a ＋b )．又ab ＝2(a ＋b )－2≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 解得0<a ＋b ≤4－22或a ＋b ≥4＋2 2.因为0<a ＋b <2，所以0<a ＋b ≤4－22，所以AB ＝2－(a ＋b )≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 的最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.答 当A ，B 两点离道路的交点都为(2－2)百米时，小道AB 最短．20．解 (1)因为OP →＝2AO →，又点P 的坐标为(2，2)，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 代入椭圆方程，得1a 2＋12b2＝1.① 又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)．因为OP →＝2AO →，所以点P 的坐标为(－2x 1，－2y 1)．因为BP →＝mBC →，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1－x 2＝m (x 3－x 2)，－2y 1－y 2＝m (y 3－y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1，代入椭圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1mx 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝⎛⎭⎫x 21a 2＋y 21b 2＋(m －1)2m 2⎝⎛⎭⎫x 22a 2＋y 22b 2－ 4(m －1)m 2⎝⎛⎭⎫x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝1.③ 因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.④ 又直线OA ，OB 的斜率之积为－12， 即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0.⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋(m －1)2m 2＝1，解得m ＝52.。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)02
全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）高三4月短卷第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.2．设是周期为4的奇函数，当时，，则( )A.B.C.D.3．设变量,x y 满足约束条件20{20 1x y x y y +-≥--≤≤，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 4．若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为A.B.C.D.5．已知O 是△ABC 内部一点， 0OA OB OC ++=， 2AB AC ⋅=且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（ ）A.3 B. 12C. 2D. 236．下列命题是真命题的是 （ ） A. 已知随机变量，若，则B. 在三角形中，是的充要条件C. 向量，则在的方向上的投影为D. 命题“或为真命题”是命题“且为假命题”的充分不必要条件7．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49．已知函数，若的两个零点，满足，则的值为（ ）A. B. C. D.10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将到这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（ ）A.项 B. 项 C.项 D. 项11．已知函数()2xf x me x nx =++， (){}()(){}00x f x x f f x φ===≠，则m n +的取值范围为（ ）A. ()0,4B. [)0,4C. []0,4 D. ()4,+∞12．已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. B.C.D.全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）第II 卷（非选择题）二、填空题 13．二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)14．有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 15．已知、是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，轴，，则双曲线的离心率为__________.‘16．将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行 左数第10个数为______________三、解答题17．函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象．（1）求函数()y g x =的解折式； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外 接圆的半径2R =，求ABC ∆的面积的最大值．18．依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）19．已知数列{}{},n n a b 分别是等差数列与等比数列，满足11a =，公差0d >，且2263224,,a b a b a b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，设{}n c 的前n 项和为n S ， 求证： 20182018(S e e ≥是自然对数的底数）20．已知函数()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其中 2.718e =为自然对数的底数，常数0a >．（1）求函数()f x 在区间()0,+∞上的零点个数；（2）函数()F x 的导数()()()xF x e a f x '=-，是否存在无数个()1,4a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点？说明理由．短卷02参考答案1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．B 【解析】根据条件得到表示的是曲线，上两点的距离的平方，∵y=x 2﹣lnx ，∴y′=2x ﹣（x ＞0），由2x ﹣=1，可得x=1，此时y=1，∴曲线C 1：y=x 2﹣lnx 在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=x ﹣1，即x ﹣y=0， 与直线x ﹣y ﹣2=0的距离为=，∴的最小值为2．故答案为B ．9．C 【解析】依题意可得函数的周期为,所以,故选.。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)高三数学解答题训练6
1．(本小题满分12分)(优质试题·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．2．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738， 所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35， P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.3．在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若二面角A -PC -D 的大小为45°，求AP 的值．解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝BC －AD 2＝1， DE ＝DC 2－CE 2＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°.所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥BD ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH .由(1)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥DH .故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝45°.由∠DBC ＝∠BCA ＝45°，BC ＝4，得OC ＝2 2.同理可得OA ＝2，从而得AC ＝3 2.设P A ＝x ，则PC ＝x 2＋18.在Rt △DOH 中，由DO ＝2，∠DHO ＝45°，得OH ＝ 2.在Rt △P AC 中，由P A PC ＝OH OC ，可得x x 2＋18＝222， 解得x ＝6，即AP ＝ 6.法二：由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0，22，0)，D (－2，0,0)．由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设向量m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，由CD →＝(－2，－22，0)，PD →＝(－2，2，－t )，m ·CD →＝m ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －22y ＝0，－2x ＋2y －tz ＝0.令y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，32t . 又平面P AC 的法向量n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝25＋18t 2＝22，解得t ＝6，即AP ＝ 6.4.(优质试题·吉林省吉林市模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3 .(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围.10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，整理得：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2x －2y －1＝0， 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2 －2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得：t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0 ，∴t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝8＋4sin 2α ， ∵α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴|AB |∈[22，23).。
高三数学名校试题及答案
高三数学名校试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 4C. 2D. -22. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2}D. {2, 3, 4}3. 若直线y = 2x + 3与直线y = -x + 5平行，则它们的斜率k1和k2的关系为：A. k1 = k2B. k1 > k2C. k1 < k2D. k1 ≠ k24. 已知等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第五项a5为：A. 162B. 108C. 72D. 54二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f'(x)的值为______。
6. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标为______。
7. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积为______。
8. 已知等差数列的前三项为2，5，8，求它的通项公式为______。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的单调区间。
10. 已知直线l1：y = 2x + 1与直线l2：y = -x + 2相交，求交点坐标。
11. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 6)，C(7, 10)，求三角形的面积。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的极值点。
四、附加题（10分）13. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求函数在区间[0, π]上的值域。
答案：一、选择题答案1. B2. B3. A4. A二、填空题答案5. 3x^2 - 12x + 96. (2, 3)7. -258. a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1三、解答题答案9. 单调递增区间为(-∞, 1)和(2, +∞)，单调递减区间为(1, 2)。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)四
理科数学短卷训练一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集R U =，集合},0)1)(4(|{R x x x x A ∈≤+-=，集合},0|{R x x x B ∈>=，则=)(B C A U （ ） A ． ]4,0( B ． ]0,1[- C ． ]1,(--∞ D ．]1,4[--2.设复数z 满足5)2(=+z i ，则=||z （ ） A ． 3 B ． 2 C ． 5 D ．33. 下列命题正确的有（ ）①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题p ：“05,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝：“05,R 2≤--∈∀x x x ”； ③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N , 若p P =>)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ； ④回归直线一定过样本中心（y x ,）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 33)11()1(xx --展开式中的常数项是( ) A.20- B ．18 C ．20 D ．05.已知角)2,0(πα∈，且0cos 2cos 2=+αα，则=+)4tan(πα（ ） A ． 223-- B ． -1 C. 223- D ．223+ 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的c 的值是( )A ．8B ．13C ．21D ．347. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的做焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C. 43 D ．23 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 4B ． 3 C. 2 D ．19.已知点)3,4(A 和点)2,1(B ，点O 为坐标原点，则)(||R t OB t OA ∈+的最小值为（ ） A ． 25 B ． 5 C. 3 D ．510.设点C B A ,,是半径为2的球O 的球面上的三个不同的点，且BC OA ⊥，3=BC ，0120=∠BAC ，则三棱锥ABC O -的体积为（ ） A ．43 B ． 23 C. 433 D ．3 11. 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8个格子的方法种数为（ ）A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 12.已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，)('x f 是)(x f 的导函数，若)('2)(2)(')(x f x f xx xf x f +≥+，且2)2('=f ，那么=)2(f （ ） A ． 0 B ． -2 C. -4 D ．-6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数)0(cos 3sin >+=ωωωx x y 在区间]6,0[π上的最小值为-1，则=ω ．15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为21,F F ，若C 上一点P 满足||||2121F F PF PF =+，且||2||21PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 ． 14.函数()y f x =为定义在R 上的减函数，函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称，x,y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，(1,2)M ,(,)N x y ,O 为坐标原点，则当14x ≤≤时，OM ON ∙的取值范围为16. 设集合M {}123,,...n a a a a =（n N *∈），对M 的任意非空子集A ，定义()f A 为A 中的最大元素，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应()f A 的积为n T ，若12n n a -=，则_____n T =（用n 表示）1 2 3 4 5 6 7 8三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 满足：)(12*1N n n a a n n ∈+-=+，31=a .（1）证明数列)(*N n n a b n n ∈-=是等比数列，并求数列}{n a 的通项； （2）设11++-=n n nn n a a a a c ，数列}{n c 的前n 项和为}{n S ，求证：1<n S .全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）18. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直. 已知2=AB ,1=EF ． (1)求证：平面⊥DAF 平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面CBF 所成的锐二面角的大小为60？FABC DO.E19. 某企业计划投资A ，B 两个项目, 根据市场分析，A ，B 两个项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，X 1和X 2的分布列分别为：X 1 5% 10% P0.80.2(1)若在A ，B 两个项目上各投资1000万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求利润的期望()()12,E Y E Y 和方差()()12,D Y D Y ；(2)由于资金限制,企业只能将x (0≤x ≤1000)万元投资A 项目，1000－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．X 2 2% 8% 12% P0.20.50.320. 已知函数()(1)ax f x x e =+（0a ≠），且2x a=是它的极值点． （1）求a 的值；（2）求()f x 在[]1,1t t -+上的最大值；（3）设()()23ln g x f x x x x =++，证明：对任意1x ，2(0,1)x ∈都有12323|()()|1g x g x e e-<++．。
全国名校高三数学优质学案汇编(附详解)专题函数的图象
答案 D 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数
y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故
选D.
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3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑 步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑 车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离S与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数 图象中,甲、乙的图象应该是 ( B )
考点突破
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Hale Waihona Puke 方法技巧 函数图象的常见画法: (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.
x 2 2 x 1( x 0), (2)y= 2 的图象如图②. x 2 x 1( x 0) x2 3 3 (3)y= =1+ ,先作出y= 的图象, x 1 x 1 x
将其图象向右平移1个单位,
再向上平移1个单位,
x2 即得y= 的图象,如图③. x 1
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与函数图象的对称变换相关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象(y=f-1(x) 表示y=f(x)的反函数). (2)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：诱导公式
全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：诱导公式1．(全国名校·山东师大附中模拟)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.2．(全国名校·广东珠海期末)已知tan (α＋π5)＝2，tan (β－4π5)＝－3，则tan(α－β)＝( )A ．1B ．－57C.57 D ．－1答案 D解析 ∵t an(β－4π5)＝－3，∴tan (β＋π5)＝－3.∵tan (α＋π5)＝2，∴tan (α－β)＝tan [(α＋π5)－(β＋π5)]＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选D.3．(全国名校·湖南永州一模)已知sin (α＋π6)＋cos α＝－33，则cos(π6－α)＝( )A ．－223B.223 C ．－13D.13 答案 C解析 由sin (α＋π6)＋cos α＝－33，得sin (α＋π3)＝－13，所以cos(π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin (α＋π3)＝－13.4．(全国名校·山东，文)函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 ∵y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2(32sin2x ＋12cos2x)＝2sin(2x ＋π6)，∴T ＝2π2＝π.故选C. 5．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4答案 A解析 由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)， ∴tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3.又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3.6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.7．(全国名校·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.8．(全国名校·课标全国Ⅰ，理)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，∴α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β. 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简得sin (α－β)＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin (α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选C.9．(全国名校·湖北中学联考)4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2 D ．22－3答案 B 解析4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin （30°－10°）－cos10°sin10°＝－ 3.故选B.10．(全国名校·四川自贡一诊)已知cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，则sin (α＋π3)＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335D.435答案 A 解析 ∵cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，∴cos (α＋23π)＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin (α＋π3)＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3(32sin α＋12cos α)＝－435.故选A.11．(全国名校·湖南邵阳二联)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3B. 3C ．2D ．3答案 A解析 由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，得sin π12cos 5π12＝sin 5π12cos π12－msin π12cos π12，∴12msinπ6＝sin(5π12－π12)＝sin π3，解得m ＝2 3. 12．(2013·课标全国Ⅱ，理)设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案 －105解析 由tan (θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－13cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－105.13．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.14．求值：1sin10°－3sin80°＝________．答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin （30°－10°）sin20°＝4.15．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.16．(全国名校·北京，理)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos (α－β)＝________．答案 －79解析 方法一：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos (α－β)＝cos(2k π＋π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－[1－2×(13)2]＝－79.方法二：因为sin α＝13>0，所以角α为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(22，1)，则cos α＝223，又(22，1)关于y 轴对称的点(－22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cos β＝－223，此时cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×(－223)＋13×13＝－79.当角α为第二象限角时，可取其终边上一点(－22，1)，则cos α＝－223，因为(－22，1)关于y 轴对称的点(22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cosβ＝223，此时cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－223)×223＋13×13＝－79.综上可得，cos (α－β)＝－79.17．(全国名校·广东深圳测试)2sin46°－3cos74°cos16°＝________．答案 1 解析2sin46°－3cos74°cos16°＝2sin （30°＋16°）－3sin16°cos16°＝cos16°cos16°＝1.18．(全国名校·江苏泰州中学摸底)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值；(2)证明：sin β>513.答案 (1)35(2)略解析 (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－（12）2＝43.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈(0，π2)，解得cos α＝35.(2)证明：由已知得π2<α＋β<3π2.∵sin (α＋β)＝513，∴cos (α＋β)＝－1213.由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－(－1213)×45＝6365>513.19.(全国名校·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B.若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos (α－β)的值； (2)求α＋β的值． 答案 (1)－55 (2)3π4解析 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(1)cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210.(2)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αcos β＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.。
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中学理科数学小题训练六
一、选择题：
1．设集合A={x|x 2
﹣x ﹣6＜0，x ∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x ∈A}，则A ∩B 等于（ ）
A ．{x|0＜x ＜3}
B ．{x|﹣1＜x ＜0}
C ．{x|﹣2＜x ＜0}
D ．{x|﹣3＜x ＜3}
2．命题p ：∃x0∈R ，不等式01cos 0
0<-+x e x 成立，则p 的否定为（ ）
A ．∃x0∈R ，不等式01cos 0
0≥-+x e x 成立 B ．∀x ∈R ，不等式0
1cos <-+x e x 成立
C ．∀x ∈R ，不等式01cos ≥-+x e x 成立
D ．∀x ∈R ，不等式01cos >-+x e x 成立
3．在复平面内复数的模为
，则复数z ﹣bi 在复平面上对应
的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）
A．0 B． C． D．1
6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．2
7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，
∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
若在方向上的投影为，则=
（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，函数离y轴
最近的零点与最大值均在抛物线上，则f （x）=（）
A．B．
C．D．
9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）
A．k＜7？ B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？
10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别
为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）
A．﹣1 B．1 C．32 D．64
11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得
几何体的三
视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）
A．B．C．4 D．
12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）
A．1 B．C．D．
二、填空题：
13．已知函数为偶函数，则实数a= ．
14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，
若，则∠NMF= ．
15．已知实数x、y满足，则的取值范围是．
16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，
则ADsin∠BAD= ．。