初等数论复习

ii)若 n=3m+2 ，则
n+1=3m+3
∴ 3 | n(n+1)(2n+1) iii)若 n=3m+1, 则 2n+1=6m+2+1=6m+3 ∴ 3 | n(n+1)(2n+1) 又∵（2,3）=1 ∴ 6 | n(n+1)(2n+1)
二、最大公因数和最小公倍数
定理1：设a, b, c是 任意三个不全为零的整数，
③ 若 c|a, c|b, 则对于m, n , 有c ma nb 一般地若 m|ai（i=1 , 2 , …，n）,则
ki (i 1, 2, , n) 有 m k i 则 |a| = |b|
i=1
a ⑤若b|a ，a≠0 则 b |a
例：求7除4750的余数。 解：∵47≡-2(mod7) ∴ 4750≡(-2)50(mod7) ≡250(mod7) ≡23×16+2(mod7) ≡(23)16·2(mod7) ≡816·2(mod7) 2 2 ≡1·2(mod7) ≡4(mod7) 2
∴
7除4750的余数为4。
二、 完全剩余类和完全剩余系
定理3：不定方程x2+2y2=z2满足(x,y)=1的一切正 整数解可以表为x=|a2-2b2|， y=2ab，z=a2+2b2， 其中a>0，b>0，2∤a，(a,b)=1
第四章 同余式
本章主要研究一次同余式，一次同余式组
解存在的条件，解的数量及其求解的方法，最
后讨论高次同余式解存在的条件，解的数量及
d | a-b-(a+b)
即 d | 2a , d | 2b
三、整数的唯一分解定理 (算术基本定理) 定理：对于任一大于1的整数a，除因数的顺序
外都能唯一分解成：a=p1 1 p 2 p k 2 k
其中 i 1
1
pi p j
k
(i j, i, j 1,2,, k )
25≡2×5(mod11)≡10(mod11) 26≡10×2(mod11)≡9(mod11) 27≡7(mod11) 28≡3(mod11) 29≡6(mod11) 210≡6×2(mod11) ≡1(mod11)
是
0，1，2，…, 10
的一个排列。
∴ 0,21，22，23，…,210 能构成模11的
四、
欧拉定理、费马定理和威尔逊定理
定理:(欧拉定理)若 (a,m)=1，则aφ(m) ≡ 1(modm)
推论:(费马定理)若p为素数,(a，p)=1,
则ap-1≡1(modp) 推论：若p为素数，∀a∈， 则 ap≡a(modp)
定理：(威尔逊定理)整数p是素数的充要条件
是(p-1)! ≡ -1(modp)
数解)的方程或方程组。
这一章主要讨论一次不定方程整数解存在
的条件，解的结构及解法，还讨论特殊的二次
不定方程的解结构及解法。
一、二元一次不定方程 定理：不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是
d|c，其中 d=(a,b)，并且当x=x0 , y=y0是它
的一个解时，则它的一切解可以表成
b x=x 0 - d t y=y + a t 0 d
m ( n ) n ( m ) 1(mod n )
同理
n ( m ) 1(mod m )
m ( n ) n ( m ) 1(mod m )
m ( n ) n ( m ) 1(mod nm )
第三章 不定方程
不定方程是指未知数的个数多于方程的个 数，而且未知量又受某种限制(如正整数或整
例：求200！标准分解式中素因数7的指数。
200 200 200 200 r = 解：7(200!) + 7 2 + 73 r=1 7 7

= 28 + 4 + 0 = 32
即 200! 的标准式中素因数7的指数为32。
则a≡b(modm)
m) 定理: 若ac≡bc(modm)且(c，m)=d， 则a≡b(mod d
定理：若c>0，则a≡b(modm) ac≡bc(modmc) 定理:若m1>0，m1|m且a≡b(modm)则a≡b(modm1) 定理：若a≡b(modmi) (i=1，2，…, n)，
则a≡b(mod[m1，…,mn])
pi为素数
且(1)d是a的正因数的充分必要条件是
d=p1 p k
(0 ≤ βi≤αi i = 1, 2, …, k)
(αi +1)
i=1 k
(2) a 的正因数的个数为 T(a)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)
p1 1 +1 -1 p 2 +1 -1 p k +1 -1 2 k (3) a的一切正因数之和 S(a)= p1 -1 p 2 -1 p k -1
m m m , = a b a,b
例：如果(a , b)=1，则 (a-b ,a+b) = 1 或 2 证明：设 (a-b , a+b)= d ⇒ d | a-b+a+b , ⇒ d | (2a , 2b) ⇒ d | 2(a , b) ∵ ⇒ (a , b) = 1 d=1 或 d=2 ∴d|2 则 d | a-b, d | a+b
∴ x≡25(mod47)是原同余式的解
a b a,b (ii)若c>0，c|a,c|b，则 , = c c c
(iii)若 (a,b)= 1，t是任意整数，
则 (at,b)=(t,b)
定理4：设a,b是任给的两个正整数，则 (i) a , b的所有公倍数都是[a,b]的倍数。 (ii)[a,b](a,b)=ab 推论：若(a,b)=1,则[a,b]=ab 定理5：设正整数m是a, b的一个公倍数，则
(t=0，±1，±2，…)
二、多元一次不定方程
定理：n元一次不定方程a1x1+ … +anxn=b 有整数解的充要条件是 (a1，a2，…, an) | b
设（a1 ,a2）=d2 , (d 2 , a3 ) d3 , , (d n1 , an ) d n
则（a1 ,a2 , ,an-1 ,an）=d n
• • • • • •
作业要求： 作业要及时完成，及时提交。 作业（网络作业、期中作业）要计入总分。 学习过程中的问题，可通过网上答疑系统提出。 考试说明： 试题类型：填空题(40%)、计算题和证明题 (60%)。 • 考试范围1-4章：其中第1、2章各占30%，第3、 4章各占20％（以光盘为准）。 • 试题难度不超出习题、例题、模拟试卷。
定理：k个整数a1，a2，…，ak形成模m的完全剩 余系的充要条件是： (1)k=m (2)ai≢aj(modm) ( i≠j )
定理：若(a，m)=1,∀b∈，则当x通过模m的完
全剩余系时，则ax+b也通过模m的完全剩余系。
例：问0,2，22，…，210是否构成模11的完全剩余系？
解：0，2，22=4，23=8，24≡5(mod11)
其解法。
一、一元一次同余式
定理：一元一次同余式 ax b(mod m ) 有解的 充要条件是(a , m ) b 且有解时，
它的解的数目是 d (a, m)
若 ax b(mod m) 有解， 则 ①化为a1 x b1 (mod m1 ) 求解. 其中 a1
a b m , b1 , m1 (a , m ) (a , m ) (a, m )
定理：a, b , 且b 0 ，则 q, r 使得 a=bq+r（0≤r<|b|）成立, 并且q , r是唯一的。 定理：k个连续整数中有且仅有一个整数能被k整除。 定理： k个连续整数之积恒被k!所整除
例：证明6 | n(n+1)(2n+1) 证明：∵ n∈ i)若 ∴ 2 | n(n+1)(2n+1) n=3m，则 3 | n(n+1)(2n+1)
当d n b 时，则a1 x1 a2 x2 an xn b
a1 x1 a2 x2 d 2t2 d t a x d t 3 3 22 3 3 d t a x d t n 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n 1 d n 1tn 1 an xn b
②解不定方程 a1 x m1 y b1 从而求出同余式的解
例1：解同余式58x≡87(mod47) 解：∵ (47x+11x)≡(47+40)(mod47)
∴ 原余分式可化为11x≡40(mod47)
∵(11，47)=1 ∴原同余式有解且仅有一解 解不定方程 11x+47y=40 ∵ y0=6 ,x0=25是它的一个解
(4) a 的一切正因数之积为
p(a)=a
1 T a 2
T(a)为a的一切正因数的个数。
四、高斯函数 [x]
定理：若x是正实数，n∈+，则不大于x，且为
x n的倍数的自然数的个数是 n
定理：在n!的标准分解式中素因数p的指数是 n n n n p(n!) + 2 + + r + r=1 p p p p
可转化为求解 :
然后消去t2 ，t3 ，…，tn-1 即 可 。
三、勾股数
定理1：不定方程 uv=w2，(u,v)=1 的一切正整数 解可以表成 u=a2，v=b2，w=ab，
其中 a>0，b>0，(a,b)=1