相似三角形中的辅助线
三角形中位线的辅助线题
三角形中位线的辅助线题 三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。在做与三角形中位线有关的题目时，辅助线可是非常重要的小帮手哦。
（一）常见辅助线类型 1. 延长中位线构造平行四边形 比如说有一个三角形ABC，D、E分别是AB、AC的中点，我们延长DE到F，使EF = DE，然后连接CF。这样就可以通过证明三角形ADE和三角形CFE全等，得到AD = CF，而且AD平行于CF，于是四边形BCFD就是平行四边形啦。这种辅助线做法可以让我们利用平行四边形的性质来解题呢，像平行四边形对边相等、对角相等之类的性质就可能会在解题过程中派上大用场。
2. 作中位线所在三角形的高 如果三角形ABC，D、E是AB、AC中点，过D作BC边上的高DF。这样做辅助线的好处是，我们可以利用直角三角形的一些性质来解题。例如在一些求线段长度或者角度的题目中，直角三角形中的勾股定理、三角函数等知识就可以被运用起来。 （二）实际题目示例 1. 已知三角形ABC，D、E分别为AB、AC中点，BC = 8，求DE的长度。 这时候我们就可以直接根据三角形中位线定理，因为DE是中位线，所以DE = 1/2BC，所以DE = 4。这题就是对三角形中位线定理的一个简单应用。
2. 在三角形ABC中，D、E分别为AB、AC中点，连接DE，F为DE中点，连接CF并延长交AB于G，若三角形ADE的面积为6，求三角形DFG的面积。
首先我们知道DE是中位线，那么DE平行于BC。因为F是DE中点，我们可以过E作EH平行于CG交AB于H。这样就构造出了一些相似三角形。三角形ADE和三角形ABC相似，相似比为1:2，面积比就是1:4。设三角形ABC面积为S，则S = 24。又因为三角形DFG和三角形ECH相似，且相似比为1:2，再根据三角形ADE和三角形ECH的面积关系，经过一系列计算就可以得出三角形DFG的面积啦。
（三）总结 三角形中位线的辅助线做法有很多种，不同的做法可以帮助我们解决不同类型的题目。我们要根据题目中的已知条件和要求的结果，灵活选择合适的辅助线 做法。在做这类题目的时候，一定要牢记三角形中位线定理以及平行四边形、相似三角形等相关知识，这样才能在解题时游刃有余。
角平分线定理证明过程
角平分线定理证明过程
角平分线定理是初中数学中比较重要的一个定理，它在三角形中起到了很重要的作用。
下面我们就来详细介绍一下这个定理的证明过程。
一、角平分线定理的定义
在三角形ABC中，如果有一条直线AD，使得∠BAD=∠CAD，则称AD为三角形ABC的角平分线。
二、证明过程
1.引入辅助线
首先，我们需要引入一条辅助线BE，使得BE与AC相交于点F。
这条辅助线有什么作用呢？我们可以通过观察图形来发现：当
∠BAD=∠CAD时，可以看出三角形ABD与三角形ACD是相似的。
因此，我们可以利用相似三角形的性质来进行证明。
2.利用相似三角形性质
根据相似三角形的性质，在相似三角形ABD和ACD中，有：
BD/CD=AB/AC
又因为BF/FC=AB/AC（根据比例分点定理可知），所以：
BD/CD=BF/FC
3.结合步骤1和2得出结论
将上述两个等式结合起来，可以得到：
BF/FC=BD/CD
也就是说，如果有一条直线AD满足∠BAD=∠CAD，那么点B和C到直线AD的距离之比等于点B到AC的距离与点C到AC的距离之比。
因此，我们可以得出结论：角平分线定理成立。
三、总结
通过以上的证明过程，我们可以看出，在证明角平分线定理时，我们
需要利用相似三角形的性质，并且要引入一条辅助线来帮助我们进行
证明。
同时，在证明过程中，我们也需要注意观察图形，并灵活运用几何知识来推导结论。
[参考实用]常见三角形辅助线口诀
![[参考实用]常见三角形辅助线口诀](https://img.taocdn.com/s3/m/300d2e73cf84b9d528ea7a4b.png)
初二几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为三角或平四。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。
四、角平分线+平行线如图，AB>AC,∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。
由线段和差想到的辅助线五、截长补短法AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。
中考专题之与三角形有关的辅助线
第一节等腰三角形常用的辅助线例1、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”如图,她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”;数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说：“彬彬的做法是正确的,而文文的做法需要订正;”1请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；2根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程;例2、如图,已知AD∥BC,AB=AD＋BC,E为DC的中点;求证：∠ABE=∠CBE;例3、已知：如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,在CD延长线上取一点F,使FE=FC,EF交AD于P;求证：AE=2DF;连接CE,取CE中点HFHE全等于FHC,FH垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根号5CF=根号5CH=根号5CE/2=根号5根号5BE/2=BE5/2=AB5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/21/2=AE1/2例4、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,D点在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于点F;求证：DF=EF;DF=EF证明如下：过点D作平行于BC的直线交AC于点G因为AB=AC；DG//BC所以BD=CG又BD=CE,故CG=CE又因为CF//DG所以CF是三角形DEG的中位线所以F是DE的中点所以DF=EF综合演练：1、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE＋CF=2;1求证：△BDE≌△BCF；2判断△BEF的形状,并说明理由；3设△BEF的面积为S,求S的取值范围;1AE+CF=2=CD=DF+CF∴AE=DFAB=BD∠A=∠BDF=60°∴△BDE全等于△BCF2由1得BE=BF且∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°∴△BEF是等边三角形33√3/4<=S<=√3第二节直角三角形常用的辅助线例1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,求证：AC＋CD=AB;综合演练：Rt 斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处;则∠A等于1、如图,CD是ABCA、25°B、30°C、45°D、60°2、如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP;1在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将△EFP沿直线l向左平移到图2所示的位置时,EP交AC于点Q,连结AP、BQ;猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;3将△EFP沿直线l向左平移到图3所示的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP、BQ;你认为图2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立,给出证明；若不成立,请说明理由;3、如图,在锐角△ABC中,BE、CF是高,在BE、CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC,分别过P、Q作PM第三节全等三角形的辅助线例1、已知：如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC边上一点,BE与AD交于F,若AE=EF;求证：AC=BF;例2、1已知：如图1在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC;求证：∠BAD＋∠C=180°;2已知：如图2在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D;求证：∠BAD=∠DAC＋∠C;例3、已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,P为△ABC内一点,若∠PBC=10°,∠PCB=30°,求∠PAB 的度数;例4、已知：如图,BD是四边形ABCD的∠ABC的平分线,∠A＋∠BCD=180°;求证：AD=DC;例5、已知：如图,在△ABC中,DE∥GF∥BC,且AD=GB;求证：AE=CF;例6、已知：如图,P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP＋∠OBP=180°;求证：AO＋BO=2OC; 例7、如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,且交于点O;求证：AC=AE＋CD;综合演练：1、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN;探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明;说明：1如果你经历反复探究,没有找到解决问题上的方法,请你把探究过程中的某种思路写出来要求至少写3步；2在你经历说明1的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明;①AN=NC如图②；②DM∥AC如图③;附加题：若点M、N分别是射线AB、AC上的点,其他条件不变,再探索线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,丙说明理由;① ② ③ ④2、如图,两个全等的含30°,60°的三角形ADE 和ABC,E 、A 、C 在一条直线上,连结BD,取BD 的中点M,连结ME 、MC,试判断△EMC 的形状,并说明理由;3、如图①,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图②,量得他们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,再将这两张三角形纸片摆成如图③所示的形状,但点B 、C 、F 、D 在同一直线上,且点C 与点F 重合;在图③至图⑥中统一用F 表示;小明在对这两张三角形纸进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决;1将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置,使点B 与点F 重合,请你求出平移的距离;2将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置,F A 1交DE 于点G,请你求出线段FG 的长度; 3将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置,AB 交DE 于点H,请证明：AH=DH;① ② ③ ④ ⑤ ⑥4、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC;1如图1,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC ；2如图2,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC ；3若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗 请画图表示;1 25、请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A,B,E 在同一条直线上,P 是线段DF 的中点,连结PG ,PC;若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PC PG 的值; 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决;请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：1写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG 的值； 2将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变如图2;你在1中得到的两个结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明;3若图1中∠ABC=∠BEF=)900(2 <<αα,将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题的其他条件不变,请你直接写出PCPG 的值;用含α的式子表示1 2第四节相似三角形中常用的辅助线例1、如图,△ABC中,点D、E在BC上,且BD=DE=EC,又AB上的中线CF分别交AD、AE于G、H, 求FG：GH：HC;例2、如图,□ABCD中,点E在AB上,AE=2BE;点F是BC的中点,连结EF交对角线BD于点G;求：BG：BD的值;例3、已知：如图,过△ABC的顶点C任作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E;求证：AE：ED=2AF：FB;例4、如图,△ABC中,AB=8,AC=6,点D在AB上,且AD=2;试在边AC上找一点E,使△ADE与原三角形△ABC 相似,求AE的长;例5、如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,点D 在AB 的延长线上,且BD=AB,动点P 在线段BC 上移动,作直线DP 交AC 于点E;设BP=x ,AE=y ;1求y 关于x 的函数解析式及定义域；2当PB 为何值时,直线DP 恰将△ABC 的面积平分例6、如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,矩形DEFG 的顶点D 在AB 上,E 、F 在BC 上,G 在AC 上;1设BE=x ,y S DEFG 四边形,求y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围;2连结EG,当x 取何值时,EG ∥AB 求此时矩形DEFG 的面积;例7、如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,BC=8,AB=12,AD=a ;试问：能否在边AB 上找到点P,使得△ADP 与△BCP 相似 并说明a 的取值对点P 的个数是否有影响,请加以说明;例8、如图,在△ABC 内有一点O,连结AO 、BO 、CO 并分别延长后与BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F;求证：1=++CFOF BE OE AD OD ;综合演练：1、已知：如图,在△ABC 中,D 为AB 边上一点,∠A=36°,AC=BC,AD AB AC ⋅=2;1试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形；2若AB=1,求AC 的值；3试构造一个等腰梯形,该梯形连同它的两条对角线,得到了8个三角形,要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形;标明各角的度数2、如图所示,一段街道的两边缘所在的直线分别为AB 、PQ,并且AB ∥PQ;建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M,交PQ 于点N;小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮; 1请你在图纸中画出小亮恰好看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置用点C 标出2已知MN=20m ,MD=8m ,PN=24m ,求1中的点C 到胜利街口的距离CM;3、已知：如图1,在ABC Rt ∆中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动,速度为1cm ∕s ；点Q 由A 出发沿CA 方向向点C 匀速运动,速度为2cm ∕s ；连结PQ;若设运动的时间为)20)((<<t s t ,解答下列问题：1当t 为何值时,PQ ∥BC2说明理由；4如图2,连结PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形C PQP ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形C PQP '为菱形 若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由;1 24、如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB ∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A 与点C 重合,折痕为EF,已知CE ⊥AB;1求证：EF ∥BD;2若AB=7,CD=3;求线段EF 的长;5、如图,在ABC Rt 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,点P 从点D 出发沿DE 方向运动,过点P 作PQ ⊥BC 于Q,过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R,当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动;设BQ=x ,QR=y ; 1求点D 到BC 的距离DH 的长；2求y 关于x 的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3是否存在点P,使△PQR 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由;。
浅谈平面几何中添加辅助线的常用方法
浅谈平面几何中添加辅助线的常用方法【摘要】本文主要归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用。
【关键词】平面几何添加辅助线常用方法对于平面几何来说，不论是证明题，计算题，还是作图题，常常都涉及到添加辅助线的问题［１］。
因此，怎样添加辅助线对于解决平面几何问题就显得尤其重要。
本人在教育实习期间，发现有的学生面对平面几何问题，不知道去添加辅助线，有的学生即使添加了辅助线，但对问题的解决却帮助不太大。
基于以上情况，为了帮助同学们有一些清晰添加辅助线的常用方法，本文归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用，具体如下：１．在三角形、梯形、圆中添加辅助线的常用方法：１．１三角形１．１．１等腰三角形：连底边上的中线或高或顶角的角平分线；１．１．２直角三角形斜边上有中点：连中线；１．１．３斜三角形：①作中线、中位线；②过中点作延长线或平行线；③截长补短法；④连接两点。
１．２梯形１．２．１由梯形的小底两端作大底的垂线，作直角三角形和矩形；（图１）１．２．２由小底的一端作另一腰的平行线，或作另一对角线的平行线，作三角形和平行四边形；（图２，图３）１．２．３延长两腰交于一点，作相似三角形；（图４）１．２．４由大底的一端作另一腰的平行线，作平行四边形；（图５）１．２．５过一腰的中点作另一腰的平行线，作全等三角形；（图６）１．２．６连小底一端与另一腰的中点，并与大底的一边相交，作全等三角形；（图７）１．２．７连两腰的中点，作梯形的中位线；（图８）１．２．８连梯形的对角线，把梯形转化为三角形；（图９）１．２．９过小底的中点分别作两腰的平行线，构造一个集中有两腰及上下两底差的三角形和平行四边形。
（图１０）１．３圆１．３．１作弦心距；１．３．２作过切点的半径或弦；１．３．３过已知点作圆的切线；１．３．４作直径上的圆周角；１．３．５作两圆的公切线或连心线；１．３．６作两相交圆的公共弦或连心线；１．３．７作辅助圆。
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律,三角形、圆、四边形全都有,102条规律做题不愁!
初中数学证明题常见辅助线作法及几何规律，三角形、圆、四边形全都有，102条规律做题不愁！颜老师说：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
3月24日初中数学圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
除了上边方便记忆的顺口溜之外，颜老师还为大家整理了不同几何图形的做法及规律，有相交线、平行线、三角形、四边形及圆几部分，共102条规律，可以说做题时遇到的都包括在这里哦~线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n（吃2）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出k n(n-1）条。
初中在三角形中辅助线添加规律归纳总结
初中在三角形中辅助线添加规律归纳总结
几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的。
现在将三角形添加辅助线的规律为大家总结成顺口溜：
图中有角平分线，可向两边作垂线
也可将图对折看，对称以后关系现
角平分线平行线，等腰三角形来添
角平分线加垂线，三线合一试试看
线段垂直平分线，常向两端把线连
要证线段倍与半，延长缩短可试验
三角形中两中点，连接则成中位线
三角形中有中线，延长中线等中线
具体解释如下：
一、三角形中辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
（1）可向两边作垂线。
（2）可作平行线，构造等腰三角形
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
2. 与线段长度相关的
（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的
（1）考虑三线合一
（2）旋转一定的度数，构造全等三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °。
相似证明方法
相似证明方法在数学和科学研究中，证明两个对象或现象相似的方法是非常重要的。
相似性的证明可以帮助我们理解事物之间的关联，推断出新的结论，甚至指导我们解决实际问题。
本文将介绍几种常见的相似证明方法，帮助读者更好地理解和运用相似性的概念。
一、比例法。
比例法是证明两个对象或现象相似的常用方法之一。
当我们需要证明两个图形相似时，可以通过比较它们对应边的比例来进行证明。
例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么可以得出这两个三角形是相似的。
比例法的优点是简单直观，容易理解和应用，适用于各种类型的图形。
二、角度法。
角度法是另一种常见的相似证明方法。
在证明两个三角形相似时，我们可以通过比较它们的对应角度来进行证明。
如果两个三角形的对应角相等，即角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，那么可以得出这两个三角形是相似的。
角度法的优点是适用范围广，不仅适用于三角形，也适用于其他类型的图形。
三、辅助线法。
辅助线法是在证明图形相似时常用的方法之一。
通过引入辅助线，我们可以将原来的图形分解成若干个简单的几何图形，从而更容易进行相似性的证明。
例如，在证明两个三角形相似时，我们可以通过引入垂直平分线、中位线等辅助线，将原来的三角形分解成若干个全等的三角形，从而得出它们是相似的结论。
辅助线法的优点是能够简化证明过程，使证明更直观、更易理解。
四、比较法。
比较法是在证明两个对象或现象相似时常用的方法之一。
通过比较它们的性质、特征、规律等，我们可以得出它们之间的相似性。
例如，在证明两个函数相似时，我们可以比较它们的定义域、值域、增减性、奇偶性等性质，从而得出它们是相似的结论。
比较法的优点是灵活多样，适用于各种类型的对象或现象。
五、数学归纳法。
数学归纳法是在证明一类对象或现象相似时常用的方法之一。
通过证明某个基本情况成立，并假设对于任意n都成立，然后证明n+1也成立，从而得出结论。
相似三角形的辅助线
相似三角形的辅助线
岳燕红
【期刊名称】《大理师专学报》
【年(卷),期】2001(000)001
【摘要】初中数学教材相似三角形这一章主要是要会应用三角形相似证明线段成比例等积式成立等。
这些问题在证明过程中有时很难找到思路。
本文从合理地引出辅助线出发，阐述了相似三角形的证明方法。
【总页数】3页(P92-94)
【作者】岳燕红
【作者单位】大理师专附中，云南大理671000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
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初中数学初二几何辅助线添加方法
初二数学辅助线1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
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相似三角形中的辅助线
相似三角形添加辅助线的方法举例
在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加
辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例
的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
例1： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证： BC2＝2CD·AC．
分析：欲证 BC2＝2CD·AC，只需证BCACCDBC2．但因为结论中有“2”，无法直接找到
它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一
线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，
证法也不同．
证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴ △BCE∽△ACB．
∴BCACCEBC， ∴BCACCDBC2
∴BC2＝2CD·AC．
证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，
∵ AB＝AC，
∴ AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴BCCECDBC即BCACCDBC2
∴BC2＝2CD·AC．
证法三（构造BC21） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=BC21．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴BCACCDCE即BCACCDBC21．
∴BC2＝2CD·AC．
ABCDEABCDEABCDEABCDEA
B
C
D
证法四（构造BC21）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=BC21 ．
∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△EDC．∴ECACCDBCJ即BCACCDBC21．∴BC2＝2CD·AC．
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路
要开阔。
例2、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．
分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在
没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平
分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，
就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探
求问题的解决．
证法1： 如图4—9，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．
在△BCE中，∵ DA∥CE，∴ ①
又∵ CE∥AD，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，
∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴ AC=AE．代入②式得．
分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．
证法2： 如图4—10，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．
∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3．于是EA=ED．
又∵，∴ ，∴ .
分析3 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB
转移到与AC平行的位置．
证法3： 如图4—11，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．
CDBDAC
AB
AEBADC
BD
ACABDC
BD
DCBDEABEEABEEDBEACABCDBDAC
AB
∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E，AB=BE．又∵，∴ .
分析4 由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角
形求证．
证法4 如图4—12，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
易证四边形AEDF是菱形．则 DE=DF．
由△BDE∽△DFC，得．又∵ ，∴ .
主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
例1. 如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC
延长线相交于F，求证：BFCFBDCE
例2. 如图，△ABC中，AB
证明：AB·DF=AC·EF。
二、作垂线
例3. 已知：如图两个等积ABC、DBC，若AC、BD交于E，EF∥AB，EG∥CD，分
别交BC于F、G，求证：CF=BG。
ACBEDCBDCDBDAC
AB
DEBEDFBEDCBDACABDEBEDCBDAC
AB
例4. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，
求证：2ACAFADAEAB。
三、作延长线
例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，
且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于
F，FGAB于G，求证：FG2=CFBF
四、作中线
例7 如图，ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
五、综合练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF·BC=AC·DF
2、ABC中，90ACB，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），
MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：CNCMPBPA::。
3、如图，中，，，那么吗？试说明ABCABACBDACBCCACD22理由？
（用三种解法）
4、如图，一直线与△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于D，E，F。求证：若CFBFECAE，
则D是AB的中点。
A
B
C
D
E
F
5、如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，求
DF：FE的值。
6、已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，求AE：EC。
7、如图，ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC
延长线相交于F，求证：BFCFBDCE
B
E
A
D
C
F
A
B
C
D
M
E
B
D
A C
F
E