2010高三数学高考萃取精华30套(17)

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高考数学萃取精华试题(17)新人教A版

2011高考数学萃取精华30套（17）1.宁乡县开模19．（本小题满分12分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①()x f x p q =⋅；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中、均为常数，且1q >）（I ）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（II ）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中0x =表示8月1日，1x =表示9月1日，…，以此类推）；（III ）为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．解：（I ）根据题意，应选模拟函数2()()f x x x q p =-+ 2分322()2f x x qx q x p =-++，22()34f x x qx q '∴=-+ 3分若()f x ≥()g x 恒成立，即ln2a a -≥0恒成立解之得≤4e ． 10分（III ）由（II ）得22x ≥4ln e x ，即44ln x x ≤22ex11分 444444444ln 2ln 3ln 4ln 24ln 34ln 2323n nn n+++=+++≤2222111()23e n +++2111()1223(1)e n n <+++⨯⨯- 12分211111212(1)(1)22311e n n e n e=-+-++-=-<-- 13分所以212164(2)14k x k -⋅-=+，得2122814k x k -=+ 9分所以2122284(2)1414k ky k k k-=+=++所以直线BS 的斜率为2224114284214k k k kk +=---+， 10分则直线BS 的方程可设为1(2)4y x k=-- 由1(2)43415y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得N 点的坐标为341(,)1515k -12分所以641||||1515k MN k =+≥1615= 当且仅当6411515k k =即18k =时取等号． 14分2. 日照一模(20)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且(1)(1)(0)()n n a S a a a n -=->∈*N 。

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2010高考数学萃取精华30套（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。

解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴ 4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA Θ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+xx P 4),2,2(2121-=-+=x x x x 42)14)(14(2221222121x x x x x x +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅ ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。

高三数学高考萃取精华30套(9)

2010高考数学萃取精华30套（9）1. 冀州一模20、已知数列{}n a 满足11a =，212a =，且2[3(1)]22[(1)1]n nn n a a ++-=---，（n=1,2,3,）.（1）求3456,,,a a a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令212n n n b a a -=⋅，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，求证：n T <3.20、解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得3456113,,5,48a a a a ==== ………2分当n 为奇数时，不妨设n=2m1，*m N ∈，则21212m m a a +--=， 21{}m a -为等差数列，21m a -=1+2(m1)=2m1, 即n a n =。

………4分当n 为偶数时，设n=2m ，*m N ∈，则22220m m a a +-=， 2{}m a 为等比数列，12111()222m m m a -==，故21()2n n a =，综上所述，**2(21)1()2)2n n n n m m N a n m m N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩（ ………6分（2）2121(21)2n n n n b a a n -==-231111135(21)2222n n T n =⨯+⨯+⨯++- ………8分2311111113(23)(21)22222n n n T n n +=⨯+⨯++-+- 两式相减：2311111112()(21)222222n n n T n +=++++--1111(1)1142(21)12212n n n -+-=+--- ………10分2332n nn T +=-，故3n T < ………12分注：若求出3456,,,a a a a 猜想出通项（1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。

21、已知、分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32，是AB 的中点．（1）求动点的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 任意作直线l （与轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M N 、两点，与轴交于点．若RM MQ λ=，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值． 21、解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．∵是线段AB 的中点，∴1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ………2分∵A B 、分别是直线3y x =和3y x =-上的点，∴11y =和223y x =-．∴1212,.3x x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩…………4分又23AB =12)()(221221=-+-y y x x ． …………5分∴22412123y x +=，∴动点的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………6分（2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-．设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=， …………8分 ∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k-=+． ② ∵λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与轴不垂直，∴13≠x ，∴331x x -=λ，同理441x x -=μ． ………10分∴443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++．将①②代入上式可得49-=μ+λ． …………12分22、已知0,1a a >≠且函数()log (1)xa f x a =-。

高三数学高考萃取精华30套(11)

2010高考数学萃取精华30套（11）1.江西五校联考20．（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．20. （1）解：∵()ln 1a f x x x =+-，∴221()a x af x x x x-'=-+=．令()0f x '=，得x a =．①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增.②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， ③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减. ……6分（2）解：∵()()ln 1xg x x e x =-+，(]0,x e ∈，()()()()ln 1ln 11x x g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x=+-．此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1ln 10x x+-≥．当(]00,x e ∈，00x e >，001ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+≥> ⎪⎝⎭．曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解．而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直……12分 21．（本小题满分12分）已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．21. （1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系若2AC AD a +=<，即0a <<A 所在的曲线不存在；若2AC AD a +==，即a =，动点A 所在的曲线方程为0(y x =；若2AC AD a +=>a >，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-.…………………………4分(2)当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且OA OB ⊥设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1y x k =- 解方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212414x k =+，2212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，22244y k =+ AOB ∆面积2S ==………………8分令21(1)k t t +=>则S ==令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+> 所以254()4g t <≤，即415S ≤<当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤，故S 的最小值为45，最大值为1. ……12分（2）另解：令1122(cos ,sin ),(sin ,cos )A r r B r r θθθθ-，则2222112222221cos sin 14,1sin cos 14r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得212222222244cos 4sin 13sin 44sin 4cos 13cos r r θθθθθθ⎧==⎪⎪++⎨⎪==⎪++⎩所以2212222166449sin cos 169sin 2r r θθθ==++，而[]2sin 20,1θ∈ 因此1214,125S r r ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即最大值是1，最小值是45.22．（本小题满分12分）函数()(01)1x f x x x =<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n f n n N -*∈处的切线在y 轴上的截距为n b .（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列2{}n n n b a a λ-的项中仅5255b a a λ-最小,求λ的取值范围；（3）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+,01x <<.数列{}n x 满足:112x =,01n x <<且1()n n x g x +=，(其中n N *∈).证明:2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++…. 22. 解:(1)令,1xy x=- 解得;1y x y =+ 由01,x << 解得0.y > ∴函数()f x 的反函数1()(0).1xf x x x-=>+则错误！不能通过编辑域代码创建对象。

2010高考数学萃取精华30套(7)

2010高考数学萃取精华30套（7）9、对于在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围；（2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且（2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1⇔ax a x aa ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0 19265469 144 a a a a a aa ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．10、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论： min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数，当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．11、已知函数y =f (x)满足f (a -tan θ)=cot θ-1，（其中，a 、θ∈R 均为常数）（1）求函数y =f (x)的解析式；（2）利用函数y =f (x )构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1，令x 2= f (x 1)，x 3= f (x 2)，…，x n = f (x n-1)，…在上述构造过程中，如果x i (i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止.① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{x n }，求a 的取值范围；② 如果取定义域中的任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求a 实数的值.解：（1）令tan ,cot 1.x a y θθ=-⎧⎨=-⎩ 则tan ,cot 1.a x y θθ=-⎧⎨=+⎩①×②，并整理，得 y=xa ax --+1，∴y =f (x) =xa ax --+1，（x ≠a ）. ………………………………4分（2）①根据题意，只需当x≠a 时，方程f (x) =x 有解，① ②亦即方程 x 2+(1-a )x+1-a =0 有不等于的解.将x=a 代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a . 由 △=(1-a )2-4(1-a )≥0，得 a ≤-3或a ≥1，即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ . …………………………9分 ②根据题意，xa ax --+1=a 在R 中无解，亦即当x≠a 时，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解. 由于x=a 不是方程(1+a )x=a 2+a -1的解，所以对于任意x ∈R ，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解，∴ a = -1即为所求a 的值. ……………………………………14分12、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a = (4)分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ 只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++= 当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++=1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n nk k nk k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0k a a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分 13、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证：(Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假.14、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

2010高三数学高考萃取精华30套(23)

2010高考数学萃取精华30套（23）1. 西工大附中三模19．(12分) 在数列{}n a 中，已知),3,2,1(12,111 =+-=-=+n n a a a n n . (1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2) n nnn S a b ,2=令为数列{}n b 的前n 项和，求n S 的表达式.19．解：（1）解: ∵ 121+-=+n a a n n , ∴)(2)1(1n a n a n n -=+-+,∴ 2)1(1=-+-+na n a n n , 又211-=-a ,∴ 数列{}n a n -是以2为公比、以-2为首项的等比数列.…………… 6分(2)由(1)得: n n n n a 22)2(1-=⋅-=--， ∴ n n n a 2-=，122-==nn nn n a b , ∴++-+-=+++= )122()121(221n n b b b S n nn n n -+++=-)22221()12(2 ,令n n n T 223222132++++= , 则132221222121++-+++=n n n nn T ,两式相减得: 1132221122121212121++--=-++++=n n n n n nn T∴ nn n T 222+-=, 即n n S n n -+-=222. ………………………12分20. (13分)已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，(2)f ）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（1）求b a ,的值；（2）若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）.20. 解(1）()2a f x bx x '=-，()242af b '=-，()2ln 24f a b =-． ∴432ab -=-，且ln 2462ln 22a b -=-++． …………………… 2分解得a ＝2，b ＝1． …………………… 4分（2）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，则()222(1)2x h x x x x -'=-=，令()0h x '=，得x ＝1（x ＝－1舍去）．在1[,e]e内，当x ∈1[,1)e 时，()0h x '>，∴h (x )是增函数；当x ∈(1,e]时，()0h x '<，∴h (x )是减函数． …………………… 7分则方程()0h x =在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤ ……10分即21e 2m <-≤． 13分21．(14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e =.直线l :220x y -+=与椭圆C 相交于E F 、两点,且EF =求椭圆C 的方程；(2)点P (2-，0)，A 、B为椭圆C 上的动点,当PA PB ⊥时,求证:直线AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.21．解：(1)设椭圆方程为12222=+by a x (a>b>0)，11(,)E x y 22(,)F x yc e a ==令2,a t c == 则b t = 222214x y t t ∴+=…………２分由22244220x y t x y ⎧+=⎨-+=⎩得:222210y y t -+-= ……………………………… 4分 2442(1)0t ∆=-⨯-> 212t ∴>12EF y =-== 21t ∴=椭圆C 的方程是:2214x y += …………………………………… 7分 (2) 当直线AB 不垂直于x 轴时,设AB ：y kx m =+ 11(,)A x y 22(,)B x y22244x y t y kx m⎧+=⎨=+⎩得222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 1222121212(2)(2)(1)(2)()4PA PB x x y y k x x km x x m =+++=++++++=222224(1)8(1)(2)401414m kmk km m k k--+++++=++ …………………… 10分 22125160k m km ∴+-= (65)(2)0k m k m --=625m k m k ∴==或当65m k =时，6:5AB y kx k =+恒过定点6(,0)5-当2m k =时，:2AB y kx k =+恒过定点(2,0)-，不符合题意舍去 … 12分当直线AB 垂直于x 轴时，若直线AB ：65x =- 则AB 与椭圆Ｃ相交于64(,)55A --，64(,)55B - 24444444(,)(,)()()()05555555PA PB ∴=-=+-=PA PB ⊥，满足题意综上可知，直线AB 恒过定点，且定点坐标为6(,0)5- ……………… 14分2. 濮阳市二模20．（本小题满分12分）已知椭圆的一个顶点为A （0，－1），焦点在x 轴上．若右焦点到直线x －y ＋0 的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y ＝kx ＋m （k ≠0）相交于不同的两点M 、N ．当｜AM ｜＝｜AN ｜时，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝12ax 2＋bx （a ≠0）（1）若a ＝－2时，函数h （x ）＝f （x ）－g （x ），在其定义域上是增函数，求b 的取值范围；（2）在（1）的结论下，设函数ϕ（x ）＝2xe ＋b xe ，x ∈[0，ln2]，求函数ϕ（x ）的最小值；（3）设函数f （x ）的图象C 1与函数g （x ）的图象C 2交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与 C 2在N 处的切线平行?若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由。

2010高考数学萃取精华30套(24)

2010高考数学萃取精华30套（24）1. 德兴二模21．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．21．（1）∵a n >0，12+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 …………………6分(2)21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n (12)分22．已知函数f (x )定义在区间（－1，1）上，f (12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，恒有f (x )－f (y )＝f (x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝2a n1+a n2，设b n ＝1f (a 1)＋1f (a 2)＋…＋1f (a n )．⑴证明：f (x )在（－1，1）上为奇函数；⑵求f (a n )的表达式；⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．22．（1）令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，再令x ＝0，得f (0)－f (y )＝f (－y )，∴f (－y )＝－f (y )，y ∈(－1，1)，∴f (x )在（－1，1）上为奇函数．…………………3分（2）),1()()()1(,1)21()(1xyyx f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)()(1=+n n a f a f ∴{f (a n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (a n )＝－12n -．……………7分（3）11221221211)2121211(--+-=---=+⋯+++-=n n n n b ．若48-<m b n 恒成立（n ∈N ＋），则.242421211-->-<+-n n m ，m 即∵n ∈N ＋，∴当n ＝1时，124-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ，∴存在m ＝5，使得对任意n ∈N ＋，有48-<m b n ． …………………………………………………14分2. 衢州二模20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列．（Ⅰ）记数列*1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列．（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足221117227n n T n T n ++<<++的所有n 的值． (20) 本题满分14分（Ⅰ）证明：n a S n n -=2， )1(211+-=++n a S n n 12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a ，11122211n n n n n n b a a b a a ++++===++ 又由11112 1 1S a a a ==-⇒=所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列…………………(7分)（Ⅱ）解：12n n n b a =+=，21n n a =- 122n n T n +=--，22111172227nn n T n T n ++⎛⎫<=< ⎪++⎝⎭所以n 的值为3，4……………………………………………………(14分)21．（本小题满分15分）已知函数3221()231(1)3f x x ax a x a =-+->．（Ⅰ）求函数()y f x =的极小值；（Ⅱ）若对任意x ∈[1,2]-, 恒有2()21f x a ≤-，求a 的取值范围．（21）本题满分15分(Ⅰ) 解:)3)((34)(22'a x a x a ax x x f --=+-=,因为1>a ，所以a a >3，)(x f 的极小值为1)3(-=a f ……………………………………………(6分) (Ⅱ) 解: 若21≤<a 时，当[]a x ,1-∈时)(,0)(/x f x f >在[]a ,1-上递增，当[]2,a x ∈时/()f x ＜0,()f x 在[]2,a 上递减，所以)(x f 的最大值为134)(2-=a a f ，令224121,12,123a a a R a a -≤-⇒∈<≤<≤又所以；若2>a 时，当[]2,1-∈x 时)(,0)(/x f x f >在[]2,1-上递增，所以)(x f 的最大值为0263123586,3586)2(2222≤+-⇒-≤+-+-=a a a a a a a f 令361361+<<-⇒a ，又2>a ，所以无解。

高三数学高考萃取精华30套(1)

2010高考数学萃取精华30套（1）1．重庆一模21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由。

21．（12分）解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）22．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。

2010高考数学萃取精华30套(4)

2010高考数学萃取精华30套（4）1．北京宣武区二模19. （本题满分14分）已知点()P a b n n n ，满足：a a b b b a n N n n n n nn+++==-∈11121·，，，且已知P 01323，⎛⎝ ⎫⎭⎪ （1）求过点P P 01，的直线l 的方程；（2）判断点()P n n ≥2与直线l 的位置关系，并证明你的结论；（3）求点P n 的极限位置。

解：（1）由a b 001323==，，得： b a 1212311334133414=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==⨯=，显然直线l 的方程为x y +=1………………3分（2）由a b 111434==，，得： b a 2223411445144515=-⎛⎝ ⎫⎭⎪==⨯=， ∴点P l 2∈，猜想点()P n n ≥2在直线l 上，以下用数学归纳法证明：当n ＝2时，点P l 2∈假设当n k k =≥()2时，点P l k ∈，即a b k k +=1 当n k =+1时，a b a b b k k k k k +++++=+1111·()()=+=+-=-=+1111112a b a b a b a k k k k kkk ∴点P l k +∈1综上，点()P l n n ∈≥2………………8分（3）由a a b b b a a b n n n n nnn n +++==-+=111211·，，，得：()a a b a a a a a a a a a n n n n n n nnn n n n++=-=--=+≠∴=+122111110111··∴数列1a n ⎧⎨⎩⎫⎬⎭是以130a =为首项，公差为1的等差数列∴=+=+=-=-+=++=+==++=++=→∞→∞→∞→∞→∞1313111323130231211a n a n b a n n n a n b n n n nn n n n n nn n n n n ， lim lim lim lim lim()∴−→−P P n 01，即点P n 的极限位置为点P （0，1）………………14分20. （本题满分14分）已知直线l y mx ：=+1与曲线()C ax y m a R ：，222+=∈交于两点A 、B 。

2010高考数学萃取精华30套(8)

2010高考数学萃取精华30套（8）1.山东三模20. 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为)2,0(,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点),0(m P ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且2=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求m 的取值范围．20.解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，由题意知2=a ，c b =，又222c b a +=则2=b ，所以椭圆方程为12422=+x y --------------------------------------4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为m kx y +=，与椭圆方程联立即⎩⎨⎧+==+mkx y x y 4222，则0)4)(2(4)2(,042)2(222222>---=∆=-+++m k mk m mkx x k由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22212212422k m x x k m k x x ；----------------------------------------6分又2=，即有),(2),(2211m y x y m x -=--2222222122121)22(22422k m k k m x x x x x x x x +-=+-∴⎩⎨⎧-=-=+∴=-∴--------------------------------------------8分整理得22228)49(m k m -=-又0492=-m 时不成立，所以04928222>--=m m k ---------------------------10分得4942<<m ，此时0>∆ 所以m 的取值范围为)2,32()32,2(⋃--.-------------------------------------12分21. 已知关于x 函数x a xx g ln 2)(+=(R ∈a ),)()(2x g x x f +=，（Ⅰ）试讨论函数)(x g 的单调区间；（Ⅱ）若,0>a 试证)(x f 在区间)1,0(内有极值. 21.解：（Ⅰ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞x a xx g ln 2)(+=22'22)(x ax x a x x g -=+-=∴（i ）若0≤a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间；（ii ）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 2=， )2,0(a x ∈时，0)('<x g ，),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，所以)2,0(a 为其单调递减区间；),2(+∞a为其单调递增区间；----------6分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=所以)(x g 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(xax x x ax x x g x x f -+=-+=+=令),0[,22)(3+∞∈-+=x ax x x h因为0>a ，则06)(2'>+=a x x h ，所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，所以)(x f 在区间)1,0(内有极值. --------------------12分22.已知数列}{n a 满足：)(1*N n a S n n ∈-=，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和. （Ⅰ）试求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足：)(*N n a nb nn ∈=，试求}{n b 的前n 项和公式n T ；（III ）设11111n n n c a a +=++-，数列}{n c 的前n 项和为n P ，求证：212->n P n ． 22. 解：（Ⅰ）n n a S -=1 ①111++-=∴n n a S ②②-①得n n n a a a +-=++11 )(,21*1N n a a n n ∈=∴+ 又1=n 时，111a a -=211=∴a )(,)21()21(21*1N n a n n n ∈=⋅=∴---------------------------------4分（Ⅱ）)(,2*N n n a nb n nn ∈⋅==n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=∴ ③ 143222322212+⨯++⨯+⨯+⨯=∴n n n T ④③-④得1132221)21(222222++⨯---=⨯-++++=-n n n n n n n T整理得：*1,22)1(N n n T n n ∈+-=+-------------------------8分（III ）)121121(212111*********)21(11)21(111111111111--+-=-+++-=-++=-++=-++=++++++n n n n n n n n n n n n n a a c ----------------------------------------------------10分又1112121112121121122212222)12)(12()12(12121121+++++++<-+=-+<-+-=-++--=--+n nn n n nn n n n n n n n n -----------------------------------------------------------12分*1214322,21221212211)211(212)21212121(22N n n n n n P n n n n ∈->+-=---=+++->∴++ -----------------------------------------------------------14分2.江苏一模17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，.………6分（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =32.所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为 322sin 22(3232)3232cos y PB PA ααα-=+==. ……………………6分故所求函数关系式为()2sin π32320y αα-=≤≤. ……………………7分（2）由（1）得22s i n 132cos y αα-'=，令0y '=即1sin 2α=，又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=时，2sin 432cos y αα-=+取得最小值， ………………… 13分此时π3266OP ==km ），即点P 在OA 上距O 6处. 【答】变电站建于距O 6处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞6A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【解】（1）由离心率6e =226a b -=，即223a b =. ① ………………2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+.② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，OBCAP（第18题图）故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分（2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线 2y =-上，半径为22. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形. 设G 与直线l 相切于点T 222=，得4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 71m =-. ………………… 16分3.深圳一模20．（本题满分14分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DN DM =λ，求λ的取值范围.20解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2521222=+＞|AB|=4.∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲线C 的方程为52x +y2=1.(2)设直线l 的方程为y=kx+2,代入52x +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x1=λx2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x两式相除得)5(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM①,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1 ②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合)综合得：1/3 ≤λ＜1.21．已知函数3()3.f x x x =- （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.20．解（1）23()33,(2)9,(2)2322f x x f f ''=-==-⨯= ……………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为29(2)y x -=-，即9160x y --=；…………4分（2）过点(1,)A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为00(,)x y则32000003,()3 3.y x x k f x x '=-==-则切线方程为320000(3)(33)()y x x x x x --=--………………………………………………6分整理得32002330(*)x x m -++= ∵过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线 ∴方程（*）有三个不同实数根.记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或 1. …10分则,(),()x g x g x '的变化情况如下表当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. ………………12分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.……22．（本小题满分14分）已知函数2()2f x x x =+. （Ⅰ）数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为Sn ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围。

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2010高考数学萃取精华30套（17）1.宁乡县开模19．（本小题满分12分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①()x f x p q =⋅；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中、均为常数，且1q >）（I ）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（II ）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中0x =表示8月1日，1x =表示9月1日，…，以此类推）；（III ）为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．解：（I ）根据题意，应选模拟函数2()()f x x x q p =-+ 2分322()2f x x qx q x p =-++ ，22()34f x x qx q '∴=-+ 3分若()f x ≥()g x 恒成立，即ln22a a -≥0恒成立解之得≤4e ． 10分（III ）由（II ）得22x ≥4ln e x ，即44ln x x≤22ex11分 444444444ln 2ln 3ln 4ln 24ln 34ln 2323n n nn+++=+++≤2222111()23e n+++2111()1223(1)e n n <+++⨯⨯- 12分211111212(1)(1)22311enn en e=-+-++-=-<-- 13分所以212164(2)14k x k-⋅-=+，得2122814k x k -=+ 9分所以2122284(2)1414k ky k kk-=+=++所以直线B S 的斜率为2224114284214kkk kk+=---+， 10分则直线B S 的方程可设为1(2)4y x k=--由1(2)43415y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得N 点的坐标为341(,)1515k - 12分所以641||||1515k M N k=+≥1615=当且仅当6411515k k=即18k =时取等号． 14分2. 日照一模(20)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且(1)(1)(0)()n n a S a a a n -=->∈*N 。

(Ⅰ)求证数列{}n a 是等比数列，并求n a ；(Ⅱ)已知集合2{(1)},A x x a a x =+≤+|问是否存在实数a ，使得对于任意的,n ∈*N 都有n S A ∈?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。

(20)解：(Ⅰ)当1n =时， 111(1)(1),(0)a S a a a a a -=-∴=> …………………………1分2n ≥时，由(1)(1)(0),n n a S a a a -=->得11(1)(1)n n a S a a ---=-1(1)()n n n a a a a a -∴-=-，变形得：1(2)n n a a n a -=≥ (4)分故{}n a 是以1a a =为首项，公比为a 的等比数列，nn a a ∴= (6)分(Ⅱ)(1)当1a =时，{1},,n A S n ==只有1n =时,n S A ∈1a ∴=不适合题意 (7)分(2)1a >时，222{1},,,A x x a S a a a S A =≤≤=+>∴∉|即当1a >时，不存在满足条件的实数a ………………………………………………………9分 (3)当01a <<时，{1}A x a x =≤≤| 而2(1)[,)11n nn a a S a a a a a aa=+++=-∈--因此对任意的,n ∈*N 要使,n S A ∈只需 01,1,1a a a<<≤-解得102a <≤ (11)分综上得实数a 的范围是1(0,]2 (12)分(21)(本小题满分12分)已知抛物线1C 的方程是2(0),y ax a =>圆2C 的方程是22(1)5,x y ++=直线:2(0)l y x m m =+<是12,C C 的公切线，F 是1C 的焦点． (Ⅰ)求m 与a 的值；(Ⅱ)设A 是抛物线1C 上的一动点，以A 为切点作1C 的切线交y 轴于点B ，若FM FA FBM =+，则点M 在一定直线上，试证明之。

(21)解：(Ⅰ)由己知，圆2C 的圆心为2(0,1)C ，半径r =由题设圆心到直:2(0)l y x m m =+<的距离d =即=解得6m =-（4m =舍去） (3)分设l 与抛物线相切的切点为000(,),A x y 又2,y ax '=得0001122,,ax x y a a=∴==代入直线方程，得1216,6a a a==-∴=……………………6分所以16,6m a =-=(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线1C 的方程为21,6y x =焦点3(0,)2F 设2111(,)6A x x ，由(Ⅰ)知以A 为切点的切线方程为211111()36y x x x x =-+…………8分令0,x =得点B 的坐标为211(0,)6x -所以221111313(,),(0,)6262F A x x F B x =-=-- (10)分1(,3)FM FA FB x ∴=+=- ，因3(0,),2F 设13(,),(,)(,3)2M x y F M x y x ∴=-=-3,2y ∴=-即M 点在定直线32y =-上 ……………………………………………………12分(22)(本小题满分14分)己知2()ln f x x ax bx =--。

(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)当1,1a b ==-时，证明函数()f x 只有一个零点；(Ⅲ)()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点A B 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '<。

(22)解：(Ⅰ)依题意：2()ln f x x x bx =+-()f x 在(0,)+∞上递增，1()20f x x b x'∴=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立即12b x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，∴只需m in 1(2)b x x≤+ (2)分10,2x x x>∴+≥ 当且仅当2x =时取"",b =∴≤b ∴的取值范围为(,-∞ ……………………………………………………………4分(Ⅱ)当1,1a b ==-时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,),+∞2121(1)(21)()21,x x x x f x x xxx---+'∴=-+=-=- (6)分0,01x x >∴<< 时，()0;f x '>当1x >时，()0f x '<∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减∴当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln 1110f =-+=当1x ≠时，()(1),f x f <即()0f x <∴函数()f x 只有一个零点 ……………………………………………………………9分 (Ⅲ)由已知得2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减，得11121212121222ln ()()()ln()[()],x x a x x x x b x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ …………11分由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得10012012121221221()2[()]lnx f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++-11212111212212222(1)2()11[ln][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+…………………………………12分令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴< ……………………………………………………………………14分3. 德阳二模19．（本小题满分12分）已知函数bx ax x f +=2)(，在1=x 处取得极值为．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(,21)m m +上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）若00(,)P x y 为b x ax x f +=2)(图象上的任意一点，直线l 与bx ax x f +=2)(的图象相切于点，求直线l 的斜率的取值范围． 19.解：（Ⅰ）已知函数bx ax x f +=2)(，222)()2()()('b x x ax b x a x f +-+=∴ …………１分又函数)(x f 在1=x 处取得极值2，⎩⎨⎧==∴2)1(0)1('f f …………２分即⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+142102)1(b a ba ab a 14)(2+=∴x x x f …………………4分（Ⅱ）222222)1(44)1()2(4)1(4)('+-=+-+=xx xx x xx f 由0)('>x f ，得0442>-x，即11<<-x所以14)(2+=x xx f 的单调增区间为（－1，1） ………………… 6分因函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥mm m m 121121， …………７分解得01≤<-m 即]01(，-∈m 时，函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上为增函数 ………８分（Ⅲ）2222)1()2(4)1(4)('14)(+-+=∴+=x x x x x f x x x f直线l 的斜率2202200)1(8)1(4)('+-+==x x x x f k …………９分即k ]11)1(2[420220+-+=x x 令]10(1120，，∈=+t t x ， …………１０分则]10()2(42，，∈-=t t t k]421[，-∈∴k 即直线l 的斜率k 的取值范围是]421[，-……………1２分20．（本小题满分12分）已知C B A ,,均在椭圆)1(1:222>=+a yaxM 上，直线AB 、AC分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅= 时，有21219AF AF AF =⋅.(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)设是椭圆M 上的任一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求PF PE ⋅的最大值.20.解:(Ⅰ)因为120AC F F ⋅= ，所以有12AC F F ⊥所以12A F F ∆为直角三角形；1122cos AF F AF AF ∴∠=…………………………2分则有22212121221199cos 9AF AF AF AF F AF AF AF AF ⋅=∠===所以，123AF AF =…………………………3分a 2=+，123,22a aA F A F ∴== ………………………4分在12A F F ∆中有2221212AF AF F F =+即)1(4223222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a ，解得22=a 所求椭圆M 方程为1222=+yx…………………………6分(Ⅱ)()()NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅()()()1222-=--=-⋅--=NPNFNP NP NFNP NF从而将求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值 …………………8分是椭圆M 上的任一点，设()00,y x P ，则有12202=+y x 即22022y x -=又()2,0N ，所以()()22220002210NP x y y =+-=-++ ………………10分而[]1,10-∈y ,所以当01y =-时，2NP 取最大值9故PF PE ⋅的最大值为8 ……………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()(01)1x f x x x=<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n fn n N -*∈处的切线在轴上的截距为n b ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列2{}n nnb a a λ-的项仅5255b a a λ-最小，求的取值范围；（3）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x--=+⋅+，01x <<，数列{}n x 满足：112x =，01n x <<，且1()n n x g x +=，其中n N *∈．证明：2223212112231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<．21. 【解析】（1）令1x y x=-，解得1y x y=+，由01x <<，解得0y >， ∴函数()f x 的反函数1()(0)1x fx x x-=>+，则11()1n n n na a fa a -+==+，得1111n na a +-=．1{}na ∴是以2为首项，l 为公差的等差数列，故11n a n =+． ……3分（2）∵1()(0)1x fx x x-=>+，∴121[()](1)fx x -'=+，∴1()y f x -=在点1(,())n f n -处的切线方程为21()1(1)n y x n n n -=-++，令0x =，得22(1)n nb n =+，∴2222(1)()24n nnb n n n a a λλλλλ-=-+=---，∵仅当5n=时取得最小值，∴4.5 5.52λ<<，解之911λ<<，∴的取值范围为(9,11)． ……7分（3）2121()[()()]1x g x f x f x x--=+⋅+22212[]1111x x x x xxxx-=+⋅=+-++，(0,1)x ∈．则121(1)1n n n n n n x x x x x x ++-=-⋅+，因01n x <<，则1n n x x +>，显然12112n n x x x +>>>> ．121111(1)2144121n n n n n n n n x x x x x x x x ++-=-⋅≤⋅<=+++-+∴211111111()1111()()())n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--=-=--<- ∴2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++12231111111)()()]nn x x x x x x +<-+-++-111111))n n x x x ++=-=-∵111,2n nx x x +=>，∴1112n x +<<，∴1112n x +<<，∴11021n x +<-<∴2223212112231131()()()152)816n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++=-<<=． ……12分。