浙江省宁波市慈溪市2017-2018学年高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析

2017-2018学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1．log3=（）A． 1 B． C．﹣ D．﹣22．函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为（）A． B． C． 3π D．3．已知a，b∈R，且a＞b，则（）A． a2＞b2 B． C． lg（a﹣b）＞0 D．4．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则=（）A． B． C． D．5．在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设p是“甲射中目标”，q是“乙射中目标”，则“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（）A． p∨q B．（￢p）∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D． p∨（￢q）6．函数y=lg的图象（）A．关于x轴对称 B．关于原点对称C．关于直线y=x对称 D．关于y轴对称7．将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象，则φ的一个可能取值为（）A． B． C． D．8．设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x﹣2的零点为x2，若|x1﹣x2|≤0.25，则f（x）可以是（）A． f（x）=（x﹣1）2B． f（x）=e x﹣1 C． D． f（x）=4x ﹣19．已知函数f（x）=，则f（2﹣3）=（）A． B． C． D．10．若实数x，y满足关系式：log4（x+2y）+log4（x﹣2y）=1，则|x|﹣y的最小值为（）A． 2 B． C．﹣1 D．﹣二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中相应的位置）11．已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为．12．设全集U=R，A={x|x，x∈R}，B={1，2，3，4}，则B∩∁U A= ．13．若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）=3f（2），则的值等于．14．“sinx”是“x”的条件．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= ．16．若函数f（x）满足：2f（x）+f（）=3x，则f（x）+f（）的值域为．17．当x，y满足约束条件为常数）时，能使z=x+3y的最大值为12，则k= ．三．解答题（本大题共5小题，共72分.解答写出文字说明．证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）18．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），其中．（1）若|﹣|=2，求x的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的值域．19．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求a，b；（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0 （c∈R）20．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．21．已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n﹣1（n∈N*）．（1）设b n=a n﹣1（n∈N*），求数列{b n}的通项b n和前n项和S n；（2）设c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：T n；（3）求使得T n对所有n∈N*都成立的最小正整数m．22．已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|，a为常数．（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1．log3=（）A． 1 B． C．﹣ D．﹣2考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据导数的运算性质，求出即可．解答：解：==，故选：B．点评：本题考查了对数的运算，是一道基础题．2．函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为（）A． B． C． 3π D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，可得结论．解答：解：函数y=3sin（3x+）﹣3的最小正周期为T=，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．3．已知a，b∈R，且a＞b，则（）A． a2＞b2 B． C． lg（a﹣b）＞0 D．考点：不等式的基本性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质，可判断A，B，根据对数函数的图象和性质，可判断C，根据指数函数的图象和性质，可判断D．解答：解：当0＞a＞b时，a2＜b2，故A不成立；当a＞0＞b时，，故B不成立；当0＜a﹣b＜1时，lg（a﹣b）＜0，故C不成立，当a＞b时，恒成立，故D正确，故选：D点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．4．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则=（）A． B． C． D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量加法的平行四边形法则即可求出，，所以．解答：解：如图，，；∴；故选A．点评：考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．5．在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设p是“甲射中目标”，q是“乙射中目标”，则“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为（）A． p∨q B．（￢p）∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D． p∨（￢q）考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：“至少一位运动员没有射中目标”就是指“甲没射中目标，或乙没有射中目标”，而￢p为：甲没射中目标，￢q为：乙没射中目标，所以便将“至少一位运动员没射中目标”表示为：（￢p）∨（￢q）．解答：解：￢p：甲没射中目标，￢q：乙没射中目标；∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”；所以可表示为（￢p）∨（￢q）．故选B．点评：考查￢p，￢q，以及p∨q的概念，并理解（￢p）∨（￢q）为真时，￢p，￢q中至少一个为真．6．函数y=lg的图象（）A．关于x轴对称 B．关于原点对称C．关于直线y=x对称 D．关于y轴对称考点：对数的运算性质；函数奇偶性的判断；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的定义域，再根据函数的奇偶性极即可判断．解答：解：因为f（x）=lg，所以＞0，即函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），定义域关于原点对称，所以f（﹣x）=lg=lg=﹣lg═f（x），所以函数为奇函数，故图象关于原点对称，故选：B点评：本题主要考查了对数函数的性质和函数的奇偶性，属于基础题．7．将函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象，则φ的一个可能取值为（）A． B． C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先对函数进行平移变换，再利用对称性求解．解答：解：函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到：由于函数图象关于y轴对称，所以（k∈Z）当k=0时，φ=故选：C点评：本题考查的知识要点：三角函数的平移变换问题，函数的对称问题，诱导公式的灵活应用．8．设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x﹣2的零点为x2，若|x1﹣x2|≤0.25，则f（x）可以是（）A． f（x）=（x﹣1）2B． f（x）=e x﹣1 C． D． f（x）=4x﹣1考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．解答：解：选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或﹣，选项D：x1=；∵g（1）=4+2﹣2＞0，g（0）=1﹣2＜0，g（）=2+1﹣2＞0，g（）=﹣2＜0，则x2∈（，），故选D．点评：本题考查了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似，属于基础题．9．已知函数f（x）=，则f（2﹣3）=（）A． B． C． D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）=，根据2﹣3∈（3，4），可得：2﹣3+1＞4，代入f（2﹣3）的值．解答：解：∵2﹣3∈（3，4），故2﹣3+1＞4，又∵函数f（x）=，∴f（2﹣3）=f（2﹣3+1）====，故选：A点评：本题考查的知识点是分段函数求值，对数运算法则，难度中档．10．若实数x，y满足关系式：log4（x+2y）+log4（x﹣2y）=1，则|x|﹣y的最小值为（）A． 2 B． C．﹣1 D．﹣考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数幂的运算性质、双曲线的参数方程、斜率计算公式即可得出．解答：解：∵log4（x+2y）+log4（x﹣2y）==1，∴x2﹣4y2=4，令x=2secθ，y=tanθ，．当cosθ＜0时，|x|﹣y==，利用两点A（0，﹣2），B（cosθ，sinθ）的斜率计算公式可得最小值为．当cosθ＞0时，同样得出．故选：D．点评：本题考查了对数幂的运算性质、双曲线的参数方程、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中相应的位置）11．已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为﹣．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α的范围以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．解答：解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．12．设全集U=R，A={x|x，x∈R}，B={1，2，3，4}，则B∩∁U A= {3，4} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的补集和交集的概念求解即可．解答：解：因为全集U=R，A={x|x≤1+}，∴∁U A={x|x＞1+}，∴B∩∁U A={3，4}，故答案为：{3，4}．点评：本题主要考查集合的子交并补的运算，属于基础题．13．若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）=3f（2），则的值等于．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：先设f（x）=x a代入题设，求出a的值，求出函数关系式．把代入函数关系式即可．解答：解：设f（x）=x a，又f（4）=3f（2），∴4a=3×2a，解得：a=log23，∴f（）==．故答案为：．点评：本题主要考查幂函数的性质．属基础题．14．“sinx”是“x”既不充分也不必要条件的条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义可判断解答：解：∵sinx则x不一定成立，x，则sinx也不一定成立∴“sinx”是“x”的既不充分也不必要条件故答案为：既不充分也不必要条件点评：本题考查了充分必要条件的定义，三角函数的概念、性质，属于容易题．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= 45 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列的性质找出a7+a8+a9与d和S3的关系，把d和S3的值代入即可求出值．解答：解：a4+a5+a6=S6﹣S3=36﹣9=27，a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=（a1+a2+a3）+9d=S3+9d=9+9d=27，所以d=2，则a7+a8+a9=（a1+6d）+（a2+6d）+（a3+6d）=S3+18d=9+36=45．故答案为：45点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．16．若函数f（x）满足：2f（x）+f（）=3x，则f（x）+f（）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求出函数f（x）的解析式，再求出函数f（x）+f（）的解析式，从而求出f（x）+f（）的值域，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）满足：2f（x）+f（）=3x，∴2f（）+f（x）=，∴，，（x≠0），∴，（x≠0），∵当x＞0时，，当x＜0时，（﹣x）+≥2，，∴f（x）+f（）的值域为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．点评：本题考查了函数的解析式和值域，本题难度不大，属于基础题．17．当x，y满足约束条件为常数）时，能使z=x+3y的最大值为12，则k= ﹣9 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：画出的可行域，将目标函数变形，画出其相应的直线，当直线平移至固定点时，z最大，求出最大值列出方程求出k的值解答：解：画出的平面区域，将目标函数变形为y=﹣x+z，画出其相应的直线，由得当直线y=﹣x+z平移至A（3，3）时z最大为12，将x=3，y=3代入直线2x+y+k=0得：k=﹣9故答案为：﹣9点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学数学方法．三．解答题（本大题共5小题，共72分.解答写出文字说明．证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）18．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），其中．（1）若|﹣|=2，求x的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．分析：（1）由向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式，即可得到x；（2）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角公式、两角差的正弦公式，再由正弦函数的值域即可得到所求的最值．解答：解：（1）因为向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），所以=（sinx﹣cosx，0），即|﹣|2=（sinx﹣cosx）2=4，所以，即，因为，所以；（2）因为f（x）=•=sinxcosx+sin2x=sin2x+=，由于，则，所以当即时，[f（x）]max=1，当即时，．所以f（x）的值域为．点评：本题考查平面向量的运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，以及正弦函数的值域，属于中档题．19．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求a，b；（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0 （c∈R）考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a、b的值．（2）由（1），得所求不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0，再讨论实数c与2的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案．解答：解：（1）根据题意，得方程ax2﹣3x+2=0的两个根为1和b，∴由根与系数的关系，得，解之得a=1，b=2；（2）由（1）得关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（c+2）x+2c＜0，因式分解，得（x﹣c）（x﹣2）＜0①当c=2时，原不等式的解集为∅；②当c＜2时，原不等式的解集为（c，2）；③当c＞2时，原不等式的解集为（2，c）．点评：本题给出关于x的一元二次不等式解集，求参数a、b的值，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程的关系等知识，属于基础题．20．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，即可求出A+C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．解答：解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，即A+C=；（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，∵S△ABC=acsinB=ac，∴△ABC面积的最大值为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n﹣1（n∈N*）．（1）设b n=a n﹣1（n∈N*），求数列{b n}的通项b n和前n项和S n；（2）设c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：T n；（3）求使得T n对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题（1）通过题目中的构造，得到等比数列，利用等比数列的通项公式以及前n项和公，式求出数列{b n}的通项b n和前n项和S n，得到本题结论；（2）通过裂项法求和，从而证明T n；（3）利用（2）的结论，结合不等关系式，求出最小正整数m，得到本题结论．解答：解：（1）∵b n=a n﹣1，∴b n+1=a n+1﹣1，代入a n+1=2a n﹣1，得b n+1=2b n，∴{b n}是以b1=2为首项，以2为公比的等比致列，∴，=2n+1﹣2．（2）由（1）知b n=a n﹣1=2n，∴a n=2n+1，∴==．．∴T n=（）+（）+…+（）=．（3）由（2）知，欲使得T对所有n∈N*都成立，只需即m．故符合条件的最小正整数m=672．点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列求和的方法，本题有一定的综合性，属于中档题．22．已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|，a为常数．（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数求最值；（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数的单调性，使函数在两段上都递增，且x≥1时的最小值大于x≤1时的最大值．解答：解：（1）当a=2时，=所以当x∈[1，2]时，[f（x）]max=6，[f（x）]min=1当x∈[0，1]时，[f（x）]max=2，[f（x）]min=1所以f（x）在[0，2]上的最大值为6，最小值为1．（2）因为=而f（x）在[0，+∞）上单调递增所以当x≥1时，f（x）必单调递增，得即a≥﹣2当0≤x＜1时，f（x）亦必单调递增，得即a≤0且11+a﹣a≥11﹣a+a恒成立，故所求实数a的取值范围为[﹣2，0]．点评：本题主要考查函数的性质，特别是二次函数的单调性与求最值的方法，研究分段函数时要两段上统筹兼顾，属于中档题．。