特殊凸体边界小位似体覆盖

合集下载

一个特殊d-凸性空间中的Tverberg定理

S 中其余 2(k 1) 1 个点由归纳假设知在 C1 n 中有 Radon (k 1) -划分 {S1 , S k 1} ，从而 {{a1 , a 2 }, S1 , S k 1} 为 S 在 C1 n 的 Radon k -划分。情形（2）当 S 中任两点差的向量均平行于的对角线时，易知 S 中 2k－1 个点共线，从而显然有 Radon k-划分。故当 m≥2，n≥3 时，有 r2 (C1n ) 2m 1 。由命题 1 和命题 4 即有
命题 3 设 a, b R n （n≥3），当向量 a b 不平行于 Rn
(i )
2 命题 1 在( R n , C1 )中， rm (C12 ) 2m 1,
证明首先( R
n
2 , C1
)中任一 d-凸集亦为线性凸集，而由
Tverberg 定理知 R2 中任一 2m 1 (m 1)(1 1) 1 点集均存
空间(X,C)有：
rm (C ) ≤ (m 1)(r2 (C ) 1) 1 ，m>2
下面我们证明对一特殊 d-凸性空间 J.Eckhoff 猜想成立。在 Rn 中定义泛数： x ( x1 , x 2 , , x n ) R n ，
( x1, x2 , xn ), 其中xi k , xi 1 1, 其余为0, k为偶数 i ak ( x1, x2 , xn ), 其中xi k , xi ２ 1, 其余为0, k为奇数
{( x1 , x 2 , , x n )
xi ≤ 1, i 1,2 n}
命题 2 Rn (n≥3) 中唯一的凸体为 Rn 本身．证明因为 Rn 中任一体均含有一个与位似的子集, 所以只须证明一个含有的 d-凸集必等于 Rn。下设 d凸集 M 含。设

基于数值模拟技术的汽车覆盖件模具变形预测

ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎＰｒｅｄｉｃｔｉｏｎｏｆＡｕｔｏｍｏｂｉｌｅＰａｎｅｌＤｉｅＢａｓｅｄｏｎＮｕｍｅｒｉｃａｌＳｉｍｕｌａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＱＩＡＮＧｕａｎｇ－ｋｕｏ１ꎬ ＹＵＱｉａｎｇ２
(１.ＴｉａｎｊｉｎＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＭｏｕｌｄＰａｒｔｓＣｏ.ꎬ Ｌｔｄꎬ Ｔｉａｎｊｉｎ３００３００ꎬ Ｃｈｉｎａꎻ ２.ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬ ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＥｄｕｃａｔｉｏｎꎬ Ｔｉａｎｊｉｎ３００２２２ꎬ Ｃｈｉｎａ) Ａｂｓｔｒａｃｔ: Ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍａｔｃｈｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙｏｆｐｕｎｃｈａｎｄｄｉｅｗｏｒｋｉｎｇｓｕｒｆａｃｅｉｎｔｈｅｓｔａｍｐｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｏｆａｕｔｏｍｏｂｉｌｅｐａｎｅｌｄｉｅｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｋｅｙｆａｃｔｏｒｓａｆｆｅｃｔｉｎｇｔｈｅｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙｏｆｓｔａｍｐｉｎｇｐａｒｔｓａｎｄｔｈｅｏｖｅｒａｌｌｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇｃｙｃｌｅｏｆｔｈｅｄｉｅ. Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒꎬ ｗｉｔｈｔｈｅＵＧａｎｄＬＳ－ＤＹＮＡｓｏｆｔｗａｒｅꎬ ｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆａｄｉｅｕｎｄｅｒｔｈｅｍａｘｉ￣ｍｕｍｓｔａｍｐｉｎｇｆｏｒｃｅｉｓｃａｒｒｉｅｄｏｕｔ. ＩｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅＺ－ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｉｎｔｈｅｍｉｄｄｌｅａｒｅａｏｆｔｈｅｐｕｎｃｈａｎｄｔｈｅｂｌａｎｋｈｏｌｄｅｒｉｓｌａｒｇｅｒꎬ ａｎｄｔｈｅＺ－ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｎｅａｒｔｈｅｅｄｇｅｏｆｔｈｅｄｉｅｉｓｇｒａｄｕａｌｌｙｒｅｄｕｃｅｄꎻ ｗｈｉｌｅｔｈｅＺ－ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｓ￣ｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｄｉｅａｐｐｅａｒｓａｔｔｈｅｏｕｔｅｒｓｉｄｅｏｆｔｈｅｄｉｅꎬ ａｎｄｔｈｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆｄｉｅｃｏｎｃａｖｅｐａｒｔｉｓｓｍａｌｌ. Ｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｌａｗｏｆｃｏｎｔａｃｔｐｒｅｓｓｕｒｅꎬ ｉｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｃｏｎｔａｃｔｐｒｅｓｓｕｒｅｉｎｔｈｅｃｅｎｔｅｒａｒｅａｏｆｐｕｎｃｈａｎｄｄｉｅｓｕｒｆａｃｅｉｓｓｍａｌｌｅｒｔｈａｎｔｈａｔｉｎｔｈｅｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇａｒｅａꎬ ａｎｄｔｈｅｃｏｎｔａｃｔｐｒｅｓｓｕｒｅｉｎｔｈｅｂｌａｎｋｈｏｌｄｅｒｓｕｒｆａｃｅｉｓｍｏｒｅｕｎｉｆｏｒｍ. Ｋｅｙｗｏｒｄｓ: ａｕｔｏｍｏｂｉｌｅｐａｎｅｌｄｉｅꎻ ｄｉｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎꎻ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ

多个凹凸形多面体的深度优先消隐算法研究

多个凹凸形多面体的深度优先消隐算法研究CN43—1258/TPISSN1007—130X计算机工程与科学COMPUTERENGINEERING&SCIENCE2006年第28卷第9期V ol_28,No.9,2006文章编号:1007—130X(2006)09—0097—03多个凹凸形多面体的深度优先消隐算法研究ResearchontheDepthOrderHiddenAlgorithm forMultipleConcavo——ConvexPolyhedrons袁超YUANChao(四川理工学院计算机科学技术系,gItJII自贡643000)(Deparln~ntofComputerScience,SichuanUniversityofScienceandEngineering,Zigong6 43000,China)摘要:为了对多个凹凸形多面体进行消隐处理,应首先对单个凹凸形多面体进行可见性测试.对多个凹凸形多面体间可能出现的遮蔽进行屏幕投影多边形的重叠排除验证,对可能出现重叠的多边形边进行交点计算,包容性测试和深度检查.本文指出,凹凸形多面体在可见性测试及投影多边形包容性测试方面应采用不同的处理方法.实践结果表明,此算法可以取得较好的效果.Abstract:InordertOperformhidden-surfaceprocessingonmultipleconcavo-convexpolyh edrons,visibletestshouldbemadeforflsingleconcavo-convexpolyhedron.Asforthepossiblecamouflagebetweenmultipleconcavo-convexpolyhed—rons,weshouldgiveanoverlapremovalverificationonscreenprojectionpolyhedrons;asfort hepossibleoverlappingbe—tweentheedgesofpolygons,wecarryoutintersectionpointcomputation,containingtestand depthinspection.Thearticlepointsouttheconcavo-convexpolyhedronshouldusedifferentprocessingmethodsinthevisi bletestandtheprojectionpoly—goncontainingtest.Thepracticeindicatesthisalgorithmmayobtainflbettereffect.关键词:多面体;深度优先;消隐算法;真实感图形Keywords:polyhedron;depthfirst;hiddensurfacealgorithm;realisticgraph中图分类号:TP391.41文献标识码:A1引言在多个三维凹凸形多面体的消隐处理过程中,由于凹形多边形与凸形多边形在面的外法向矢量的计算上不同,以及多边形顶点是否被包容于凸形多边形区域与凹形多边形区域内的计算方法上的不同,因此应将两者进行分别处理.对于三维凸形多面体面的可见性测试较为简单,只需要根据面外法向量n和视线向量z的点积是否大于0就可以进行判断,若n?/>0,则为可见面;否则为隐藏面.对于三维凹形多面体面的可见性测试,则是一个较为复杂的问题,凸形多边形表面的外法向矢量计算方法不能用于这种场合;此外,对于可能穿过多面体的棱,需要对棱与物体进行单独遮蔽测试.为了对多个凹凸形多面体间可能出现的遮蔽进行消隐处理,下面将深入研究单个凹形多面体的可见性测试及多个多面体间的消隐算法问题.2单个凹形多面体的可见性测试2.1单位外法向矢量对于三维凹形多面体可见性测试按下面方法计算单位外法线向量,并用外法线向量与视线向量的点积是否大于0来区别向前面或向后面.×——×2.2棱边的分类对棱边进行分类如图1所示.根据棱边的分类情况可以判断一定不可见的棱以及可能可见,也可能不可见的潜在的可见棱.÷收稿日期:2006-04-ii;修订日期:2006—06-13作者简介:袁超(1956一),男,四川自贡人,讲师,研究方向为软件工程和计算机图形. 通讯地址:643000四川省自贡市四川理工学院计算机科学技术系;Tel:137****6037;E-mail:yuanchao_zggz(~Address:DepartmentofComputerScience,SichuanUniversityofScienceandEngineering, Zigong,Sichuan643000,PRChina97∑∑图1凹多面体棱的分类凹多面体棱的分类如下:(1)HFF棱:两个向前面的公共棱;(2)HsB棱:两个向后面相交形成的棱;(3)HFS棱:当向前面比向后面更接近观察点时,一个向前面与一个向后面相交形成的棱;(4)H舾棱:当向后面比向前面更接近观察点时,一个向后面与一个向前面相交形成的棱.其中,HsB和Hw是一定不可见的,消隐处理时应首先找出,把它们舍弃;而HFF和HFB是可能可见,也可能不可见的潜在的可见棱,对它们还要做进一步的处理.2.3凹形面棱的可见性凹形面棱的可见性判断方法如下:(1)n为凹形面的单位外法向矢量,l为视见矢量,根据n?1>0和n?l<O确定各个面是向前面或是向后面.(2)确定棱所在的两个面的面号,根据面号得出这两个面是向前面还是后向面.(3)若为H船则棱不可见,若为HFF则对凸形多面体为可见,对凹形多面体为潜在可见棱.(4)当一个为向前面,另一个为向后面时,则根据棱上一个顶点判断两个所在面的深度,为此计算屏幕坐标Z的值:①对多边形1:Z.=一(a1X+b1Ys+d1)/c1;②对多边形2:Z.一一(a2X+b2Y.+d2)/c2.比较Z.的值,Z.值较小的多边形离观察者较近.(5)若向前面的Z.小于向后面的Z.,则为HFB棱,对于凸形多面体是可见棱,对于凹形多面体则是潜在可见棱;若向前面的Z.大于向后面的Z.,则为Hw棱,对于凹形多面体和凸形多面体则都是不可见棱.对于不相贯潜在可见棱的处理,只要求出此棱的投影与多面体落影区是否有交集.如果有交集,可任取其中一点,对应于棱边上的点与平面上的点做深度测试.如果在这点棱比多面体更靠近观察点,则棱不被多面体遮蔽,否则棱被多面体遮蔽.如果棱的投影与落影区边界有交点则求出所有交点,从而可得出此棱的被遮蔽部分与不被遮蔽部分.当棱用参数的方程表示时,这些不可见部分与可见部分都可以用一些参数的小区间来表示.对于可能穿过多面体的棱,在对棱与物体进行遮蔽测试时,必须求出棱与多面体各面的遮蔽关系,并找出不被遮蔽的部分.设棱的起点为P1(xl,Y1,Z1),终点为Pz(x2,Y2,Z2),取平面方程为:Ax+By+Cz+D一0若点(x,Y,z)在面的前面时,有Ax+By+Cz+D>0令El—Ax++(+D,i一1,2,则当E1,E2≥0且E,E2不同时为0时,vl,v2均在面的前面,而且不同时在面上.此时,vl,v2不被遮蔽.当E1—0,E2—0时,vl,v2均在面上,此时棱的可见性由与该棱相连的其它棱在面的前后决定.98当E与E2符号不同时,该棱一端在面的前面,一端在面的后面.令—lEl/(1El+l1),则当E>O时,参数值在[,1]部分的棱在面的后面;而E<O时,参数值在[O,1] 部分的棱在面的后面.对在面的后面的部分棱,应该求出其投影是否和面的投影边界相交.如果相交,还要求出可见的部分线段.当E<O,E2<O时,棱的两个端点均在面的后面.当棱在面的后面时,要在投影面上求出棱与面的边界交点,从而确定被遮蔽的部分.棱边最终可见部分的求取:在每一潜在可见棱与所有有关的多面体做遮蔽测试后,可得到一系列不被遮蔽的参数区间,棱边最终可见部分应该是这些区间的交集.求取交集的方法是:置每个小区间左端的特征为"一",右端特征为"+",将两列值合并后,由小到大排序.从最左的负特征端点开始,置IN一一1,取下一个端点,若特征为"+",则IN:IN+1;若特征为"一",则IN=IN一1,反复进行,直到端点用完为止.最后,每个从IN:一2到IN:一1的端点就是可见的区间段.这个算法可以推广到n列区间的求交问题.3多个凹凸形多面体的可见性测试对于由多个凹凸形多面体组成的组合体如图2所示,除了要确定每个多面体的可见部分外,还要指出多面体间的几何关系中被较近的多面体所遮蔽的那些部分.图2多个凹凸形多面体组成的组合体在由多个凹凸形多面体组成的组合体中,对于每一个多边形存在三种可能性:两个多边形相交;一个多边形完全包围着另一个多边形;两个多边形完全不重叠.为此,需要进行最大最小测试,相交测试,深度测试和包容测试等.这些关系测试是在图像空间中进行的.3.1最大最小测试最大最小测试的目的是找出不可能重叠的一对多边形.在屏幕坐标系中,考虑两个闭合多边形A和B,它们是三维物体两个面屏幕坐标系x5,Ys平面上的投影.对于每个多边形,分别求出X坐标的最大值和最小值,以及Y 坐标的最大值和最小值.若下列语句中至少有一个为真, 则多边形A和B就不可能重叠.max(xA)<min(xB)max(xB)<min(xa)max(ya)<min(yB)max(yB)<min(ya)若上述关系不满足,则不能排除两个多边形发生重叠的可能.为此,要进一步进行相交测试.3.2相交测试设线段a由两个端点(z,Y)和(z,Y)给定,线段G由端点(z,Y)和(z,Y)给定,它们的斜率分别为m和m.求边的交点方法如下:(1)计算斜率:,,2:(y2一Y1)/(x2一z1),,,2=(y2一Yl)/(z2一zl).(2)若m—m一0,则这两条边平行,转到(6);否则,转到(3).(3)若m/m一1一(yl—mx1)/(yl一mXl),则两条边重合,转到(6);否则,转到(4).(4)计算交点:Xi=F(yl--yl)一(mxl—mXl)]/(m一m),yi—F(yl—m1)m一(yl一mXl)m]/(m--m).(5)如果满足下列条件之一,则两条线段G和G就不在I点处相交.Xi<min(xl,X2),Xi>?/q~2X(XI,X2),Xi<min(xl,X2),Xi>max(xl,)c2)yi<rain(yl,y2),yi>max(y~,y2),yi<rain(Yl,y2),yl>max(y1,yz)如果不满足上述所有条件,则相交.(6)从多边形B中选择另一条边,并且重复这个过程.如果已经没有要比较的边,则停止.3.3深度测试通过交点计算,若存在交点(xi,Y),就需要进一步根据交点来确定哪个多边形是可见的,哪个多边形是隐藏的. 若通过交点计算不存在交点,则有两种可能:它们是一对重叠的多边形,即一个多边形完全包围另一个多边形;或者它们完全不重叠.对于完全不重叠的情况,它们不发生遮蔽关系,不影响彼此的可见性.对于重叠的多边形,也需要从视图的一个特定的点上确定哪个多边形是可见的,哪个是隐藏的.总之,对于有交点或发生重叠的情况,都需要判断两个面的深度.为此,根据交点或选定的点来计算屏幕坐标ZS 的值:①对多边形1=zs一一(alXx+blY.+d1)/cl;②对多边形2:zs一一(a2xI+b2Y+d2)/c2.其中,a,,b…C,di表示两个多边形所在平面的平面方程系数.比较的值值较小的多边形离观察者较近.3.4包容性测试为了测试一个多边形是否包围另一个多边形,需要测试一个多边形的每个顶点是否包含在另一个多边形中. 对于凸多边形可采用半平面方法测试,算法简便易行;半平面方法对非凸多边形却不适用,后者则只能通过计算角度总和的方法来测试.3.4.1凸多边形的包容性测试半平面方法测试的过程如下:多边形的顶点按逆时针方向进行编号,设P(a'b),132 (c,d)为多边形B的顶点,P(e,f)为待测试的点,若(e—a) (d—b)>(f—b)(c—a),则P包含在线P132的左半平面; 若(e—a)(d—b)<(f—b)(c—a),则P包含在线P132的右半平面.对多边形B的每一条边重复这个过程,如果P处于多边形B的每一条边的左半平面,则P包含在多边形B之内;如果P处于多边形B的至少一条边的右半平面,则P 包含在多边形B之外.3.4.2非凸多边形的包容性测试对于非凸多边形的包容性测试,只能通过计算角度总和的方法来进行.要求多边形B按逆时针方向对其顶点编号,一(xj,YJ)表示多边形B的第j个顶点,其中J一1,…,n,并且Pn—P.令Pr是将要测试的一个点,即测试PI是否包含在多边形B中.设P1(a'b),132(c,d)为多边形B的顶点,P(e,f)为待测试的点,Pl一(口一P,6一厂)P2一(f—P,—IPfP.I一("一P)+(6一厂)1P￡P:1一√(c—P)+(一Pl?P:一(口一P)(f—P)+(6一(—Or=COS(Pl?P2/(1PlI?IPfP2I))其中,是有正负号的,如果向量PfP.到向量PfP:为逆时针时,为正号;如果向量P-到向量P:为顺时针时,为负号.对多边形B所有的顶点计算j,并且计算,若一O,则点在多边形B之外;若一360.,则点P在多边形B之内.4算法实现刁.算法中所用各个消隐测试处理的逻辑关系如图3所图3消除隐藏线中所用测试的逻辑关系5结束语为了进行多个凹凸形多面体的深度优先消隐处理,区别对待单个凸形多面体和单个凹形多面体的可见性测试, 在进行多个三维物体的消隐处理之前,根据向前面或向后面的区别以及棱的分类和深度计算判断出潜在的可见棱, 完成单个凹形多面体的可见性测试;对多个凹凸形多面体可能出现的遮蔽,进行投影多边形的重叠排除验证,对多边形边进行交点计算和深度检查;对包容性测试,完成了多个凹凸形多面体消隐算法.(下转第102页)994性能分析和实验结果4.1性能分析由处理器的存储空间和运行时间分析算法性能.处理器的存储空间为O(2一),算法性能主要取决于求子集和,处理器间的通信和数据比较时间.子集和生成过程的第一步,处理器间的通信时间复杂度是0(2一1),求和时间复杂度为0(2);第二步中由于处理器都是处理本地数据,所以没有处理器间的通信开销,求和时间复杂度是0 (2一),因此其总的时间复杂度是0(+2一).由文献f7]可得子集和排序算法中的PMFS排序时间复杂度是O(m×2一+詈X2一),其中处理器间的通信时间复杂度是0(2一+(m一1)X),数据比较时间复杂度为O ((m一1)X2一+2一).搜索过程的第一步P0,P一,PPI2一都要与PP/2,PP/2+,…,PP一进行比较,以确定有解的处理器对,故最多需要0(2)的通信,数据比较和求和时间;第二步中每对处理器都执行单向的顺序搜索,因此最坏通信,求和及比较时间均为O(2一).由此,搜索时间复杂度是0(2+2一).因此,可得算法总的时间复杂度为O(mX2+2x2一).4.2实验结果采用C语言和MPI并行编程接口在IBMP690高性能计算机上以阻塞通信方式实现了算法.随机生成的背包实例的并行算法和串行二表算法的实验结果如表1所示.表1算法在IBMP69O上的实验结果(时间单位:秒)实验结果表明:随着处理器数的增加,处理器问的通信时间也增大,对较小规模的背包实例,其并行执行时间上升,但较大规模的背包实例的并行计算时间明显减少,因此需根据背包实例的规模选择适当的处理器数;算法比较适合计算较大规模的背包问题(≥40),其并行效率可达6O%以上.】025结束语理论分析和实验结果表明:算法在一定数量的处理器时具有较小的通信开销和很好的负载平衡;算法可在共享存储和分布式存储的可扩放并行机上实现,因此可利用它求解维数的≥40背包问题.由于背包问题是NP完全问题,所以若要在合理时间内求解更大规模的背包问题,则所需要的处理器数也会增加.但是,随着处理器数的增大,通信开销也会随之上升,因此利用本并行算法求解维数为8O以上的背包问题无疑是值得进一步研究的工作.参考文献:IllMRGarey,putersandintractability:A GuidetotheTheoryofNP-Completeness[M].SanFrancis—CO:WHFreemanandCo,1979.[2]BChor,RIRivest.AKnapsack-TypePublicKeyCrypto—systemBasedonArithmeticinFiniteFields[J].IEEETrans onInformationTheory,1988,34(5):901—909.[3]李庆华,李肯立,蒋盛益,等.背包问题的最优并行算法[J]. 软件,2003,14(5):891—896.[4]Ken-I』IRen-FaIj,Qing-HuaI丘OptimalParallelAlgo—rithmfortheKnapsackProblemWithoutMemoryConflicts [J].JournalofComputerScienceandTechnology,2004,19(6):76O-768.[5]LouDC,ChangCC.AParallelTwo-IistAlgorithmforthe KnapsackProblem[J].ParallelComputing,1997,22(14):l985一l996.[6]陈国良.并行计算:结构?算法?编程rM].北京:高等教育出版社,2003.1-7]丁卫群,计永昶,陈国良.一种基于MPP的并行归并算法[J].计算机研究与发展,1999,36(1):52—56.[8]Xiaobo10PaulIu,JonathanSchaeffer,eta1.OntheVersa—tilityofParallelSortingbyRegularSampling[J].Parallel Computing,1993,19(10):1079-1103.(上接第99页)参考文献:[1]潘云鹤,董金祥.计算机图形学一原理,方法及应用[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]陈传波,陆枫.计算机图形学基础rM].北京:电子工业出版社,2005.[3]李春生,邱道尹,谭同德,等.计算机图形学理论与实践[M]. 北京:北京航空航天大学出版社,2004.[4]DonaldHeam,MPaulineBaken计算机图形学.第二版rM]. 北京:电子工业出版社,2003.[5]金廷赞.计算机图形学rM].杭州:浙江大学出版社,2000.[6]李陶深.计算机图形技术基础rM].重庆:重庆大学出版社, l997.1-7]江涛,姜永林,谢美森.计算机绘图与辅助设计基础rM].上海:复旦大学出版社,1994.[8]孙家广,许隆文.计算机图形学rM].北京:清华大学出版社, 1986.。

2020年河北省中考数学试卷及其答案

2020年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条2．（3分）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷3．（3分）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解4．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同5．（3分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）A．9B．8C．7D．66．（3分）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．a＞0，b＞DE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b＜DE的长7．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．（3分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR9．（3分）若＝8×10×12，则k＝（）A．12B．10C．8D．610．（3分）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC 构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是（）A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB＝CDC．应补充：且AB∥CDD．应补充：且OA＝OC11．（2分）若k为正整数，则＝（）A．k2k B．k2k+1C．2k k D．k2+k12．（2分）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．从点P向北偏西45°走3km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l13．（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a ×10n千米，则n可能为（）A．5B．6C．5或6D．5或6或714．（2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值15．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对16．（2分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）17．（3分）已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝．18．（3分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝．19．（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）已知两个有理数：﹣9和5．（1）计算：；（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．21．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．22．（9分）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP 并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．（1）①求证：△AOE≌△POC；②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．23．（9分）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．（1）求W与x的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．①求Q与x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]24．（10分）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．x﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．25．（10分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．26．（12分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q 在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M 到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．2020年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线m的垂线，可作无数条．故选：D．2．（3分）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），∴覆盖的是：÷．故选：D．3．（3分）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．4．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同【解答】解：解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．解法二：第一个几何体的三视图如图所示第二个几何体的三视图如图所示：观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，故选：D．5．（3分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，∴当a＝9时，中位数是8.5，众数是9，故选项A不合题意；当a＝8时，中位数是8，众数是8，故选项B符合题意；当a＝7时，中位数是7.5，没有众数，故选项C不符合题意；当a＝6时，中位数是7，众数是6，故选项D不符合题意；故选：B．6．（3分）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．a＞0，b＞DE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b＜DE的长【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b 必须大于DE，否则没有交点，故选：B．7．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．8．（3分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR【解答】解：∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC＝＝，OM＝＝2，OD＝，OB＝＝，OA＝＝，OR＝＝，OQ＝2，OP＝＝2，OH＝＝3，ON＝＝2，∵＝＝2，∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．9．（3分）若＝8×10×12，则k＝（）A．12B．10C．8D．6【解答】解：方程两边都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝10．经检验k＝10是原方程的解．故选：B．10．（3分）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是（）A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB＝CDC．应补充：且AB∥CDD．应补充：且OA＝OC【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故应补充“AB＝CD”，故选：B．11．（2分）若k为正整数，则＝（）A．k2k B．k2k+1C．2k k D．k2+k【解答】解：＝（k•k）k＝（k2）k＝k2k，故选：A．12．（2分）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．从点P向北偏西45°走3km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l【解答】解：如图，由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，则AB＝6km，如图所示，过P点作AB的垂线PC，则PC＝3km，则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，选项D正确．故选：A．13．（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a ×10n千米，则n可能为（）A．5B．6C．5或6D．5或6或7【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5；当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6．因为1≤t≤10，所以n 可能为5或6，故选：C．14．（2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说得对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故选：A．15．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．16．（2分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）17．（3分）已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝6．【解答】解：原式＝3﹣＝a﹣＝b，故a＝3，b＝2，则ab＝6．故答案为：6．18．（3分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝12．【解答】解：正六边形的一个内角为：，∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．19．（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L．作Tm（1）若L过点T，则k＝﹣16；1（2）若L 过点T 4，则它必定还过另一点T m ，则m ＝5；（3）若曲线L 使得T 1～T 8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有7个．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T 1（﹣16，1），T 2（﹣14，2），T 3（﹣12，3），T 4（﹣10，4），T 5（﹣8，5），T 6（﹣6，6），T 7（﹣4，7），T 8（﹣2，8），∵L 过点T 1，∴k ＝﹣16×1＝﹣16，故答案为：﹣16；（2）∵L 过点T 4，∴k ＝﹣10×4＝﹣40，∴反比例函数解析式为：y ＝﹣，当x ＝﹣8时，y ＝5，∴T 5在反比例函数图象上，∴m ＝5，故答案为：5；（3）若曲线L 过点T 1（﹣16，1），T 8（﹣2，8）时，k ＝﹣16，若曲线L 过点T 2（﹣14，2），T 7（﹣4，7）时，k ＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L 过点T 3（﹣12，3），T 6（﹣6，6）时，k ＝﹣12×3＝﹣36，若曲线L 过点T 4（﹣10，4），T 5（﹣8，5）时，k ＝﹣40，∵曲线L 使得T 1～T 8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴﹣36＜k ＜﹣28，∴整数k ＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，故答案为：7．三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）已知两个有理数：﹣9和5．（1）计算：；（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．【解答】解：（1）＝＝﹣2；（2）根据题意得，＜m，∴﹣4+m＜3m，∴m﹣3m＜4，∴﹣2m＜4，∴m＞﹣2，∵m是负整数，∴m＝﹣1．21．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；∵（2a﹣3）2≥0，∴这个和不能为负数．22．（9分）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP 并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．（1）①求证：△AOE≌△POC；②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S（答案保扇形EOD 留π）．【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，，∴△AOE≌△POC（SAS）；②∠1+∠C＝∠2，理由是：∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠C，∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C＝∠2；（2）当∠C最大时，CP与小半圆相切，如图，∵OC＝2OA＝2，∴OC＝2OP，∵CP与小半圆相切，∴∠OPC＝90°，∴∠OCP＝30°，∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，∴．23．（9分）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W ＝3．（1）求W 与x 的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x （厘米），Q ＝W 厚﹣W 薄．①求Q 与x 的函数关系式；②x 为何值时，Q 是W 薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x 的取值范围]【解答】解：（1）设W ＝kx 2（k ≠0）．∵当x ＝3时，W ＝3，∴3＝9k ，解得k ＝，∴W 与x 的函数关系式为W ＝x 2；（2）①设薄板的厚度为x 厘米，则厚板的厚度为（6﹣x ）厘米，∴Q ＝W 厚﹣W 薄＝（6﹣x ）2﹣x 2＝﹣4x +12，即Q 与x 的函数关系式为Q ＝﹣4x +12；②∵Q 是W 薄的3倍，∴﹣4x +12＝3×x 2，整理得，x 2+4x ﹣12＝0，解得，x 1＝2，x 2＝﹣6（不合题意舍去），故x 为2时，Q 是W 薄的3倍．24．（10分）表格中的两组对应值满足一次函数y ＝kx +b ，现画出了它的图象为直线l ，如图．而某同学为观察k ，b 对图象的影响，将上面函数中的k 与b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l '．x ﹣10y﹣21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝3x+1；（2）依题意可得直线l′的解析式为y＝x+3如图，解得，∴两直线的交点为A（1，4），∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为B（0，3），∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：AB＝＝；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x＝；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；分三种情况：①当第三点在y轴上时，a﹣3+＝0，解得a＝；②当第三点在直线l上时，2×＝a﹣3，解得a＝7；③当第三点在直线l'上时，2×（a﹣3）＝，解得a＝；∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．25．（10分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．【解答】解：（1）∵经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，∴必须甲对乙错，因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，∴P＝．甲对乙错（2）根据题意可得，n次答对，向西移动4n，（10﹣n）次答错，向东移了2（10﹣n），∴m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．n＝4时，离原点最近．（3）起初，甲乙的距离是8，易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，当甲乙同时答对答错时，二者之间的距离缩小2，∴当进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，∴6÷2＝3或10÷2＝5，∴k＝3或k＝5．26．（12分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q 在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M 到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴tan∠B＝tan∠C＝＝，∴AH＝3，AB＝AC＝＝＝5．∴当点P在BC上时，PA⊥BC时，点P到A的最短距离为3．（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，∴＝（）2＝，∴＝，∴AP＝，∴PM＝AP﹣AM＝﹣2＝．（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．∵PQ∥BC，∴＝，∠AQP＝∠C，∴＝，∴PQ＝（x+2），∵sin∠AQP＝sin∠C＝，∴PJ＝PQ•sin∠AQP＝（x+2）．当3＜x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．此时PC＝8+5﹣2﹣x＝11﹣x，同法可得PJ＝PC•sin∠C＝（11﹣x）．综上，PJ＝；（4）由题意点P的运动速度＝＝单位长度/秒．当3＜x≤9时，设点P移动的路程为x，CQ＝y．∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴＝，∴＝，∴y＝﹣（x﹣7）2+，∵﹣＜0，∴x＝7时，y有最大值，最大值＝，∵AK＝，∴CK＝5﹣＝＜，当y＝时，＝﹣（x﹣7）2+，解得x＝7±，∴点K被扫描到的总时长＝（+6﹣3）÷＝23（秒）．。

以凸面单体边界为搜索空间的端元快速提取算法

以凸面单体边界为搜索空间的端元快速提取算法
朱述龙;齐建成;朱宝山;曹闻
【期刊名称】《遥感学报》
【年(卷),期】2010(014)003
【摘要】提出了以凸面单体边界为搜索空间的端元快速提取算法,其核心包括凸面单体边界的确定和以凸面单体边界为基础的端元搜索两部分.实验表明:该算法不仅能够准确地寻找到端元,而且端元提取速度明显快于现有的端元提取算法.
【总页数】11页(P482-492)
【作者】朱述龙;齐建成;朱宝山;曹闻
【作者单位】解放军信息工程大学测绘学院遥感信息工程系,河南,郑州,450052;解放军信息工程大学测绘学院遥感信息工程系,河南,郑州,450052;解放军信息工程大学测绘学院遥感信息工程系,河南,郑州,450052;解放军信息工程大学测绘学院遥感信息工程系,河南,郑州,450052
【正文语种】中文
【中图分类】TP751.1
【相关文献】
1.钻杆加厚端内轮廓参数快速提取算法 [J], 李杰;陶卫;赵辉;王占斌
2.一种基于最大体积单体的端元自动提取算法 [J], 李二森;陈昌明;贾中林;帅桂华
3.基于超像素分割和纯像元指数的端元束提取算法 [J], 陆海强;左成欢;
4.基于植被指数分析的端元束提取算法 [J], 郭振; 左成欢; 周竹菁; 卢俊杰
5.航空部件测量数据的三维散乱点云边界特征快速提取算法 [J], 杨宏伟
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

全国各地初中(九年级)数学竞赛《几何》真题大全 (附答案)

全国各地初中（九年级）数学竞赛专题大全竞赛专题7 几何一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于AB 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（）A ．4k =-，8b =B ．4k =-，4b =C ．2k =-，4b =D ．2k =-，2b =3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽△△，相似比为ABk DE=，那么k 的不同值共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________． 6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______．7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________．三、解答题8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2．10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧．12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n个不全共线的点，求证：存在一条直线l，它恰通过其中两个点．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A，B，C，D为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A，B，C，D在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之．15．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19．20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于33000cm的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．竞赛专题7 几何答案解析一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒【答案】B 【详解】解设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y z k ===，即4,,3x k y k z k ===，从而4::1::13:4:33x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点，点O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，k ，b 的值为（）A ．4k =-，8b =B ．4k =-，4b =C ．2k =-，4b =D ．2k =-，2b =【答案】A 【详解】解因函数y kx b =+的图象过点(1,4)P ，所以4,4k b b k =+=-，于是(4)y kx k =+-．令0y =得4,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭．令0x =得(0,4)B k -．连OP ，得 114122OABOAP OPBSSSOA OB =+=⨯⨯+⨯⨯ 14141(4)22k k k -=⨯⨯+⨯⨯- 11642k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．显然0k <．令k u =-，则0u >，于是116116442822OABSu u u u⎛⎫=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭．等号成立当且仅当16(0)u u u=>，即4u =，这时4,48k b k =-=-=．故选A ．注：OAB 的面积也可用114(4)22OABk SOA OB k k-=⨯⨯=⨯⨯-算出． 3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知DEF 的边长分别为3,2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画ABC ，使得ABC DEF ∽△△，相似比为ABk DE=，那么k 的不同值共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】作图知与DEF 相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如图所示的三种，故选C ．二、填空题4．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．【答案】550(010)y x x =+<< 【详解】解由DP x =得10PC x =-．又12BF BE PC EC ==，即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+，所以EFBAFPD y SS =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<．故应填550(010)y x x =+<<．5．（2021·全国·九年级竞赛）把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切．若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．【答案】1133．【详解】如图，设1O 的半径为8，2O ，3O 的半径为5，切点为A ．由对称性，能盖住这3个圆的最小圆形纸片的中心O 在对称轴1O A 上，且与已知三个圆内切．若设这个圆形纸片的半径为r ，则在12Rt O O A 中22221122(85)512O A OO O A =-=+-=，在2Rt OO A 中，25OO r =-，1112(8)OA O A OO r =-=--，25O A =，于是，由22222OO O A OA =+得222(5)5(128)r r -=+-+，由此解出4011333r ==，即所求圆形纸片的最小半径等于1133．6．（2021·全国·九年级竞赛）由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______．【答案】42π+【详解】如图，所覆盖面积2 114214222ABCS S S ππ=+=⨯⨯+⋅=+半圆．故答案为：42π+．7．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖，现向上抛掷半径为3cm 的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________．【答案】49【详解】解要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖ABCDEF 的任何一边的距离不小于圆的半径63cm ，也就是圆碟的中心必落在与地砖ABCDEF 同中心且边与地砖边彼此平行、距离为63111111A B C D E F 内（图6－1）．作OG AB ⊥于G ，交11A B 于1G 且163cm GG =，所以33336183OG AB ====1118363123OG OG GG =-==而113OG =，所以1132433OA ===，故11124A B OA ==．设正六边形ABCDEF 和111111A B C D E F 的面积分别为S 和1S ，则所求概率为22211122224243639S A B p S AB =====．故应填49．三、解答题8．（2021·全国·九年级竞赛）平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论．【答案】9条，见解析【详解】解法一：设最少要连n 条线段，如图4－3中7个点之间共连有9条线段，其中任意三点间必有两点连有线段，故9n ≤．另一方面，我们证明9n ≥，下面分4种情形讨论：（1）若7点中存在一点1A 不与其他6点237,,,A A A 连线，则依题意1A ，i A ，j A (27)i j ≤<≤中必有2点连线，于是只可能i A 与j A 连有线，即237,,,A A A 这6点中任意两点连有线，图中一共连了65152⨯=条线．（2）若7点中存在一点1A 只连出一条线段，设1A 仅与2A 连有线而与其余5点3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，没有连线，则同（1）可知3A ，4A ，5A ，6A ，7A 这5点中任意两点连有线，至少连有54102⨯=条线．（3）若每点出发至少连出2条线，且有一点恰连出2条线．设该点为1A ，它连出的两条线为12A A ，13A A ，则不与1A 相连的4个点每两点连有线，要连4362⨯=条线，而2A 连出的线段至少2条，除21A A 外，至少还有一条，所以此时至少要连6219++=条线．（4）若每点至少连出3条线，则至少要连73102⨯>条线．综上所述，最少要连9条线段．解法二：设7点中从1A 出发所连的线段最少，只有k 条，设它们是121311,,,k A A A A A A +，其余6k -个点126,,,k B B B -都与1A 没有连线，于是对任意2点i B ，j B (16)i j k ≤<≤-，由已知条件知1A ，i B ，j B 中必有2点连有线，而1A 与i B ，1A 与j B 没有连线，故只可能i B 与j B 连有线，即16,,k B B -中每点与其余5k -点连有线，于是从各点连出的线段数的总和不少于(1)(6)(5)k k k k ++--221030k k =-+．但上述计数中每条线段计算了2次，故图中所连线段至少为()21210302k k -+=22551522k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151522⎛⎫⎛⎫≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1569=-=，即至少要连9条线段．另一方面，如图4－3中，7点中连有9条线段时满足题设条件．综上所述，最少要连9条线段．9．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2．【答案】见解析【详解】分析把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分．证明设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<．若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．10．（2021·全国·九年级竞赛）设1M 是凸五边形12345A A A A A ，将1M 沿1i A A 方向平移，使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =．证明：12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．【答案】见解析【详解】证明如图，以1A 为位似中心，以2:1为相似比作1M 的位似图形M ，则M 仍为凸五边形且1M 在M 内．下面我们证明2345,,,M M M M 都在M 内，例如先证4M 在M 内．设P 是4M 内任意一点，它是1M 内的点Q 经过平移得到的，于是14QP A A ∥，故14A A PQ 为平行四边形，又R 是14A A PQ 的两条对角线的交点，因Q 和4A 属于1M ，且1M 是凸五边形，故R 属于M ，而111,:2:1A R RP A P A R ==，故P 属于M ．又P 是M ，内任意一点，所以4M 包含在M 之内，同理235,,M M M 都包含在M 内，设12345,,,,M M M M M 及M 的面积分别为12345,,,,S S S S S 及S ，则2123451152S S S S S S S S ++++=>⋅=．于是，由图形重叠原理知，12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形，它们有公共内点．11．（2021·全国·九年级竞赛）在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧．【答案】见解析【详解】证明：我们称不超过120︒的弧为好弧．不妨设以1A 为端点的好弧最少，并且设它只有1n -条，它们是12131,,,n A A A A A A ，从而以231,,,n A A A -为端点的好弧都至少有1n -条，故以这n 个点为端点的好弧至少有1(1)2n n ⋅-条，除这n 个点外，其余21n -个点记为1221,,,n n A A A ++，从中任取两点,(121)i j A A n i j +≤<≤．因1i j A A A ，至少有一个内角不超过60︒，故11,,i j i j A A A A A A 中至少有一条弧不超过260120⨯︒=︒，根据1A 的取法，这条弧不能是1i A A 和1j A A ，而只能是j i A A ，即j i A A 是好弧．可见以1221,,,n n A A A ++中任意两点,(121)i j A A n i j +≤<≤为端点的弧都为好弧．这样的好弧有1(21)(20)2n n ⋅--条．综上所述知好弧至少有2211213991399(1)(21)(20)100222424y n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--=-+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭条．当10n =或11时，y 取到最小值100，于是结论成立．12．（2021·全国·九年级竞赛）两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率．【答案】59 【详解】解我们用,x y 分别表示,A B 到达的时刻，而两人能会面的充分必要条件为20x y -≤，其中060,060x y ≤≤≤≤．我们用平面直角坐标系中的点(),x y 表示,A B 到达的时刻（从中午12点以后算起，以分为单位），于是所有可能结果是一个边长为60的正方形OABC ．代表能够会面的点都落在图中画有阴影线的区域H 内（图6－2），于是21260240402H ADE OABC S S S =-⨯=-⨯⨯⨯正方形 226040=-，故两人能会面的概率为22226040251()6039HOABC S p S -===-=正方形．答：两人能会面的概率等于59． 13．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给出n 个不全共线的点，求证：存在一条直线l ，它恰通过其中两个点．【答案】见解析【详解】证明：平面上只有有限点，过每两点作一直线只有有限点直线，每条直线与不在这条直线上的点（由已知条件知这样的点必存在）配成对，则这样的点只有有限个，每个点线对中都有该点到直线的距离，记这些距离最小的点对为(,)P l ，则l 为所求．实际上，设l 上有不少于3个给定的已知点，则过P 作PA l ⊥于A （如图），则在l 上A 的某一侧（包括A ）必有2个已知点，设为,M N （M 可能与A 重合，连PN ，并M 作MQ PN ⊥于Q ，过A 作AR PN ⊥于R ，则MQ AR AP d ≤<=，这与AP d =最小矛盾，于是结论得证．注本题是英国著名数学家希尔维斯特(J.J. Sylvester)在其逝世前不久提出的一个有趣的问题．这个貌似简单的问题，当时困扰过不少的数学家，并且这状况持续350年之久，直到1933年，伽莱(T. Callai)给出了一个非常复杂的证明．不久以后，凯里(L. M. Kelly) 才给出上述很简单的证明，其证法的关键就是利用极端原理．14．（2021·全国·九年级竞赛）已知A ，B ，C ，D 为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即A ，B ，C ，D 在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之． 3 【详解】注意最不利的情形点A 、B 、C 、D 中有3点构成边长等于1的正三角形，覆盖此三角形的圆的半径不小33 （1）A 、B 、C 、D 共线，这时4点在一条长度不超过1的线段内，结论显然成立；（2）A 、B 、C 、D 中有3点（例如A 、B 、C ）构成一个三角形，第4点D 在此三角形内，不妨设60C ∠≥︒，以AB 为弦作圆O ，使AB 所对的弓形弧（含C 的一侧）为60︒，则此圆O 覆盖A 、B 、C 、D 4点．作此圆直径2AE R =，则22222(2)1R R AE BE AB -=-=≤，即3R ≤，故A 、B 、C 、D 4点被一个半径不大3 （3）A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的4个顶点，则A C ∠+∠，B D ∠+∠中必有一个不小于180︒，不妨设180B D ∠+∠≥︒，同（2）可证ABC 的外接圆半径3≤180B D ∠+∠≥︒知D 点也在这个圆内或圆周上，故A 、B 、C 、D 3 315．（2021·全国·九年级竞赛）任意凸四边形ABCD 中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形．【答案】见解析【详解】四边形的4个内角中至少有一个90≥︒，不妨设90A ∠≥︒，以对角BD 为直径的圆O 必覆盖ABD △．若90C ∠≥︒，圆O 覆盖四边形ABCD 结论成立，若90C ∠>︒，则C 在圆外，圆O 与CD 、CB 中至少一条线段相交，不妨设圆O 与CD 交于E ，于点分别以BD 、BC 为直径的两个圆覆盖四边形ABCD ．16．（2021·全国·九年级竞赛）设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明：（1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆；（2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）因为对于半径为1的圆，边长为1的正三角形至多盖住60︒的弧，边长为1的正方形至多盖住90︒的弧，边长为1的正五边形至多盖住120︒的弧（因边长为1的正五边形对角线的长<边长为1的正六边形对角线的长3=，而6090120360︒+︒+︒<︒，所以甲、乙、丙合起来不得盖住半径为1的圆．（2）如图所示，用甲、乙、丙、丁合起来可盖住半径为1的圆．17．（2021·全国·九年级竞赛）在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆．【答案】见解析【详解】分析与证明设半径为6的大圆O 内任意放入6个半径为1的小圆，则小圆圆心都在以O 为中心，615-=为半径的圆内．如果大圆内无论怎样再放入一个半径为1的小圆7O ，都要与6个小圆中某个(16)i O i ≤≤重叠，那么7112i O O ≤+≤，即半径为5的圆将被6个半径为2的圆所覆盖．由图形重叠原理知6个小圆的总面积将不小于半径为5的圆的面积．但实际上226224255ππππ⋅=<=⋅，得到矛盾，于是命题得证．注：本例的证题关键是将外圆缩小，而将里圆扩大，这是解决嵌入问题的一种技巧，即收缩与膨胀技巧或裁边与镶边技巧．18．（2021·全国·九年级竞赛）将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设4张圆形纸片是(1,2,3,4)k O k ，其中1O ，2O ，3O 有公共点1A ，1O ，2O ，4O 有公共点2A ，1O ，3O ，4O 有公共点3A ，2O ，3O ，4O 公共点4A ．（1）若1A ，2A ，3A ，4A 共线（如图顺序），因为1A ，3A 都是圆形纸片1O 与3O 的公共点，故线段13A A 在圆形纸片1O 与2O 的公共部分内，又24A A 都是圆形纸片2O 与4O 的公共点，故线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以线段23A A 上任意一点都是这4张圆形纸片的公共点．（2）若1A ，2A ，3A ，4A 中有一点在以其余3点为顶点的三角形的边界上或内部（如图）．因为1A ，2A ，3A 都在1O 内，故123A A A △被圆形纸片1O 所覆盖，从而4A 在圆形纸片1O 内，而4A 是圆形纸片2O ，3O ，4O 的公共点，所以4A 是这张圆形纸片的公共点．（3）若1A ，2A ，3A ，4A 是一个凸四边形的4个顶点（如图），同上可知线段13A A 在圆形纸片1O 与3O 的公共部分内，线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内，所以13A A 与24A A 的交点是这4张圆形纸片的公共点．总之，这4张圆形纸片一定有公共点．19．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于19．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】从给定圆中选出半径最大的圆1O ，其半径为1r ，面积为1S ，则与圆1O 有重叠的圆连同圆1O 一起覆盖的面积()211139M r S π≤=，即1119S M ≥．然后去掉与圆1O 重叠的圆，再从剩下的圆（圆1O 除外）选出半径最大的圆2O ，其半径为2r ，并将与圆2O 有重叠的圆去掉．这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆1O ，2O ，…k O ，它们覆盖的面积为()12121199k k S S S M M M ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=． 20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设正方形ABCD 的边长为5，先放置一个边长为4的正方形CEFG ，其中C 为原正方形ABCD 的一个顶点，E 在边CD 上，F 在正方形ABCD 内，G 在边CB 上．连AF ，再放置第二个边长为4的正方形111AB C D ，其中A 是原正方形的一个顶点，且使D 在射线11D C 上（如图），由勾股定理有：2211D D AD AD =-2211543D C =-=<．故D 在线段11D C 内，且1111431C D D C D D =-=-=．设11B C 与CD 交于H ，则1541DE CD CE DC DH =-=-==<，故E 在线段DH 内，从而E 被正方形111AB C D 覆盖．又11145B AD B AC FAD ∠>∠=︒=∠，即AF 在1B AD 内，且1224AF DE AB ==，故F 也被正方形111AB C D 覆盖，这就证明了梯形AFED 可以被一个边长为4的正方形111AB C D 所覆盖．同理，梯形AFGB 也可以被一个边长为4的正方形222AB C D 所覆盖，于是正方形ABCD 可被3个边长为4的正方形所覆盖． 21．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当30α=︒时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于33000cm 的溶液，当α等于60︒时，能实现要求吗？通过计算说明理由．【答案】（1）不会溢出，理由见解析；（2）不能实现要求，见解析．【解析】【分析】【详解】（1）当30α=︒时，如图a ，过C 作//CF BP 交AD 所在直线于F ．在Rt CDF △中，20330,20cm,30cm FCD CD DF ∠=︒==<，所以点F 在线段AD 上，20330AF =此时容器内能容纳的溶液量为()3 ()203320203030201040003cm 2ABCF AF BC AB S ⎛⎫⎛+⋅=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭梯形．而容器中原有溶液量为()32020208000cm ⨯⨯=．因为3400038000⎛> ⎝⎭，所以当30α=︒时溶液不会溢出．（2）如图b ，当60α=︒时，过C 作//CF BP 交AB 所在直线于F ．在Rt CBF △中，30cm 30BC BCF =∠=︒，，10320cm BF =<，所以点F 在线段AB 上，故溶液纵截面为Rt BFC △．因211503cm 2BFC S BC BF =⨯⨯=，容器内溶液量为315032030003cm =，倒出的溶液量为3(80003)3000cm -<，所以不能实现要求． 22．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．【答案】0.879．【解析】【分析】【详解】设自当天零时算起，甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 和y ，则必须024,024x y ≤≤≤≤．我们视(),x y 为平面直角坐标系内的点，于是点(),x y 落在一个面积为224S =的正方形OABC 的内部或边界上（如下图）．如果轮船不需要等候码头空出，那么当船甲先到时，船乙应迟来1个小时以上，即1y x -≥，即1y x ≥+；当船乙先到时，船甲应迟来2个小时以上，即2x y -≥，即2y x ≤-，即点(),x y 应在直线1y x =+的上方且在直线2y x =-的下方，也就是点(),x y 应在如图所示的两个三角形ADE 和CFG △中某一个的内部或边界上，故所求概率ADE CFGABCD S S p S +=四边形．而24123,24222CG CF AD AE ==-===-=，所以211222223231103220.879241152p ⨯⨯+⨯⨯===．答：两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879．23．（2021·全国·九年级竞赛）把长为a 的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．【答案】14【解析】【分析】【详解】解设其中两条线段的长为,x y ，则第3条线段的长为()a x y -+，于是,x y 的取值范围是0,0,0,0,0()0.x a x a y a y a a x y a x y a ⎧<<<<⎧⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪<-+<<+<⎩⎩ ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于2a ，即 0,0,220,0,220().22a a x x a a y y a a a x y x y a ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<<+<⎪⎪⎩⎩ ②将(),x y 视为平面直角坐标系的坐标，则满足条件①的点(),x y 在以()()()0,0,,0,0,O A a B a 为顶点的OAB 内．而满足条件②的点(),x y 在以(,),(0,),,0()2222a a a a C D E 为顶点的CDE △内，故所求概率为11222142CDE OAB a a CD DE Sp S a a OA OB ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯．答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14． 24．（2022·福建·九年级竞赛）如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠DAC =45°，以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ，过点B 作AC 的垂线，垂足为H ．求证：E ，H ，F 三点共线．【答案】见解析【解析】【分析】如图：证明P ，A ，B ，C 四点共圆．可得CBE APC ∠=∠．①，证明C ，E ，B ，H 四点共圆，可得CHE CBE ∠=∠．②，证明C ，H ，F ，P 四点共圆，可得180APC CHF ∠=︒-∠．③，由①②③代换可得180CHE CHF ∠+∠=︒．可得结论；【详解】如图，延长BH 与直线AD 相交于点P ，连接CP ．因为45DAC ∠=︒，BP AC ⊥，所以45BPA ∠=︒．又45BCADAC∠=∠=︒，所以BPA BCA ∠=∠，于是P ，A ，B ，C 四点共圆．所以CBE APC ∠=∠．①连接CE ，由AC 为圆直径，得90CEA CHB ∠=︒=∠，所以C ，E ，B ，H 四点共圆，于是CHE CBE ∠=∠．②连接CF ，由AC 为圆直径，得90CFP CHP ∠=︒=∠，所以C ，H ，F ，P 四点共圆，于是180APC CHF ∠=︒-∠．③由②，①，③，得180CHE CBE APC CHF ∠=∠=∠=︒-∠，所以180CHE CHF ∠+∠=︒．所以E ，H ，F 三点共线．【点睛】本题考查了圆内接罩边形的判断及性质，难度较大，解题的关键是构造圆内接四边形．。

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。

考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。

关于质心体和投影体的等周不等式

关于质心体和投影体的等周不等式朱保成;李妮【摘要】等周不等式是凸几何等相关学科极其重要的结论,关于等周不等式的研究很多都是关于其平面情形,建立了关于质心体TK和截面体IK的等周不等式.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(027)001【总页数】5页(P13-17)【关键词】凸体;Minkowski不等式;等周不等式;质心体;投影体【作者】朱保成;李妮【作者单位】重庆师范大学数学与计算机科学学院,重庆,400047;重庆师范大学数学与计算机科学学院,重庆,400047【正文语种】中文【中图分类】O1841 引言和主要的结果设Kn表示n维欧氏空间Rn中所有凸体(有非空内点的紧凸集)的集合.设表示Rn 中包含原点的所有凸体集合和关于原点对称的凸体集合．在Rn中用Sn-1表示单位球面，用V(K)表示几何体K的n维体积，用s(K)表示几何体K的表面积，对n 维标准单位球Bn或B，记S(B)=ωn.如果则K的支撑函数hK=h(K，·)定义为h(K, x)=max{x·y：yE∈K},x∈Rn,其中x·y是Rn中通常的内积．在Rn中，一个紧的星形(包含原点)的径向函数，ρK=ρ(K，·)，定义为ρ(K, x)=max{λ≥ 0：λx ∈K},x∈Rn\<FounderNodename="@盒" value=""/>(〗0}当ρK是正的连续函数时，称K是一个星体(包含原点)，若记为Rn中星体(包含原点)的集合，如果且ρK(u)/ρL(u)与u∈Sn-1无关，则称K和L是互为膨胀的.经典的等周不等式可描述为：在Rn中的所有给定体积的几何体中，球有最小表面积.平面情形的研究甚至可追溯到古代，而流行上各种等周不等式的研究却是现代几何学的重要内容.等周不等式的研究存在十分丰富的文献[1～5].关于等周不等式的研究很多都是关于其平面情形，但其他一些重要的几何体的等周不等式也应该是一个可以探讨的课题，本文建立了关于质心体ΓK和投影体Π2K及截面体IK的等周不等式．著名的等周不等式可表述为：定理1[6] 设K∈Rn的凸体，等周不等式为：(1)等号成立当且仅当K是球.当n=2时，表面积即为K的周长L，体积即为K的表面积S,ω2=2π,k2=π，等周不等式表示为:即:L2≥4πS.等号成立当且仅当K是一个圆盘.文献[6]给出了质心体、截面体的定义如下：设K∈Rn是紧集，且v(K)>0,K的质心体ΓK是对称紧凸集，其支撑函数定义为：∀u∈Sn-1.设K是Rn中的星体(径向函数是正的连续函数),n≥2且ρK∈C(Sn-1)，称星体IK 为K的截面体，它的径向函数定义为：本文将凸体的质心体与截面体和等周不等式结合起来得到定理2.定理2 设则有:(2)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球．定理3 设则有:(3)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球．对于K∈Kn和实数p≥1，K的Lp一投影体ΠpK是一个关于原点对称的凸体，它的支撑函数定义为[7]：∀(4)这里u·v表示单位向量u和v的标准内积，是Sn-1上的一个正的Borel测度，称之为K的Lp-表面积测度，S1(K，·)，即是K的经典表面积测度S(K,·)．在定义(4)的标准形式下，对于单位球B,有ΠpB=B,特别地，当p=1时Π1K即是标准的经典投影体ΠK，并且有ΠB=B.本文还建立了关于投影体Π2K的结论如下：定理4 如则有:(5)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球.2 准备工作2.1 混合体积和对偶混合体积对于K1,K2,…，Kn∈Kn,它们的混合体积V(K1…，Kn-1，Kn)定义为:其中S(K1，…，Kn-1，Kn-1,u)为K1,K2,…，Kn的混合表面积测度.记Vi(K,L)=V(K,n-i，L,i)，其中i表示L出现的次数，n-i表示K出现的次数．由这个定义容易得到:nV1(K,B)=S(K))，其中n-1是K出现的次数.设Lj是Rn中星体且o∈Lj，1≤j≤n,将对偶混合体积定义为[4]:(6)其中ρL是L的径向函数.特别地，对于i≤n，则式(6)即是：(7)其中中的i表示L2出现的次数，n-i表示L1出现的次数．记:(8)则式(7)可改写为:2.2 均值积分和对偶均值积分对于的均值积分Wi(K)定义为[4]：这里Si(K,·)(i=0,1,…，n-1)表示K的混合表面积测度．根据定义容易知道：W0(K)=V(K).对于和任意实数i，K的对偶均值积分定义为[4]:(10)其中S是sn-1上的球面Lebesgue测度.显然，由定义容易知道:(11)3 定理的证明为了证明定理2，需要用到以下结果.引理1[6] 设K,L是Rn中的凸体，则Minkowski不等式为：V(K，n-1,L)n≥V(K)n-1V(L),(12)等号成立当且仅当K和L是位似的.引理2[8] (Busemann-Petty质心体不等式)：设则：(13)等号成立，当且仅当K是关于原点中心对称的椭球.下面证明定理2，由文献[6]有：(14)由式(12)和式(13)以及式(14)可得：上面证明过程中，根据式(12)等号成立的条件知第一个等号成立当且仅当ΓK与ΓB 是位似的，因此当且仅当K与B是位似的.根据式(13)等号成立的条件知第二个等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的椭球，因此上式等号成立的条件为K是关于原点中心对称的球，由式(5)，可以得到：综上可得：上式即为式(2)，并且式(2)中等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球.定理3的证明需要用到以下结果.引理3[6] 设K,L∈Rn-1的凸体，则对偶Minkowski不等式为:(15)等号成立当且仅当K，L是膨胀的.证明引理3的证明要用到Holder不等式:进而:引理4[9] Busemann截面体不等式：如则:(16)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的椭球.由式(11)，并利用式(15)和式(16)可得：故：上式即为式(3)，根据式(15)和式(16)等号成立的条件知道，式(3)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球.关于投影体ΠK的一个重要猜测是Petty投影猜测[10],也就是：如果等号成立当且仅当K是椭球是否成立？在定义4的标准形式下Petty投影猜测能够重新表示为[10]:如果等号成立当且仅当K是椭球是否成立？关于这个问题目前是凸几何的研究热点之一，最近文献[8～10]研究了玛K的Petty投影猜测，并给出了nZK的相关结论：引理5[11] 若则：(17)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球.利用文献[12，13]的结论，可得到以下关于Π2K的等周不等式.定理5 如则有:等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球．下面证明定理3.由定义4得:再由式(12)和式(17)，可得：即:由式(5)可以得到：即：上式即为式(5),根据式(12)和式(17)等号成立的条件知道，式(5)等号成立当且仅当K是关于原点中心对称的球．参考文献:[1] Schneider R.Convex Bodies：The Brunn-Minkowskitheory[M].Cambridge:Cambridge Univ Press，1995.[2] Lutwak E.The Brunn-Minkowski-Firey I：mixed volumes and the Minkowski problem[J].J Differential Geom，1993，38：131-150.[3] Burago Y D,Zalgaller V A.Germetric Inequalities[M].New York:Springer，1988.[4] Chavel I.I soperi.etric Inequalities[M].Cambridge：Cambridge University Press，2001.[5] Osserman R.The Isoperimetric Inequality[J].Bull Amer MathSoe,1978,84:1 182-1 238.[6] Gardner R J.Geometric Tomography[M].Cambridge：Cambridge Univ Press，1995.[7] Lutwak E，Yang D,Zhang G.LP affine isoperimetric inequalities[J].J Differential Geom，2000，56:111-132.[8] Petty C M.Centroid surfaces Pacific[J].J Math,1961,11:1 535-1 547.[9] Lutwak E.Intersection bodies and dual mixed volumes[J].Advances in Math,1988,71:232-261.[10] Petty C M. Isoperimetric problems Proc Conf. Convexty and Combinatorial Geometry(Univ Oklahoma，1971)[M].Oklahoma:University of Oklahoma， 1972:26-41.[11] Wang W D,Leng G S.L2-Analog of the petty’s Conjection Projection Inequality and Applications[J]. Tainanese Journal ofMathematics,2008,12(5):1 067-1 086.[12] Wang W D,Leng G S.The petty projection inequality for Lp-mixed projection bodies[J].Acta Math Sinica(English Series)，2007,23(8):1 485-1 494.[13] Wang W D,Leng G S,Lu G S.On Brunn-Minkowski Inequality for the Quermassintegrals and Dual Quermassintegrals of Lp-ProjectionBody[J].Chinese Journal of Contemporary Mathematics,2008，29A(2)：209-220.。

数学谁是卧底

等价集合可数集合对应法则指数函数对数函数自然对数
指数方程对数方程单值对应单调区间单调函数诱导公式
周期函数周期交换振幅变换相位变换正弦曲线余弦曲线
正切曲线余切曲线倍角公式半角公式积化和差和差化积
三角方程线性方程主对角线副对角钱零多项式余数定理
条件不等式矛盾不等式克莱姆法则算术平均数几何平均数
一元多项武乘法单调性加法单调性最小正周期零次多项式
待定系数法辗转相除法二项式定法二项展开式二项式系数
数学归纳法同解不等式垂直平分线互为邻补角等腰三角形
等边三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形全等三角形
标准方程平移公式旋转公式有向线段定比分点有向直线
经验公式有心曲线无心曲线参数方程普通方程极坐标系
等速螺线异面直线直二面角凸多面体祖恒原理体积单位
球面距离凸多面角直三角面正多面体欧拉定理连续函数
复合函数中间变量瞬间速度瞬时功率二阶导数近似计算
边界端点收敛发散曲率全等相似
被减数被除数假分数真分数带分数质因数
小数点多位数百分数单名数复名数统计表统计图
比例尺循环节近似数准确数圆周率百分位
十分位
斜三角形对应顶点尺规作图基本作图互逆命题互逆定理
凸多边形平行线段逆否命题对称中心等腰梯形等分线段
比例线段勾股定理黑金分割比例外项比例内项比例中项
比例定理相似系数位似图形位似中心内公切线外公切线
正多边形扇形面积互否命题互逆命题等价命题尺寸注法

基于改进的局部表面凸性算法三维点云分割

图１局部表面凸性Ｆｉｇ．１Ｌｏｃａｌｓｕｒｆａｃｅｃｏｎｖｅｘｉｔｙ
{ } ｓｉｇｍ［－ｎＴｉｎｊ，－ｃｏｓ（ｖｎＳｉｍ），ｖｎＳｉｍＦ］
ｃｉ，ｊ＝ｍａｘｓｉｇｍ［ｍａｘ（‖ｎｄＴｉｄｉ，ｉｊ，‖ｊ，‖ｎｄＴｊｄｊ，ｉｊ，‖ｉ），ｃｏｓ（９０°－ｖｃｏｎｖ），ｖｃｏｎｖＦ］，
（１）
（２）边界判定
ｓｉｇｍ（ｘ，θ，ｍ）＝０．５－０．５（ｘ－θ）ｍ，
槡１＋（ｘ－θ）２ｍ２
（２）式中，θ为有效阈值，ｍ为影响阈值处切线斜率的范围参数。
由于三维点云中的邻近点不一定属于同一个物体，需要对局部连通点集中的点进行物体边界判定，判断获得的局部连通点集是否属于同一物体。根据深度值的不连续可以判断物体边界的存在以及邻近像素点是否属于同一部分，对于任意
{ ｌｉ，ｊ＝ｍｉｎｓｉｇｍ［｜ｍ（ｉｒｎｉ｛－ｒｉ，ｒｊｒ）ｊ｝｜，ｖｒＤｉｆｆ，ｖｒ２Ｄｉｆｆ］，
ｓｉｇｍ［｜（ｒｉ－（ｒｊｒ）ｈ－－（ｒｊｒ）ｈ－ｒｊ）｜，ｖｒＤｉｆｆ，ｖｒＮＦ（ｒｉ）］，
} ｓｉｇｍ［｜（ｒｉ－（ｒｊｒ）ｊ－－ｒ（ｋｒ）ｊ－ｒｋ）｜，ｖｒＮＤｉｆｆ，ｖｒＮＦ（ｒｉ）］
（１中国科学院长春光学精密机械与物理研究所激光与物质相互作用国家重点实验室，吉林长春１３００３３；
２中国科学院大学，北京１０００４９）
摘要：点云分割是点云分类、识别以及三维重建等处理的基础，分割结果对后续应用影响巨大。本文提出利用连通点集改进局部表面凸性算法中邻近点关系的方法，解决目前激光三维成像系统点云分割算法在处理复杂环境散乱点云时存在分割过度及分割不充分的问题，通过主顶点与周围点构成连通集，作为分割判断局部子点集，形成有效分割区域。该方法解决了常用点云分割方法无法对形状不规则物体进行有效分割的问题，提高了分割精度。算法实验结果表明，相比于最小切割算法和区域生长算法，基于连通点集的改进局部表面凸性算法对实际路面环境信息的分割效果更好，并能在一定程度上避免分割过度和分割不充分的情况，证明该方法适用于复杂环境散乱点云数据分割。关键词：激光三维成像；点云分割；连通点集；局部表面凸性中图分类号：ＴＮ９５８．９８文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３７８８／ＣＯ．２０１７１００３．０３４８

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

收稿日期: ２０１７－０４－２５基金项目: 国家自然科学基金(１１３７１１１４ꎬ１１５７１０８５) . 作者简介: 吕德晶(１９９２—) ꎬ女ꎬ硕士研究生ꎻ
马泽敏(１９９１—) ꎬ女ꎬ硕士研究生. 通信作者: 计东海(１９６４—) ꎬ男ꎬ教授ꎬ博士研究生导师ꎬＥ￣ｍａｉｌ: ｊｉｄｏｎｇｈａｉ＠１２６. ｃｏｍ.
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｃｏｎｖｅｘｂｏｄｙꎻ ｃｏｖｅｒｉｎｇꎻ ｓｍａｌｌｅｒｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｃｏｐｙꎻ Ｈａｄｗｉｇｅｒ’ ｓｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ
１预备知识
在Ｒｎ中ꎬ一个内部非空的紧凸集被称为该空
间中的一个凸体ꎮ 在本文中用Ｋ表示凸体ꎬｉｎｔＫ表示凸体的内部ꎬｂｄＫ表示凸体的边界ꎮ Ｋｎ表示Ｒｎ中所有凸体构成的集合ꎬＡｎ表示从Ｒｎ到Ｒｎ的所有非奇异仿射变换构成的集合ꎮ 对任意ｕꎬ ｖ ∈ Ｒｎꎬ
[Ｋ]: ＝ {Ｋ′:∃Ｔ∈Ａｎｓ. ｔ. Ｋ′ ＝Ｔ(Ｋ)}
－
Ｋｎ: ＝ { [ Ｋ] :Ｋ∈Ｋｎ}
对于任意两个ｎ维凸体Ｋ１和Ｋ２ꎬ它们之间的Ｂａｎａｃｈ￣Ｍａｚｕｒ距离ｄＢＭ( Ｋ１ ꎬＫ２ ) 定义为
第２４卷第２期
２０１９年４月
哈尔滨理工大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
特殊凸体边界小位似体覆盖
Ｖｏｌ�� ２４Ｎｏ�� ２Ａｐｒ�� ２０１９
计东海ꎬ 吕德晶ꎬ 马泽敏
１１６
哈尔滨理工大学学报第２４卷
[ ｕꎬｖ ]表示以ｕ和ｖ为端点的线段ꎮ 对于任一Ｋ∈ Ｋｎ ꎬ我们令
ＪＩＤｏｎｇ￣ｈａｉꎬ ＬÜ Ｄｅ￣ｊｉｎｇꎬ ＭＡＺｅ￣ｍｉｎ
( ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓꎬ ＨａｒｂｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＨａｒｂｉｎ１５００８０ꎬＣｈｉｎａ)
Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＦｏｒＨａｄｗｉｇｅｒｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅｔｈａｔｔｈｅｌｅａｓｔｎｕｍｂｅｒｃ( Ｋ) ｏｆｔｒａｎｓｌａｔｅｓｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｏｆＫｎｅｅｄｅｄｔｏｃｏｖｅｒＫｉｓａｔｍｏｓｔ２ｎꎬ ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔｃ( Ｋ) ｅｑｕａｌｓｔｈｅｌｅａｓｔｎｕｍｂｅｒｏｆｓｍａｌｌｅｒｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｃｏｐｉｅｓｏｆＫｗｉｔｈｔｈｅｓａｍｅｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｒａｔｉｏｎｅｅｄｅｄｔｏｃｏｖｅｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｂｄＫｏｆＫꎬ ｄｒａｗｉｎｇｏｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｃ( Ｋ) ꎬ ｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｔｈｅｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｓｍａｌｌｅｓｔｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｒａｔｉｏ γｍ( Ｋ) ｔｈａｔｂｄＫｃａｎｂｅｃｏｖｅｒｅｄｂｙｍｔｒａｎｓｌａｔｅｓｏｆ γｍ( Ｋ) Ｋ. Ｔｈｅｖａｌｕｅｏｆ γ４ ( Ｋ) ａｎｄ γ８ ( Ｋ) ｗｈｅｎＫｉｓａｒｅｇｕｌａｒｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎꎬ ａｓｗｅｌｌａｓｔｈｅｖａｌｕｅｏｆ γ６ ( Ｋ) ꎬ γ７ ( Ｋ) ａｎｄ γ８ ( Ｋ) ａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｗｈｅｎＫｉｓａｒｅｇｕｌａｒｏｃｔａｈｅｄｒｏｎａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ. Ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔ γ２ｎ( Ｋ) ＝ Γ２ｎ( Ｋ) ＝ Γ２ｎ－１ ( Ｄ) ｗｈｅｎＫｉｓａｃｙｌｉｎｄｅｒｉｎＲｎｗｉｔｈｔｈｅｎ－１ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｖｅｘｓｅｔＤａｓｔｈｅｂａｓｅꎬ ｗｈｅｒｅ Γｍ( Ｋ) ｉｓｔｈｅｓｍａｌｌｅｓｔｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｈｏｍｏｔｈｅｔｉｃｒａｄｉｏ γ ｔｈａｔＫｃａｎｂｅｃｏｖｅｒｅｄｂｙｍｔｒａｎｓｌａｔｅｓｏｆ γＫ.
关键词:凸体ꎻ覆盖ꎻ小位１５９３８ / ｊ. ｊｈｕｓｔ. ２０１９. ０２. ０１７中图分类号: Ｏ１７７文献标志码: Ａ文章编号: １００７－２６８３(２０１９)０２－０１１５－０６
ＣｏｖｅｒｉｎｇｔｈｅＢｏｕｎｄａｒｙｏｆＳｐｅｃｉａｌＣｏｎｖｅｘＢｏｄｉｅｓｗｉｔｈＳｍａｌｌｅｒＨｏｍｏｔｈｅｔｉｃＣｏｐｉｅｓ
( 哈尔滨理工大学理学院ꎬ黑龙江哈尔滨１５００８０)
摘要:针对覆盖ｎ维凸体Ｋ所需Ｋ的内部的平移的最小数目ｃ( Ｋ) 不超过２ｎ的Ｈａｄｗｉｇｅｒ猜想ꎬ依据ｃ( Ｋ) 等于覆盖Ｋ的边界ｂｄＫ所需Ｋ的位似系数相同的小位似体的最小数目这一核心结果ꎬ借鉴将ｃ( Ｋ) 的估值问题连续化的方法ꎬ研究了用ｍ个Ｋ的位似系数相同的小位似体覆盖ｂｄＫ所需最小位似系数 γｍ(Ｋ)精确值的估算问题ꎮ 得到了当Ｋ是正四面体时 γ４ ( Ｋ) 和 γ８ ( Ｋ) 的值以及当Ｋ是正八面体时 γ６ (Ｋ)ꎬγ７ (Ｋ)和 γ８ (Ｋ)的值ꎬ并证明了当Ｋ是Ｒｎ中以ｎ－１维凸体Ｄ为底的柱体时 γ２ｎ( Ｋ) ＝ Γ２ｎ( Ｋ) ＝ Γ２ｎ－１ ( Ｄ) ꎬ其中 Γｍ( Ｋ) 表示用ｍ个Ｋ的位似系数相同的小位似体覆盖Ｋ所需最小位似系数ꎮ