2011年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)
2011年大纲卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷)(适用地区：河北、广西、云南、甘肃、内蒙古、贵州、西藏、青海)理科数学本试卷共22题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题 1．A ．-2B ．C ．D ．2．A ．B ．C ．D ．3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b −＞ C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=−=，则k= A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()()cos 0f x x ωω=> ，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）A ．12B ．3C ．6D ．96．已知直二面角l αβ−−，点A ∈α，AC ⊥l ,C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）A ．2B ．3C ．3D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)19．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =−，则5()2f −= （ ） A ．12− B ．14−C ．14D ．1210．A ．B ．C ．D ．11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．4π B ．7πC ．11πD ．13π12．设向量,,a b c 满足2a b ==，2a b ⋅=−，(),60a c b c −−=︒，则c v 的最大值等于（ ）A ．4B ．2CD ．1第II 卷（非选择题）二、填空题13．(1−√x)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 .14．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin α，则tan 2α=_________.15．已知1F ，2F 分别为双曲线221927x yC −=：的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =_______16．已知点E F 、分别在正方体1111ABCD A B C D −的棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，侧面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于_______. 三、解答题17．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ．已知90,A C a c −=+=，求C18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．19．如图，四棱锥S ABCD −中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====. （1）证明：SD ⊥平面SAB ；（2）求AB 与平面SBC 所成角的大小．20．设数列{}n a 满足11110,111n na a a +=−=−−（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n b =1nn k k S b ==∑，证明：1nS<．21．已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=．（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．22．（Ⅰ）设函数()()2ln 12xf x x x =+−+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：1929110p e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭2011年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷)理科数学(参考答案)1．B 2．B 3．A 【解析】 试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.4．D 【解析】D.由11a =，公差2d =，得21n a n =−，从而2n S n =，所以()222224k k S S k k +−=+−=，解得k=55．C 【详解】 由题可知：平移之后函数表达式为cos 3y x πωω⎛⎫=−⎪⎝⎭由该函数图像与函数()cos f x x ω=图像重合， 所以2,3k k Z πωπ=∈，则6,k k Z ω=∈，又0>ω， 所以当1k =时，ω的最小值为6故选：C 6．C 【详解】因为在直二面角l αβ−−上,,A AC l α∈⊥，所以AC β⊥，同理BD α⊥，又2,1AB AC BD ===，易得CD =,用体积法求D 到平面ABC 的距离d ，11=22BCD S ∆=，12ABC S ∆=，A 到平面BCD 的距离为1，所以1113232D ABC A BCD V d V −−=⨯⨯==⨯⨯三棱锥三棱锥，解得：3d =. 故选C.7．B【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 8．D 【解析】2022x x y e y =''=⇒=，所以在点()0,2处的切线方程为22y x =+，它与y x =的交点为()2,2−−，与0y =的交点为()1,0−，所以三角形面积为12112⨯⨯= 9．A 【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴51()()22f f −=−，而1111()2(1)2222f =⨯⨯−=， 又函数为奇函数，∴5111()()()2222f f f −=−=−=−．故选A ． 10．D 11．D 【解析】由圆M 的面积为4π，得2M r =,于是球心O 到圆M =，因为β与α成60二面角，OM α⊥,所以OM 与MN 成30角,所以12ON OM ==所以22413N r ==,所以圆N 的面积为13π12．A 【解析】因为2a b ==，2a b ⋅=−，所以1cos ,2a b a b a b⋅==−, ,120a b =︒.如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =−, C B b c =−, 120AOB ∠=︒. 所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆. 不妨设为圆M ，因为AB b a =−,所以222212AB a a b b =−+=. 所以23AB =,由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4. 故选A.13．0 【解析】二项展开式的通项为T r+1=C 20r (−√x)r ，x 的系数为C 202(−1)2，x 9的系数为C 2018(−1)18=C 202(−1)2，所以x 的系数与x 9的系数之差为014．43−【详解】,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 5α∴==−sin 1tan cos 2ααα∴==− 22tan 14tan 211tan 314ααα−∴===−−−本题正确结果：43−15．6【详解】不妨设A 在双曲线的右支上, ∵AM 为12F AF ∠的平分线，∴1122824AF F M AF MF ===， 又∵1226AF AF a −==，解得26AF =，故答案为6. 16．3【详解】由题意画出图形如图：因为E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D −的棱1BB 、1CC 上， 延长CB 、FE 交点为S 连接AS ，过B 作BP AS ⊥连接PE ， 所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是BPE ∠， 因为12B E EB =，12CF FC =，所以:1:2BE CF =，所以:1:2SB SC =， 设正方体的棱长为a，所以AS =，2BP a=，3a BE =， 在RT PBE中，32aBE tan EPB PB ∠===，故答案为3.17．12C π=【解析】解：由90A C −=，得22B AC C ππ=−−=−故sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，sin sin 2cos 22B C C π⎛⎫=−= ⎪⎝⎭由sin sin a c A C B +=⇒+=，故cos sin 2C C C +=，)22cos sin cos sin C C C C +=−又显然2C π<，故cos sin 2C C −=，再由22cos sin 1C C +=，解得：cos 4C =，于是12C π=18．（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）20 【详解】（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P ，则(10.5)0.3P −=，故0.6P =， 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2−−=，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率10.20.8−= （Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，~(100,0.2)X B 所以1000.220EX =⨯=19．（1）见解析 （2）arcsin7【详解】（1）建立空间直角坐标系如图所示：设()1,0,0D ，则()2,2,0A ，()0,2,0B ，设(),,S x y z ，则0,0,0x y z >>>，()2,2,AS x y z =−−，(),2,BS x y z =−，()1,,DS x y z =−，因为AS BS =，所以=1x =，因为1DS =，所以221y z +=，又因为2BS =，所以()22224x y z +−+=，所以1,22y z ==，所以11,,22S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,,22AS ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭，31,22BS ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，10,,22DS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33330,04444DS AS DS BS ⋅=−+=⋅=−+=， 所以,,SD AS SD BS AS BS S ⊥⊥=，所以SD ⊥平面SAB ；（2）设平面SBC 的法向量为(),,a m n p =，31,22BS ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0CB =uu r，因为00a BS a CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以302220m n p n ⎧−+=⎪⎨⎪=⎩，取m =，所以()3,0,2a =−， 又因为()2,0,0AB =，所以2cos ,72AB a AB a AB a⋅<>===⋅⋅，设AB 与平面SBC 所成角为α，所以sin 7α=，所以arcsin7α=. 20．（Ⅰ）11n a n=− （Ⅱ）见解析【解析】解：（Ⅰ）由111111n na a +−=−−得： 数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭是等差数列，首项为1111a =− 故()11111n nn a =+−⨯=−，从而11n a n=−（Ⅱ）nb====所以11111nn k k S b n ===+−=−<∑21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【详解】 证明：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）椭圆C ：2212y x +=①，则直线AB 的方程为：y =+1 ②联立方程可得4x 2﹣x ﹣1＝0，则x 1+x 22=，x 1×x 214=−则y 1+y 2=（x 1+x 2）+2＝1 设P （p 1，p 2），则有：0A =（x 1，y 1），0B =（x 2，y 2），0P =（p 1，p 2）；∴00A B +=（x 1+x 2，y 1+y 2）＝（2，1）；0P =（p 1，p 2）＝﹣（00A B +）＝（2−，﹣1）∴p 的坐标为（2−，﹣1）代入①方程成立，所以点P 在C 上． （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．设线段AB 的中点坐标为（122x x +，122y y +），即（4，12），则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：y 122−=（x 4−），即y 2=x 14+；③ ∵P 关于点O 的对称点为Q ，故0（0.0）为线段PQ 的中点，则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y 2=−x ④；③④联立方程组，解之得：x 8=−，y 18=③④的交点就是圆心O 1（8−，18），r 2＝|O 1P |2＝（2−−（8−））2+（﹣118−）29964=故过PQ 两点圆的方程为：（x 8+）2+（y 18−）29964=⑤，把y =+1 …②代入⑤，有x 1+x 22=，y 1+y 2＝1 ∴A ，B 也是在圆⑤上的．∴A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【详解】证明：（Ⅰ）0x >时，()()()()()222222101212x x x f x x x x x +−=−=>++++'， 于是()f x 在()0,∞+上单调增，所以()()00f x f >= （Ⅱ）2019100998281999881100100p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==()()199981(9881)918990100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（共有19192−=对数相乘） 1922219191990909090909010010010x ⨯⨯⨯⨯⎛⎫>≤== ⎪⎝⎭。
2011年河南高考理综试题及答案(全国卷)
2011年高考理综试题（全国卷）绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分，第1卷1至4页，第II卷5至12页，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动。
用橡皮擦干净后，在选涂其他答案编号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I卷共21小题，每题6分，共126分。
一、选择题：本大题共13小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列能说明某细胞已经发生分化的是A．进行ATP的合成 B. 进行mRNA的合成C. 存在血红蛋白D. 存在纤维蛋白原基因2. 将紫色洋葱在完全营养液中浸泡一段时间，撕取外表皮，先用浓度为0.3g/mL 的蔗糖溶液处理，细胞发生质壁分离后，立即将外表皮放入蒸馏水中，直到细胞中的水分不再增加。
若在该实验过程中，蔗糖溶液处理前外表皮细胞溶液的浓度为甲，细胞中的水分不再增加时外表皮细胞液的浓度为乙，则甲、乙的关系，以及实验过程中水分进出细胞的方式为A．甲＜乙，被动运输 B. 甲＞乙，被动运输C．甲＞乙，主动运输 D. 甲＝乙，主动运输3. 将生长状态一致的同一品种玉米植株分为甲、乙两组，甲组培养在适宜的光照条件下，其叶维管束鞘细胞中有淀粉积累；乙组培养在光照加较弱的条件下，其叶维管束鞘细胞中没有检测到淀粉，乙组未检测到淀粉的原因是A．叶片不进行光合作用，只进行呼吸作用B．叶片光合作作用强度低，没有淀粉的积累C．维管束鞘细胞没有与淀粉合成相关的酶D．维管束鞘细胞不含叶绿体，不能进行光合作用4. 某校园有一片草坪和一片树林，下列关于这两个群落中动物分层现象的叙述，正确的是A. 草坪和树林中的动物都具体有分层现象B..草坪和树林中的动物都没有分层现象C.只有草坪和树林混杂在一起时动物才具有分层现象D.草坪中的动物没有分层现象，而树林中的动物具有分层现象5.研究发现两种现象：1.动物体内的B 细胞受到抗原刺激后，在物质甲的作用下，可增值、分化为效应B细胞；2.给动物注射某种细菌获得的物质乙后，此动物对这种细菌具有了免疫能力。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷,含答案).doc
2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页。
第Ⅱ卷 3 至 4 页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（ ）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围 成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试卷(理科)
5
5
（3） ξ = 0, 1, 2 ， P(ξ = i) = C2i C32−i (i = 0, 1, 2) ，ξ 的分布列为 C52
ξ
0
1
2
P
3
3
10
5
均值 E(ξ ) = 1× 3 + 2 × 1 = 4 . 5 10 5
18.解：(1) 取 AD 的中点 G，又 PA=PD，∴ PG ⊥ AD ，
试卷类型：A
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）
本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、 座位号，填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
A．1 + i
B. 1− i
C. 2 + 2i
Ｄ． 2 − 2i
} 2．已知集合 A = {( x, y) ∣ x, y 为实数，且 x2 + y2 = 1 ，B = {( x, y) x, y 为实数，且 y = x} ，
则 A ∩ B 的元素个数为
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．3
3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则 c • (a + 2b) =
Ａ．4
Ｂ．3
Ｃ．2
Ｄ．0
4. 设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ． f ( x) + g ( x) 是偶函数
Ｂ． f ( x) − g ( x) 是奇函数
2011年高考理科数学(全国卷)(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。
．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (理科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ) （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i 【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数2(0)y x x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( )（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( ) （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解Cβα lABD E得5k =.解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1 【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D 到平面ABC 的距离.在Rt BCD ∆中,由等面积法得12633BD CD DE BC ⨯⨯===.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23, 23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=.ABC(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45-【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得35,5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离23OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴132ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g ，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1【答案】A【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011·新课标全国卷(文科数学)高考卷
2011·课标全国卷(课标文数)课标文数1.A1[2011·课标全国卷] 已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 课标文数 1.A1[2011·课标全国卷] B 【解析】 因为M ＝{}0，1，2，3，4，N ＝{}1，3，5，所以P ＝M ∩N ＝{}1，3，所以集合P 的子集共有，{}1，{}3，{}1，34个．课标文数2.L4[2011·课标全国卷] 复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i课标文数2.L4[2011·课标全国卷] C 【解析】5i1－2i ＝5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i －105＝－2＋i.课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | 课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数4.H5[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22课标文数4.H5[2011·课标全国卷] D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22.课标文数5.L1[2011·课标全国卷] 执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )图1－1A ．120B ．720C ．1440D ．5040 课标文数5.L1[2011·课标全国卷] B 【解析】 k ＝1时，p ＝1； k ＝2时，p ＝1×2＝2； k ＝3时，p ＝2×3＝6； k ＝4时，p ＝6×4＝24； k ＝5时，p ＝24×5＝120； k ＝6时，p ＝120×6＝720.课标文数6.G2，K2[2011·课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34课标文数6.G2，K2[2011·课标全国卷] A 【解析】 甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝13.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a ，2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标文数8.G2[2011·课标全国卷] 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为( )图1－2 图1－3 课标文数8.G2[2011·课标全国卷] D 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.图1－4课标文数9.H7[2011·课标全国卷] 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 课标文数9.H7[2011·课标全国卷] C 【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p ， 所以||AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6， 所以S △ABP ＝12×12×6＝36.课标文数10.B9[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34课标文数10.B9[2011·课标全国卷] C 【解析】 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－1>0， 所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又因为函数y ＝e x 是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12内．课标文数11.C5，C4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称课标文数11.C5，C4[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos π＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意作出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标文数13.F3[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．课标文数13.F3[2011·课标全国卷] 1 【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0， 解得k ＝1.课标文数14.E5[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y的最小值为________________________________________________________________________．课标文数14.E5[2011·课标全国卷] －6 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．课标文数15.C8[2011·课标全国卷] 1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝ABsin C，即7sin120°＝5sin C，所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有 cos120°＝52＋x 2－7210x ，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数16.G8[2011·课标全国卷] 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．课标文数16.G8[2011·课标全国卷] 13 【解析】 如图，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，则球面面积为4πR 2，圆锥底面面积为πr 2，由题意πr 2＝1216πR 2，所以r ＝32R ，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝R 2－34R 2＝12R ，所以SO 1＝R ＋12R ＝32R ， S 1O 1＝R －12R ＝12R ，所以S 1O 1SO 1＝R23R 2＝13.图1－7课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n （n ＋1）2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n （n ＋1）2.图1－8课标文数18.G5，G11[2011·课标全国卷] 如图1－8，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：P A ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高． 课标文数18.G5，G11[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面P AD ，故P A ⊥BD . (2)如图，作DE ⊥PB ，垂足为E . 已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC .由(1)知BD ⊥AD ，又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD .图1－9故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE . 则DE ⊥平面PBC .由题设知PD ＝1，则BD ＝3，PB ＝2. 根据DE ·PB ＝PD ·BD 得DE ＝32. 即棱锥D －PBC 的高为32. 课标文数19.I2[2011·课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值 分组 [90，94)[94，98) [98，102)[102，106)[106，110]频数 82042228B 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <942，94≤t <102，4，t ≥102.估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．课标文数19.I2[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1100[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x （x ＋1）2－bx 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x ，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎫2ln x －x 2－1x . 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－（x 2－1）x 2＝－（x －1）2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0.当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln xx －1>0， 即f (x )>ln xx －1.课标文数22.N1[2011·课标全国卷] 如图1－10，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．图1－10已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 课标文数22.N1[2011·课标全国卷]图1－11【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ， 即AD AC ＝AEAB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与∠DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数) M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α，(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1，故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.。
2011年全国卷高考数学答案(理科)
（A） 8
（ B）7
（ C） 6
（ D）5
（5）设函数 f ( x) cos x( ＞0) ，将 y f (x) 的图像向右平移 个单位
3
长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于
（A） 1
3
（B） 3
（C） 6 （D） 9
(6) 已知直二面角α - ι - β，点 A∈α， AC⊥ι， C 为垂足， B
（D） y 4x2 ( x≥0)
-1-
（3）下面四个条件中，使 a＞ b 成立的充分而不必要的条件是 （ A） a＞ b 1 （B） a＞ b 1 （ C） a2＞ b2 （ D） a3＞ b3
（ 4 ） 设 Sn 为 等 差数列 an 的 前 n 项 和 ，若 a1 1 ， 公 差 d 2 ，
SA 2 Sn 24 ，则 k
个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
（ 1）复数 z 1 i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1
（ A） 2i
（B） i
（C） i
（ D） 2i
（ 2）函数 y 2 x (x≥0) 的反函数为
（A） y
x2 (x
R)
4
（B） y
x2 ( x≥ 0)
4
（ C） y 4x2 ( x R)
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱk , 证明： Sn 1.
k1
（21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x2 y2 1 在 y 轴正半轴上的焦
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中
横线上 ( 注意：在．试．卷．上．作．答．无．效． )
(13)(1- x ) 20 的 二 项 展 开 式 中 ， x 的 系 数 与 x9 的 系 数 之 差
2011全国卷1理科数学试题及解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分、 1、复数212ii+-的共轭复数就是( ) A 、35i - B 、35i C 、i - D 、i 2、下列函数中,既就是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数就是( ) A 、3y x = B 、1y x =+ C 、21y x =-+ D 、2xy -=3、执行右面的程序框图,如果输入的N 就是6, 那么输出的p 就是( ) A 、120 B 、720 C 、1440 D 、50404、有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A 、13 B 、12 C 、23 D 、345、已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合, 终边在直线2y x =上,则cos2θ=( ) A 、45-B 、35-C 、35D 、456、在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为( )7、设直线L 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,L 与C 交于 A ,B 两点,AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )A B C 、2 D 、38、512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的与为2,则该展开式中常数项为( )A 、-40B 、-20C 、20D 、409、由曲线y =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A 、103 B 、4 C 、163D 、6 10、已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题就是( )A 、14,P PB 、13,P PC 、23,P PD 、24,P P 11、设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则( )A 、()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B 、()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C 、()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D 、()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12、函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之与等于( ) A 、2 B 、 4 C 、6 D 、8二、填空题:本大题共4小题,每小题5分、13、若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 、14、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为2、过1F 的直线L 交C 于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 、15、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 、16、在ABC 中,60,B AC ==则2AB BC +的最大值为 、三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤、 17、(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +==(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项与、18、(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD 、(Ⅰ)证明:P A ⊥BD ;(Ⅱ)若PD =AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值、某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为A配方与B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:(Ⅰ)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;(Ⅱ)已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为2,942,941024,102ty tt-<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望、(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,-1),B 点在直线y = -3上,M 点满足//MB OA , MA AB MB BA ⋅=⋅,M 点的轨迹为曲线C 、 (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)P 为C 上的动点,l 为C 在P 点处得切线,求O 点到l 距离的最小值、21、(本小题满分12分)已知函数ln ()1a x bf x x x=++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=、 (Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围、请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分、做答时请写清题号、 22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC ∆的边AB ,AC 上的点,且不与ABC ∆的顶点重合、已知AE 的长为n ,AD ,AB 的长就是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根、(Ⅰ)证明:C ,B ,D ,E 四点共圆;(Ⅱ)若90A ∠=︒,且4,6m n ==,求C ,B ,D ,E 所在圆的半径、23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)M 就是C 1上的动点,P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求AB 、24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()3f x x a x =-+,其中0a >、 (Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ,求a 的值、2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题(1)C (2)B (3)B (4)A (5)B (6)D (7)B (8)D (9)C (10)A (11)A (12)D 二、填空题(13)-6 (14)221168x y +=(15)三、解答题 (17)解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q,由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)解析版--数学
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)解析版–数学一、试卷整体分析2011年江苏卷数学试卷难度不太大，考察的知识点较为全面，涉及到了初中、高中的各个方面。
整张试卷前两大题都是选择题，难度较低，第三大题是填空，难度适中，第四大题是解答题，难度较大。
整张试卷的知识点覆盖了高中数学的大部分章节，主要考察了函数、导数、解析几何、数列和三角函数的知识点。
二、各题解析第一大题第一大题是多选题，共10小题，每题2分，总分20分。
该部分考查的是函数的知识点，主要是对于函数的定义，图像分析等进行考查，在整张试卷里较为简单。
需要考生留意的是某些选项中对于函数的定义和图像的分析混淆在一起，在选择时需要看清楚，分辨清楚。
第二大题第二大题为单选题，共8小题，每题3分，总分24分。
该部分考查的是导数的知识点，其中涉及到求导的基本方法和性质，在本部分中也应该比较容易掌握。
需要注意选择时仔细看清题目中涉及到的性质和定义，不要被表述方式所干扰。
第三大题第三大题为填空题，共5小题，每题4分，总分20分。
该部分主要考察的是解析几何和三角函数的知识点，难度适中，需要一定基础的掌握和记忆。
需要留意的是填空空格的数量和格式，以及解析几何和三角函数的公式和基本性质的掌握。
第四大题第四大题为解答题，共3小题，每题16分，总分48分。
该部分难度较大，主要考察的是数列和三角函数的综合应用。
需要对数列的求和、通项公式、公比等有足够的理解和应用能力，对于三角函数的综合应用，需要掌握三角函数的基本性质和运用技巧。
需要注意的是解答题需要有完整的表述方式和推导过程，需要做到清晰易懂。
三、考试经验2011年江苏卷数学试卷难度不大，属于同等卷中较容易的一份试卷。
需要考生留意的是各部分题目不同的考察点和难度程度，做好各部分之间的时间分配，不要在简单的选择题上浪费时间，保证解答题部分有足够充裕的时间。
在做题时需要仔细阅读题目，理解题意，弄清楚要求，避免出现理解偏差的问题。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷）
第一部分听力（共两节，满分30分）
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）
听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?
A. £ 19.15.
B. £ 9.15.
C. £ 9.18.
答案是B。
1. What does the man like about the play?
A. The story.
B. The ending.
C. The actor.
2. Which place are the speakers trying to find?
A. A hotel.
B. A bank.
C. A restaurant.
3. At what time will the two speakers meet?
A. 5:20.
B. 5:10.
C.4:40.
4. What will the man do?
A. Change the plan.
B. Wait for a phone call.
C. Sort things out.
5. What does the woman want to do?
A. See a film with the man.
B. Offer the man some help.
C. Listen to some great music.
第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）
听下面5段对话。
每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. Where is Ben?
A. In the kitchen.
B. At school.
C. In the park.
7. What will the children do in the afternoon?
A. Help set the table.
B. Have a party.
C. Do their homework.
听第7段材料，回答第8、9题。
8. What are the two speakers talking about?
A. A family holiday.
B. A business trip.
C. A travel plan.
9. Where did Rachel go?
A. Spain.
B. Italy.
C. China.
听第8段材料，回答第10至12题。
10. How did the woman get to know about third-hand smoke?
A. From young smokers.
B. From a newspaper article.
C. From some smoking parents.
11. Why does the man say that he should keep away from babies?
A. He has just become a father.
B. He wears dirty clothes.
C. He is a smoker.
12. What does the woman suggest smoking parents should do?
A. Stop smoking altogether.
B. Smoke only outside their houses.
C. Reduce dangerous matter in cigarettes.
听第9段材料，回答第13至16题。
13. Where does Michelle Ray come from?
A. A middle-sized city.
B. A small town.
C. A big city.
14. Which place would Michelle Ray take her visitors to for shopping?
A. The Zen Garden.
B. The Highlands.
C.The Red River area.
15. What does Michelle Ray do for complete quiet?
A. Go camping.
B. Study in a library.
C. Read at home.
16. What are the speakers talking about in general?
A. Late-night shopping.
B. Asian food.
C. Louisville.
听第10段材料，回答第17至20题。
17. Why do some people say they never have dreams according to Dr. Garfield?
A. They forget about their dreams.
B. They don’t want to tell the truth.
C. They have no bad experiences.
18. Why did Davis stop having dreams?
A. He got a serious heart attack.
B. He was too sad about his brother’s death.
C. He was frightened by a terrible dream.
19. What is Dr. Garfield’s opinion about dreaming?
A. It is very useful.
B. It makes things worse.
C. It prevents the mind from working.
20. Why do some people turn off their dreams completely?
A. To sleep better.
B. To recover from illnesses.
C. To stay away from their problems.
【听力参考答案】
1—5 CABBA 6—10 CBACB 11—15 CAABC 16—20 CABAC。