专题万有引力与航天

1 专题： 万有引力与航天 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比． 2．公式：F＝ ，其中G＝ N·m2/kg2，叫引力常量． 3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到 间的距离． 【例1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ） A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

宇宙 速度 数值(km/s) 意 义

第一宇宙速度 7.9

卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9 km/s

≤v<11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度) gRRGMv1

第二宇宙速度 11.2

物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，

物体绕 运行(脱离速度) gRRGMvv22212

第三宇 宙速度 16.7

物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7 km/s，物体将脱

离 在宇宙空间运行(逃逸速度)

【例2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？ 2

1．轨道平面一定：轨道平面与 共面．2．周期一定：与 周期相同，即T＝24 h. 3．角速度一定：与 的角速度相同．

4．高度一定：由GMm(R＋h)2＝m4π2T2(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ 3GMT24π2－R. ≈3.56×107

m

5．速率一定：v＝ GMR＋h 6. 向心加速度大小一定hRTvan22 【例3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ） A．运行速度大于7.9 km/s B．离地面高度一定，相对地面静止 C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 万有引力定律应用的基本方法： (1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．

“万能”连等式：GMmr2＝man=mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r＝m(2πf)2r （2）不考虑中心天体的自转。 黄金代换式：mgRGMm2（表面）， /2mghRGMm（h高处）

考向一：天体的质量M、密度ρ的估算 （1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由GMmr2＝m(2πT)2r，可得

天体质量为：M＝4π2r3GT2. 该中心天体密度为：ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3（R为中心天体的半径）．

当卫星沿中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝3πGT2. （2）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于GMmR2＝mg，故天体质量M＝gR2G，

天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.

【例4】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（ ） A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3 C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3 考向二：卫星的运行和变轨问题 1．人造卫星的动力学特征 3

万有引力提供向心力．即GMmr2ma＝mv2r＝mrω2＝m(2πT)2r ma

2．人造卫星的运动学特征 （1）向心加速度a：由marMmG2得2rGMa，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。 （2）由线速度v：由GMmr2＝mv2r得v＝ GMr，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。

（3）角速度ω：由GMmr2＝mω2r得ω＝ GMr3，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。 （4）周期T：由GMmr2＝m4π2T2r得T＝2πr3GM，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。 【例5】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是（ ） A．a、b的线速度大小之比是 2∶1 B．a、b的周期之比是1∶2 2 C．a、b的角速度大小之比是3 6∶4 D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4 3．卫星的环绕速度和发射速度

不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度rGMv，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v发射＞v环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度． 4．人造地球卫星的超重和失重 (1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态． (2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等） 5.卫星的变轨

卫星做匀速圆周运动时满足：GMmr2＝ma = mv2r＝mrω2＝mr(2πT)2 当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．

(1)当v增大时，所需向心力mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离

原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加． (2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将

做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ GMr 知运 4

轨道Ⅰ 地球

轨道Ⅱ Q P

行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理) 【例6】如图4－4－2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( ) A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度 B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

【例7】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2、

T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则( ) （质量不变时，已知速度越大，动能越大） A．Ek2T1

C．Ek2>Ek1，T2Ek1，T2>T1

【例8】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2） （1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（ ） A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力 B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力 C．飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度 D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度 （2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（ ） A．从较低轨道上加速 B. 从较高轨道上加速 C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速 考向三：“双星模型”问题 在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．如图 （1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力 （2）具有相同的周期T和角速度

（3）轨道半径和质量成反比LmmmrLmmmr21122121,

（4）双星总质量2324MGTL总 （其中L为双星间距，T为周期） 【例9】如图4－4－6，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G. (1)求两星球做圆周运动的周期； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为

月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果

m1 m2 r

1

r

2 O

ω