高数A(下)(试卷B及答案)
高数-下-期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)注意：1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）。
（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。
极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ）.(A ） 0(B) 1 (C) 2(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。
（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数(C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）。
（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）。
（A)该级数收敛 (B ）该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ）。
（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 （C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分,共14分)．1。
高等数学A(下册)期末考试试题答案【B卷】
高等数学A(下册)期末考试试题【B 卷】（补考卷）参考答案与评分标准 2009年6月（8月）一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1、3π； 2、612x x y C e C e -=+； 3、113210x y z ---==-； 4、14xy +； 5、12a ．二. 试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：该平面的法线向量12137231ij kn i j k =-=---- (3)∴所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0x y z -+-+-=，即37280x yz ++-= (7)2、解：令 1t x =-，则级数化为为nn∞=..…【1】 1lim1n n n n a a ρ+→∞===，………………..…【3】 1R ⇒=，收敛区间1t <即02x << (4)当2x =时，级数成为1n ∞=0x =时，级数成为1n n ∞=，收敛....【6】 ∴所求的收敛域为[0,2).. (7)3、解：{}(,)01D xy x y=≤≤≤≤， (2)∴原式10dy =⎰ (4)133/210011(1)|29y y ==+=⎰ ………………【7】 4、解：2111()3212f x x x x x==-++++ (1)又01(1)(1)1n nn x x x ∞==-<+∑ (3)1001111(1)()(1)(2)221/2222n n n n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<++∑∑………【5】 ∴21100011()(1)(1)(1)(1)(1)3222n n n n n n n n n n n x f x x x x x x ∞∞∞++=====---=--<++∑∑∑ (7)5、解：1222zxf yf x∂''=+∂ …………【2】 2zx y∂∂∂1112221222[(2)2]22[(2)2]x f y f x f y f y f x '''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅ …………【6】 22212221124()4()f x y f xy f f '''''''=+-+- …………【7】 三、【9分】解：令23639026180x yf x y f y x ⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点(5,6)，(1,6)- (4)又6,6,2xx xy yy A f x B f C f ====-==.在驻点(5,6)处，2240,AC B -=>且300A =>，∴该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f =-.….…【7】 在驻点(1,6)-处，2240,AC B -=-<∴该函数在(1,6)-处没有极值. ………………【9】 四、【10分】解：联立z =与22z x y =+消去z ，解得221x y +=，从而该立体Ω在xOy 面上的投影区域{}22(,)1xy D x y x y =+≤． (2)故所求的体积为221V dv d d πρθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰ (6)1202)d πρρρ=⎰1423/20172(2)346ρπρπ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦ (10)五、【10分】取1∑为1z =22(1)x y +≤的上侧，记Ω为由∑与1∑所围成的空间闭区域.由高斯公式，12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰ (4)2()2x y dv zdv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2221002x y zzdzdxdy +≤=+⎰⎰⎰13022z dz ππ==⎰ (6)又221122221x y x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)∴22I πππ=-=- (10)六、【10分】解：(1)证:令 211(,)[1()]()P x y y f xy yf xy y y=+=+，222(,)[()1]()x xQ x y y f xy xf xy y y=-=-. 则当0y >时，21()()P f xy xyf xy y y ∂'=-++∂，21()()Q f xy xyf xy x y∂'=+-∂. ……………【4】 从而P y ∂∂、Q x ∂∂在上半平面内处处连续，且恒有Q P x y∂∂=∂∂. ∴曲线积分I 在上半平面内与路径无关 (5)（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点2(3,)3A 到(3,2)B ，再到(1,2)C 的折线段，则2221[1()][()1]AB BC xI y f xy dx y f xy dy y y+=++-⎰212223331[(3)1][14(2)]2y f y dy f x dx y =-++⎰⎰……………….【8】 212122/333313(3)3[][]2(2)2x f y dy f x dx y =+++⎰⎰62264()()4f t dt f t dt =-++=-⎰⎰ (10)七、【6分】证明：所给级数的部分和11223341()()()(1)()n n n n s u u u u u u u u ++=+-+++-+-+111(1)n n u u ++=+- (3)又由lim 1n n nu →∞=，得1lim lim lim0n n n n n u nu n→∞→∞→∞=⋅=，……………【4】 从而1n s u → （n →∞） ∴ (5)因此，所给级数收敛. (6)。
200X高数A(下)(试卷B及答案)
海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A 》（下）试题(B 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）阅卷教师：200 9 年 月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。
一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
1、设向量()()121112αβαβ--------------=-=⨯=，，，，，，则向量积；2、(31)(831)Lx y dx y x dy -+++-=⎰______，其中L 为圆盘222x y R +≤的正向边界曲线； 3、改变积分的次序1(,)dy f x y dx =⎰_______________；4、设曲面∑是下半球面z =()222____________xy z dxdy ∑++=⎰⎰；5、若级数21k n n ∞-=∑发散，则有___________k ；二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）（ ）1、设()()2,1,2,4,1,10,,,a b c b a a c λλ==-=-=且垂直于则(A) 3 ; (B) -3 ; (C) 2 ; (D) -2 . （ ）2、函数(,)f x y =(0,0)处为(A) (,)f x y 不连续. ( B),f fx y∂∂∂∂存在. (C) (,)f x y 可微. ( D) (,)f x y 沿着任一方向的方向导数存在.（ ）3、交换积分次序11(,)x dx f x y dy -+=⎰11()(,)x A f x y dx +-⎰11()(,)x B dy f x y dx -+⎰11()(,)y C dy f x y dx -⎰⎰110()(,)y D dy f x y dx -⎰ 、（ ）4、 幂级数n n n x )21(0∑∞=的收敛半径是（ ）(A) 3 , (B) 2 ,(C) 21, (D) 31（ ）5、两直线23111:,11112:21-=-+=+=-=z y x L z y x L 之间的夹角为 (A) 3π; (B) 4π; (C) 6π; (D) 23arccos .三 、计算题（每小题6分，共48分）1、设22(,)x y t yf x y e dt +=⎰，求()()()''"1,2,1,21,2x y xy f f f 及和(,)df x y 。
《高等数学(Ⅱ)》B类练习题答案
《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂， ； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ， ； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（ ；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（ ； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对 对 对 错 错 6—10：对 对 错 对 对 11—15：对 错 对 对 对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分 （1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分 （1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分 （2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分 （3） 解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分 （7） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8） 解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10） 解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分 分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分 微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分 两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分 微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分 两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分 微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分 两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分 微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数） （6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数） （8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、 求下列函数的极值 （1）解： 解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分 又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2） 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。
2011年福建农林大学高数B2试题A与答案
《高等数学B2》试题A 与答案一、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题3分，共18分）1．将zOx 面上的曲线221x z -=绕x 轴旋转一周所得到的曲面是（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）抛物面2．偏导数00(,)x f x y 与00(,)y f x y 都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）非充分且非必要条件3．函数y z x =在点(,1)e 的全微分(,1)e dz =（ ） （A ）dx dy + （B ）dx edy + （C ）edx dy + （D ）edx edy +4．若区域22:1D x y +≤，则D f d σ=⎰⎰（ ） （A ）102()f d πρρρ⎰ （B ）104()f d πρρρ⎰ （C ）1202()f d πρρ⎰ （D ）104()f d πρρ⎰ 5．若级数111(1)n p n n∞-=-∑条件收敛，则正数p 的取值范围是（ ） （A ）01p <≤ （B ）01p << （C ）1p ≥（D ）1p > 6．设级数11(1)2n n n u ∞-=-=∑，2115n n u ∞-==∑，则1n n u ∞==∑（ ） （A ）3 （B ）7 （C ）8 （D ）9二、填空题（每小题3分，共12分）1．设向量(2,1,2)a = ，(4,1,10)b =- ，且b a λ- 与a 垂直，则λ=___________．2．设2(,)(f x y x y =+-(,1)x f x =_________． 3．若()u x y z =+，x z z e +=，则2u x y∂=∂∂ ．4．若区域22:1D x y +≤，则(sin 1)D x d σ+=⎰⎰_______ ___ ．三、计算题（每小题8分，共64分）1．一平面过两点(1,1,1)A 和(0,1,1)B -且与已知平面0x y z ++=垂直，求其方程．2．设函数()yz xy xf x =+，其中f 可导，求z x ∂∂，z y ∂∂，并验证z z x y xy z x y∂∂+=+∂∂． 3．设函数(,)z f x y =由232x z z e y -=+所确定，求3?z z x y∂∂+=∂∂ 4．求函数33(,)3f x y x xy y =-+的极值．5．求二次积分2220y x dx e dy -⎰⎰． 6．求二重积分22Dx y d x y σ++⎰⎰，其中D 由221x y +≤及1x y +≥确定． 7．判别级数12sin3n n n π∞=∑是否收敛．8．求幂级数nn ∞=的收敛域（要考虑端点）． 四、证明题（共6分） 把函数1()1x f x x+=-，2()x g x e =展开成x 的幂级数，并证明： 当01x <<时，211x x e x +>-．答案：一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．B ． 2．D ． 3．B ． 4．A ． 5．A ． 6．C ．二、填空题（每小题3分，共12分）1．3． 2．2x ． 3．1． 4．π．三、计算题（每小题8分，共64分）1．20x y z --=．2．略．3．2．4．(0,0)f 不是极值；极小值(1,1)1f =-．5．41(1)2e --． 6．22π-．7．收敛．8．[0,2)．四、证明题（共6分）提示：23()1222f x x x x =++++ ，（01x <<）；232322()122!3!g x x x x =++++ ，（x -∞<<+∞）．。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。
04-05-2高数AB期末试卷答案
04-05-2高数AB 试题答案一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．0, 一； 2．21x Cx +； 3． 1e 4-； 4． 1； 5．343。
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1． A; ２．Ｂ 3． D; 4．C. 三. (每小题7分,共35分) 1.16 2. 42(4360)3y x x y =+-+=或3. 原式 =()()20sin cos d 3sin cos d 222x x x x x x πππππ==⎰⎰分分4.12 5. cos sin cos 2xy x x x x =-+- 四.(8分) ()()()e221ln d (1ln )d ttV t x x x x ππ=+-⎰⎰()()()()22e 1ln 2ln 2ln 2ln 2e t tx x x x xx x x x xt π⎡⎤=-+--++-⎢⎥⎣⎦()()22ln 4ln 32t t t t t π=-+-()()()22ln 10,,0V t t t V π⎛⎫'''=-==> ⎪ ⎪⎝⎭令得且,因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.五.(7分) 提示：设t a b =,原不等式等价于2(1)ln ,11t t t t ->>+, 即等价于 ()(1)ln 2(1)0,1f t t t t t =+-->>。
（用函数单调性证明） 六.(7分) 由题知()10-='f ,所给方程变形为()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11，两端对x 求导并整理得(1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得()e 1xC f x x-'=+。
高等数学(下)B卷参考答案
由zx zyຫໍສະໝຸດ 3 3x2 33y20 0
，得驻点 (1, 1), (1,
1), 1, 1,1,
1
2分 2分
D zxx zxy 6x 0
z yx z yy
0 6y
D1,1 36 0 , D1,1 36 0 D1,1 36 0 D1,1 36 0
zxx (1,1) 6 0 , zxx (1,1) 6 0
令
2x2 1 得
x 1
2
2分 2分
2分
收敛半径为
R 1 2
六、解答下列各题(本大题分 2 小题, 每小题 8 分, 共 16 分)
1. 方程分离变量得 ydy xdx
两边积分得
1 y2 1 x2 1 C 2 22
代入初始条件y 3 得 C 9 x0
故所求特解为
y2 x2 9
2分
2分 2分 2分 2分
成人教育&网络教育 20XX 年 9 月试题答案
课程名称： 高等数学（下） A 卷□ B 卷 √ 考试时间 100 分钟 评分教师 一、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）
职称
1． C. (或 D、或 C 与 D 都给分) 2． B.
3. D
二、填空题（每小题 4 分，共 8 分）
1． 9 2 105
2、 y y x 对应齐次方程的特征根为 r1 1 , r2 1
2分
齐次方程的通解为
y C1e x C2ex
1分
设原方程的一个特解为
y Ax ，
1分
代入原方程得 A 1， y x
2分
故所求方程的通解为 y C1e x C2ex x
2分
esin xy[( x x 2 y cos xy) sin(x y)]dy
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3x答案：A2. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(e^x) + CD. x^e + C答案：A5. 微分方程dy/dx = y/x的通解是（）。
A. y = CxB. y = Cx^2C. y = C/xD. y = Cx^(-1)答案：C6. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数是（）。
A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+4的极值点是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）。
A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A9. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B10. 函数f(x)=x^3的泰勒展开式在x=0处的前三项是（）。
A. 1+3x+3x^2B. 1+x+x^2C. 1+3x+3x^3D. 1+x+x^3答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^4-4x^2+4的极小值点是x=______。
答案：±√22. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是x=______。
答案：2和43. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C4. 函数f(x)=x^3的二阶导数是______。
答案：6x5. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
(完整版)大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级 学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．a b0a b += 2a = 2b = a b ⋅= 2、设，则．ln()z x xy =32zx y ∂=∂∂3、曲面在点处的切平面方程为．229x y z ++=(1,2,4)4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数()f x 2π[,)ππ-()f x x =()f x 在处收敛于，在处收敛于．3x =x π=5、设为连接与两点的直线段，则．L (1,0)(0,1)()Lx y ds +=⎰※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩0M (1,1,2)-2、求由曲面及所围成的立体体积．2222z x y =+226z x y =--3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？11(1)lnn n n n∞=+-∑4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．(,sin x z f xy y y =+f 2,z zx x y∂∂∂∂∂5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．,dSz ∑⎰⎰∑2222x y z a ++=(0)z h h a =<<三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小22z x y =+1x y z ++=值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰其中为常数，为由点至原点的上半圆周．m L (,0)A a (0,0)O 22(0)x y ax a +=>五、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数．13nn n x n∞=⋅∑六、（本题满分10分）计算曲面积分，332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰其中为曲面的上侧．∑221(0)z x y z =--≥七、（本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面()f x (0)f a =222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰t Ω与所围成的闭区域，求 ．z =z =30()lim t F t t+→-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；→→不得带走试卷。
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海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A 》（下）试题(B 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：阅卷教师： 200 9 年 月 日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。
一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
1、设向量()()121112αβαβ--------------=-=⨯=，，，，，，则向量积；2、(31)(831)Lx y dx y x dy -+++-=⎰Ñ______，其中L 为圆盘222x y R +≤的正向边界曲线； 3、改变积分的次序1(,)dy f x y dx =⎰_______________；4、设曲面∑是下半球面z =()222____________xy z dxdy ∑++=⎰⎰；5、若级数21k n n ∞-=∑发散，则有___________k ；二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）（ ）1、设()()2,1,2,4,1,10,,,a b c b a a c λλ==-=-=r r r r r r且垂直于则（ ）2、函数(,)f x y =(0,0)处为(A) (,)f x y 不连续. ( B),f fx y∂∂∂∂存在. (C) (,)f x y 可微. ( D) (,)f x y 沿着任一方向的方向导数存在.（ ）3、交换积分次序11(,)x dx f x y dy -+=⎰11()(,)x A f x y dx +-⎰11()(,)x B dy f x y dx -+⎰11()(,)y C dy f x y dx -⎰⎰110()(,)y D dy f x y dx -⎰ 、（ ）4、 幂级数n n n x )21(0∑∞=的收敛半径是（ ）(A) 3 , (B) 2 ,(C)21, (D) 31（ ）5、两直线23111:,11112:21-=-+=+=-=z y x L z y x L 之间的夹角为 (A) 3π; (B) 4π; (C) 6π; (D) 23arccos .三 、计算题（每小题6分，共48分）1、设(,)x y t yf x y e dt +=⎰，求()()()''"1,2,1,21,2x y xy f f f 及和(,)df x y 。
2、 设函数(,)(,)0z z z z x y F x y y x =++=由方程确定，求,z z x y∂∂∂∂.3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+与平面4z =围成的空间闭区域4、求过点（2，0，-3）且与直线{2470,35210,x y z x y z -+-=+-+=平行的直线方程。
5, 设 ∑是由曲面0z z ==围成的立体的外侧曲面，利用高斯公式计算曲面积分()()22322I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑=+-++⎰⎰Ò。
6、讨论级数()13ln nn a ∞=∑, (a >0)的敛散性。
7、计算对弧长的曲线积分222cos (),sin x a t x y z ds y a t z kt Γ=⎧⎪++Γ=⎨⎪=⎩⎰其中是螺旋线上相应于02t π从到的一段弧.8、将函数()21f x x=展成1x +的幂级数，并求收敛区间。
四、证明题（6分，）证明：级数()111sinn nn n ππ-∞=-∑是绝对收敛的。
五、应用题：（每小题8分，共16分）1、建造容积为4立方米的开顶长方体水池，长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小？2、求底圆半经相等的两个直交圆拄面222222x y r x z r +=+=及所围立体的表面积。
2009年《高等数学A 》(下)试题（B 卷答案）一、填空题(每小题3分，共15分) 1,(5,-3,-1) ; 2, 24R π ; 3，11(,)dx f x y dy -⎰; 4，4r π-； 5， K 1≥ .二, 选择题(每小题3分，共15分)1, (A); 2, (D); 3, (C); 4, (B); 5, (A).三、计算题（每小题6分，共48分） 1,解：()()()222222''",2,,2,,4xy xy y xy x y xy f x y xe f x y ye e f x y xye +++==-=L L L L L （2分）因此，()()()'5'52"51,22,1,24,1,28x y xy f e f e e f e ==-=L L L L L （4分）()()()2222,22xy xy y df x y xe dx ye e dy ++=+-L L L L L L （6分）2 、解：,,)(,),,,z z z zx y z F x y u x v y y x y xϕ=++=+=+令（12','.F FF F u v∂∂==∂∂记 （2分） 1212122211'','',''x y z z z F F F F F F x y y xϕϕϕ--=+=+=+ （4分） 由此，1221221212'''',.1111''''y x z z z z F F F F z z y x x y F F F F y x y xϕϕϕϕ--+∂∂=-==-=∂∂++ （6分） 3, 解： 利用拄面坐标，得()22243rzdv d rdr zdz πθΩ→=⎰⎰⎰⎰⎰⎰L L L L L 分=()()24164216623rr dr ππ-=⎰L L L L L 分 4．解：因为，()244112,,16,14,11522335s ⎛--⎫==- ⎪--⎝⎭r ，————（3分 ）所以，所求直线方程为23161411x y z -+==-——————（6分） ,5, 解：由高斯公式，得()222,I xy z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰其中Ω为上半球体：0z ≤≤L L L （3分）=22220sin ad d r r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰=525a πL L L L L （6分） 6, 解： 因为该级数是公比ln q a =的等比级数，所以当ln a <1，即1e<a<e 时，原级数收敛————————（3分） 当ln 1a ≥，即a e ≥或0<1a e≤时，原级数发散——————（6分7, 解：22222220()[(cos )(sin )()]x y z dsa t a t kt πΓ++=++⎰⎰ （3分）22220(a k t π=+⎰22320222]324).3k a t t a k ππ=+=+ （6分）8，解：()()011111nn x x x ∞=-==+-+∑Q ——————（2分）()()''12011111n n n n x n x x x ∞∞-==⎛⎫⎛⎫∴=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑——————（4分） 收敛区间为（-2，0）————————（6分）四, 证明题（6分）()()11sin12n n nnn u πππ--=≤Q L L L L L L 分而1n∞∑是11q =<的收敛级数L L L L L （4分）即1nn u∞=∑收敛，所以1nn u∞=∑绝对收敛L L L L L （6分）五、应用题（每小题8分，共 16 分。
）1, 设长宽分别为,,,x y xy4则高为因此表面积S 为： 4488,)22.x y xy xy xy xy xy x y=++=++S( （4分） 令228080S y xx S x xy ∂-⎧=+=⎪∂⎪⎨∂-⎪=+=∂⎪⎩，有 （6分）2,x y ==即（2，2）是唯一的驻点，由题知为极小点，此时高为1， 因此，当长宽高分别为2，2，1米时，表面积最小。
（8分） 2, 由对称性知，所求面积S 为第一卦限表面积()1212s s s +=的8倍，即1161616DDs s dA ===⎰⎰——————（5分）=201616rr =⎰——————-（8分）。